5.2余弦函数的图象与性质再认识

5.2余弦函数的图像和性质知识点利用图象变换作余弦函数的图象根据诱导公式，由y=cosx=cos-x=sin[π2-(-x)]=sin(用五点法作余弦函数的图象与正弦函数的图象一样，在函数y=cosx,x∈[0,2π](0,1),(π2,0),(π,-1),(x0ππ3π2πy=cosx10-101同样，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法也称为五点法作图．（2324高一上·江苏·课时练习）余弦函数的图象（1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将y=sinx的图象向左平移（2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数y=cosx,x∈-π,π相应的五个关键点，它们分别是，，【答案】π2-π,-1π2,0（2023高一上·江苏·专题练习）利用“五点法”作出函数y=-1-cos【答案】答案见解析【分析】先取x=0,π2,π,3π2,2【详解】（1）取值列表如下：x0ππ3π2cos10－101-1-－2－10－1－2（2）描点连线，如图所示：

（2023高三·全国·专题练习）作出函数y=cosx【答案】见解析【分析】去绝对值后，结合函数y=cosx的图象，即可画出函数的【详解】y=cosx=作出函数y=cosx图象后，将x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，即为函数y=cos

（2324高三下·四川遂宁·开学考试）函数fx=1-23xA．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】f(x)=(1-23x+1)⋅又f-x所以fx为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD当x=π时，fπ故选：B.（2223高一上·甘肃定西·期末）函数y=lgcosx-A．x∣2kπ-πC．x∣2kπ<x<2kπ【答案】B【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】由题知cosx-32>0，即故函数的定义域为x∣2kπ故选：B余弦函数的图像与性质（1）余弦函数的图象与性质：性质图象定义域值域最值当时，；当时，．周期性奇偶性偶函数单调性在上是增函数；在上是减函数．对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。余弦函数与余弦型函数的性质（1）周期性2πω余弦函数y=cosx,x∈R是周期函数，2kπ(k∈Z且（多选）（2324高一上·福建·期末）已知函数fx=2cosωx+π3ω>0A．ω=2B．x=π3是fC．fx在区间-D．fx在区间-π【答案】AB【分析】利用函数fx的最小正周期为π求出ω可判断A；代入法可判断B，利用余弦函数的单调性可判断C；根据x的范围求出fx【详解】对于A：因为函数fx=2cosωx+π所以2πω=π，可得对于B，fπ3=2对于C，当x∈-π3,0时，2x+π3∈对于D，当x∈-π3,0时，可得fx∈1,2，故故选：AB.（多选）（2324高二下·湖南岳阳·开学考试）已知函数f(x)=cos(3x-3A．函数f(x+πB．曲线y=f(x)的对称轴方程为x=π4C．f(x)在区间(0,πD．f(x)的最小值为-3【答案】AC【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质，逐项判断得解.【详解】函数f(x)=cos(3x-3π4由3x-3π4=kπ,k∈Z，得x=当x∈(0,π4)时，3x-3π4∈(-3π4,0)函数f(x)=cos(3x-3π4)故选：AC（多选）（2324高一下·重庆·阶段练习）已知函数fx=cosωx+π4ω>0在区间A．ω的值可能是3 B．fx的最小正周期可能是C．fx在区间0,π16上单调递减 D．f【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简函数fx的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B选项【详解】因为函数fx=cosωx+π4且当0≤x≤π时，π所以，5π2≤πω+因为94≤ω<134，则函数fx的最小正周期为T=当0≤x≤π16时，因为94≤ω<13所以，函数fx在区间0,π1635π32≤3πω8+π故选：ABC.（多选）（2021高一上·广东广州·期末）已知函数f(x)=|cosx|+cosA．若x∈[-π,π]，则f(x)有2个零点 B．f(x)的最小值为-C．f(x)在区间0,π4上单调递减 D．π是【答案】CD【分析】利用余弦的二倍角公式展开，并利用换元法令t=|cosx|，f(t)=2【详解】f(x)=|令t=|cosx|，t∈[0,1]，则若x∈[-π,π]，t=|cosx|=12是函数f(x)的零点，即x=-2t∈[0,1]，函数单增，则当t=0时，f(x)取最小值为1，故B错误；x∈0,π4时，f(x)=2cos2x+cosx-1，t∈(22,1)f(x+π)=|cos则π是f(x)的一个周期，故D正确；故选：CD奇偶性观察余弦曲线可以看到正弦曲线关于原点对称，所以正弦函数y=cosx,x∈R为偶函数；对于余弦型函数f(x)=A（3）单调性余弦函数在每一个闭区间[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从−1增大到1对于余弦型函数f(x)=Acos(ωx+ϕ)(A>0，ω>0)，令-π+2kπ≤ωx+ϕ≤2k（4）最大值与最小值(值域)余弦函数y=cosx,x∈R,当且仅当x=2kπ,k∈Z时，取得最大值1；当且仅当x=π+2kπ,k∈Z时，取得最小值1．对称性余弦函数y=cosx,x∈R,,对称轴为x=kπ,k∈Z；当x=π2+kπ,k∈Z时对应点（π2余弦及余弦型函数求值域方法余弦函数，在区间x上的值域，画图求解。求值域；令t=,先通过不等式性质求出t的范围，在利用（1）的方法求值域。y=acos2x+bcosx+c，设，化为二次函数（4）y=asinx+bcos（5）y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c（陕西省榆林市第十二中学20182019学年高一下学期第一次月考数学试题）已知函数f(x)=2sin2x+π6（1）求fx取最大值时x（2）若x∈0,π2时，fx的最大值为（3）求fx的单调区间【答案】（1）{x|x=π6+kπ,k∈Z}；（2）a=1；（3）单调增区间为[-【分析】（1）解方程sin(2x+（2）当x∈0,π2时，2x+π6∈[π（3）分别解不等式-π2+2kπ≤2x+π【详解】（1）由题意，当sin(2x+π6)=1时，解得x=π6+kπ,k∈Z，所以fx取最大值时（2）当x∈0,π2时，2x+所以f(x)max=2+a+1=4（3）由-π2+2kπ≤2x+由π2+2kπ≤2x+π所以fx的单调增区间为[-π3【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到最值、单调性等知识，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.（1.4节综合训练）已知函数y=5cos2k+13πx-π6（其中k∈N），对任意实数a，在区间[a,a+3]上要使函数54出现的次数不少于4【答案】k=2或3【详解】由5cos2k+13∵函数y=cosx在每个周期内有2次出现函数值为14，区间a,a+3的长度为3，∴为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期且不大于即2×2π2k+13π≤3，且又∵k∈N，∴k=2,3.【点睛】本题考查三角函数图像的性质，注意把函数在给定区间上的解的个数转化为函数周期满足的条件，此类问题属于中档题.54．（【新教材精创】7.3.2.2正弦函数、余弦函数的性质学案苏教版高中数学必修第一册）求函数f(x)=2cos(2x-π6【答案】[-【分析】利用整体法，即可容易求得该函数的单调增区间.【详解】令-π+2kπ≤2x-π解得x∈[-5故该函数的单调增区间为：[-【点睛】本题考查利用整体法求余弦型函数的单调区间，属基础题.（重庆市三峡名校联盟20222023学年高一上学期秋季联考数学试题）已知函数fx(1)求fx的最小正(2)求fx的最大值和对应x(3)求fx在-π【答案】(1)π；(2)当x=π8+kπ,k∈(3)-3【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式即得；（2）根据正弦函数的图象和性质即得；（3）根据正弦函数的单调性结合条件即得.【详解】（1）因为函数fx所以fx的最小正周期为T=（2）因为fx由2x+π4=∴当x=π8+kπ,k∈（3）由-π2+2k又x∈-∴函数fx的单增区间为-达标训练一、单选题（2021高一上·浙江·课后作业）函数y=cosx的一个单调减区间是（A．-π4,π4 B．π4【答案】C【分析】画出y=cosx的图象【详解】画出y=cosx的

可以看出y=cosx的一个单调减区间为π故选：C（2024·河北·一模）已知函数fx=cosωx+φ的部分图象如下，y=12与其交于A，B两点．若

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】首先解方程cosωx+φ=12，结合图象【详解】令cosωx+φ=12，则ωx则ωxB-xA故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合余弦函数的图象，正确求解A,B两点的坐标.（2324高三上·河南·期中）函数y=11-2A．π2+2kπ,3πC．kπ,π2+kπ【答案】A【分析】首先由含分式和根式的函数定义域可得2cosx<1，再结合指数函数与余弦函数的图【详解】由题意得1-2cosx>0，即根据余弦函数的图象与性质可得x∈π故选：A.（2324高三上·河南·阶段练习）已知函数fx=1cosx-A．π3+2kπC．π3+kπ【答案】D【分析】利用复合函数的单调性，结合函数定义域，求单调递增区间.【详解】由cosx-π3解得-π所以fx的定义域为-由复合函数的单调性可知，fx的单调递增区间即为函数y=cosx-令2kπ<x-π所以fx的单调递增区间为π故选：D．（2223高三下·云南曲靖·阶段练习）已知定义在R上的奇函数fx在区间-∞,0上单调递增，且f-32=0，△ABC的内角BA．π6,πC．π3,π【答案】A【分析】先根据奇偶性和单调性求fx≤0的解集，然后可得cosB的范围，结合角【详解】因为fx在区间-∞,0所以，当x≤-32时，fx≤0，当又因为fx为奇函数，所以fx在区间0,+∞所以，当0<x≤32时，fx≤0，当又f0=0，所以fx因为fcosB≤0，所以cos因为B∈0,π，所以5π即角B的取值范围是为π6故选：A（2324高一上·贵州毕节·期末）函数f(x)=ln|x|⋅cosxxA．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】判断函数的图象问题，可从函数定义域，函数的奇偶性，函数图象的趋势或者特殊点的函数值进行判断是否符合题意.【详解】由函数f(x)=ln|x|⋅cos由f(-x)=ln|-x|⋅cos其图象关于坐标原点对称，故舍去B，D两项；又由f(2)=ln2⋅cos22<0故选：A.（2024高一上·全国·专题练习）函数fx=lgA．0,3 B．-C．0,π2∪【答案】C【分析】由对数函数定义域及分式函数定义域可得结果.【详解】依题意有3-xx>0cosx≠0，即0<x<3x≠∴函数fx=lg故选：C．（2024·广东湛江·一模）已知函数fx=2x-A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【分析】根据偶函数定义可直接构造方程求得结果.【详解】∵f-x=2∴f-x=fx，则-a=1故选：B.（2022·全国·模拟预测）函数fx=lnx+1+cosA． B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用函数的奇偶性，计算特殊点的函数值，排除法得正确选项.【详解】函数fx=lnf-x所以函数fx为偶函数，函数图象关于y轴对称，Af0=lnBD选项错误；故选：C（2122高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数fx=cosωx+π3ω>0的图象A．π2,π B．π6,π【答案】D【分析】求出对称轴方程，由已知可得5π3ω≤π<8π3ω，进而可得π8<π3ω【详解】令f(x)=±1，即cos(ωx+π3)=±1，所以ωx+π3=k分别取k=1,2,3得x=2π3ω，5π因为f(x)=cos(ωx+π3)所以5π3ω≤π<8π对于A项，当k=2时，f(x)的一个对称轴为x=5π3ω(5π8,对于B项，当k=1时，f(x)的一个对称轴为x=2π3ω(π4,对于C项，当k=0时，f(x)的一个对称轴为x=-π3ω，且[-π5,-对于D项，当k=-1时，f(x)的一个对称轴为x=-4π3ω由C项知，当k=0时，f(x)的一个对称轴为x=-π3ω，且所以(-π2,-π3故f(x)在(-π2,-π故选：D.（2223高一下·青海西宁·开学考试）函数fx=cos2x+φ-π<φ<A．π3 B．C．-π3 D【答案】D【分析】利用三角函数图象的对称性即可得到φ=kπ+π2，【详解】因为函数fx=cos所以φ=kπ+π又-π<φ<π，结合选项，得φ故选：D（2015·吉林长春·一模）函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω≠0)对任意x都有f(πA．2或0 B．-2或2 C．0 D．-2或0【答案】B【分析】根据余弦函数的对称性直接可得.【详解】由f(π4+x)=f(π4-x)可知函数图象关于直线故选：B．（第17讲三角函数的图象与性质（练）2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)对称，那么|φ|A．π6 B．C．π3 D．【答案】A【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.【详解】因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点(4π3,0)于是得φ=(k-2)π-π6,k∈Z，显然φ=(k-2)π-而k=2时，φ=-π6，|φ|=π6，当k=3时，所以|φ|的最小值为π6故选：A（5.4三角函数的图象与性质）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的图象关于直线x=π12对称，且fπA．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根据函数y=Acosωx+φ的性质和条件列出关于ω【详解】由题设知直线x=π12与点π3,0故πω12+φ=于是ωπ4=k2-k又k2-k1∈Z，且ω>0故选：A.（5.7三角函数的应用）f(x)=cosωx-π6(ω>0)，f(x)≤fπ4对任意A．32 B．1 C．13 D【答案】D【分析】根据函数最值的定义，结合余弦函数的最值进行求解即可.【详解】因为f(x)≤fπ4对任意的实数所以说明当x=π所以有π4ω-π∴ω=8k+23，∵ω>0，∴当k=0时，ω有最小值，为23故选：D.二、多选题（2324高一上·江苏连云港·期末）已知函数fx=2cosA．函数fx的最大值为B．函数fx的最小正周期为C．函数fx的图象关于直线x=D．函数fx在2【答案】AC【分析】B选项，先得到fx=2cosx-cosx，故fx+π≠fx，得到B错误；A选项，分x∈-π2,π2与x∈π2,3π2【详解】B选项，由于y=cos故fx由于fx+所以fx的最小正周期不为π，BA选项，当x∈-π2当x∈π2,又fx+2所以函数的一个周期为2π，可得fx的最大值为3，C选项，f2故函数fx的图象关于直线x=π对称，D选项，由A选项得，x∈2π3,3π故选：AC【点睛】结论点睛：函数的对称性：若fx+a+f-x+b=c，则函数若fx+a=f-x+b，则函数f（2324高一上·贵州安顺·期末）设函数fx=cosA．fx的一个零点为x=π3 B．y=fx的C．y=12fx是周期函数 D．方程【答案】BCD【分析】对A，代入x=π3判断即可；对B，根据f7π3-x=f7π3+x判断即可；对C，根据周期函数的定义判断即可；对【详解】对A，fπ3=对B，f7π3-x故f7π3-x=f7π3+x，故y=f对C，设gx=12cosπ3对D，作出fx=cosπ3当x→0+时-lgx→+∞，cos故在0,1之间两函数图象有1个交点；当x∈1,10时，gx∈-1,0，且故由图可得在1,10之间两函数图象有2个交点；当x∈10,+∞时，gx<-1，综上可得fx=-lgx有3故选：BCD（2324高三下·重庆·开学考试）已知函数fx=sinx+cosA．fx的一个周期为B．fx的图象关于x=C．fx在-D．fx的值域为【答案】ABD【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D.【详解】对于A，根据诱导公式可知：f=sinx-cosx+sinx+对于B，根据诱导公式可知：f=sinx-cosx+sinx+cosx对于C，易知f=sinx-cos当x∈0,π4由偶函数的对称性可知x∈-π4由B结论可知-π4,此区间上fxmax=f0故选：ABD（2024·海南·模拟预测）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的一个最大值点为x=-π12，与之相邻的一个零点为A．f(x)的最小正周期为π2 B．f(x+C．f(x)在[5π12,11π12]【答案】BC【分析】根据给定函数性质，求出f(x)的解析式，再结合余弦函数的图象性质逐项判断即得.【详解】依题意，f(x)的最小正周期T=4[π6-(-当ω=2时，2(-π12)+φ=2kπ,k∈当ω=-2时，-2(-π12)+φ=2kπ,k∈因此f(x)=cos对于A，函数f(x)的最小正周期为π，A错误；对于B，f(x+π6)=对于C，当x∈[5π12函数f(x)在[5π12对于D，当x∈[0,π4]时，2x+π故选：BC（2223高一下·江苏·阶段练习）已知函数fx=cosA．函数fx的最小正周期为B．点-π3,3C．将函数fx图象向左平移π6D．函数fx在区间-【答案】AB【分析】利用余弦型函数的周期公式即得A项，运用代入检验法将2x+π6看成整体角，结合余弦函数图象对称性易得B项，运用平移变换得到函数后，利用偶函数定义即可判断C项，将2x+π6看成整体角，结合余弦函数图象【详解】对于A项，函数fx的最小正周期为T=2π|ω|对于B项，当x=-π3时，2x+π6=-π2，而cos(-对于C项，函数fx图象向左平移π6个单位长度，得到由g(-x)-g(x)=[-sin(-2x)+32对于D项，当x∈(-π6,0)时，z=2x+π6∈(-π6,故选：AB.（2324高一上·湖南娄底·期末）已知函数fx=cosA．fx在区间3π4,3π2C．fx的值域为-32,2 D．fx【答案】BD【分析】对于A，由f3π4=f5π4即可举出反例，对于B直接验算fx+2π,fx是否相等即可；对于D，验算【详解】对于A，f3π4=0-对于B，fx+2π=对于C，由B选项分析可知2π是fx的一个周期，所以我们只需讨论函数fx当x∈0,π4时，cos当x∈π4,3π4当x∈3π4,5π4当x∈5π4,7π4当x∈7π4,2π时，综上所述，fx的值域为-22对于D，由题意f-x=cos-2x+cos-x=fx=故选：BD.【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是结合周期性，分类讨论即可验算.（2024·全国·模拟预测）已知a=sinsin2024°，b=sincos2024°，A．a<c B．b<d C．a<b D．d<c【答案】ABD【分析】先利用诱导公式化简2024°的三角函数值，再根据sin44°,cos【详解】∵2024°=360°×5+180°+44°，∴cos2024°=-cos44°∵1>cos∴a=sinsin2024°c=cossin2024°即cossin44°>所以-sin即b<a<0<d<c，所以ABD正确，C错误.故选：ABD.（2324高一上·湖南株洲·阶段练习）下列不等式中成立的是（

）A．sin80°>sin10° BC．sin3>sin2 【答案】ABD【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质一一判断即可.【详解】对于A：因为y=sinx在0,π2上单调递增，所以对于B：cos400°=cos360°+40°又y=cosx在0,π所以cos400°>cos-50°对于C：因为y=sinx在π2,π对于D：sin8π7又0<sinπ722=cos所以sin8π7故选：ABD三、填空题（2324高一上·广东清远·期末）写出函数y=2-cosx在0,2π【答案】π,2π（答案【分析】利用余弦函数的单调性求解即可.【详解】函数y=2-cosx的减区间为y=cos据此只需写π,2π内的任何一个非空子集，例如故答案为：π,2π（答案（2324高一下·重庆铜梁·阶段练习）已知函数f(x)=2cos2x+π3，当x∈-π4,π【答案】(-2,-【分析】讨论余弦函数的单调性，求得当-π6≤2x+π3≤π6且2x+π3≠0时函数【详解】f(x)=2cos由-π4≤x≤设θ=2x+π3，则当θ∈[-π6,0]当θ∈[0,2π3]时，函数y=得f(x)∈[-1,2]，要使方程f(x)+a=0在x∈[-π4,则函数y=f(x)图象与直线y=-a在x∈[-π4,当θ∈[-π6,π6]且θ≠0，即fx∈所以-a∈[3,2)，解得即实数a的取值范围为(-2,-3故答案为：(-2,-（2022高三·全国·专题练习）在0,2π内，不等式cosx<1【答案】π【分析】利用余弦函数的性质即可得解.【详解】因为y=cosx在0,π所以在0,π上，由cosx<1而y=cosx在π,2所以在π,2π上，由cosx<综上，π3<x<5故答案为：π3（2122高一上·重庆北碚·期末）函数f(x)=x(2π-x)【答案】π【分析】根据给定的函数有意义，列出不等式组，再利用正余弦函数的性质求解作答.【详解】函数f(x)=x(2则需x(2π由x(2πcosx<则π6所以函数定义域为π6故答案为：π（2324高三下·河南·开学考试）若函数fx=cosωx(ω>0)在区间0,π上恰有两个不相等的实数a,b满足f【答案】2,3【分析】借助余弦函数的图象与性质计算即可得.【详解】由函数fx的最大值为1，最小值为-1，可得fa=1由故有2πω≤故答案为：2,3.（2324高二上·广西贵港·期末）已知函数fx=ex+a【答案】-1【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解．【详解】因为fx是奇函数，则f所以e-x+a即e-x+ae经检验，a=-1满足题意.故答案为：-1．（2023·全国·模拟预测）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π).若f(0)=1，且点π9,0是函数f(x)的图象的一个对称中心，则函数f(x)的【答案】4π3【分析】结合f(0)=1可求得φ，结合余弦函数的零点可得ω，进而结合周期公式求解即可.【详解】由f(0)=2cosφ=1，且0<φ<π则f(x)=2cos因为点π9,0是函数f(x)的所以πω9+π3=kπ因为ω>0，所以当k=0时，ω取得最小值，且ωmin此时函数f(x)的最小正周期T取得最大值，且Tmax故答案为：4π（2022·河南·模拟预测）已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)满足下列条件：①f(x)+f(π2-x)=0；②f(x)在区间(0,π12)与(【答案】3【分析】根据题意可知f(x)的图象关于点(π4,0)对称，且直线x=π12是f(x)的图象的一条对称轴；又π4∈(π12,π3)，可知f(x)的最小正周期【详解】由f(x)+f(π2-x)=0可知，f(x)的图象由f(x)在区间(0,π12)与(π12,π又π4∈(π12,π3)，所以所以T=2π3，所以2πω=2π由余弦函数的性质，得3×π12+φ=0+kπ,k∈Z由∀x1，x2∈R，-A≤f(x又因为f(x1)f(x2故f(x)=2cos(3x-π故答案为：3.四、解答题（2223高一·全国·随堂练习）画出下列函数的图象，并根据图象讨论函数的性质：(1)y=2cosx，(2)y=-cosx，【答案】(1)作图及性质见解析；(2)作图及性质见解析.【分析】（1）作出函数y=2cosx的图象（2）作出函数y=-cosx在[0,2π]【详解】（1）函数y=2cosx，x∈R

函数y=2cosx的定义域为R；值域为[-2,2]；是偶函数；最小正周期为函数y=2cosx的递增区间为[-π函数y=2cosx的对称中心为(kπ（2）函数y=-cosx，x∈0,2

函数y=-cosx的定义域为0,2π递增区间为[0,π]，递减区间为对称轴为x=π，无对称中心（1819高一下·广东清远·阶段练习）设x∈R，函数f(x)=cos(2x+φ)(-π

(1)求φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的(3)求函数f(x)单调递增区间.【答案】(1)-π(2)答案见解析；(3)[-π【分析】（1）利用给定函数值，求出φ的值.（2）利用列表、描点法作出函数图象.（3）利用余弦函数的性质求出单调递增区间即得.【详解】（1）由f(π4)=32，得cos于是φ+π2=所以φ=-π（2）由（1）知f(x)=cosx0π5π2π11ππ2x--0ππ35πf(x)110-101函数f(x)在[0,π]上的

（3）由（1）知f(x)=cos(2x-π3)得-π3+k所以函数f(x)在的单调递增区间[-π（2223高一·全国·随堂练习）请画出函数y=cosx-cos【答案】见解析【分析】分cosx≥0与cosx<0【详解】由题意，当cosx≥0时y=0；当cosx<0时

由图象可得，函数y=cos①定义域R；②值域-2,0；③偶函数；④最小值正周期为2π⑤在-π+2kπ,-π2+2k⑥当x∈-π2+2kπ,π（2324高一下·四川成都·开学考试）已知fx(1)求fx的最小正(2)若x∈-π6【答案】(1)T=π；单调递增区间为(2)-【分析】（1）利用余弦函数的性质可求得f(x)的最小正周期及单调递增区间；（2）由x∈-π6,π【详解】（1）∵f(x)=cos∴f(x)的最小正周期T=2π令2kπ解得kπ-7π∴函数f(x)的单调递增区间为kπ（2）若x∈-π6∴cos∴f(x)的值域为-3（2324高一上·山东淄博·期末）已知函数fx=cos2x+θ（(1)求函数y=3-sin2x+θ-2(2)函数fx在区间-π3,a【答案】(1)7(2)2【分析】（1）先由奇函数解得θ，再将sin2x-（2）将复合函数单调性利用换元法转化为余弦函数的单调性即可求解参数范围.【详解】（1）因为f(x)=cos由y=fx-所以cos-π6解得θ=-π又-π2<θ<验证：当θ=-π3时，由sin(-2x)=-sin2x，得因为函数y=3-=2=2sin由x∈π4,所以sin2x-故当sin2x-π3当sin2x-π3=-1故所求函数的值域为78（2）因函数f(x)=cos(2x-π3)令t=2x-π3，则g(t)=cost在区间故a-π3≤0解得29则实数a的取值范围为29（2023高一上·全国·专题练习）比较下列各组数的大小：(1)cos15π8(2)cos1，sin【答案】(1)cos(2)cos1<【分析】（1）利用诱导公式得cos15π8=cosπ8（2）由诱导公式得cos1=sinπ2-1，利用函数【详解】（1）cos15π8因为0<π8<4π所以cosπ8>（2）因为cos1=sinπ2-1，而0<所以sinπ2-1（2122高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数fx(1)求函数fx图象(2)若x∈0,2π，求不等式【答案】(1)π(2)0,【分析