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文档简介

上海市嘉定二中2024届高一数学第二学期期末学业质量监测试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的任意一点,垂足为E,点F是PB上一点,则下列判断中不正确的是()﹒A.平面PAC B. C. D.平面平面PBC2.已知直线是函数的一条对称轴,则的一个单调递减区间是()A. B. C. D.3.已知中,,则角()A.60°或120° B.30°或90° C.30° D.90°4.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于()A. B. C. D.5.为了了解某次数学竞赛中1000名学生的成绩,从中抽取一个容量为100的样本,则每名学生成绩入样的机会是()A. B. C. D.6.某中学高一从甲、乙两个班中各选出7名学生参加2019年第三十届“希望杯”全国数学邀请赛,他们取得成绩的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的平均数是84,乙班学生成绩的中位数是83,则的值为()A.4 B.5 C.6 D.77.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值,则式子的值是A.-1 B.C. D.8.已知等差数列的前项和,若,则()A.25 B.39 C.45 D.549.如图,某船在A处看见灯塔P在南偏东方向,后来船沿南偏东的方向航行30km后,到达B处,看见灯塔P在船的西偏北方向,则这时船与灯塔的距离是:A.10kmB.20kmC.D.10.如图,在平行四边形中,下列结论中错误的是()A. B. C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知向量,若,则________.12.数列满足,则的前60项和为_____.13.设,且,则的取值范围是______.14.若,,则___________.15.已知圆柱的底面圆的半径为2,高为3,则该圆柱的侧面积为________.16.函数的定义域为_______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.某生产企业研发了一种新产品,该产品在试销一个阶段后得到销售单价(单位:元)和销售量(单位:万件)之间的一组数据,如下表所示:销售单价/元销售量/万件(1)根据表中数据,建立关于的线性回归方程;(2)从反馈的信息来看,消费者对该产品的心理价(单位:元/件)在内,已知该产品的成本是元,那么在消费者对该产品的心理价的范围内,销售单价定为多少时,企业才能获得最大利润?(注:利润=销售收入-成本)参考数据:参考公式:18.已知函数,是公差为的等差数列,是公比为的等比数列.且,,,.(1)分别求数列、的通项公式;(2)已知数列满足:,求数列的通项公式.19.已知数列是等差数列,,.(1)从第几项开始;(2)求数列前n项和的最大值.20.如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱中,,,,,点是的中点.(1)求证:;(2)求证:(3)求三棱锥的体积.21.已知向量,,其中为坐标原点.(1)若,求向量与的夹角;(2)若对任意实数都成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据线面垂直的性质及判定,可判断ABC选项,由面面垂直的判定可判断D.【详解】对于A,PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,而底面圆面,则,又由圆的性质可知,且,则平面PAC.所以A正确;对于B,由A可知,由题意可知,且,所以平面,而平面,所以,所以B正确;对于C,由B可知平面,因而与平面不垂直,所以不成立,所以C错误.对于D,由A、B可知,平面PAC,平面,由面面垂直的性质可得平面平面PBC.所以D正确;综上可知,C为错误选项.故选:C.【点睛】本题考查了线面垂直的性质及判定,面面垂直的判定定理,属于基础题.2、B【解析】

利用周期公式计算出周期,根据对称轴对应的是最值,然后分析单调减区间.【详解】因为,若取到最大值,则,即,此时处最接近的单调减区间是:即,故B符合;若取到最小值,则,即,此时处最接近的单调减区间是:即,此时无符合答案;故选:B.【点睛】对于正弦型函数,对称轴对应的是函数的最值,这一点值得注意.3、B【解析】

由正弦定理求得,再求.【详解】由正弦定理,∴,或,时,,时,.故选:B.【点睛】本题考查正弦定理,在用正弦定理解三角形时,可能会出现两解,一定要注意.4、D【解析】

在三角形中,利用正弦定理求得,然后在三角形中求得.【详解】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15.故选:D【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查解直角三角形,属于基础题.5、A【解析】

因为随机抽样是等可能抽样,每名学生成绩被抽到的机会相等,都是.故选A.6、C【解析】

由均值和中位数定义求解.【详解】由题意,,由茎叶图知就是中位数,∴,∴.故选C.【点睛】本题考查茎叶图,考查均值与中位数,解题关键是读懂茎叶图.7、D【解析】

由已知的程序框图可知,本程序的功能是:计算并输出分段函数的值,由此计算可得结论.【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数的值,可得,因为,所以,,故选D.【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用,属于中档题.算法是新课标高考的一大热点,其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮,这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然,很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力,解决算法的交汇性问题的方:(1)读懂程序框图、明确交汇知识,(2)根据给出问题与程序框图处理问题即可.8、A【解析】

设等差数列的公差为,从而根据,即可求出,这样根据等差数列的前项和公式即可求出.【详解】解:设等差数列的公差为,则由,得:,,,故选:A.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式,属于基础题.9、C【解析】

在中,利用正弦定理求出得长,即为这时船与灯塔的距离,即可得到答案.【详解】由题意,可得,即,在中,利用正弦定理得,即这时船与灯塔的距离是,故选C.【点睛】本题主要考查了正弦定理,等腰三角形的判定与性质,以及特殊角的三角函数值的应用,其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.10、C【解析】

根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可.【详解】在平行四边形中,显然有,,故A,D正确;根据向量的平行四边形法则,可知,故B正确;根据向量的三角形法,,故C错误;故选:C.【点睛】本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】

直接利用向量平行性质得到答案.【详解】,若故答案为【点睛】本题考查了向量平行的性质,属于简单题.12、1830【解析】

由题意可得,,,,,,…,,变形可得,,,,,,,,…,利用数列的结构特征,求出的前60项和.【详解】解:,∴,,,,,,…,,∴,,,,,,,,…,从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列,的前60项和为,故答案为:.【点睛】本题主要考查递推公式的应用,考查利用构造等差数列求数列的前项和,属于中档题.13、【解析】

通过可求得x的取值范围,接着利用反正弦函数的定义可得的取值范围.【详解】,,即.由反正弦函数的定义可得,即的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题主要考查余弦函数的定义域和值域,反正弦函数的定义,属于基础题.14、【解析】

将等式和等式都平方,再将所得两个等式相加,并利用两角和的正弦公式可求出的值.【详解】若,,将上述两等式平方得,①,②,①+②可得,求得,故答案为.【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求值,解题的关键就是将等式进行平方,结合等式结构进行变形计算,考查运算求解能力,属于中等题.15、【解析】

圆柱的侧面打开是一个矩形,长为底面的周长,宽为圆柱的高,即,带入数据即可.【详解】因为圆柱的底面圆的半径为2,所以圆柱的底面圆的周长为,则该圆柱的侧面积为.【点睛】此题考察圆柱侧面积公式,属于基础题目.16、【解析】

由二次根式有意义,得:,然后利用指数函数的单调性即可得到结果.【详解】由二次根式有意义,得:,即,因为在R上是增函数,所以,x≤2,即定义域为:【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及指数不等式的解法,要求熟练掌握常见函数成立的条件,比较基础.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)8.75元.【解析】

(1)根据最小二乘法求线性回归方程;(2)利用线性回归方程建立利润的函数,再求此函数的最大值.【详解】(1)关于的回归方程为.(2)利润该函数的对称轴方程是,故销售单价定为元时,企业才能获得最大利润.【点睛】本题考查线性回归方程和求利润的最值,属于基础题.18、(1),;(2).【解析】

(1)根据题意分别列出关于、的方程,求出这两个量,然后分别求出数列、的首项,再利用等差数列和等比数列的通项公式可计算出数列、的通项公式;(2)令可得出的值,再令,由得出,两式相减可求出,于此得出数列的通项公式.【详解】(1)由题意得,,,解得,且,,,,,且,整理得,解得,,,由等比数列的通项公式可得;(2)由题意可知,对任意的,.当时,,;当时,由,可得,上述两式相减得,即,.不适合上式,因此,.【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解,以及利用作差法求数列通项,解题时要结合数列递推式的结构选择合适的方法求解,考查运算求解能力,属于中等题.19、(1)从第27项开始(2)【解析】

(1)写出通项公式解不等式即可;(2)由(1)得数列最后一个负项为取得最大值处即可求解【详解】(1).解得.所以从第27项开始.(2)由上可知当时,最大,最大为.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n项和的最值,考查推理能力,是基础题20、(1)见解析;(2)见解析;(3)8.【解析】试题分析:(1)由勾股定理得,由面得到,从而得到面,故;(2)连接交于点,则为的中位线,得到∥,从而得到∥面;(3)过作垂足为,面,面积法求,求出三角形的面积,代入体积公式进行运算.试题解析:(1)证明:在中,由勾股定理得为直角三角形,即.又面,,,面,.(2)证明:设交于点,则为的中点,连接,则为的中位线,则在中,∥,又面,则∥面.(3

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