专题07 二元一次方程组的应用（教师版）

2023-2024学年苏科版数学七年级下册培优专题真题汇编卷专题07二元一次方程组的应用考试时间：100分钟试卷满分：100分难度系数：0.46一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）1．（2分）（2023春•邗江区校级期末）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，…，…，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（）A．甜果九个十一文，苦果七个四文钱 B．甜果七个四文钱，苦果九个十一文 C．甜果十一个九文，苦果四个七文钱 D．甜果四个七文钱，苦果十一个九文解：根据，可得甜果九个十一文，苦果七个四文钱，故选：A．2．（2分）（2023春•沛县期末）“母亲节”当天，小明去花店为妈妈选购鲜花，若康乃馨每枝2元，百合每枝3元，小明计划用30元购买这两种鲜花（两种都买），则不同的购买方案共有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，依题意，得：2x+3y＝30，∴．∵x，y均为正整数，∴或或或，∴小明有4种购买方案．故选：B．3．（2分）（2023春•广陵区校级期末）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（）A． B． C． D．解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，由题意得：，故选：B．4．（2分）（2021春•靖江市月考）疫情期间，小明要用15元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，15元全部用完．若A型口罩每个3元，B型每个2元，则小明的购买方案有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种解：设可以购买x个A型口罩，y个B型口罩，依题意，得：3x+2y＝15，∴x＝5﹣y．又∵x，y均为正整数，∴或，∴小明有2种购买方案．故选：A．5．（2分）（2021春•涟水县期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：有100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A． B． C． D．解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：，故选：D．6．（2分）（2021春•宿城区校级月考）某校去年原计划招收初一新生1000人，实际招到初一新生1240人，其中男生超20%，女生超30%，设该校去年计划招收男生x人，招收女生y人，则依据题意列出方程组是（）A． B． C． D．解：设该校去年计划招收男生x人，招收女生y人，则依据题意列出方程组是．故选：C．7．（2分）（2022春•如皋市期中）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程表上的数如下：时刻9：0010：0011：30里程表上的数是一个两位数，它的两个数字之和是6是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0则10：00时看到里程表上的数是（）A．15 B．24 C．42 D．51解：设小明9：00时看到的两位数十位数字为x，个位数字为y，即两位数为为10x+y；则10：00时看到的两位数为x+10y，9：00﹣10：00时行驶的里程数为：（10y+x）﹣（10x+y），11：30时看到的数为100x+y，11：30时﹣10：00时行驶的里程数为：（100x+y）﹣（10y+x）；依题意，得：，解得：，∴10：00时小明看到的两位数是10y+x＝51．故选：D．8．（2分）（2021春•射阳县校级期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套制成罐头盒，则下列方程组中符合题意的是（）A． B． C． D．解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，根据题意得，故选：C．9．（2分）（2022春•苏州月考）甲、乙两水池现共贮水40t，如果甲池进水4t，乙池进水8t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是（）A．甲22t，乙18t B．甲23t，乙17t C．甲21t，乙19t D．甲24t，乙16t解：设甲水池原先的贮水量是xt，乙水池原先的贮水量是yt，根据题意得，解得．答：甲水池原先的贮水量是22t，乙水池原先的贮水量是18t．故选：A．10．（2分）（2021春•灌云县月考）如图，长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，设长方形ABCD的周长为l，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为l，则标号为①的正方形的边长为（）A．l B．l C．l D．l解：长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴两个大正方形相同、2个长方形相同．设两个大正方形边长为y，小正方形的边长为x，∴小长方形的边长分别为（y﹣x）、（x+y），大长方形边长为（2y﹣x）、（2y+x），∵大长方形周长＝1，即：2[（2y﹣x）+（2y+x）]＝1，∴8y＝1，∴y＝∵3个正方形和2个长方形的周长和为l，即：，∴16y+4x＝，∴x＝，则标号为①的正方形的边长为，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）11．（2分）（2023春•淮阴区期中）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺．依题意，列方程组得．解：设绳子长x尺，木长y尺，根据题意得：，故答案为：．12．（2分）（2023•盐城一模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为．解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故答案为：．13．（2分）（2022春•海门市校级期中）某活动小组购买了3个篮球和7个足球，一共花费了445元，其中篮球的单价比足球的单价多5元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．解：依题意，可列方程组为．故答案为：为．14．（2分）（2023春•宝应县期末）一个盒子里有若干个大小相同的白球和红球，从中摸到1个红球得4分，摸到1个白球得3分，王俊凯同学摸到了x个红球，y个白球，共得32分，如果把他摸到的一组红球和白球的数量表示为（x，y）的形式，那么（x，y）为（8，0）或（5，4）或（2，8）．解：由题意得，4x+3y＝32，x＝＝8﹣，∵x、y都为整数，∴y＝0时，x＝8，y＝4时，x＝5，y＝8时，x＝2，∴（x，y）为（8，0）或（5，4）或（2，8）．故答案为：（8，0）或（5，4）或（2，8）．15．（2分）（2023春•海门市期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱55元．解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元．根据题意得：，解得：．∴2x+2y+2z＝150﹣3y+2y+y﹣40＝110，∴x+y+z＝55．故答案为：55．16．（2分）（2023春•高新区期末）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数是一个两位数；1h后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过1h，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0所得的三位数，则第三次看到的里程碑上的三位数是106．解：设小亮第一次看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y，∵小亮是匀速行驶，∴第1h行驶的路程＝第2h行驶的路程，∴（10y+x）﹣（10x+y）＝（100x+y）﹣（10y+x），整理得：y＝6x，∵x、y都为正整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，∴x＝1，y＝6，∴第三次看到的里程碑上的三位数是106，故答案为：106．17．（2分）（2023春•海安市月考）疫情期间，甲乙两位同学到超市采购食材，其中采购的面食有方便面、油泼面、挂面三种，每种面食的采购量均不超过10，但每种面食均有购买，其中方便面3元一袋，油泼面6元一袋，挂面8元一把，两个同学购买的方便面数量相同，而且甲同学比乙同学多购买了3把挂面，甲采购的面食一共花费71元，乙采购的面食一共花费了101元，则两个同学购买的挂面共有11把．解：设甲同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、y、z，则甲同学购买方便面、油泼面、挂面的数量分别为x、m、z﹣3，由题意可得：，即，由②﹣①得：m﹣y＝9，当y＝1，m＝10，符合题意；当y＝2，m＝11＞10，不符合题意，同理：y＝3、4、5、6、7、8、9、10，m＞10不符合题意；当y＝1、m＝10时，由②可得（x≤10，y≤10且为整数），当x＝1，，不符合题意；当x＝2，，不符合题意；当x＝3，，符合题意；经计算x＝4、5、6、7、8、9、10均不符合题意，所以两个同学购买的挂面z+（z﹣3）＝2z﹣3＝2×7﹣3＝11．故答案为：11．18．（2分）（2022春•崇川区期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题，”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有x只，兔有y只，则列出的方程组为（列出方程组即可，不求解）．解：设鸡有x只，兔有y只，由题意得：．故答案为．19．（2分）（2021春•泰兴市期中）“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容五鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳5头鹿，求所需圈舍的间数．设小圈舍的间数是x间，大圈舍的间数是y间，则可列方程为4x+5y＝60．解：依题意得：4x+5y＝60．故答案为：4x+5y＝60．20．（2分）（2020春•丹阳市校级月考）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为79．解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得，解得，∴S阴影＝17×（9+3×2）﹣8×11×2＝79．故答案为：79．三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（6分）（2022春•射阳县校级月考）某服装店用4400元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．类型价格A型B型进价（元/件）60100标价（元/件）100160（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；（2）如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？解：（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，根据题意得：，解得：．答：购进A种服装40件，购进B种服装20件．（2）40×100×（1﹣0.9）+20×160×（1﹣0.8）＝1040（元）．答：服装店比按标价出售少收入1040元．22．（6分）（2023春•淮安区校级期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计1860元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只进价分别是多少元；（2）若“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具每只售价分别是180元、120元．该专卖店计划恰好用1500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种玩具（两种均买），请帮助专卖店设计采购方案，使得总利润最大．解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为x元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为y元，由题意得：，解得：，答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为120元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为90元；（2）设购进“冰墩墩”玩具m只，购进“雪容融”玩具n只，由题意得：120m+90n＝1500，整理得：4m+3n＝50，∵m、n为正整数，∴或或或，∴专卖店共有4种采购方案，当m＝2，n＝14时，利润为：2×（180﹣120）+14×（120﹣90）＝540（元）；当m＝5，n＝10时，利润为：5×（180﹣120）+10×（120﹣90）＝600（元）；当m＝8，n＝6时，利润为：8×（180﹣120）+6×（120﹣90）＝660（元）；当m＝11，n＝2时，利润为：11×（180﹣120）+2×（120﹣90）＝720（元）；∵540＜600＜660＜720，∴利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”玩具11只，购进“雪容融”玩具2只，最大利润为720元．23．（8分）（2023春•宿豫区期末）用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划两种车型都要租，其中A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．（1）用1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请你帮物流公司设计一种租车方案，并求出此时租车费用．解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，依题意得：，解得：，答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨；（2）依题意得：3a+4b＝27，整理得：a＝9﹣b，∵a、b为正整数，∴或，∴当时，租车费用为：100×5+120×3＝860（元），当时，租车费用为：100×1+120×6＝820（元），∵860＞820，∴公司租用1辆A型车，6辆B型车时，租车费用最少为820元．∴给物流公司设计的租车方案为：租用1辆A型车，6辆B型车时，此时租车费用为820元．24．（8分）（2023春•镇江期末）镇江某火锅店为吸引客户，推出两款双人套餐，下表是近两天两种套餐的收入统计：数量收入A套餐B套餐第一天20次10次2800元第二天15次20次3350元（1）求这两款套餐的单价；（2）火锅店后续推出增值服务，每个套餐可选择再付10元即可加料，即在鱼豆腐、面筋、川粉和蘑莫中任选两种涮菜．小明2022年共花费1610元购买两个套餐，其中A套餐不加料的数量占总数量的，则小明选择B套餐加料的数量为5个．解：（1）设A套餐的销售单价为a元，B套餐的销售单价为b元，根据题意得：，解得：．答：A套餐销售单价为90元，B套餐销售单价为100元；（2）设小明选择A套餐不加料数量为x个，A套餐加料和B套餐不加料共y个，则B套餐加料数量为（3x﹣y）个，根据题意得：90x+100y+110（3x﹣y）＝1610，∴y＝42x﹣161．∵x，y，3x﹣y均为正整数，∴，∴3x﹣y＝5，∴小明选择B套餐加料的数量为5个．故答案为：5．25．（8分）（2023春•淮安期末）七年级一班在召开期中考试总结表彰会前，班主任葛老师安排班长秦聪去商店买奖品，下面是秦聪与售货员的对话：秦聪：阿姨，您好！售货员：同学，你好，想买点什么？秦聪：我只有100元，请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本．售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵2元，退你5元，请清点好，再见．根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？解：设钢笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，依题意得：，解得：，答：钢笔的单价为5元，笔记本的单价为3元．26．（8分）（2023春•句容市期末）某超市为端午节促销，推出赠送“消费券”活动（如图），一人可领取的消费券有：A型消费券（满25减10元）2张，B型消费券（满58减20元）2张，C型消费券（满168减60元）1张，在此次活动中，小明一家4人凭户口薄都领到了消费券，若活动期间，小明一家一次性在该超市使用消费券结算时共减了380元，请解决以下问题：（1）若小明一家用了2张A型消费券，6张B型的消费券，则用了4张C型的消费券；此时实际消费的最少金额为690元．（2）若小明一家用14张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多2张，请你运用学过的二元一次方程组的相关知识求A、B、C型的消费券各使用多少张？（3）若小明一家本次仅用两种不同类型的消费券消费，请求出此时消费券的搭配方案．消费券满减规则：按实际消费金额，达到满减金额的部分，可使用消费券；已享受满减的那部分金额，不可再叠加使用其它消费券，如：实际消费198元，如果使用1张C型消费，已享受满减的168元这部分，不可以再叠加使用其他消费券，剩余的30元可以使用1张A型消费券．解：（1）用C型的消费券数量为：（380﹣2×10﹣20×6）÷60＝4，满减前至少消费2×25+58×6+168×4＝1070（元），∴实际消费最少为1070﹣380＝690（元）．故答案为：4：690；（2）设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券（x﹣2）张，由题意可得，解得，∴C型的消费券4张．答：A型的消费券6张，B型的消费券4张，则c型的消费券4张；（3）设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，C型的消费券c张，则a，b，都是正整数，a≤10，b≤10，c≤5，①A、B型：10a+20b＝380．∴a+2b＝38，∵a，b都是正整数，a≤10，b≤10，c≤5，∴无解；②B、C型：20b+60c＝380，∴b+3c＝19，∵a，b，c都是正整数，a≤10，b≤10．c≤5，∴或；③A、C型：10a+60c＝380，∴a+6c＝38，∵a，b，c都是正整数，a≤10，b≤10、c≤5，∴．所以综上所述，此时消费券的搭配方案有：方案一：