北京市西城区2024届高三年级下册4月统一测试数学试卷（解析版）

北京市西城区2024届高三下学期4月统一测试数学试卷

第一部分（选择题）

一、选择题

1.已知全集。=R,集合A=WX<3}，3={X-2WxW2},则AI”=（）

A.（2,3）B.（-«）,-2）o（2,3）

C.[2,3）D.（F-2]D[2,3）

K答案HB

[解析》因为集合5={%]-2<%<2},所以23=卜|%<-2或X〉2},

又集合4={中<3},所以AIe8={小<-2或2<x<3}=（—2）U（2,3）.

故选：B.

2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+。）上单调递增的是（）

A.y=x2+xB.y=co&x

C.y=2"D.y=log2\x\

k答案1D

K解析工对于选项A,当X=1时，y=l+l=2,当x=—1时，y=l—l=o,即

所以选项A不满足题意，

对于选项B,因丁=<»立在区间（0,+8）上不单调，所以选项B不满足题意，

对于选项C,因y=2工图象不关于>轴对称，所以选项C不满足题意，

对于选项D,因为y=log2|x|的定义域为（YQ,0）U（0,"O）,关于原点对称，

又/（-%）=log2|-x|=log2|x|=/（x），所以y=log,\x\为偶函数，

当尤>0时，y=log2|x|=log2x,又y=log2X在区间（0,+8）上单调递增，所以选项D

满足题意，故选：D.

3.[x-^\的展开式中，常数项为（）

A.—60B.-15

C.15D.60

K答案工D

|的展开式的通项为&]=C"6f(-2)’晨尸

k解析工x-7

令6—3厂=0,得到〃=2

展开式中常数项为(—2)2(2：=60,故选D项.

4.已知抛物线。与抛物线/=4%关于直线＞=%对称，则C的准线方程是()

A.x=—1B.x=-2

C.y=—lD.y=-2

[[答案』c

K解析工因为抛物线C与抛物线=4x关于直线＞=%对称,

所以将无,y互换后可得抛物线C方程为d=4y,即2。=4=。=2,

所以C的准线方程为y=—々=—1,

故选：C.

5.设〃=%—,b=t—,c=%（2+%）,其中一lv%vO,则（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

K答案Ic

K解析H由一lv%<0,故1^（—8,—1）,故〃

tt

由对勾函数性质可得匕=/+；<—（1+1）=—2,

c=，（2+才）<0,且0=才・（2+1）=/+2/=«+Ip—1>—1,

综上所述，有bvcva.

故选：c.

6.已知向量a/,g在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

［答案XA

K解析工由图可得a—万=（1,一3）,c=（2,l）,故c-（a—>）=lx2+（—3）x1=—1.

故选：A.

/、fx12*4+A:,-2<x<0/、

7.已知函数/（x）=｛匚“_，若/（x）存在最小值，则c的最大值为（）

111

A.—B.C.D.1

16842

K答案XA

K解析U当一2Vx<0时，/（%）=%2+%=［%+；］一；，故当九=一；时，/（X）有最小

值为一%

owX<c时，/（彳）=一6单调递减，所以—,

由题意/a）存在最小值，则-62-工，解得0<。4工，即。的最大值为工.

41616

故选：A

8.在等比数列｛4｝中，4,>0.贝『'成>'+『'是"4+1>4+3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

(答案』B

k解析』设等比数列｛%｝的公比为4/0,

当“wAano+i时，即有册。>"一%„,又。%>0，故q<l且qwO,

当q<-1时,有4+3=。%%+1>%+1,故不能得到4+1〉"w+3，

即“%。>标+1”不是“4+1>%+3”的充分条件；

当4+1>。+3时，即有。%+3=4%«0+1<。«()+1，即<72<1且q/°，

则41+1=/%,当qe(—1,0)时，由。取>0,故/+i<0,故%>%+1,

当qe(O,l)时，a%+i=q.a,一%亦可得%>'+1,

故"%。>4。+1”是“％+i>4+3”的必要条件；

综上所述，“%。>册。+1”是“%+1>4+3”的必要不充分条件.故选：B.

9.关于函数/(x)=sinx+cos2x,给出下列三个命题：

①“X)是周期函数；

②曲线y=/(x)关于直线对称；

③〃力在区间［0,2兀)上恰有3个零点.

其中真命题的个数为()

A.0B.1C.2D.3

k答案》D

K解析X对于①，因/(x)=sinx+cos2x,

所以〃x+27i)=sin(x+27i)+cos2(x+27i)=sinx+cos2x=/(x),故7=2兀，所以选

项①正确，

对于②，因为于5一%)=sin(兀一x)+cos2(7r一％)=sinx+cos2x=f(x),

jr

由对称轴的定义知，元=］为函数/(九)的一条对称轴，所以选项②正确，

对于③，因为/(X)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+l,令/(x)=0,得到

-2sin2x+sinx+1=0，

解得sin%=—5或sinx=1,又工£[0,2兀），由sin%=一万，得至=3-或—=$，

7T

由sinx=l,得至3=',所以选项③正确，

2

故选：D.

10.德国心理学家艾・宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据

绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间/（小时）变化的趋势可由函数

y=l-0.6产27近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：

lg2ao.30,lg3a0.48）

A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时

k答案UC

k解析》根据题意得工=1-0.6产27,整理得到』=产27,两边取以1。为底的对数，

26

得到lg』=0.271g/,即1-lg3-21g2=0.271g八又lg2ao.30,lg3=0.48,

6

88

所以lg/二—药,得到彳=]0一万六05,故选：C.

第二部分（非选择题）

二、填空题

11.若复数Z满足（l+2i）z=3+i,则忖=

K答案X72

K解析》（l+2i）z=3+i,则z=答=（；-；）—=]_i,

1+21（1+21）（1-21）5

故忖=Jl2+12=故K答案U为：•

12.已知。，万£（0,兀）.使tan（a+6）＜tan（a—月）成立的一组a,（3的值为

----------；B------------

TTTT

K答案X--（K答案》不唯一）

33

（解析H取0=/=］,此时tan（a+/?）=tang<0,tan（a—万）=tanO=。，

故tan（a+/?）<tan（a—£）,符合要求.

TTTT

故［答案》为：一；一氯答案』不唯一）.

33

2

13.双曲线M：/—］_=1的渐近线方程为；若M与圆。：炉+丁2=/&〉（））

交于AB,。,。四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，贝ijr=.

（答案Xy=+43x也

k解析》由〃：炉—其=1,故其渐近线方程为y=土走》=±氐；

31

23

令由题意可得帆=1”，即有m2一2=1,解得机2=一，

32

故产=+〃2=2rrr=3，即r=6.

故［答案U为：y=+y/3x；色.

14.在数列｛a“｝中，q=2,a2=-3.数列也｝满足仇=a“+i—a”eN）若也｝是公

差为1的等差数列，则｛包｝的通项公式为2=,«„的最小值为.

［答案工n-6-13

K解析工由题意a=。2-。1=-5,又等差数列｛%｝的公差为1,

所以2=-5+（«-1）-1=«-6；

故4+1-4="一6,所以当〃W6时，«„+1-a„<0,当〃>6时，a„+i-a„>0,

所以6>%>。3>〃4>。5>。6=%<4<〃9<…，显然an的最小值是。6•

又an+l—"〃="一6’所以。6=。1+(。2—%)+(%—。2)+(。4一%)+(%—。4)+(。6-。5)

=2+(―5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=-13,即4的最小值是一13.

故［答案X为：n-6,-13

15.如图，正方形ABCD和矩形MEF所在的平面互相垂直.点尸在正方形ABCD及其内

部运动，点。在矩形ABEF及其内部运动.设AB=2,AF=1,给出下列四个结论：

①存在点RQ，使尸。=3；

②存在点RQ，使CQ//EP；

③到直线A。和EF的距离相等的点尸有无数个；

④若则四面体尸AQE体积的最大值为;.

其中所有正确结论的序号是.

K答案X①③④

k解析》建立如图所示空间直角坐标系A-EBD,

则有4(0,0,0)、F(l,0,0),3(0,2,0)、£>(0,0,2),C(0,2,2),石(1,2,0),

设Q(s,t,o),其中。<772,“/<2,0<5<1,

对①：PQ=(s,t-m,-n),则=&+«-,

当s=l,t—n—2,帆=0时，有p0=A/1+4+4=3,

故存在点P,Q,使PQ=3,故①正确；

对②：CQ=(sj—2,—2),石户=(―1,加―2,71),

若CQ//EP,则有I）'）,

sn=2

由0<5<1,故当s〃=2时，s=l,n=2,

此时有〃z—2=—（f—2）,即加+/=4,即〃工=/=2,

此时。与E重合，P与C重合，故不存在点尸,。，使CQ//EP,故②错误;

对③：点P到直线A。的距离为加，点P到直线EF的距离为Ji?+〃2,

即有"=,12+/，即〃2=1，由°<加,〃<2，

故其轨迹为双曲线的一部分，即点尸有无数个，故③正确；

对④：AP=（0,m,n）,EP={-1,m-2,ri）,

由上故有加（加一2）+1=0,则“2=1—（7%—1）2包0』，

又SA2E<5S矩形ABFE=,xlx2=l,

故K-A0E=gxSA2EX"<gxlxl=g,故④正确.

故［答案》为：①③④.

三、解答题

16.如图，在三棱柱ABC-431G中，侧面AACG为正方形，AB±AC,AB=AC=2,

。为的中点.

(1)求证：4。//平面4片。；

(2)若ACLA8,求二面角。—Ag—4的余弦值.

(1)证明：如图，连接48,设ABAB】=E,连接OE.

因为在三棱柱ABC-A与G中，四边形耳是平行四边形，所以E为AB的中点.

因为。为的中点，所以DE//A。.

又因为4CO平面ABQ,DEu平面A耳。，

所以AC“平面入用”

(2)解：因为AB^AC,ABYAC,

又4CCAC=C,acu平面AACG，ACU平面AACG，

所以AB工平面AACG，又因A^U平面AACC],所以ABLA4.

又A41，AC,所以A3,AC,A4两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系A-孙z,

则4(0,0,0),4(2,0,2),D(l,l,o),C(0,2,0).

所以M=(2,0,2),A£>=(1,1,0).

,、fm-AB.=0[2x+2z=0

设平面ABQ的法间量为桃=(x,y,z),贝叫即八

m-AD=0|x+y=0

令x=-4,则y=l,z=l于是应=(-1,1,1).

因为AC，平面AA34,所以AC=（O,2,O）是平面AA55］的一个法向量.

由题设，二面角。-4与-4的平面角为钝角，

所以二面角。一A用一4的余弦值为一心.

3

17.在一ABC中，atanB=2Z?sinA.

（1）求一§的大小；

（2）若a=8,再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在，求,ABC的面

积.

条件①：边上中线的长为收；

2

条件②：cosA=一—；

3

条件③：匕=7.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

解：（1）由atanB=2Z?sinA,得asmB=2Z?sinAcosB,

在，ABC中，由正弦定理得sinAsinB=2sinAsinBcosB,

1兀

因为sinA>0,sin3>0,所以cos3=—,又。所以/B=—；

23

（2）选条件①：边上中线的长为0T：

设边中点为M,连接AAf,则AM=

ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB，

即21=44+16-8AB-cos1,整理得AB?-4AB-5=0,解得AB=5或AB=-1（舍），

所以.ABC的面积为S=gAB.BCsinB=gx5x8sinm=10jL

B

选条件③：b=7：

在ABC中，由余弦定理得步=储+02一2accos3，即7?=8?+c?—16c-cos],

整理得c?-8c+15=0，解得c=3或c=5,

当c=3时，,ABC的面积为S钻。=；acsinB=gx8x3sinm=64.

当c=5时，ABC的面积为=gacsinB=gx8x5sinm=10j^.

不可选条件②，理由如下:

2=好,

若cosA=一故A为钝角，则sinA=

一§'

8/

,asinBx12^/15,432,

则8=一:—―=-~—，1>一=---->a,即

sinA55

其与A为钝角矛盾，故不存在这样的一ABC.

18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立

姿射击60发子弹,总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:

环数6环7环8环9环10环

甲的射出频数11102424

乙的射出频数32103015

丙的射出频数24101826

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.

（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由;

（2）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;

（3）甲、乙、丙各射击10次，用X,（i=1,2,3）分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于。环的次

数，其中ae{6,7,8,9}.写出一个a的值，使0（乂3）＞0（乂2）＞0（乂1）.（结论不要求证

明）

解：（1）甲进入决赛，理由如下:

丙射击成绩的总环数为2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射击成绩的总环数为1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.

因为549＞542,所以用样本来估计总体可得甲进入决赛.

242

（2）根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为一=一；

605

242

“甲命中10环”的概率可估计为二=—；

605

301

“乙命中9环”的概率可估计为一=—；

602

“乙命中10环”的概率可估计为"='.

604

所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：

[IN小凯*MM*"端.

(3)〃=7或8.

根据题中数据：

当a=6时，

59

在每次射击中，甲击中大于6环的的概率为p=而；

57

在每次射击中，乙击中大于6环的的概率为p=而；

58

在每次射击中，丙击中大于6环的的概率为p=而；

由题意可知：二］,X2fiflO,——,X310,——

k60/\60;\60

此时。(Xj=10x竺义工=幽~,D(X2)=10x—x—=

'176060360012760603600

q(4)=1。产x2=3,

v3760603600

不满足0（X3）>0（X2）>O（X]）.

当a=7时,

在每次射击中,甲击中大于7环的的概率为p=0；

乙击中大于环的概率为；

在每次射击中,72=1|

60

54

在每次射击中,丙击中大于7环的的概率为口=不

60

嗜〉、2~小喘,X—琮.

由题意可知:

此时。（xj=iox变义工=^^2750

D（X2）=10x—x—=

'"60603600'2760603600

D（X3）=10X^XA=^,

V3760603600

满足0（X3）>0（X2）>D（Xj.

当a=8时，

48

在每次射击中，甲击中大于8环的的概率为°=而；

45

在每次射击中，乙击中大于8环的的概率为°=而；

44

在每次射击中，丙击中大于8环的的概率为°=0；

由题意可知：X]〜,X2~10,—|,X3~10,—

I60jI60J160

“4八/、7\e48125760八/、,、45156750

此时。（X］）=10x—x—=,D（—10x—x—=------

\"6060360012760603600

°区）=1°碍啾=篝，满足。区）＞。区）＞。（乂）.

24

当a=9时，在每次射击中，甲击中大于9环的的概率为p=0

15

在每次射击中，乙击中大于9环的的概率为°

-60

26

在每次射击中，丙击中大于9环的的概率为°

~60

X2〜11。喘;〜“0，总.

由题意可知：

“s24368640八〜、15456750

此时。（X］）=10x—x—=------,_D（X?）=10x—x—=--------

'176060360012760603600

26348840

D（X）=IOX------X------

360603600

不满足0（X3）>0（X2）>O（Xj.所以a=7或8.

22

19.己知椭圆G:\+与=l（a>，>0）的一个顶点为4（-2,0）,离心率为丸

ab/

（1）求椭圆G的方程；

（2）设。为原点.直线/与椭圆G交于两点（C。不是椭圆的顶点），/与直线x=2

交于点E，直线ACA。分别与直线OE交于点M,N.求证：|。知|=|。2.

（1）解：由题意可得£==，解得。=有,

a2

入c=1

a2-b2=c2〔

所以椭圆G的方程为三+乙=1；

43

（2）证明：由题意可知直线/的斜率存在，设其方程为丫=履+加.

I^2）

则E（2,2k+m）,直线OE的方程为y=\k+—\x,

\y=kx+m

得（4K+3）V+8ktnx+4nr-12=0,

叫3/+4/=12'

由A=48（4左2一加2+3）>0,得裙<4左2+3,

设C（%，%），D（孙％），8kmW-12

则为+々=_4左2+3送1々=

442+3

直线AC的方程为y=*g（x+2）,

联立直线AC和OE得」^7（X+2）=左+£X,

玉+2'I2）

4M4（hq+m）

mxx+4kmXy+4左，

4（AX2+m）

同理可得/=

7nx2+4左

(fctj+7%)(7%+4左)+(京2+根)(7叫+4人)

所以为+XN=4X

〃%+4k^tnx2+4左)

因为+zn)(mr,+4左)+(3+机)(，叫+4%)

=2km+(4左之+/)+8^z

2km(4m2—12j8km(4k~+m2^8km(4k2+3^

--4/+34k~+3-+-4k2+3—一°'

所以“+/=0,即点M和点N关于原点。对称，所以闾=|。叫.

20.己知函数/'(x)=x+ln(以)+，xe".

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(1,/。))处切线的斜率;

(2)当。=-1时，讨论〃龙)的单调性；

(3)若集合｛削/(“2-1｝有且只有一个元素，求"的值.

解：(1)当a=l时，/(x)=x+lar+%ev,

所以/''(x)=l+L+(l+x)e、，得到了'(l)=2e+2,

X

所以曲线y=/(x)在点(1,/(1))处切线的斜率为2e+2.

(2)当a=—l时,/(x)=^+In(-%)-xe',易知/(%)的定义域为(一”,0),

Xr(x)=l+--(l+x)

因为xc(-8,0),所以L—e*<0,

X

所以尤,T)时，xe(-l,o)时，/(%)<0

所以/(力的单调递增区间为(-8,-1);单调递减区间为(-1,0).

11QX

(3)因为/(x)=x+ln(依)+—xe"所以/'(x)=(l+x)—4——

C/L、

易知a/0,当a>0时，/(力的定义域为(0,+"),

所以制x)>0恒成立，故"X)在(0,+“)上单调递增，

又/+—ea>0,所以。>0不合题意,

aa

当a<0时，”力的定义域为(—8,0),此时工+生<0,

xa

所以尤e(T,—1)时，f^x)>0,xe(-l,0)时，/'(x)<0,

故〃力的单调递增区间为单调递减区间为(—1,0),

所以/'(x)max=/(T)=T+ln(—a)—'.

111py1

设g(x)=-l+ln(-x)---(%<0),则g'(x)=一+—-=——)

xexex'

当xe一勿,—尸寸,g'(x)<0,XG—,0时，g'(x)>0,

所以g(x)的单调递减区间为单调递增区间为

所以g