广东省深圳高级中学北校区2023-2024学年下学期九年级第15周月考数学试卷

2023-2024学年广东省深圳高级中学北校区九年级（下）第15周月考数学试卷一.选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案涂在答卷相应位置上，否则不给分.）1．（3分）一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃，半夜的气温是（）A．﹣9℃ B．﹣5℃ C．5℃ D．11℃2．（3分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）一元一次不等式的解集是（）A． B． C． D．4．（3分）某高速（限速120km/h）某路段的车速监测仪监测到连续6辆车的车速分别为：118，106，105，120，118，112（单位：km/h），则这组数据的中位数为（）A．115 B．116 C．118 D．1205．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣a2）3＝a6 B．（﹣a3）2＝﹣a6 C．（2a2b）3＝6a6b3 D．（﹣3b2）2＝9b46．（3分）一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝145°，则∠2的度数为（）A．63° B．64° C．65° D．66°7．（3分）某商店需要购进甲乙两种商品，已知甲的进价比乙多50元，分别用2万元进货甲乙两种商品，购买乙的件数比甲多20件，现设乙的进价为x元，则下列方程正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图分别是2个高压电塔的位置．已知电塔A，B两点水平之间的距离为80米（AC＝80m），∠BAC＝α，则从电视塔A到B海拔上升的高度（BC的长）为（）A．80tanα B． C．80sinα D．9．（3分）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A． B． C． D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则＝（）A． B． C．1 D．二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分.）11．（3分）分解因式：a3﹣4ab2＝．12．（3分）已知方程2x2﹣mx+3＝0的一个根是﹣1，则m的值是．13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若AC＝6，BC＝10，则△ADC的周长为．14．（3分）如图，正方形ABCD放置在直角坐标系中，反比例函数y＝经过A点和边CD的中点E，已知B（0，2），则k的值为．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB上一点，＝，连接DE，F是BC上一点，且∠DEF＝30°，sin∠EDF＝，则＝．三.解答题（本题共7小题，共45分）16．（5分）计算：．17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．18．（8分）某校开展了中国传统文化知识的宣传活动．为了解这次活动的效果，现随机抽取部分学生进行知识测试，并将所得数据绘制成不完整的统计图表．等级频数（人数）频率优秀600.6良好a0.25合格10b基本合格50.05合计c1根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）补全条形统计图；（3）在“优秀”中有甲乙丙丁四个人，随机抽2人恰好抽到甲乙2人的概率是；（4）该学校共有1200名学生，估计测试成绩等级在良好及以上（包括良好）的学生约有多少人？19．（8分）某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买1支定制钢笔和4本纪念卡册共需130元，购买3支定制钢笔和2本纪念卡册共需140元．（1）求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共60件，总费用不超过1600元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的3倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点（不与点A，B重合），连接AC，BC．点P为线段AB延长线上一点，连接PC，∠CAB＝∠BCP．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）作∠CPB的角平分线，交AC于点M，交BC于点N．①请用无刻度的直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；②若∠CPB＝30°，NC＝3，求MN的长．21．（9分）根据以下素材，探索完成任务．你知道羽毛球的比赛规则吗？问题背景素材1如图1，在羽毛球单打比赛中，场地的边界线分为左右边界和前后边界．球员站在自己一方的后场发球，将球发到对角的对方的后场，或使用其他技巧将球发到对方的前场．素材2球员在发球时，必须将球击过网并发到对方场地的对角后场边界之内．如果球落在边界之外，则发球方失分．在接发球时，球员必须站在自己一方的接发球区域内接球．素材3如图2，若发球队员的击球点距离地面1米，网高1.55米，对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，羽毛球的运行轨迹可以抽象为抛物线的一部分图象．问题解决条件在水平地面上建x轴，过击球点A向水平地面作垂线，建y轴．在平面直角坐标系中，发球人的击球点A的坐标为（0，1）．（以下三次发球均为有效发球，不考虑左右边界）任务1第一次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y＝ax2+bx+c（a≠0），此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米，且抛物线恰好关于球网对称，如果按轨迹运行，羽毛球能够过网并落在对方前场．请问此时的羽毛球是否出界？请说明理由．任务2第二次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y＝﹣x2+bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为4米，此时球网与发球人的击球点的水平距离为2米．请问此时的羽毛球过网了吗？请说明理由．任务3第三次发球时，羽毛球的运行轨迹近似满足y＝﹣x2+bx+c，如果按轨迹运行，落地点与击球点的水平距离为8米，球网与发球人的击球点的水平距离为2米，此时对方球员站立的地点与球网的水平距离为3米，该球员向上伸直手臂挥拍的最大高度为2.2米．（参考数据：682＝4624）请问该球员至少要后退多少米才能接到球？请说明理由．22．（10分）在四边形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，AF落在对角线AC上．将△AEC绕点A旋转，使得AC落在直线AD上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．（1）【特例探究】如图1，数学兴趣小组发现，当四边形ABCD是正方形，且旋转角小于90°时，会有△CEF≌△MDN，请你证明这个结论；（2）【再探特例】如图2，当四边形ABCD是菱形，且旋转角小于90°时，若∠BAD＝60°，BE＝2．连接DF交AN于点G．求DG的长；（3）【拓展应用】如图3，当四边形ABCD是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．

2023-2024学年广东省深圳高级中学北校区九年级（下）第15周月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，请把答案涂在答卷相应位置上，否则不给分.）1．【解答】解：（﹣7）+10﹣8＝3﹣8＝﹣5（℃）答：半夜的气温是﹣5℃．故选：B．2．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．3．【解答】解：，去分母得：x+4≥6，解得：x≥2．故选：C．4．【解答】解：数据重新排序为105，106，112，118，118，120，∴中位数为，故选：A．5．【解答】解：A．（﹣a2）3＝﹣a6，故A选项不符合题意；B．（﹣a3）2＝a6，故B选项不符合题意；C．（2a2b）3＝8a6b3，故C选项不符合题意；D．（﹣3b2）2＝9b4，故D选项符合题意；故选：D．6．【解答】解：如图，∵∠1+∠4＝180°，∠1＝145°，∴∠4＝35°，∵∠3＝∠4+∠A，∠A＝30°，∴∠3＝65°，∵直尺的对边互相平行，∴∠2＝∠3＝65°，故选：C．7．【解答】解：设乙的进价为x元，则甲的进价是（x+50）元，根据题意得，．故选：C．8．【解答】解：根据题意可知，Rt△ABC，∠BAC＝α，AC＝80m，∴，∴BC＝ACtanα＝80tanα，故选：A．9．【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．10．【解答】解：设AB＝AD＝BC＝CD＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠DCF＝45°，∠DAM＝∠DCN＝90°，在△DAE和△DCF中，，∴△DAE≌△DCF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，在△DAM和△DCN中，，∴△DAM≌△DCN（ASA），∴AM＝CN，∵AB＝BC，∴BM＝BN，∵EF＝2AE＝2CF，∴AF：FC＝3：1，∵CN∥AD，∴＝＝，∴CN＝AM＝a，BM＝BN＝2a，∴＝＝＝，故选：A．二.填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分.）11．【解答】解：a3﹣4ab2＝a（a2﹣4b2）＝a（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．12．【解答】解：把x＝﹣1代入2x2﹣mx+3＝0，得2+m+3＝0，解得，m＝﹣5．故答案为：﹣5．13．【解答】解：根据作图痕迹，DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵AC＝6，BC＝10，∴△ADC的周长为AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝16，故答案为：16．14．【解答】解：∵点B的坐标为（0，2），∴OB＝2，设OC＝t，则点C的坐标为（t，0），过点A作AF⊥y轴于F，过点D作DH⊥x轴于H，如图：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABF+∠OBC＝90°，∵∠AFB＝∠COB＝90°，∴∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠ABF＝∠BCO，在△ABF和△BCO中，，∴△ABF≌△BCO（AAS），∴BF＝OC＝t，AF＝OB＝2，∴OF＝OB+BF＝2+t，∴点A的坐标为（2，2+t），∵点A在反比例函数（k≠0）的图象上，∴k＝2（2+t），同理可证：△DCH≌△CBO（AAS），∴CH＝OB＝2，DH＝OC＝t，∴OH＝OC+CH＝2+t，∴点D的坐标为（2+t，t），又点C的坐标为（t，0），点E为CD的中点，∴点E的坐标为，∵点E在反比例函数（k≠0）的图象上，，∴，整理得：t2﹣3t﹣8＝0，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），当t＝时，k＝2（2+t）＝．故答案为：．15．【解答】解：过F作FG⊥DE交DE于G，延长DE、CB交于点M，∵，设AE＝a，BE＝2a，AB＝3a，∵，∴设DF＝5b，GF＝3b，∴DG＝4b，∵∠DEF＝30°，∴EF＝2GF＝6b，∴，∴，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∠ABC＝∠MGF＝90°，∴，∴，∴MB＝2AD，，∴MG＝ME+EG＝（9+8）b，∵∠M＝∠M，∠ABC＝∠MGF＝90°，∴△MBE∽△MGF，整理得，，∴，故答案为：．三.解答题（本题共7小题，共45分）16．【解答】解：＝＝．17．【解答】解：原式＝＝＝，当x＝﹣1时，原式＝．18．【解答】解：（1）抽取的学生人数为：60÷0.6＝100（人），∴c＝100，∴a＝100﹣60﹣10﹣5＝25，b＝10÷100＝0.1，故答案为：25，0.1，100；（2）补全条形统计图：（3）画树状图如图：共有12种等可能的结果，甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种，∴甲、乙两名同学同时被选中的概率为．故答案为：．（4）估计测试成绩等级在合格以上（包括合格）的学生约有人数为：1200×（0.6+0.25）＝1020（人）．19．【解答】解：（1）解：设每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为x、y元，依题意，得：，解得：，答：每支定制钢笔的价格为30元，每本纪念卡册的价格为25元．（2）解：设购买定制钢笔m支，则纪念卡册有（60﹣m）本依题意，得：解得：15＜m≤20∵m取整数，∴m＝16，17，18，19，20∴总共有5种方案，分别为：方案1：购买定制钢笔16支，纪念卡册44本；方案2：购买定制钢笔17支，纪念卡册43本；方案3：购买定制钢笔18支，纪念卡册42本；方案4：购买定制钢笔19支，纪念卡册41本；方案5：购买定制钢笔20支，纪念卡册40本．20．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∵∠CAB＝∠BCP，∴∠BCO+∠BCP＝90°，即∠OCP＝90°，∴OC⊥PC，∵OC为⊙O的半径，∴PC为⊙O的切线；（2）①如图，PM为所作；②∵PM平分∠APC，∴∠APM＝∠CPM，∵∠CMN＝∠CAB+∠APM，∠CNM＝∠PCN+∠CPN，而∠CAB＝∠PCN，∴∠CMN＝∠CNM，∴CM＝CN，∵∠ACB＝90°，∴△CMN为等腰直角三角形，∴MN＝CN＝3．21．【解答】解：任务1、∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，1），抛物线的对称轴是直线x＝2，∴抛物线经过点（4，1）．∵对方的前边界与击球点水平距离为3.96米，对方的后边界与击球点水平距离为8.68米，3.96＜4＜8.68，∴羽毛球未出界；任务2、由题意得：y＝﹣x2+bx+c经过点（0，1），（4，0）．∴．解得：．∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+1．当x＝2时，y＝﹣1+1.5+1＝1.5．∵1.5＜1.55，∴羽毛球未过网；任务3、由题意得：y＝﹣x2+bx+c经过点（8，0），（0，1）．∴．解得：．∴y＝﹣x2+x+1．当y＝2.2时．﹣x2+x+1＝2.2．x2﹣x+1.2＝0．x2﹣x+＝0．（x﹣）（x﹣）＝0．解得：x1＝6.4，x2＝0.96（不合题意，舍去）．∴该球员至少要后退的米数＝6.4﹣2﹣3＝1.4（米）．答：该球员至少要后退1.4米．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ABC