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文档简介
2024年高考诊断性测试
数学模拟试题(一)
(时间:120分钟,满分:150分)
、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合4={1|—N+x2o},5={x|x—1<O},则43=().
A.{x|尤W1}B.[x|x<l}C{x|O«l}D.{九|O4W"
—2—z
2.设复数Z=-1—i(i为虚数单位),z的共物复数是z,则上==().
z
A.B.-2+iC.-l+2iD.l+2i
3.已知Ia|=2,|b|=3,|a+b|=M,贝IIa-b\等于().
B.岳C.y/15D.V17
4.下列四组函数中,两个函数表示的是同一个函数的是().
A./U)=X?与/(X)=%+42B.f(x)=—log3X2与/(x)=log3X
2
C.D./(X)=R(x-1)3与/(%)=%—1
5.一个暗箱装有若干个大小相同的红球、白球和黑球,每次从中摸出1个球,直到摸出的三种颜色的球都有为止.若小明
第4次摸球后终止摸球,则他依次摸出的4个球的颜色的不同情形有().
A.9种B.12种C.18种D.24种
已知sina+sin(a+二)=皿3,贝!Jsin(Q—决)的值是().
6.
356
2m空_44
A.B.C.D.-
555
7.设。=log0.60.8,c=logi.i0.8,则().
A.b<.a<icB.c<b〈aC.D.
8.已知A,5为抛物线y=2力(p>0)上的两个动点,以A3为直径的圆C经过抛物线的焦点居且面积为4Tl.若过圆心C
作该抛物线准线/的垂线,垂足为。,则的最大值为().
A.4B.2^2C.4A/2D.6
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的
得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.如图,若长方体ABC。一的底面是边长为2的正方形,高为4,E是。。1的中点,贝1|().
A.
B.平面BiCE〃平面48。
Di
Q
C.三棱锥C1-B1CE的体积为一
3
D.三棱锥Ci-BiCD的外接球的表面积为24TI
10.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,/(x)e^(x-l).则下列结论|正硒具(/).
A.当xVO时,/(x)=ex(x+l)
B.函数/(x)有五个零点
1
C.若关于x的方程/(x)=m有解,则实数m的取值范围是/(—2)WmW/(2)
D.uXi,X2(R,1/3)—/(X1)IV2恒成立
n.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与双曲线的右支交于48两点,若|斯1|=|行2|=2|川2|,则().
A.ZAF1B=ZF1AB
B.双曲线的离心率6=亘
3
C.双曲线的渐近线方程为y=±亚尤
3
D.原点。在以Fz为圆心,AFz为半径的圆上
12.如图,已知点E是ABCD的边AB的中点,心(小N*)为边BC上的一列点,连接AF〃交BD于G.,点G.(nN*)满足G,Q
=an+i'GnA—2(2a.+3)•G“E,其中数列{为}是首项为1的正项数歹ll,S〃是数列{aj的前"项和,则下列结论正确的是().
A.03—13B.数列{为+3}是等比数列
D.S=2n+1-n-2
C.an—4n—3n
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题后的横线上.
13.若—5]的二项展开式中含有常数项,则"的最小值是.
14.圆x2+y2—2x—6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是.
15.已知“X)是定义在R上的奇函数,当x20时,/6)=2好―3x2+a,则/(—2)=,曲线y=/(x)在点(一2,
/(—2))处的切线方程为.(本小题第一空2分,第二空3分)
22
16.如图,A,B是双曲线当=1(a>0,匕>0)上的两点,F是双曲线的右焦点.△4F8是以下为顶点的等腰
a2b2
直角三角形,延长BF交双曲线于点C.若4,C两点关于原点对称,则双曲线的离心率为.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,币b),n=(cosZl,sinB),且/7»〃。.
⑴求角A;
(2)若。=b=2,求△ABC的面积.
2
18.(12分)设5"为数列{或}的前"项和,且$2=8,2S„=(n+l)an+n—1.
(1)求ai,az,并证明数列{a八为等差数列;
(2)若不等式;I•2"—5”>0对任意正整数“恒成立,求实数4的取值范围.
19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA_L底面ABC。,PA=6,底面ABCD是边长为1的菱形,ZBCD=60°,E是
CD的中点.
(1)证明:平面P8E_L平面以B;
(2)求二面角A-BE-P的平面角的大小.
(第19题图)
20.(12分)“南澳牡蛎”是我国地理标志产品,产量高、肉质肥、营养好,素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模
与以往的养殖经验,产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布N(32,16).
(1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”,会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大?
(2)2019年该基地考虑增加人工投入,现有以往的人工投入增量x(单位:人)与年收益增量y(单位:万元)的数据如下:
人工投入增量x/人234681013
年收益增量y/万元13223142505658
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量,建立了y与x的两个回归模型:
模型①:由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程为y=4.1x+11.8;
模型②:由散点图(如图)的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线y=b«+a的附近,对人工投入增量x做变换,令
7__7
,则y="/+a,且有%=2.5,y=38.9,=81.0,=3.8.
⑴根据所给的统计量,求模型②中V关于X的经验回归方程(精确到0.1);
(ii)根据下列表格中的数据,比较两种模型的相关指数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测人工投入增量为16
人时的年收益增量.
3
回归模型模型①模型②
回归方程y=4.1x+11.8y=b\[x-\~a
必)2182.479.2
Z=1
附:若随机变量z〜A/(〃,a2),贝I」P(4-3bWZW〃+3b)=0.9974,0.998710^0.9871;
样本(3y/)(/=1,2,…,c)的最小二乘估计公式为〃=221,---------------,4=厂加.
f(4-)
Z=1
21.(12分)已知M是抛物线C:必=4*上一点,F是抛物线C的焦点,|MF|=4.
(1)求直线MF的斜率;
nm
⑵己知动圆E的圆心E在抛物线C上,点D(2,0)在圆E上,且圆E与y轴交于4B两点,令|DA|=m,|DB|=c,求一+—
mn
最大值.
22.(12分)已知函数/(x)=(a+l)lnx+ax2+l.
(1)讨论函数/(x)的单调性.
⑵设aW2,求证:对任意方,(0,+°°),都有|/(a)一/(%2)|N4|»一%2|.
2024年高考诊断性测试
数学模拟试题(一)参考答案及评分标准
一、选择题
1.A.2.C.3.A.4.D.
5.C.提示:小明第4次才凑齐红、白、黑三种颜色,则第4次摸出的球的颜色有3种情形,前3次摸出的球的颜色为
另外2种颜色,有23—2=6种情形.故不同情形共有18种.
6.C.7.C.8.B.
二、选择题
9.CD.解析:以{钻,AD'A4}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,
0),0(0,2,0),Ai(0,0,4),8i(2,0,4),E(0,2,2),
所以B]E=(—2,2,-2),4&=(2,0,-4).
4
因为用4+0+8=4片0,所以与4出不垂直.故A错误.
CBt=(0,-2,4),CE=(—2,0,2),设平面BCE的一个法向量为〃=(xi,yi,zi),则
n•。41=0,—2yl+4z1=0,yi=2z],
由<得-2#2「。所以
n-CE=O,X]=Z].
不妨取Z1=1,则》=1,yi=2,所以几=(1,2,1).
同理可得平面AiBD的一个法向量为m=(2,2,1).
故不存在实数A使得.
故平面8CE与平面48。不平行,故B错误.
在长方体ABC。-AiBiCiDj中,BiCi±平面CDDiCi,故BiCi是三棱锥Bi-CECi的高,所以
1118
匕棱锥G-B[CE=匕棱锥B.-CEC;=g5ACEC,,BG=gX-X4X2X2=-.故C正确.
三棱锥Ci-BiCDi的外接球即为长方体ABCD-AiBiCiDi的外接球,故外接球的半径尺=正王亘三
=76.所以三棱
2
锥C1-B1CD1的外接球的表面积8=4兀/?2=24兀,故D正确.
故选CD.
10.AD.提示:设x〈0,则一x>0,所以/(—x)=e'(—x—1),
又函数/(x)是定义在R上的奇函数,所以/(—x)=—/(x),
所以一/(x)=e*(—x—1),即/(x)=e'(x+l),故A正确.
ex—(x—l)ex2—x
当x>0时,/(x)=----,所以/'(1)=
ex(e1)2
令尸(x)=O,解得x=2.当0Vx<2时,r(x)>0;当x>2时,尸(x)VO,
所以函数f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,+8)内单调递减,
故当x=2时,函数/(x)取得极大值e-2>0.
当0VxV2时,f(O)-/(2)<0,又/(1)=0,故函数/(x)在(0,2)内仅有一个零点1.
当x>2时,f(x)==>0,所以函数f(x)在(2,+8)上没有零点,
所以函数f(x)在(0,+8)上仅有一个零点.
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,
所以函数/(x)在(一8,0)上仅有一个零点一1.
又/(0)=0,故函数/(x)是定义在R上有3个零点.故B错误.
作出函数/(x)的大致图象,由图可知,
若关于x的方程/(x)=m有解,则实数m的取值范围是一l〈m<1.故C错误.
由图可知,对Uxi,x2i'R,I/(X2)-f(xi)I<11-(-1)I=2,故D正确.故选AD.
11.ABC.提示:如图,设一尸2|=%,则|8&|=|AFI|=2X,所以2a=\AFi\—|AB|=x,
|BF\|=\BFi\+2a=2x+2«=6<7,\AB\=3x=6af所以18/11=|A8],所以NAQ5=ZFxAB,A选
项正确.
因为IAB|=2x=4a,\BF\\=\A.B\=6af
2Q]
所以在山中,cosFiAB—————.
6a3
又在△AR1@中,|QR2|2=|AQ|2+|A&|2-2|AB||AF2|COSNBAR2,
144Q2C211c、国
4c2=16tz2+4<72—2X4(2X2tzX—=----,—一,所以e=—=-----,B选项正确.
33a23a3
121
,cc^+b11,Bb8b2A/2淑:、匚在七工口心।2y/2八、生丁否定工岳
由一7=——;一=一,得一7=一,一=----,渐近线万程为y=±-----%,C选项正确.
42123a23Q33
若原点。在以尸2为圆心,AB为半径的圆上,贝!)|0凡|=出放|,c=2a,
即e=9=2与B矛盾,不成立,D选项错误.
a
故选ABC.
uuumUUUL1UUUTUUUT
12.AB.提示:GnD=On+i•GnA—2(2an+3)•](G〃A+G〃5),
UUUUUUULUUULUUUIUUUUL
故=(如+112。〃-3)•GnA~~(2an+3)•GnB,GnD,G“6共线,故O"+1—2。〃-3=0,即。〃+1+3=2(。“+3),Qi
1
=1,故an+3=4X2"一'故如=?"+—3.
G3=24—3=13,A正确;数列{。〃+3}是等比数列,B正确;
1—2n
n+1n+2
an=2-3,C错误;S〃=4------3n=2-3n-4,故D错误.故选AB.
1-2
三、填空题
C7V3——10K1Q
13.10.提示:乙]=c:(%3)…一品=(_2)「c;Jr,因为展开式中含有常数项,所以3〃一行-=0,即r-(r
=0,1,2,…,n),故“的最小值是10.
14.(x+7)2+(y+l)2=l.
15.—4,12x—y+20=0.提示:/(%)是定义在R上的奇函数,则/(0)=。=0,故〃=0,/(—2)=—/(2)=—(16—12)=—
4,
当xVO时,一%>0,故/(一%)=—2%3—3%2,/(x)=—/(~x)=2x3+3x2,
尸(x)=6/+6x,/(-2)=12,故切线方程为y=12(%+2)—4,
即12x—y+20=0.故答案为一4,12x—y+20=0.
9V2
8
四、解答题
17.解:(1)因为m〃",所以asin5—J%cosA=0.(2分)
由正弦定理,得sinAsin5-J5sin5cosA=0.(3分)
又sinBwO,从而tanA=b.(4分)因为0<4<兀,所以人=工.(5分)
3
⑵由余弦定理得片=/?2+_2bccosA,(6分)而〃=5/7,b=2,A=—>
3
得7=4+H—2C,即。2一2。—3=0,(8分)因为c>0,所以c=3,
13^/3
故△A8C的面积S=—bcsinA=----.(10分)
22
18.解:(1)因为2s2=302+1,52=8,得。2=5,所以6=3.因分)
6
2Sn=(n+1)an+n—1,又25〃+1=(〃+2)a〃+i+〃,(2分)
—
两式相减得2an+i=(n+2)an+i(n+l)an+l,(3分)
nan+i~(n+1)an+l=O,①
所以("+l)0n+2-(“+2)。〃+1+1=0.②
②—①得(〃+1)%+2—(2n+2)an+i+(“+1)。〃=0,(4分)
即。〃+2—2。“+1+。/7=0,即。〃+2-On+1=Qn+1-…=。2—。1=2,(5分)
故数列{分}为首项为3,公差为2的等差数列,所以On=2〃+1.(6分)
(2)因为%=2〃+1,所以5n=工/?(3+2〃+1)=标+2〃,(8分)
2
〃(九+2)
由4・2〃-5〃>0,得4>------------对任意正整数。恒成立,(9分)
X
H2)3—2九2
令2=F--则。+1一2=-+I'(1°分)所以…,
乙乙
所以Sn)max=b2=2,(H分)故A>2.(12分)
19.解:(1)如图,连接8。,
由488是菱形且NBCD=60°知,△BC。是等边三角形.(1分)
*/E是CD的中点,BELCD.*:CD//AB,:.BE1AB.(3分)
(第19题图)
,?%_L平面ZBC。,PALBE.(4分)PA\~AB=A,:.8E_L平面以8.(5分)
又BEu平面P8E,平面P8E_L平面%8.(6分)
(2)VB£_L平面以8,BE.LPB,(8分)
N48P即为二面角A-BE-P的平面角.(9分)
在Rt△%B中,AB=1,PA=6,tan/Z8P=括,(10分)Z.ZABP=60°.(11分)
・•・二面角WE-P的平面角为60°.(12分)
20.解:(1)由已知,单个“南澳牡蛎”质量J〜N(32,16),则〃=32,o=4.(1分)
由正态分布的对称性可知,
P(J<20)=-[l-P(20<^<44)]=-[l-P(4-3crVj<//+3cr)]=-(1-0.9974)=0.0013.(2分)
222
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”,其中质量小于20g的牡蛎为X只,则X〜8(10,0.0013),
故P(XNl)=l-p(x=o)=1一(1—0.0013)10=1-0.9871=0.0129,(3分)
所以这10只“南澳牡蛎”中,会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%.(4分)
__7__7士(l)5-,)81.0
(2)(i)由t—2.5,y—38.9,〉:(〈,)(yV)=81.0,〉:(4—/)=3.8,有jy—~~~,—--------^21.3,且q=
EE£")23.8
z=l
y—bt=38.9-21.3X2.5^-14.4.(6分)
7
所以,模型②中y关于x的回归方程为y=21.3正一14.4.(7分)
182.479.2
(ii)由表格中的数据,有182.4>79.2,即.(9分)
z=li=l
模型①的R2小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好.(10分)
当x=16时,模型②的收益增量的预测值为
y=21.3X7^—14.4=21.3X4—14.4=70.8(万元).(11分)
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠.(12分)
21.⑴设/W(xo,⑻,因为|MF|=4,所以刈+1=4,解得X0=3,(1分)所以“(3,+273)-又F(l,0),所以直线
MF的斜率为望=(3分)
3-1
b2b2b1
(2)设圆心E(幺,b),圆E的方程为(x—幺)2+(y—b)2=(幺-2)2+炉,(4分)
444
b2
2
化简得乂2+必一—x—2/?y+b—4=0.令x=0,得p—2卯+〃-4=0,(5分)
2
即[y—(b+2)][y-(b—2)]=0,所以)/=6+2或)/=6—2.(6分)
不妨设八(0,b+2),4(0,b—2),则
m=IDA|=y/4+(b+2y=yJb2+4b+8,(7分)“=|D81=,4+(〃-2>=正一41升8,(8分)
4+里=,+〃「=
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