专题17 解答中档题型：三角函数与恒等变换（解析版）

专题17解答中档题型：三角函数与恒等变换1．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）已知．(1)求的值；(2)已知，求的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用二倍角公式化简得，然后用弦化切求解或者二倍角公式求解；（2）利用二倍角公式和两角和的正切公式即可求解.【详解】（1）法一：，得，．法二：，由，得，，．（2）法一：由，得，，，由（1）知，，得．法二：由，得，或，当时，，当时，，故，由（1）知，，得．2．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知函数，（，）(1)若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点；(2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.【答案】(1)见解析；(2)最小值为，最大值为【分析】（1）代入的值，化简，即可求得，根据单调性即可求解；（2）令，问题转化为时，，要求的最值，则需要和的系数相等进行求解.【详解】（1）证明：当，时，，则，，，且是一个不间断的函数，在上存在零点，，，∴在上单调递增，在上有且仅有1个零点.（2）由（1）知，令，则，∴，∵对于任意的，恒成立，∴恒成立.令，则时，恒成立.即，令，解得或.当时，解得，取，成立，则恒成立，，当时，解得，取，成立，则恒成立.，综上，的最小值为，的最大值为.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：（1）赋值法和换元法的应用；（2）三角函数图像和性质的应用；（3）转化化归思想的应用.3．（22-23高一下·江苏淮安·期末）已知，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由已知函数值以及角的范围可得，结合两角差的余弦公式即可求值.（2）根据，结合两角差的正余弦公式即可求值【详解】（1）因为，则，所以.（2）由（1）可得：，因为，则，可得，所以.4．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知函数，(1)求的最大值；(2)证明：函数有零点.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，由的取值范围求出的取值范围，即可得到函数的单调性，即可求出函数的最大值；（2）首先得到的解析，求出区间端点的函数值，结合零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为，因为，所以，所以在上单调递减，所以.（2）因为，，因为，，且图象在上不间断，所以在区间上有零点.5．（22-23高一下·江苏镇江·期末）已知，，求下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【分析】（1）由平方后求得，从而可得，联立可得的值，即可得解；（2）利用二倍角公式及齐次式计算即可.【详解】（1）因为①，则，得，则，因为，则，所以②，由①②得，所以．（2）.6．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知函数的最大值为1.(1)求常数m的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据辅助角公式化简可得，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案；（2）根据已知可得出，，然后根据二倍角公式得出的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案.【详解】（1），当，即时，，所以.（2）由（1）知，.由得，，所以.又，所以，所以，所以，，所以.7．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，且，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，然后求得由两角和的正切公式可得答案；（2）结合（1），利用，由两角和的正切公式，结合可得答案.【详解】（1）由题意，所以

，

所以；（2）由为锐角，可得

，

，所以.8．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知函数的最大值为.(1)求常数m的值；(2)求函数的单调递增区间及图象的对称中心.【答案】(1)；(2)单调递增区间为，对称中心为，【分析】（1）先化简的解析式，列出关于m的方程，解之即可求得m的值；（2）利用整体代换法即可求得函数的单调递增区间及图象的对称中心.【详解】（1），，由函数的最大值为，可得，解之得；（2）由（1）可得，由，可得，则函数的单调递增区间为；由，可得，则函数的对称中心为，9．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知，，.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）已知和三角函数值，求解三角函数值，只需配凑角，然后利用两角差的正弦公式展开即可.（2）将和展开，联立方程可求得和的值，两式比值即为所求.【详解】（1）因为，，所以.所以=.（2）因为，，两式相加可得，，，所以，.10．（21-22高一下·江苏南通·期末）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式．(1)试用表示(2)求的值(3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：．【答案】(1)；(2)；(3)见解析【分析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明；（2）利用第（1）问的结论对进行代换得到关于的方程，解出即可，最后注意检验.（3）利用（1）中结论得到，再得到三根代入式子化简即可.【详解】（1）解：（1）因为，（2）所以，因为，因为，，即因为，解得（已舍）.（3）（3）因,故可令，故由可得:由（1）得:，因，故，故,或,或即方程的三个根分别为，又，故，于是，【点睛】本题需要对两角和差的余弦即二倍角的余弦公式运用熟练，推导出三倍角的余弦公式，再利用此公式进行应用证明后面的结论，计算和迁移应用要求高.一定要抓住第（1）问所证明的结论去证明.11．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知，(1)求和的值(2)若，，求的大小．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值；（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可.【详解】（1），；（2），，∵，∴.12．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图1，为了测量运动场上探照灯杆的高度；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为米的人站在灯杆正前方某点处（用表示站立的人），此时在地面的人影为，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后（用表示站立的人），此时在地面的人影为（假设把探照灯看做一个点光源）.(1)若，求灯杆的高度（单位：米）；(2)如图2，在地面上存在点满足，现在探照灯杆上安装一电子屏幕（屏幕中轴线为）播放运动赛况，屏幕的高米，屏幕底部距离地面米.此人（用表示站立的人）从上某一位置出发走向上某一位置（行走路线一直落在内），为始终能获得最佳观看效果（眼睛观看屏幕上下沿形成的视角最大），求此人行走的最短路程.【答案】(1)米；(2)米【分析】（1）由，得到相似比，，计算得到，，由题可得，建立关系式，代入数量即可求得灯杆的高度；（2）将平面单独拿出，在和中分别求得，，利用两角差的正切公式求得，进而转化成函数，利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）解：因为，所以，因为，所以，所以，同理可得.由题意可得，，，所以，即，所以米；（2）设，在平面内过点作，垂足为（如图），，，所以，，所以，因为（当且仅当，即时取等号），所以当此人距离灯杆的距离为米时始终能获得最佳观看效果，此时此人行走的路程为以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧长，所以最短路程为米.13．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知函数.(1)若函数的图象过点，且，求的值；(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解；（2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号．【详解】（1）因为.所以.因为函数的图象过点，所以.因为，所以，所以，解得.（2）因为，所以.因为，所以.所以，又，所以.因为，所以，所以.14．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，求下列式子的值：(1)；(2).【答案】(1)；(2)【分析】（1）由三角函数定义得，再由平方关系求得，利用诱导公式及倍角公式化简，代入求值即可；（2）先求出角的范围，再由平方关系求得，最后由结合余弦差角公式求解即可.【详解】（1）由题意知，，又，则，则；（2）易得，又，则，则.15．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知，，其中.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（１）由已知函数值以及角的范围得，，且，结合两角和差公式即可求值.（２）根据结合两角和差公式即可求值【详解】（1）知：，因为，则，故（2）由，∴，由知：，∴由题意，得，结合（1）有，∴.16．（21-22高一下·江苏镇江·期末）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的图像．(1)列出下表，根据表中信息．ωx＋φ0πa2πx13b79f（x）020c0①请求出A，ω，φ的值；②请写出表格中a，b，c对应的值；③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y＝f（x）一个周期内的图像；(2)当时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为B，C，D，E，F，其中C，E点分别是图象上的最高点与最低点，当△BCE为直角三角形，求A的值．【答案】(1)①2，，；②，5，；③图象见解析；(2)或【分析】（1）根据表格代入，利用待定系数法求解即可；（2）根据点的坐标，写出向量，利用向量求解即可.【详解】（1）①由表格可知，，由，解得，，②，，当时，，，③作出一个周期的图象，如图，（2），，则，当△BCE为直角三角形时，，解得.，解得，，综上，或.17．（21-22高一下·江苏盐城·期末）设.(1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由正弦型函数的性质有，即可求b值.（2）由正弦型函数的性质可得或且，结合、正零点求出x1，x2，x3，即可求ω的值.【详解】（1）由题设，可得.（2）令，则，所以或且，则或且，由且正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，所以、、，则，所以.18．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知，为锐角，，．(1)求的值；(2)求角．【答案】(1)；(2)【分析】（1）一方面由题设条件可解得，另一方面，利用和角公式展开即得