充要条件教案 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课程基本信息学科高中数学年级高一学期秋季课题1.4.2充要条件教科书书名：普通高中数学必修一教材A版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标理解充要条件的意义，数学定义与充要条件的关系。结合具体命题，掌握命题条件的充要性判定及证明方法。能根据给出的充要条件求相关参数的值或范围。初步使用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，提高逻辑推理素养。数学学科核心素养数学抽象：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。逻辑推理：能对某些命题的充要条件进行证明。直观想象：能从集合的观点理解充要条件。教学重难点教学重点：理解充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判断。教学难点：充分性与必要性的推导顺序及充要条件的证明。教材分析1.教材来源本节课是新版教材人教4版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章第4节《充分条件和必要条件》第2课时。2.地位与作用常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流工具，是逻辑思维的基本语言，充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用的逻辑用语。在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成部分，它们都可以用逻辑用语表达。每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件;每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件;每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性。充要条件是中学数学中重要的数学概念之一，它主要讨论了命题之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下基础。学情分析1.认知基础学生已经掌握了由判断“若p，则q”命题的真假来判断p是q的充分条件，必要条件。学生会判断一些简单命题的真假。2.认知障碍充要条件的证明，容易混淆条件和结论。教学方法小组合作、自主学习、问答式、讨论式等。教学工具希沃白板、课件教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图温故知新教师展示《1.4.1充分条件与必要条件》知识汇总表格，让学生把命题、充分条件与必要条件的空缺内容补充完整。思考回忆讨论交流及时复习上节课的学习内容，加深学生记忆。情景引入在如图所示电路图中（整个电路和灯泡一切正常），我们闭合开关S1，灯泡L1就会亮起。条件p：闭合开关S1；条件q：灯泡L1亮起。请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？教师组织学生小组讨论，并进行引导：“若p，则q”是哪种命题形式？“若q，则p”是哪种命题形式？教师带领学生总结（“若p，则q”为原命题，“若q，则p”为原命题的逆命题）。小组讨论分享答案归纳总结通过物理电路情景问题，引导学生思考，激发学生的学习兴趣。新知探究一充要条件的概念请判断下列“若p，则q”形式的命题的真假，写出它们的逆命题并判断逆命题的真假。（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等。（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等。（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac﹤0。（4）若AUB是空集，则A与B均是空集。教师引导学生判断上述命题及其逆命题的真假，发现上述命题中命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命題（3）是假命题，但它的逆命题是真命题。独立思考探究问题从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引入充要条件的概念。教师提问：对于上述的命题，p是q的什么条件？q是p的什么条件？哪些命题中p既是q的充分条件也是q的必要条件？教师给出充要条件的概念：如果“若p，则q是真命题,则记作pq。如果它的逆命题“若q，则p”是真命题，则记作qp。此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件，记作pq。显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。如果pq，那么p与q互为充要条件。思考：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？思考回答理解定义通过问题探究，使学生深入理解充要条件的概念，培养数学抽象的核心素养。新知探究二充要条件的判断例1.下列各组命题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；（4）p：x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0)。教师总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法。(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假。(2)集合法：即利用集合的包含关系判断。(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性。独立思考探究问题归纳总结巩固练习通过例题及练习的学习，使学生理解条件与结论的推出关系，强化逻辑推理的核心素养。从集合的角度看充分、必要条件：练一练：指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)。（1）p：x2>0，q：x>0；（2）p：a能被6整除，q：a能被3整除；【答案】（1）p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件。（2）p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件。思考理解巩固做题新知探究三充要条件与数学定义教师组织学生小组讨论：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？(1)两组对边分别平行；(2)两组对角分别相等；(3)两组对边分别相等；(4)一组对边平行且相等；(5)对角线互相平分。上面这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，由此我们可以给出平行四边形的其他定义形式.例如：一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形叫做平行四边形。类似地，利用“两个三角形全等”的充要条件，可以给出“三角形全等”的其他定义形式（SSS、SAS、AAS、ASA、HL），这些定义相互等价，等等。小组讨论分享答案小组讨论，探究数学定义与充要条件之间的关系，培养学生的合作学习能力。新知探究四充要条件的证明例2.已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与O相切的充要条件。教师总结：充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件。练一练：求证：一元二次方程ax2+bx+c=0证明：证明必要性：若“一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根”成立，由韦达定理可得，x1x证明充分性：若“ac<0”成立，此时一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.所以“一元二次方程ax2+bx+c=0问题探究总结归纳巩固练习通过学习充分条件的探求与证明，使学生明确充分性、必要性的推导方向，培养学生的逻辑推理的核心素养，培养学生解决问题的能力。项目探究记a：开关A闭合，b：灯泡B亮，则图1、图2、图3、图4中，a依次为b的条件、条件、条件、条件(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出一个)。教师提问：请同学们思考一下，如何解答此题？教师给出题目后，留给学生足够的时间，让他们充分思考、观察、分析后，教师根据课前批改导学案的情况，指定小组回答，并给予适时的点拨。教师带领学生总结条件关系判定的常用结论：问题探究小组讨论展示分享教师引导学生对生活实例的分析、探究，加深学生对“充分”、“必要”含义的理解，并体现数学来源于生活的道理。高考题目1.(2023天津,2,5分,易)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件2.(2021天津,2,5分,易)已知a∈R,则“a>6”是“a>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件教师随机提问学生，并让学生板书展示。思考做题通过题目训练帮助学生理解集合与充分、必要条件的关系，并学会使用集合法进行判断