2024年中考数学复习-实际问题与二次函数之拱桥问题

2024年中考数学专题复习：实际问题与二次函数之拱桥问题

1.竦州大桥桥面上有两个完全相同的拱形钢梁，每一个拱形钢梁可看作抛物线的一部

分，如图是大桥的侧面示意图，桥面长240米.点A是桥面的中点，钢梁最高

点C,。离桥面的高度均为30米.以桥面所在的直线为x轴，过点。且垂直于的

直线为》轴建立平面直角坐标系.

⑴求过点。，C,A三点的抛物线表达式.

(2)“竦州大桥”四个字标注在离桥面高度为22.5米的拱形钢梁的点E处(点E在点C的左

侧)，小明从点。动身在桥面上匀速前行，半分钟后到达点E正下方的点P处，则小明

通过桥面需多少分钟？

2.如图是某悬索桥示意图，其建筑原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以

相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量,

主索的几何形态近似符合抛物线.己知两桥塔桥面以上高度AD=3C=12m,间距AB为

40m,主索最低点为点尸，点尸距离桥面尸。为2m.

(1)请你建立适当的平面直角坐标系，求出主索抛物线的表达式;

(2)求吊索Eb的长度.

3.如图，隧道的截面由抛物线和矩形ABC。构成，矩形的一边8C为8加，另一边

AB为2m,以BC所在的直线为x轴，线段BC垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，

y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点0的距离为6m.

(1)求此抛物线对应的函数表达式；

(2)假如该隧道内设双行道，现有一辆货运车的高为4.3加，宽为2.4〃z,问这辆货运车能

否在一侧行道内通过该隧道？

4.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔外形、大小都相同.正常水位

时，大孔水面宽度A8=20米，顶点M距水面6米(即"0=6米)，小孔顶点N距水面

4.5米(即NC=4.5米).当水位上涨刚好沉没小孔时，借助图中的直角坐标系，求

(1)大孔抛物线形的解析式；

(2)此时大孔的水面宽度EF.

5.如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线外形，当水面的宽度为10m

时，桥洞与水面的最大距离是5m.

(1)建立如图的直角坐标系，求抛物线的解析式；

(2)一艘货船宽8m,水面两侧高度2m,能否平安通过此桥?

6.如图，一座温室试验室的横截面由抛物线和矩形组成，矩形的长是16m，宽

是4加.依据图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-Jx2+6x+c表示，CD为一排平

行于地面的加湿管.

.”'m

(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离.

(2)若加湿管的长度至少是12m,加湿管与拱顶的距离至少是多少米？

(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道相互平行)，且恒温管与加湿管相距

L25〃z,恒温管的长度至少是多少米？

7.如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度6m时，水深3m,当水面上升1m时，水

面宽度为多少米？

8.如图是一座抛物线形的拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥相交于42两点，拱桥

最高点C到的距离为9m,AB=36m,D,E为拱桥底部的两点，DE//AB.

(1)以C为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，求出此时抛物线的解析

式.(忽视自变量取值范围)

(2)若。E=48m,求E点到直线A8的距离.

9.一座拱型桥，桥下水面宽度A3是20米，拱高8是4米.若水面上升3米至E尸.则

水面宽度即是多少？

(1)如图①，若把桥拱看作是抛物线的一部分，求班'的长;

(2)如图②，若把桥拱看作是圆的一部分，求所的长.

10.如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为12m,宽为4m,依据如图所

示建立平面直角坐标系，抛物线可以表示为y=-]-x2+c

（1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶E到地面8C的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后，高6m,宽为4m,假如隧道内设双向车道，

那么这辆货车能否平安通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，假如灯离地面的

高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

11.如图，在一次足球训练中，球员小王从球门前方10m起脚射门，球的运行路线恰是

一条抛物线，当球飞行的水平距离是6m时，球到达最高点，此时球高约3m.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）已知球门高2.44m,问此球能否射进球门？

12.如图，隧道的截面由抛物线A即和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m,宽AB

为2m,以3C所在的直线为x轴，线段8c的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系（如

图），y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点。的距离为6m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）现有一辆货运卡车，高4.4m,宽2.4m,它能通过该隧道吗?

13.有一个截面边缘为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为

10m.把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中.

（1）直接写出抛物线的顶点坐标;

（2）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（3）如图，在对称轴右边2m处，桥洞离水面的高是多少？

14.施工队要修建一个横断面为抛物线的大路隧道,其高度为8米，宽度OM为16米.现

以。点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）.

（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）隧道下的大路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道

能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；

（3）施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CD4B,使A.。点在抛物线上.B、

C点在地面。加线上（如图2所示）.为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、

0c的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下.

图1图2

15.小明将他家乡的抛物线型彩虹桥按比例缩小后，绘制成如下图所示的示意图，图中

的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，

左右两条抛物线关于y轴对称,经过测算,右边抛物线的表达式为y=-焉(x-30)2+5.

(1)直接写出左边抛物线的解析式；

(2)求抛物线彩虹桥的总跨度AB的长；

(3)若三条钢梁的顶点M、E、N与原点O连成的四边形OMEN是菱形，你能求出钢

梁最高点离桥面的高度OE的长吗？假如能，请写出过程；假如不能，请说明理由.

16.一隧道内设双行大路，隧道的高MN为6米.下图是隧道的截面示意图，并建立如

图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF的三条边围成的，矩形的长

DE是8米，宽CD是2米.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)为了保证平安，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离.若行车

道总宽度PQ(居中，两边为人行道)为6米，一辆高3.2米的货运卡车(设为长方形)

靠近最右边行驶能否平安？请写出推断过程；

(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG,使H、G两点在抛物线上,

A、B两点在地面DE上，设GH长为n米，“脚手架”三根木杆AG、GH、HB的长度之

和为L,当n为何值时L最大，最大值为多少？

17.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面A3的宽为18米，拱顶。离水面A3的距

离为9米，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF.

①假如限定矩形的长。为12米,那么要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过多少米？

②若点、E,尸都在抛物线上，^L=EF+DE+CF,当L的值最大时，求矩形CDEb的

高.

18.如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m,宽是2m.依据图中所

示的直角坐标系，抛物线可以用y=}x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到0B的水平

距离为2m,到地面OA的距离为5m.

(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面0A的距离；

(2)该隧道内设双行道，一辆货车高4m,宽2.5m,能否平安通过，为什么？

19.利川市南门大桥是上世纪90年月修建的一座石拱桥，其主桥孔的横截面是一条抛

物线的一部分，2024年在修理时，施工队测得主桥孔最高点P到水平线加的高度为

30%宽度为60%如图所示，现以。点为原点，加所在直线为x轴建立平面直角坐

标系.

(1)直接写出点M及抛物线顶点尸的坐标；

(2)求出这条抛物线的函数解析式；

(3)施工队方案在主桥孔内搭建矩形“脚手架”ABCD,使4