山东省烟台重点中学2024届高考诊断性测试数学模拟试题（一）（含答案）

2024年高考诊断性测试

数学模拟试题(一)

(时间：120分钟，满分：150分)

、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={1|—N+x2o},5={x|x—1<O},则43=().

A.{x|尤W1}B.[x|x<l}C{x|O«l}D.{九|O4W"

—2—z

2.设复数Z=-1—i(i为虚数单位)，z的共物复数是z，则上==().

z

A.B.-2+iC.-l+2iD.l+2i

3.已知Ia|=2,|b|=3,|a+b|=M，贝IIa-b\等于().

B.岳C.y/15D.V17

4.下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是().

A./U)=X?与/(X)=%+42B.f(x)=—log3X2与/(x)=log3X

2

C.D./(X)=R(x-1)3与/(%)=%—1

5.一个暗箱装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的三种颜色的球都有为止.若小明

第4次摸球后终止摸球，则他依次摸出的4个球的颜色的不同情形有().

A.9种B.12种C.18种D.24种

已知sina+sin(a+二)=皿3,贝！Jsin(Q—决)的值是().

6.

356

2m空_44

A.B.C.D.-

555

7.设。=log0.60.8,c=logi.i0.8,则().

A.b<.a<icB.c<b〈aC.D.

8.已知A,5为抛物线y=2力(p>0)上的两个动点，以A3为直径的圆C经过抛物线的焦点居且面积为4Tl.若过圆心C

作该抛物线准线/的垂线，垂足为。，则的最大值为().

A.4B.2^2C.4A/2D.6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，若长方体ABC。一的底面是边长为2的正方形，高为4,E是。。1的中点，贝1|().

A.

B.平面BiCE〃平面48。

Di

Q

C.三棱锥C1-B1CE的体积为一

3

D.三棱锥Ci-BiCD的外接球的表面积为24TI

10.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)e^(x-l).则下列结论|正硒具(/).

A.当xVO时，/(x)=ex(x+l)

B.函数/(x)有五个零点

1

C.若关于x的方程/（x）=m有解，则实数m的取值范围是/（—2）WmW/（2）

D.uXi,X2（R,1/3）—/（X1）IV2恒成立

n.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2,过F2的直线与双曲线的右支交于48两点,若|斯1|=|行2|=2|川2|,则（）.

A.ZAF1B=ZF1AB

B.双曲线的离心率6=亘

3

C.双曲线的渐近线方程为y=±亚尤

3

D.原点。在以Fz为圆心，AFz为半径的圆上

12.如图，已知点E是ABCD的边AB的中点，心（小N*）为边BC上的一列点，连接AF〃交BD于G.,点G.（nN*）满足G,Q

=an+i'GnA—2（2a.+3）•G“E,其中数列｛为｝是首项为1的正项数歹ll,S〃是数列｛aj的前"项和，则下列结论正确的是（）.

A.03—13B.数列｛为+3｝是等比数列

D.S=2n+1-n-2

C.an—4n—3n

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题后的横线上.

13.若—5］的二项展开式中含有常数项，则"的最小值是.

14.圆x2+y2—2x—6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是.

15.已知“X）是定义在R上的奇函数，当x20时，/6）=2好―3x2+a,则/（—2）=,曲线y=/（x）在点（一2,

/（—2））处的切线方程为.（本小题第一空2分，第二空3分）

22

16.如图，A,B是双曲线当=1（a>0,匕>0）上的两点，F是双曲线的右焦点.△4F8是以下为顶点的等腰

a2b2

直角三角形，延长BF交双曲线于点C.若4,C两点关于原点对称，则双曲线的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=（a,币b）,n=（cosZl,sinB）,且/7»〃。.

⑴求角A;

（2）若。=b=2,求△ABC的面积.

2

18.（12分）设5"为数列｛或｝的前"项和，且$2=8,2S„=（n+l）an+n—1.

（1）求ai,az,并证明数列｛a八为等差数列；

（2）若不等式;I•2"—5”>0对任意正整数“恒成立，求实数4的取值范围.

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L底面ABC。，PA=6,底面ABCD是边长为1的菱形，ZBCD=60°,E是

CD的中点.

（1）证明：平面P8E_L平面以B；

（2）求二面角A-BE-P的平面角的大小.

（第19题图）

20.（12分）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规模

与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布N（32,16）.

（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？

（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（单位：人）与年收益增量y（单位：万元）的数据如下：

人工投入增量x/人234681013

年收益增量y/万元13223142505658

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型:

模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程为y=4.1x+11.8；

模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y=b«+a的附近，对人工投入增量x做变换，令

7__7

,则y="/+a，且有％=2.5,y=38.9,=81.0,=3.8.

⑴根据所给的统计量，求模型②中V关于X的经验回归方程（精确到0.1）；

（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16

人时的年收益增量.

3

回归模型模型①模型②

回归方程y=4.1x+11.8y=b\[x-\~a

必)2182.479.2

Z=1

附：若随机变量z〜A/(〃，a2),贝I」P(4-3bWZW〃+3b)=0.9974,0.998710^0.9871；

样本(3y/)(/=1,2,…,c)的最小二乘估计公式为〃=221，---------------，4=厂加.

f(4-)

Z=1

21.(12分)已知M是抛物线C：必=4*上一点，F是抛物线C的焦点，|MF|=4.

(1)求直线MF的斜率；

nm

⑵己知动圆E的圆心E在抛物线C上，点D(2,0)在圆E上，且圆E与y轴交于4B两点，令|DA|=m,|DB|=c,求一+—

mn

最大值.

22.(12分)已知函数/(x)=(a+l)lnx+ax2+l.

(1)讨论函数/(x)的单调性.

⑵设aW2,求证：对任意方,(0,+°°),都有|/(a)一/(%2)|N4|»一%2|.

2024年高考诊断性测试

数学模拟试题(一)参考答案及评分标准

一、选择题

1.A.2.C.3.A.4.D.

5.C.提示：小明第4次才凑齐红、白、黑三种颜色，则第4次摸出的球的颜色有3种情形，前3次摸出的球的颜色为

另外2种颜色，有23—2=6种情形.故不同情形共有18种.

6.C.7.C.8.B.

二、选择题

9.CD.解析：以｛钻，AD'A4｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,

0),0(0,2,0),Ai(0,0,4),8i(2,0,4),E(0,2,2),

所以B]E=(—2,2,-2),4&=(2,0,-4).

4

因为用4+0+8=4片0,所以与4出不垂直.故A错误.

CBt=(0,-2,4),CE=(—2,0,2),设平面BCE的一个法向量为〃=(xi,yi,zi),则

n•。41=0,—2yl+4z1=0,yi=2z],

由<得-2#2「。所以

n-CE=O,X]=Z].

不妨取Z1=1,则》=1,yi=2,所以几=(1,2,1).

同理可得平面AiBD的一个法向量为m=(2,2,1).

故不存在实数A使得.

故平面8CE与平面48。不平行，故B错误.

在长方体ABC。-AiBiCiDj中，BiCi±平面CDDiCi,故BiCi是三棱锥Bi-CECi的高，所以

1118

匕棱锥G-B[CE=匕棱锥B.-CEC；=g5ACEC,,BG=gX-X4X2X2=-.故C正确.

三棱锥Ci-BiCDi的外接球即为长方体ABCD-AiBiCiDi的外接球，故外接球的半径尺=正王亘三

=76.所以三棱

2

锥C1-B1CD1的外接球的表面积8=4兀/?2=24兀，故D正确.

故选CD.

10.AD.提示：设x〈0,则一x>0,所以/(—x)=e'(—x—1),

又函数/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(—x)=—/(x),

所以一/(x)=e*(—x—1),即/(x)=e'(x+l),故A正确.

ex—(x—l)ex2—x

当x>0时，/(x)=----，所以/'(1)=

ex(e1)2

令尸(x)=O,解得x=2.当0Vx<2时，r(x)>0；当x>2时，尸(x)VO,

所以函数f(x)在(0,2)内单调递增，在(2,+8)内单调递减，

故当x=2时，函数/(x)取得极大值e-2>0.

当0VxV2时，f(O)-/(2)<0,又/(1)=0,故函数/(x)在(0,2)内仅有一个零点1.

当x>2时，f(x)==>0,所以函数f(x)在(2,+8)上没有零点，

所以函数f(x)在(0,+8)上仅有一个零点.

又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，

所以函数/(x)在(一8,0)上仅有一个零点一1.

又/(0)=0,故函数/(x)是定义在R上有3个零点.故B错误.

作出函数/(x)的大致图象，由图可知，

若关于x的方程/(x)=m有解，则实数m的取值范围是一l〈m<1.故C错误.

由图可知，对Uxi,x2i'R,I/(X2)-f(xi)I<11-(-1)I=2,故D正确.故选AD.

11.ABC.提示：如图，设一尸2|=%,则|8&|=|AFI|=2X,所以2a=\AFi\—|AB|=x，

|BF\|=\BFi\+2a=2x+2«=6<7,\AB\=3x=6af所以18/11=|A8],所以NAQ5=ZFxAB,A选

项正确.

因为IAB|=2x=4a,\BF\\=\A.B\=6af

2Q]

所以在山中，cosFiAB—————.

6a3

又在△AR1@中，|QR2|2=|AQ|2+|A&|2-2|AB||AF2|COSNBAR2,

144Q2C211c、国

4c2=16tz2+4<72—2X4（2X2tzX—=----,—一，所以e=—=-----，B选项正确.

33a23a3

121

,cc^+b11,Bb8b2A/2淑:、匚在七工口心।2y/2八、生丁否定工岳

由一7=——；一=一，得一7=一，一=----,渐近线万程为y=±-----%,C选项正确.

42123a23Q33

若原点。在以尸2为圆心，AB为半径的圆上，贝！）|0凡|=出放|,c=2a,

即e=9=2与B矛盾，不成立，D选项错误.

a

故选ABC.

uuumUUUL1UUUTUUUT

12.AB.提示：GnD=On+i•GnA—2（2an+3）•]（G〃A+G〃5）,

UUUUUUULUUULUUUIUUUUL

故=（如+112。〃-3）•GnA~~（2an+3）•GnB，GnD，G“6共线，故O"+1—2。〃-3=0,即。〃+1+3=2（。“+3）,Qi

1

=1,故an+3=4X2"一'故如=？"+—3.

G3=24—3=13,A正确；数列｛。〃+3｝是等比数列，B正确；

1—2n

n+1n+2

an=2-3,C错误；S〃=4------3n=2-3n-4,故D错误.故选AB.

1-2

三、填空题

C7V3——10K1Q

13.10.提示：乙］=c：（%3）…一品=（_2）「c；Jr,因为展开式中含有常数项，所以3〃一行-=0,即r-（r

=0,1,2,…，n）,故“的最小值是10.

14.（x+7）2+（y+l）2=l.

15.—4,12x—y+20=0.提示：/（%）是定义在R上的奇函数，则/（0）=。=0,故〃=0,/（—2）=—/（2）=—（16—12）=—

4,

当xVO时，一%>0,故/（一%）=—2%3—3%2,/（x）=—/（~x）=2x3+3x2,

尸（x）=6/+6x,/（-2）=12,故切线方程为y=12（%+2）—4,

即12x—y+20=0.故答案为一4,12x—y+20=0.

9V2

8

四、解答题

17.解：（1）因为m〃"，所以asin5—J%cosA=0.（2分）

由正弦定理，得sinAsin5-J5sin5cosA=0.（3分）

又sinBwO,从而tanA=b.（4分）因为0<4<兀，所以人=工.（5分）

3

⑵由余弦定理得片=/?2+_2bccosA,（6分）而〃=5/7,b=2,A=—>

3

得7=4+H—2C,即。2一2。—3=0,（8分）因为c>0,所以c=3,

13^/3

故△A8C的面积S=—bcsinA=----.（10分）

22

18.解：（1）因为2s2=302+1,52=8,得。2=5,所以6=3.因分）

6

2Sn=（n+1）an+n—1,又25〃+1=（〃+2）a〃+i+〃，（2分）

—

两式相减得2an+i=（n+2）an+i（n+l）an+l,（3分）

nan+i~（n+1）an+l=O,①

所以（"+l）0n+2-（“+2）。〃+1+1=0.②

②—①得（〃+1）%+2—（2n+2）an+i+（“+1）。〃=0,（4分）

即。〃+2—2。“+1+。/7=0,即。〃+2-On+1=Qn+1-…=。2—。1=2,（5分）

故数列｛分｝为首项为3,公差为2的等差数列，所以On=2〃+1.（6分）

（2）因为%=2〃+1,所以5n=工/?（3+2〃+1）=标+2〃，（8分）

2

〃（九+2）

由4・2〃-5〃>0,得4>------------对任意正整数。恒成立，（9分）

X

H2）3—2九2

令2=F--则。+1一2=-+I'（1°分）所以…,

乙乙

所以Sn）max=b2=2,（H分）故A>2.（12分）

19.解：（1）如图，连接8。，

由488是菱形且NBCD=60°知，△BC。是等边三角形.（1分）

*/E是CD的中点，BELCD.*：CD//AB,：.BE1AB.（3分）

（第19题图）

,?%_L平面ZBC。，PALBE.（4分）PA\~AB=A,：.8E_L平面以8.（5分）

又BEu平面P8E,平面P8E_L平面%8.（6分）

（2）VB£_L平面以8,BE.LPB,（8分）

N48P即为二面角A-BE-P的平面角.（9分）

在Rt△%B中，AB=1,PA=6,tan/Z8P=括，（10分）Z.ZABP=60°.（11分）

・•・二面角WE-P的平面角为60°.（12分）

20.解：（1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量J〜N（32,16）,则〃=32,o=4.（1分）

由正态分布的对称性可知，

P（J<20）=-[l-P（20<^<44）]=-[l-P（4-3crVj<//+3cr）]=-（1-0.9974）=0.0013.（2分）

222

设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20g的牡蛎为X只，则X〜8（10,0.0013）,

故P（XNl）=l-p（x=o）=1一（1—0.0013）10=1-0.9871=0.0129,（3分）

所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性仅为1.29%.（4分）

__7__7士（l）5-，）81.0

（2）（i）由t—2.5,y—38.9,〉：（〈，）（yV）=81.0,〉：（4—/）=3.8,有jy—~~~,—--------^21.3,且q=

EE£"）23.8

z=l

y—bt=38.9-21.3X2.5^-14.4.（6分）

7

所以，模型②中y关于x的回归方程为y=21.3正一14.4.（7分）

182.479.2

（ii）由表格中的数据，有182.4>79.2,即.（9分）

z=li=l

模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好.（10分）

当x=16时，模型②的收益增量的预测值为

y=21.3X7^—14.4=21.3X4—14.4=70.8（万元）.（11分）

这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠.（12分）

21.⑴设/W（xo,⑻，因为|MF|=4,所以刈+1=4,解得X0=3,（1分）所以“（3,+273）-又F（l,0）,所以直线

MF的斜率为望=（3分）

3-1

b2b2b1

（2）设圆心E（幺，b）,圆E的方程为（x—幺）2+（y—b）2=（幺-2）2+炉，（4分）

444

b2

2

化简得乂2+必一—x—2/?y+b—4=0.令x=0,得p—2卯+〃-4=0,（5分）

2

即［y—（b+2）］［y-（b—2）］=0,所以）/=6+2或）/=6—2.（6分）

不妨设八（0,b+2）,4（0,b—2）,则

m=IDA|=y/4+(b+2y=yJb2+4b+8，(7分)“=|D81=,4+(〃-2>=正一41升8，(8分)

4+里=，+〃「=