天津市2024年中考三模数学试题含解析

天津市2024年中考三模数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务.设原计

划每天施工x米，所列方程正确的是（）

1000100010001000

A.-------------------=2B.-------------------=2

xx+30x+30x

2.已知抛物线y=ax2+bx+c（a#l）的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4,1）,其部分图象如图所示,

下列结论：

①抛物线过原点；②a-b+cVl；③当x<l时，y随x增大而增大；

④抛物线的顶点坐标为（2,b）；⑤若ax?+bx+c=b,则b2-4ac=l.

其中正确的是（）

A.①②③B.①④⑤C.①②④D.③④⑤

3.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2,

则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

B.兀-耶）C.2万—6D.2兀-2乖）

4.如图所示的几何体的俯视图是（）

5.设a,P是一元二次方程x?+2x—1=0的两个根，则ap的值是（）

A.2B.1C.-2D.-1

6.如图是我市4月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”，在这组数据中，众数和中位数分别是（）

7.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.直角梯形B.平行四边形C.矩形D.正五边形

8.如图，△ABC的内切圆。O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,BC=5,则4ABC的周长为（）

A.16B.14C.12D.10

9.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中表示互为倒数的点是（）

ABCD

-5-101?

A.点A与点BB,点A与点DC.点B与点DD.点B与点C

10.如图所示，△ABC为等腰直角三角形，NACB=90。，AC=BC=2,正方形DEFG边长也为2,且AC与DE在同

一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x,AABC

与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y,则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

ADCE

11.已知圆锥的底面半径为40cm,母线长为90cm,则它的侧面展开图的圆心角为.

12.如图，AB是。O的切线，B为切点，AC经过点O,与。O分别相交于点D,C,若NACB=30。，AB=G，则

阴影部分的面积是

13.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x?+2x在对称轴的左侧部分是的（填“上升”或“下降”）

14.如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点

（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P的坐标是.

x

15.-4xay+x2yb=-3舟，贝!|a+b=.

16.如图，在R3ABC中，NC=90。，AC=8,BC=1.在边AB上取一点O,使BO=BC,以点O为旋转中心，把△ABC

逆时针旋转90。，得到AA'B'C，（点A、B、C的对应点分别是点A，、B\C\）,那么△ABC与△的重叠部分

的面积是•

B

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E,使AE=AB,连接DE,AC

（1）求证：四边形ACDE为平行四边形；

（2）连接CE交AD于点O,若AC=AB=3,cosB=-,求线段CE的长.

3

18.（8分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平

面图.光明中学的数学兴趣小组针对风电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的A处测得塔杆顶端C的仰角是55。，

乙同学站在岩石B处测得叶片的最高位置D的仰角是45。（D,C,H在同一直线上，G,A,H在同一条直线上），他

们事先从相关部门了解到叶片的长度为15米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高BG为4米，两处的水平

距离AG为23米，BG_LGH,CH±AH,求塔杆CH的高.（参考数据：tan55%4.4,tan35°=0.7,sin55tM）.8,sin35°=0.6）

图①

19.（8分）如图，在AABC中，ZC=90°,E是BC上一点，ED±AB,垂足为D.

求证：AABC^AEBD.

ADB

20.(8分)如图①，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC、BC上，且四边形DEFG是正方形.

(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由.

(2)如图②若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3,BC=1.

①线段AE、CG在(1)中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由.

②当ACDE为等腰三角形时，求CG的长.

21.(8分)如图，已知点E,F分别是口ABCD的边BC,AD上的中点，且NBAC=90。.

B

(1)求证：四边形AECF是菱形；

(2)若NB=30。，BC=10,求菱形AECF面积.

22.(10分)如图，已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点，点D与点C关于x轴对称，点P

是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线I交抛物线于点Q,交直线BD于点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)已知点F(0,；),当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

(3)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似？若存在，求

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，AABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,0),C(4,4).按

下列要求作图：

①将AABC向左平移4个单位，得到△AiBiCi；

②将△AiBiG绕点Bi逆时针旋转90°,得到△AiBiCi.求点G在旋转过程中所经过的路径长.

24.如图1,在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,经过点O的直线与边AB相交于点E,与边CD

(2)如图2,连接DE,BF,当DELAB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于^BD的所有的等腰

2

三角形.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+30)米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2,列出方程即

可.

详解：设原计划每天施工X米，则实际每天施工（X+30）米,

1000

根据题意，可列方程：—-------=2

X%+30

故选A.

点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程.

2、B

【解析】

由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；当x=-l时，y>l,得到

a-b+c>L结论②错误；根据抛物线的对称性得到结论③错误；将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=l,即可

求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；根据抛物线的顶点坐标为（2,b）,判断⑤.

【详解】

解：①•.•抛物线y=ax2+bx+c（aWl）的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4,1）,

二抛物线与x轴的另一交点坐标为（1,1）,

...抛物线过原点，结论①正确；

②•.,当x=-l时，y>l,

/.a-b+c>l,结论②错误；

③当xVl时，y随x增大而减小，③错误；

④抛物线y=ax?+bx+c（a#l）的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点，

.b

..------=2,c=l,

2a

/.b=-4a,c=l,

:.4a+b+c=l,

当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c）+b=b,

J抛物线的顶点坐标为（2,b）,结论④正确；

⑤•・•抛物线的顶点坐标为（2,b）,

ax2+bx+c=b时，b2-4ac=l,⑤正确；

综上所述，正确的结论有：①④⑤.

故选B.

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y

轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

3、D

【解析】

【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面

积，分别求出即可.

【详解】过A作ADLBC于D,

/\D

----

VAABC是等边三角形，

/.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

VAD1BC,

；.BD=CD=1,AD=&BD=G，

/.AABC的面积为yBC»AD=；x2xG=石，

。60万x2z2

S扇形BAC=-----------=-719

3603

2LL

二莱洛三角形的面积S=3x§〃-2x73=271-273,

故选D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、

再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.

4、B

【解析】

根据俯视图是从上往下看得到的图形解答即可.

【详解】

从上往下看得到的图形是：

n

故选B.

【点睛】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线

5、D

【解析】

试题分析：•.”、0是一元二次方程「一一的两个根，.个-1,故选D.

考点：根与系数的关系.

6、C

【解析】

根据统计图，利用众数与中位数的概念即可得出答案.

【详解】

从统计图中可以得出这一周的气温分别是：12,15,14,10,13,14,11

所以众数为14；

将气温按从低到高的顺序排列为：10,11,12,13,14,14,15

所以中位数为13

故选：C.

【点睛】

本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的求法是解题的关键.

7、D

【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合矩形、平行四边形、直角梯形、正五边形的性质求解.

详解：A.直角梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；

B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；

D.正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确.

故选D.

点睛：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180。后与原图形重合.

8、B

【解析】

根据切线长定理进行求解即可.

【详解】

「△ABC的内切圆。O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,

，AF=AD=2,BD=BE,CE=CF,

VBE+CE=BC=5,

；.BD+CF=BC=5,

.1△ABC的周长=2+2+5+5=14,

故选B.

【点睛】

本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.

9、A

【解析】

试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握.需要注意的是：

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数.

倒数的定义：若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

根据倒数定义可知，-2的倒数是有数轴可知A对应的数为・2,B对应的数为所以A与B是互为倒数.

22

故选A.

考点：L倒数的定义；2.数轴.

10、A

【解析】

此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可.

【详解】

解：设CD的长为x,.ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为\：・

当C从D点运动到E点时，即时，y=—x2x2——(2—x)x^2—x)=——x-+2x.

当A从D点运动到E点时，即2<xK4时，y=1-x[2-(x-2)]x[2-(x-2)]=^x2-4x+8,

y=-^x2+2x(0<x<2)

，y与x之间的函数关系《由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应.

1

y=-x7-4x+8(2<x<4)

故选A.

【点睛】

本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、160°.

【解析】

圆锥的底面半径为40cm,则底面圆的周长是8(hrcm,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇

形弧长是8(hrcm,母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm.根据弧长公式即可计算.

【详解】

根据弧长的公式上黑得到：

解得n=160度.

侧面展开图的圆心角为160度.

故答案为160°.

12、--

26

【解析】

连接OB.

「AB是。O切线，

/.OB1AB,

VOC=OB,/C=30。，

.\ZC=ZOBC=30°,

:.ZAOB=ZC+ZOBC=60°,

在RSABO中，VZABO=90°,AB=6,NA=30°,

OB=1,

60万xI2\/3_K

360~T6

13、下降

【解析】

根据抛物线y=3x2+2x图像性质可得，在对称轴的左侧部分是下降的.

【详解】

解：，.,在y=3x2+2x中，a=3>0，

二抛物线开口向上，

，在对称轴左侧部分y随x的增大而减小，即图象是下降的，

故答案为下降.

【点睛】

本题考查二次函数的图像及性质.根据抛物线开口方向和对称轴的位置即可得出结论.

14、(2019,2)

【解析】

分析点P的运动规律，找到循环次数即可.

【详解】

分析图象可以发现，点P的运动每4次位置循环一次.每循环一次向右移动四个单位.

.*.2019=4x504+3

当第504循环结束时，点P位置在(2016,0),在此基础之上运动三次到(2019,2)

故答案为(2019,2).

【点睛】

本题是规律探究题，解题关键是找到动点运动过程中，每运动多少次形成一个循环.

15、1

【解析】

两个单项式合并成一个单项式，说明这两个单项式为同类项.

【详解】

解：由同类项的定义可知，

a=2,b—1,

/.a+b=l.

故答案为:1.

【点睛】

本题考查的知识点为：同类项中相同字母的指数是相同的.

144

16、——

25

【解析】

先求得OD,AE,DE的值，再利用S四边形ODEF=SAAOF-SAADE即可.

【详解】

3

如图，OA，=OA=4,则OD=—OA，=3,OD=3

4

AAD=1,可得DE=|,AE=y

.1134_144

••S四边形ODEF=SAAOF-SAADE=-x3x4--x—x—=----.

225525

144

故答案为二.

【点睛】

本题考查的知识点是三角形的旋转，解题的关键是熟练的掌握三角形的旋转.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)证明见解析；(2)472.

【解析】

(1)已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AB〃CD,AB=CD,又因AE=AB,可得AE=CD,

根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定四边形ACDE是平行四边形；(2)连接EC,易证ABEC是

直角三角形，解直角三角形即可解决问题.

【详解】

(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AB=CD,

VAE=AB,

；.AE=CD,VAE/7CD,

二四边形ACDE是平行四边形.

(2)如图，连接EC.

E

•,.△EBC是直角三角形，

VcosB=^=-=上,BE=6,

BE3

/.BC=2,

=

•*-EC7BE2-BC2=762-22=4V2-

【点睛】

本题考查平行四边形的性质和判定、直角三角形的判定、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题，属于中考常考题型.

18、塔杆CH的高为42米

【解析】

作BE1DH,知GH=BE、BG=EH=4,设AH=x,则BE=GH=23+x,由CH=AHtanZCAH=tan55°»x知

CE=CH-EH=tan55°«x-4,根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得.

【详解】

解：如图，作BELDH于点E,

设AH=x,则BE=GH=GA+AH=23+x,

在RtAACH中，CH=AHtanZCAH=tan55°«x,

.\CE=CH-EH=tan55°・x-4,

■:ZDBE=45°,

.".BE=DE=CE+DC,即23+x=tan55°・x-4+15,

解得：x~30,

，CH=tan55°»x=1.4x30=42,

答：塔杆CH的高为42米.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形.

19、证明见解析

【解析】

试题分析：先根据垂直的定义得出NE0B=9O。，故可得出NEO3=NC.再由N5=N5,根据有两个角相等的两三角

形相似即可得出结论.

试题解析：

解：'JEDLAB,

：.ZEDB=9Q°.

VZC=90°,

：.ZEDB=ZC.

,:NB=2B,

:.ABC^EBD.

点睛：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键.

20、（1）AE=CG,AE±CG,理由见解析；（2）①位置关系保持不变，数量关系变为——=—；

AE4

32115

理由见解析；②当ACDE为等腰三角形时，CG的长为二或丁或应.

2208

【解析】

试题分析：（1）A£=CG,A£_LCG,证明ADE四_CDG,即可得出结论.

（2）①位置关系保持不变，数量关系变为本=了证明.AZ）£s_CDG,根据相似的性质即可得出.

（3）分成三种情况讨论即可.

试题解析：（1）AE=CG,AEA.CG,

理由是：如图1,.四边形EPGO是正方形，

A

G

BFC

图1

：.DE=DG,ZEDC+ZCDG=90°,

V四边形ABCD是正方形，

AB=CD,ZADE+NEDC=90。,

：.ZADE=ZCDG,

二ADE^,CDG,

：.AE=CG,ZDCG=ZDAE=45°,

•：NACD=45°,

ZACG=90。，

ACG±AG即AELCG

(2)①位置关系保持不变，数量关系变为?==.

AE4

理由是：如图2,连接EG、。尸交于点。，连接OC,

图2

四边形EFGD是矩形，

：.OE=OF=OG=OD,

RtADGF中，OG=OF,

RtDCF中,OC=OF,

:.OE=OF=OG=OD=OC,

：.D.E、F、aG在以点。为圆心的圆上,

VZDGF=90°,

:.DF为。的直径，

,:DF=EG,

...EG也是。的直径，

/.ZECG=90°,即AE_LCG,

:.ZDCG+ZECD=90°,

■:ZDAC+ZECD=90°,

：.ZDAC=ZDCG,

•••ZADE=ZCDG,

:•_ADEs_CDG,

.CGDC3

"AE-AD-4

CG3

②由①知:

AE4

.•.设CG=3x,AE=4x,

分三种情况:

(i)当ED=EC时,如图3,过E作石HLCD于H,则EH〃AZ),

图3

：.DH=CH,

；.AE=EC=4x,由勾股定理得：AC=5,

8x=5,

5

x——.

8

CG=3x=—；

8

(ii)当£>E=Z)C=3时，如图1,过。作AC于a,

图4

:.EH=CH,

■:NCDH=NCAD,NCHD=/CDA=9Q。,

，_CDHsjjAD,

.CDCH

，'~CA~~CD，

.3cH

••——,

53

9

5

97

AAE=4x=AC-2CH=5-2x-=-,

55

:.CG=3x=——，

20

(iii)当CD=CE=3时，如图5,

图5

:.AE=4x=5—3=2,

1

x=■—，

2

3

：.CG=3x=-,

2

32115

综上所述，当△。£>£为等腰三角形时，CG的长为彳或亮或口.

点睛：两组角对应，两三角形相似.

21、(1)见解析(2)•二

【解析】

试题分析：(1)利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；

(2)连接EF交于点O,运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱

形AECF的面积.

试题解析：(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

AAD/7BC,AD=BC.

在RtAABC中，ZBAC=90°,点E是BC边的中点,

.\AE=CE=7BC.

同理，AF=CF=-AD.

/.AF=CE.

/.四边形AECF是平行四边形.

•••平行四边形AECF是菱形.

(2)解：在RtAABC中，ZBAC=90°,ZB=30°,BC=10,

；.AC=5,AB=;3.

连接EF交于点O,

.•.ACLEF于点O,点。是AC中点.

.•.OE工二二「二

；.EF=5d.

二菱形AECF的面积是:ACEFW、二.

考点：1.菱形的性质和面积；2.平行四边形的性质；3.解直角三角形.

13_

22、(1)y=x2+—x+2；(2)111=-1或111=3时，四边形DMQF是平行四边形；(3)点Q的坐标为(3,2)或(-

22

1,0)时，以点B、Q、M为顶点的三角形与ABOD相似.

【解析】

分析：(1)待定系数法求解可得；

1131

(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=—x-2,则Q(m,--m2+-m+2),M(m,-m-2),由QM〃DF

2222

且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程，解之可得；

DOMB1

(3)易知NODB=NQMB,故分①NDOB=NMBQ=90。，利用△DOBs^MBQ得行=f=彳，再证

OBBQ2

DLV1Dr—=-------------------_

△MBQs^BPQ得=即2123c，解之即可得此时m的值；②NBQM=90。，此时点Q与

点A重合，ABODsaBQM，，易得点Q坐标.

详解：(1)由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),

将点C(0,2)代入，得：-4a=2,

解得：a=-g,

2

113

则抛物线解析式为y=-—(x+1)(x-4)=--x2+—x+2；

222

(2)由题意知点D坐标为(0,-2),

设直线BD解析式为y=kx+b,

将B(4,0)、D(0,-2)代入，得：

4k+Z?=0

,，解得：〈

b=-2

b=-2

二直线BD解析式为y=1x-2,

；QM_Lx轴，P(m,0),

131

Q(m,—m2+—m+2)>M(m,—m-2),

222

e1,31、1,

则QM=mZ+gm+Z-(z—m-2)=-—m~+m+4,

VF(0,工)、D(0,-2),

2

5

.\DF=-

2

VQM/7DF,

...当-Lm2+m+4=°时，四边形DMQF是平行四边形,

22

解得：m=-l（舍）或m=3,

即m=3时，四边形DMQF是平行