专题22 【五年中考+一年模拟】 几何压轴题-备战2023年温州中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）

专题22几何压轴题1．（2022•龙港市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为直径构造，交轴于另一点，直线经过点，分别交于点，（点在左侧），连结，，，．（1）求的值．（2）求的度数和的长．（3）点在上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的点的坐标．【答案】（1）；（2），；（3）当与的一个内角相等时，满足条件的点的坐标为或或【详解】（1）过点作于点，如图，为的直径，，，，．．，，，，．，，，．直线经过点，，解得：．（2），直线．设直线与轴交与点，如图，令，则，，．，，．，，．，．．，，即，，．，，，为等腰直角三角形，．，．（3）①当时，连接，，如图，，，为的直径，．在和中，，，，四边形为平行四边形，，平行四边形为矩形，轴，，，；②当时，连接，过点作于点，如图，由（2）知：，，，，，点与点重合．，，，，设，则，，．，，解得：或（不合题意，舍去），，，，；③当时，连接，，过点作轴于点，如图，，，，．，，．，，．为圆内接四边形的外角，，轴，为等腰直角三角形，，，．综上，当与的一个内角相等时，满足条件的点的坐标为或或．2．（2022•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交的外接圆于点，点，交轴于点，交轴于点．点是的中点，连结，．点，点．（1）求的长和的解析式．（2）求点的坐标．（3）点在轴上，连结，与的任意一边平行时，求的长．【答案】（1）=10，的解析式为：；（2）；（3）或或【详解】（1）连接交于点，，点，，，，点是的中点，，，，，把点代入直线，得，的解析式为：；（2）连接，直线交轴于点，交轴于点，，，设点，点在上，，，，或（舍去），；（3）设，要使与的任意一边平行，分以下三种情况：①，，，，即，，；②，过点、作轴垂线，分别交轴于点、，，又，，，即，，；③，连接交于点，作轴垂线，交轴于点，，，，，，，，，，又，，，即，，，综上所述，或或．3．（2022•温州）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，，点，分别在线段，上（不与端点重合），且满足．设，．（1）求半圆的半径．（2）求关于的函数表达式．（3）如图2，过点作于点，连结，．①当为直角三角形时，求的值．②作点关于的对称点，当点落在上时，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）①或；②【详解】（1）如图1，连接，设半径为，切半圆于点，，，，，，，解得，半圆的半径为；（2）由（1）得，，，，，，；（3）①显然，所以分两种情形，当时，则四边形是矩形，，，，，当时，过点作于点，如图，则四边形是矩形，，，，，，，，由得：，，综上，的值为或；②如图，连接，，由对称可知，，，，，，，，，，是半圆的直径，，，，，．4．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于点，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结．（1）求的半径和直线的函数表达式；（2）求点，的坐标；（3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．【答案】（1）圆的半径为，；（2）、的坐标分别为、；（3）5或10或【详解】（1），为的直径，点是的中点，则点，则圆的半径为，设直线的表达式为，则，解得，故直线的表达式为；（2）设点的坐标为，由得：，解得或，故点、的坐标分别为、；（3）过点作于点，则，，故，由点、的坐标，同理可得；由点、、、的坐标得，，同理可得：，，①当时，则为等腰直角三角形，，故点的坐标为，故；②时，，，，即，解得，故；③时，，，，即，解得，则，综上所述，为5或10或．5．（2020•温州）如图，在四边形中，，，分别平分，，并交线段，于点，（点，不重合）．在线段上取点，（点在之间），使．当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知，当为中点时，．（1）判断与的位置关系，并说明理由．（2）求，的长．（3）若．①当时，通过计算比较与的大小关系．②连接，当所在直线经过四边形的一个顶点时，求所有满足条件的的值．【答案】（1）见解析；（2），；（3）①见解析；②当或或时，所在的直线经过四边形的一个顶点【详解】（1）与的位置关系为：，理由如下：如图1所示：，，、分别平分、，，，，，，；（2）令，得，，令，得，，把代入，解得：，即，，是中点，，，，解得：，，；（3）①连接并延长交于点，如图2所示：，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，当时，，解得：，，，；②（Ⅰ）当经过点时，如图3所示：，则；（Ⅱ）当经过点时，如图4所示：，，，，，，，，，解得：；（Ⅲ）当经过点时，如图5所示：，，，由勾股定理得：，，，解得：，由图可知，不可能过点；综上所述，当或或时，所在的直线经过四边形的一个顶点．6．（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，正方形的顶点在第二象限内，是中点，于点，连接．动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在直线上从某一点向终点匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点的坐标和的长．（2）设点为，当时，求点的坐标．（3）根据（2）的条件，当点运动到中点时，点恰好与点重合．①延长交直线于点，当点在线段上时，设，，求关于的函数表达式．②当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．【答案】（1），；（2）；（3）①；②当与的一边平行时，的长为或【详解】（1）令，则，，，，，，在中，，又为中点，；（2）如图1，作于，则，是的中点是的中点，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，；（3）①动点、同时做匀速直线运动，关于成一次函数关系，设，当点运动到中点时，点恰好与点重合，时，，，，，，时，，将和代入得，解得：，，，，且，随的增大而增大，当时，，即，当时，与重合，点在线段上，综上，关于的函数表达式为：；②当时，如图2，，作轴于点，则，中，，，，，，，，，；当时，如图3，过点作于点，过点作于点，由△得：，，，，，，，，，，由图形可知不可能与平行，综上，当与的一边平行时，的长为或．7．（2018•温州）如图，已知为锐角内部一点，过点作于点，于点，以为直径作，交直线于点，连接，，交于点．（1）求证：．（2）连接，，当，时，在点的整个运动过程中．①若，求的长．②若为等腰三角形，求所有满足条件的的长．（3）连接，，交于点，当，时，记的面积为，的面积为，请写出的值．【答案】（1）见解析；（2）①2；②、3或时，为等腰三角形；（3）【详解】（1）、，，，又，；（2）①如图1，，，，，，，，；②当时，，，，，，；当时，，、，，，过点作于点，得四边形是矩形，、，，；当时，，，，设，则，，，，，综上所述，当、3或时，为等腰三角形；（3）如图3，过点作于点，，，设、，则、，过点作于点，则，，，且，，，，，，即，，，即、，则，，，即，则，，且，为的中位线，，．8．（2022•鹿城区校级一模）如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，且以每秒3个单位的速度从出发向右运动，连结交于点，作于，交直线于，设点运动时间为秒．（1）若将线段绕点旋转后恰好落在直线上，则．（2）当点在线段上运动时，若，求的值．（3）连结，点在运动过程中，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3；（2）；（3）见解析【详解】（1）由题意得：，，，，，，，若将线段绕点旋转后恰好落在直线上，则，，即，此时与重合，，即，，故答案为：3；（2）在中，由勾股定理得：，，，，，，，，解得：；（3）存在，当或，使为等腰三角形．①当时，如图，在中，，在中，，即为钝角，，由（2）得：，，即，解得或（舍去），②当时，如图，延长交于点，，在中，，即为钝角，，，，即，在中，，，，即，化简得：，解得；或（舍去），综上所述，当或，使为等腰三角形．9．（2022•温州一模）如图1，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，延长交的延长线于点，为中点，连结分别交，于点，．（1）求证：．（2）当时．①求的值．②在线段上取点，以为圆心，为半径作（如图，当与四边形某一边所在直线相切时，求所有满足条件的的长．【答案】（1）见解析；（2）①；②【详解】（1）证明：四边形是矩形，，，，为的中点，，，，；（2）解：①由（1）得，，，，，设，则，，，解得，（不合题意，舍去），，，，同理，，，，，，；②显然不与直线相切，故分三种情况：Ⅰ当与直线相切时，如图：，，，若点与点重合，，若点不与点重合，，，，，故的长为；，；Ⅱ当与直线相切时，如图：可得；Ⅲ当与直线相切时，如图：，，，综上所述，当与四边形某一边所在直线相切时，的长为，，，．10．（2022•平阳县一模）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，以为直径的圆交轴于点，为圆上一点，，直线交轴于点，交轴于点，连结．（1）求的值和直线的函数表达式．（2）求点，的坐标．（3）动点，分别在线段，上，连结．若，当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．【答案】（1），；（2），；（3）或或【详解】（1）如图，连接，是直径，，轴，，，，，，，设，，，，，；（2）过点作轴，垂足为点，连接，，，，，，，，，，设，则，，，，，，，轴，轴，，，，，，，，；（3）当时，如图，延长交于，过作交于点，过点作轴于点，，，，，，，，，，，，，，即，．当时，如图，，，，，，，，，，，，；当时，如图，延长交轴于点，，令，，，，，，，，，，，综上，或或．11．（2022•乐清市一模）如图，是的直径，，点为弧的中点，，交于点，过点作的切线交的延长线于点，．（1）求证：．（2）求的值．（3）若点为上一点，连接，，当与三边中的一条边平行时，求所有满足条件的的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或【详解】（1）证明：连接，为弧的中点，，与相切于点，，，是的直径，，，．（2）解：连结交于点，，，，，，，设，则，，，，解得，，，，．（3）解：①当时，得弧弧，，，．②当时，得弧弧，，，，分别为，的中点为的中位线，．③当时，过点作于，，，，设，则，，，，，，．综上所述，的长度为或或．12．（2022•瓯海区一模）如图，在中，，是上的一点，且，于点，交的平行线于点．（1）求证：．（2）若，．①求的长．②过点作于点，在射线上取一点与某一边的两端点，构成以为顶点的角等于，求所有满足条件的的长．【答案】（1）见解析；（2）①；②或或【详解】（1）证明：，，，，，，，，；（2）①，，，，，，，；②如图1，当以的两个端点与点组成的时，作交的延长线于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，、、、在以为圆心，为半径的圆上，，点和点重合，此时，如图2，当以的两个端点时，在上截取，，，，，，，，，，；如图3，当以的两个端点时，此时点在点处，在和中，，，，，，，，，，，，，点在处，，综上所述：或或．13．（2022•瑞安市一模）如图1，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．点是轴正半轴（包括原点）上一动点，连结，过点作轴交于点，连结，设的横坐标为．（1）用含的代数式表示的长．（2）当平分时，求的值．（3）如图2，过点作交轴于点，过作交的延长线于点．①当时，试说明，并求出和的面积之比．②当时，且，求的坐标，并求出此时和的面积之差．【答案】（1）；（2）1；（3）①；②0【详解】（1）轴交于点，轴，，，为与的同角，，，点，，，，，，，点的横坐标为，，，．（2）记与轴的交点为点，平分，轴，，，，，，，，，，，．（3）①如图2，，点与点重合，点与点重合，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，在中，，，，，和的面积之比为．②如图3，过点作轴于点，过点作交于点，过点作轴于点，轴，轴，，，，四边形为平行四边形，，，，，，，，，，轴交于点，轴，轴，，，，，，轴，轴，，，，，，，，，，，，，，，，，，，点的坐标为，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，令，得，，点的坐标为，，，，，点的坐标为，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，令，得，，点的坐标为，，，，，，在中，，，和的面积之差为．14．（2022•龙港市一模）如图，在四边形中，，，点，分别在边，上，且，．当点从点沿方向匀速运动到点时，点恰好从点沿方向匀速运动到点．记，，已知．（1）求证：．（2）求的值．（3）若，连结．①当时，求的长．②当所在直线平行于四边形的某一边时，求所有满足条件的的值．（直接写出答案即可）【答案】（1）见解析；（2）20；（3）①；②或或【详解】（1）证明：，，，又，，，，，；（2）解：，由题意可知，令，则，令，则，，，；（3）解：①如图，由（2）可知，，，又，，，，，，，，，，即，，作于点，，，，②如图，当时，过点作于，过点作于，，四边形是矩形，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，即，；当时，，四边形是平行四边形，，即，，；当时，作交于，，，，，，即，，，，，，综上，的值为：或或．15．（2022•苍南县一模）如图，直线分别交轴、轴于点，，以为圆心，为半径作半圆，交半圆弧于点，弦轴，交轴正半轴于点，连结，．（1）求的半径长及直线的函数表达式．（2）求的值．（3）为轴上一点．①当平行于四边形的一边时，求出所有符合条件的的长．②若直线恰好平分五边形的面积，求点的横坐标．（直接写出答案即可）【答案】（1）；（2）2；（3）①2，5，；②【详解】（1）如图，过点作轴，直线分别交轴、轴于点，，令，则；令，则，，，，，，，，，，，，，，，，直线的解析式为：．（2）如图，连接，过点作轴，，轴，，，．，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，，，，．（3），，由（2）可知，，，．当时，，，令，得，，当时，，，，；当时，，，，设直线的解析式为：，过点，，直线的解析式为：，令时，，，．当时，设直线的解析式为：，，，，令，得，，，．综上所述，的长分别为2，5，．②如图，设与，分别交于点，，过点作轴，，平分五边形，．，，．①，由①可知，，，，，②，由①②得，，，，，，．，．，直线的解析式为：，令，得，则点的横坐标为．16．（2022•温州模拟）如图1，在矩形中，，，是的中点，是边上一点，作的外接圆交直线于点．（1）求的值．（2）当是等腰三角形时，求的长．（3）连结，当点在上时（如图．①求证：．②求的面积．【答案】（1）；（2）或或；（3）①见解析；②【详解】（1）如图1，连接，四边形是矩形，，四边形是的内接四边形，，，，，，，是的中点，，，，的值为．（2）如图2，是等腰三角形，且，连接，，，，，，，解得；如图3，是等腰三角形，且，作于点，，四边形是矩形，，，，，，，；如图4，是等腰三角形，且，，，，综上所述，的长为或或．（3）如图5，连接，作于点，，是的直径，点在上，且，，①，，，．②，，，，，，设，则，由（2）得四边形是矩形，，，，，解得，，，的面积为.17．（2022•温州模拟）如图，在四边形中，，，，，，点为的中点，连接，，作于点，动点在线段上从点向终点匀速运动，同时动点在线段上从点向终点匀速运动，它们同时到达终点．（1）求的值．（2）求的长．（3）当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．【答案】（1）；（2）；（3）当与的一边平行时，的长为或5或【详解】（1）如图1，过点作于点，则，，，，四边形是矩形，，在中，，；（2）四边形是矩形，，，，点为的中点，，，，过点作于点，，，，，，，；（3），动点在线段上从点向终点匀速运动，同时动点在线段上从点向终点匀速运动，它们同时到达终点．，，①当时，，，解得：；②当时，如图2，，，，解得：；③当时，如图3，延长交于点，过点作于点，由（2）得：，，，，在中，，，，，，，，，，解得：，综上所述，当与的一边平行时，的长为或5或．18．（2022•温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，为，为，轴于点，是线段上一点，作交轴于点，取的中点，连结．设的长为．（1）求证：；（2）当时，求的值；（3）当等于中的一个内角时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）1；（3）或【详解】（1）证明：如图1，过点作轴于点，则四边形为矩形，，，，．，，，在和中，，，；（2）解：如图2，过点作轴于点，则，，，，，是的中点，，，，，，；（3）解：延长交轴于点，，，当时，，，是的中点，，，，，即，解得：，，，解得：，（舍去），经检验，是原方程的解；当时，，，，解得：，（舍去），经检验，是原方程的解；由题意可知，，综上所述：或．19．（2022•温州模拟）如图，已知是的直径，是半径上一点，作弦交于点，，其中，．是上一点，延长交的延长线于点，延长交于点，连结．（1）求证：．（2）连结，当四边形中有一组对边平行时，求的长．（3）当时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）或6；（3）【详解】（1）证明，，，直径，，，；（2）解：当时，，，，，，直径，，，，，．当时，，，，，，是的直径，．综上所述，满足条件的的值为或6；（3）在中，，，，，，，，，，．20．（2022•永嘉县模拟）如图，矩形内接于，，点在边上，，，交延长线于点．（1）求证：．（2）连结交于点，当时，求的长．（3）连结交于点．①当时，求的周长．②当点在上时，求矩形的面积．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）①；②【详解】（1）证明：，为的直径，，，，，，，，．（2）解：连接，设，，，，，，，，，，，，，；（3）①，，四边形是矩形，，，，设，则，，在中，，，（舍去负值），，，，，，，的周长；②，，，点在上，，，，，，，矩形的面积．21．（2022•鹿城区校级二模）在四边形中，，，．点为线段上一动点（不与点，重合），连结，过作的垂线交边于点．（1）求证：四边形是矩形．（2）设，求的面积关于的函数表达式．（3）在点运动过程，当的某一个内角等于时，求所有满足条件的的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或2【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是矩形；（2）过点作于点，交于点．四边形是矩形，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）当时，，，，，，，，，，，．当时，，，，，解得，，、当时，与重合，此时与垂直，此时，综上所述，的长为或或2．22．（2022•温州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为直径的与轴的正半轴交于点．点是劣弧上的一动点．（1）求的值．（2）当中有一边是的两倍时，求相应的长．（3）如图2，以为边向上作等边，线段分别交和于点，．连结，．点在运动过程中，与存在一定的数量关系．【探究】当点与点重合时，求的值；【探究二】猜想：当点与点不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）见解析【详解】（1）点的坐标为，点的坐标为，，．．为的直径，，，．．．．，．．（2）①当时，由（1）知：，．为的直径，．；②当时，过点作，交的延长线于点，如图，，．．四边形是圆的内接四边形，．．设，则，，．，．．．．．综上，当中有一边是的两倍时，的长为或；（3）【探究】当点与点重合时，连接，，如图，，，为的垂直平分线．．，．．为等边三角形，．．．；【探究二】当点与点不重合时，【探究一】的结论仍然成立．理由：连接，如图，由以上【探究】可知：，，，．，．．当点与点不重合时，【探究一】的结论仍然成立，．23．（2022•文成县一模）如图，已知：在中，，点是边上的动点，交于，以为直径的分别交，于点，．（1）求证：．（2）若，．①当，求的长．②当为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的腰长．（3）若，且，，在一条直线上，则与的比值为．【答案】（1）见解析；（2）①；②或或；（3）【详解】（1）证明：为的直径，，为的切线，；（2）解：①，，，．．，，．，；②当时，，，，．为的直径，．，在和中，，，．，，；当时，，，为的直径，，，．，，．，，，，．．．．，；当时，，．，，，．．，，．设，，．，．．，．．．．综上，当为等腰三角形时，满足条件的的腰长为或或．（3）解：当，，在一条直线上时，为的直径，，，，．，．，．，．，．．，．解得：或（不合题意，舍去）．，故答案为：．24．（2022•瑞安市二模）如图，在等边中，，为边上一点，以为边向右构造等边，过点作于点，并延长交于点，连结．（1）求证：．（2）当时，求的长．（3）已知，为边的中点，为线段上一点，当直线将的面积分成两部分时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【详解】（1）证明：和是等边三角形，，，，，即，在和中，，，；（2）解：过点作，交的延长线于点，，是等边三角形，，，，设，则，在中，，，，，在中，，解得，；（3）解：①过点作，交于点，如图2，，，是的中点，，，，直线将的面积分成两部分，点可以是与的交点，，，；②过点作，交于点，交于，此时直线将的面积分成两部分．过点作于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，，综上所述，的值为或．25．（2022•瓯海区模拟）如图，四边形为的内接四边形，延长，交于点，连结，，于点，连结并延长交于点，交于点，已知，，．（1）求证：．（2）求的值与的长．（3）连结，若是线段上一点，当点关于一边所在直线的对称点落在边或上时，求出所有满足条件的的长．【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或【详解】（1）证明：四边形为的内接四边形，，，，，是等腰三角形，是等腰三角形的外心，；（2）解：，，，，，，，，，，，，，；（3）解：分情况讨论：①当点与其对称点关于直线对称时，，，，，，，，即和点关于直线对称，所以，当与重合时，其对称点在直线上，，，的长为；②当点与其对称点关于直线对称时，是等腰三角形，，是等腰的对称轴，当点与边上的重合时，其关于直线的对称点在上，，的长为；③当点与其对称点关于直线对称时，设关于直线的对称点为，交于，交于，，，，，，，，，，，，，与关于直线对称，，，，，．综上，所有满足条件的的长为或或．26．（2022•鹿城区二模）如图1，在矩形中，，．为对角线上的点，过点作于点，交于点，是关于的对称点，连结，．（1）如图2，当落在上时，求证：．（2）是否存在为等腰三角形的情况？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．（3）若射线交射线于点，当时，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8【详解】（1）证明：如图1，连结．在矩形中，，．是关于的对称点，，，，，．（2）如图2，当时，设，则，，，，，；如图3，当时，设，则，，，，，．如图4，当时，设，则，，，，，．（3）如图5，设，则，，，，，，，，，．27．（2022•鹿城区校级二模）如图，在平行四边形中，，，，为对角线，的交点，点是线段上一点，以为直径的圆分别交线段，于点，，延长交线段于点，连结，，．（1）当时，求证：；（2）当时，求的值；（3）连结，当是等腰三角形时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【详解】（1）证明：为直径，，，，，；（2）解：，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，为直径，，，又，，，，，，，，，，，，即，，，，，，，；（3）解：①当时，过点作于点，则，，，，，，，，，，，，，即，；②当时，，由①得，，即，；③当时，，，，（不合题意，舍去），综上，的长为或．28．（2022•鹿城区校级三模）如图1，直径于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结，．（1）求证：．（2）如图2，连结，当时，求和的面积之比．（3）当四边形有两边相等时，求的长．【答案】（1）见解析；（2）5；（3）2或或40【详解】（1）证明：，是直径，，，，；（2）解：如图，连接，直径，，，，，，，，四边形内接于，，又，，，又，，（3）解：①当时，如图，连接，是的直径，，，，，，在和中，，，，在中，，，；②当时，如图，在和中，，，；③当时，如图，过点作，，连接，，，直径于点，，，，，由（2）可知：，，，，，，在中，，在中，，，由（2）可知：，，即，，又，，，，则，，，，，，即，；④当时，点与点重合，与题意不符；⑤当时，四边形为圆内接四边形，，又，，显然不存在；综上所述，的长为2或或40．29．（2022•苍南县二模）如图，直线分别交轴、轴于点，，点在线段上，连结，交于点，是的中线，设．（1）求的长．（2）当为中点时，求的值．（3）点关于直线的对称点为点，①若四边形是菱形，求的值；②当取到最小值时，请直接写出的长．【答案】（1）；（2）或3；（3）①；②【详解】（1）当时，，，当时，，，，，；（2）如图1，作于，，，，，，，，，，，，，，，，，，，即或3；（3）①当四边形是菱形时，，，，，；②如图2，作于，设，，，，由（1）知，，，，，，，设，，△，，即：，或，，当时，，最小，，，，，，．30．（2022•龙湾区模拟）如图，在矩形中，于点，交边于点．平分交于点，并经过边的中点．（1）求证：．（2）求的值．（3）若，试在上找一点（不与，重合），使直线经过四边形一边的中点，求所有满足条件的的值．【答案】（1）见解析；（2）（3），或，或【详解】（1）证明：，，，，，，平分，，，，，，（2）解：为中点，设，，由（1）知，，又，，，，，，，又，，，，，，，，，在中，，；（3）若，则，，，，，，，，分三种情况：