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第八章立体几何初步微专题3二面角的常见求法求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角．类型1定义法求二面角01方法：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角．

类型2三垂线法求二面角02方法：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角．【例2】如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；[解]

∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC.又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，∴SA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．[解]

取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC.又SC⊂平面SBC，∴SC⊥AD.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，∵AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面ADE.∴SC⊥平面ADE.

类型3垂面法求二面角03方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．【例3】如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．[解]

∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE

．又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD．又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC．

类型4射影面积法04

证明：如图，平面β内的△ABC在平面α的射影为△A′BC，作AD⊥BC于D，连接A′D．∵AA′⊥α于A′，D∈α，∴AD在α内的射影为A′D．∵AA′⊥α，又BC⊂α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，AD∩A′A＝A，AD，A′A⊂平面AA′D，∴BC⊥平面AA′D，又A′D⊂平面AA′D，∴A′D⊥BC．

【例4】在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成二面角的大小．[解]

如图，∵PA⊥平面ABC

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