八年级数学 暑假同步讲义 第19讲 证明举例(解析版)

证明举例

内容分析

几何证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、

公理、定理的概念进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题.通

过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供

依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础.

知识结构

模块一：演绎证明

知识精讲

1、演绎证明的概念

演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明.也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条

件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.

演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法.演绎证明是一种严格的数学证明,

是我们现在要学习的证明方式，筒称为证明.

班假暑级年八

【例1】填空：

（1）如图，因为/1=60。（已知），N2=60。（已知），

所以//__________（）.

（2）如图，因为A5//CD（已知），

所以+ND=（）,

因为AD//BC（已知），

所以ZL4+=（）,

【答案】（1）。，b,内错角相等，两直线平行；（2）180°,两直线平行，同旁内角互补;

Zfi,两直线平行，同旁内角互补；D,B,同角的补角相等.

【解析】略

【总结】考查有关平行线的性质和判定定理的掌握.

【例2】已知：如图，△ABC中，AB=AC,是外角/CAE的平分线.

求证：ADUBC.

【答案】略

【解析】证明：•.•AB=AC,

:.ZB=NC

•.•NG场是的外角，

:.ZCAE=ZB+ZC

ZB=ZC=-ZC4E

2

4）是NC4E的角平分线,

NDAE=ZCAD=-ZCAE

2

：.ZDAE=ZB:.AD//BC

【总结】考查平行线的性质和判定，先判定平行再应用平行线的性质.

【例3】已知：如图，于。，EF1.BC于F,交E5_LBCAB于G,交C4延长

线于E,Z1=Z2.

求证：AO平分NB4C,填写分析和证明中的空白.

分析：要证明AD平分NBAC,只要证明=,

而已知N1=N2,所以应联想这两个角分别和N1=N2的关系，由已知BC的两条垂线可

推出____//.，这时再观察这两对角的关系己不难得到结论.

证明：ADVBC,EFA.BC（已知）

//（）,

（两直线平行，内错角相等），

=（两直线平行，同位角相等），

__________（已知），

即AD平分N84c（）.

【答案】ZBAD，NC4£＞，EF,ADxEF,AD•垂直于

同一直线的两直线平行；ZBAD,Zl,ZCAD,Z2；

N1=N2,ZBAD=ZCAD，角平分线的定义.

【解析】略

【总结】分析过程考查证明题的逆推法思想，证明过程利用相

关平行线的性质和判定，先判定再应用相关性质.

模块二：命题、公理、定理e

⑥）知识精讲

1、命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；

其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题.

数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”

开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.

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2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题.它们可以作为判断其他命题真假的原始

依据.

3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命

题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理.

例题解析

【例4】判断下列语句是不是命题？

（1）画NAO3的角平分线；

（2）两条直线相交，有几个交点？

（3）直角大于锐角；

（4）直角大于钝角；

（5）今天可能要下雨；

（6）几何多有乐趣啊！

【答案】（1）（2）（5）（6）不是命题：（3）（4）是命题

【解析】命题是对某一件事情做出判断的句子，由此可知只有（3）（4）是可以判断正误的

句子，即命题.

【总结】考查命题的定义，能判断一个句子是否是命题.

【例5】判断下列命题的真假.

（1）平行于同一条直线的两直线平行；

（2）垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）同角的余角相等；

（4）异号的两数相加得负数：

（5）乘积为1的两个数互为倒数.

【答案】（1）（2）（3）（5）是真命题；（2）（4）是假命题

【解析】判断为正确的命题叫做真命题，判断为错误的命题叫做假命题，正确的是（1）（3）

（5）,由此可知即为真命题，（2）（4）为假命题，注意（2）需直线在同一平面内方可

成立.

【总结】考查真假命题的判定，根据常见的公理定理以及定义性质等进行判断，正确的命题

即为真命题.

【例6】下列描述不属于定义的是().

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

B.正三角形是特殊的三角形；

C.在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形；

D.含有未知数的等式叫做方程.

【答案】B

【解析】能界定某个对象含义的句子叫做定义，ACD都可判定，只有B不能判定正三角形

是何种特殊类型的三角形.

【总结】考查定义的含义，并能判定一个句子是否是定义.

【例7】把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：

(1)直角三角形的两个锐角互余；

如果，那么;

(2)角平分线上点到角两边的距离相等；

如果，那么；

(3)线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等；

如果,那么.

【答案】(1)一个三角形是直角三角形，这个三角形两个锐角互余；

(2)一条射线是一个角的角平分线，这条射线上的点到角两边的距离相等；

(3)一条直线是一条线段的垂直平分线，这条直线上的点到线段两端点的距离相等.

【解析】略

【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅

助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化.

【例8】举出下列假命题的反例：

(1)两个角是锐角的三角形是锐角三角形；

(2)相等的角是对顶角；

(3)一个角的补角大于这个角；

(4)若片〉/^,则

(5)若已知直线b、c,若b±c,贝!laJLc.

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【答案】答案不唯一，以下是几个例子

【解析】(1)任意三角形中至少有两个角为锐角，取三角形两内角分别为30。，40°,则第

三个内角为110。，该三角形是钝角三角形；

(2)对顶角必有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，两直线平行，此时取一对同位角，

可知这对同位角相等，不为对顶角；

(3)取一角大小为110。,则这个角补角180。一110。=70。＜110。；

(4)取a=T,b=-2,此时/＜从；

(5)同一平面内，al.b16_Lc,则有a//c.

【总结】假命题的反例，需对命题所涉知识点进行分析，找准题目考查的知识内容，结合知

识点的理解，即可进行举例.

【例9】下列说法中，正确的是().

A.命题一定是正确的：B.不正确的判断就不是命题；

C.公理都是真命题；D.真命题都是定理.

【答案】C

【解析】根据命题的定义，命题是对某一件事情做出判断的句子，判断正确的是真命题，判

断错误的是假命题，由此可知AB错误，公理是人们从长期实践中总结出来的真命题,

可知C正确，真命题且可用来推导其它命题正确与否的命题是定理，可知D错误.

【总结】考查命题、公理、定理的定义和相互关系，公理和定理一定是真命题，但真命题不

一定是定理或公理.

【例10】下列命题是假命题的是().

A.有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；

B.有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等：

C.有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；

D.有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.

【答案】C

【解析】三角形中，两角确定，第三个角大小也可确定，即三角形形状固定，加上一条边上

的高或角平分线可确定三角形，可知AB正确；“倍长中线法”可证明D选项图形唯一

确定，对于C选项，三角形形状有锐角三角形和钝角三角形的差别，可作出不止一种

图形，可知C错误.

【总结】考查全等三角形判定的拓展延伸，只要根据三角形的边角关系对应确定即可.

模块三：证明举例

例题解析

【例11】已知：如图，在AABC中，ZACB=90°,CD_LAB于点。，点E在AC上,

CE=BC,过E点作AC的垂线，交8的延长线于点F.

求证：AB=FC.

【答案】略

【解析】证明：•.•£F_LAC,CDA.AB

:.NF+NFCE=90。,ZA+ZFC£,=90°

,-.Z4=ZF

-.­zS4CB=ZCEF=90°,CE=BC

:.^ABC^\FCE

AB=FC

【总结】垂直较多的图形中，根据同角（或等角）的余角相等易得到相等角，进而可证全等.

【例12]如图，已知ABC中，ZACB=90。，CD_L/W于。，AE为NA的角平分线,

交CD于E,过E作BC的平行线，交于点F.

求证：AF=AC.

【答案】略

【解析】证明：•.,NACB=90。，CD1AB

:.ZACD+ZBCD=90°,NB+N8C£>=90°

:.ZACD=ZB

•;EFIIBC

：.ZDFE=ZB

:.ZACD=ZDFE

班假暑级年八

・・・AE是NA的角平分线，.\ZCAE=ZDAE

\AE=AE

:.\CAE=\FAE

:.AF=AC

【总结】考查等角的余角相等知识点，结合相关平行线的性质证角相等证全等即可.

【例13】已知：如图，AB=CD,AD=BCfAE=CF.

求证：ZE=ZF.

【答案】略

【解析】证明：连结AC,

•.AB=CD,AD=BC,AC=AC

:.^ABC^\CDA

.-.ZB=ZD

・.・AB=CD,AE=CF

.\AB+AE=CD+CF,即BE=DF

\AD=BC

MCE=AZMF

.\ZE=ZF

【总结】考查全等三角形的判定条件，在合适的知识体系条件下进行应用，不能应用平行四

边形知识证明.

【例14]如图，四边形中，DE平分NADC,交AB于点E,NBGC=NGBC，

8G平行即交4）延长线于点P.

求证：AD//BC.

【答案】略

【解析】证明：平分/MQ,

:.ZADC=2^EDC

-,-BG//ED

:.ZEDC=ZBGC

ZBGC=NGBC,

ZADC=2NBGC=NBGC+NGBC

ZBGC+NGBC+ZC=180°

.\ZAZX?+ZC=180°

ADIIBC

【总结】考查平行线的性质和判定，经常可以跟三角形的内角和180。结合起来.

【例15]如图，已知“IBC中，。是边3c的中点，E、F分别在边A3,AC上，且

EF//BC,ED=FD.

求证：ZAEF=ZAFE，

【答案】略

【解析】证明：・・・

:.ZFED=ZEFD

EFIIBC

:.ZFED=ZEDBfZEFD=ZFDC

ZAEF=&ZAFE=NC

.\ZEDB=ZFDC

•・・ED=FD,BD=DC

:ZDB三"DC

.,./B=NC

ZAEF=ZAFE

【总结】考查平行线的性质，结合全等三角形可以进行相互关联得到相关边角关系.

【例16]如图，点。是AB上的一点，在的同旁做等边小。。和等边AE与

8交于点M,BD与CE相交于点、N.

求证：CM=CN.

【答案】略

【解析】证明：・.・AACO和ABCE是等边三角形,

:.AC=CD,BC=CE,ZACD=/BCE="。

/.ZDCE=60°,ZACE=ZDCB=120°

:2CE三XXJB

.\ZCAE=ZCDB

结合NACM=NDCE=60。，AD=CD

:.\\CM三bDCN

:.CM=CN

【总结】考查等边三角形中的旋转平移，会产生全等三角形，先判定再应用相关性质.

班假暑级年八

【例17]如图，已知在“LBC中，AZZ平分N8AC,BE//AD,交C4延长线于点石，F

是防的中点.

求证：AFVBE.

【答案】略

【解析】证明：・・・4）平分NB4C,

:.ZBAD=ZCAD

\'BEIIAD

"BAD="BA^CAD=Z.E

:.ZFBA=ZE

:.AE=ABC

・・・F是BE的中点，

s.AFLBE

【总结】考查平行线和角平分线一起会产生等腰三角形的基本图形，注意对基本图形的分离

和等腰三角形性质的应用.

【例18]如图，已知5石、CE是AABC的高，且.

.求证：APYAQ.

【答案】略

【解析】证明：・・・6£、C尸是△ABC的高，

.\ZAFC=AEB=90°

.・.ZMC+ZACr=90。，ZE4C+ZAB£=90°

:.ZACF=ZABE

•/BP=AC,CQ=AB

:.^AQC^\PAB

ZBAP=ZQ

•・・NQ4b+NQ=90。

/.Z0AF+ZBAP=9O°,即NQA尸=90。，得证AP_L4Q.

【总结】考查同角的余角相等的知识点，即“子母三角形”基本图形.

【例19]如图所示，问Nl、N2、N3、N4要满足什么条件可以证明AB||CD?

【答案】N2+N3=N1+N4

【解析】过点E作射线EM//A3,过点尸作射线

FN//CD

则有Nl=Nfi£M,N4=N/VFC,

•/Z2-Z1=Z3-Z4

:.ZMEF=ZEFN

s.EMUFN

:.AB//CD

【总结】考查平行线的基本性质，在“Z”字型平行线间角的等量关系.

【例20]已知：如图所示，AB=AC,ZA=90°,AE=CF9BD=DC.

求证：FDLED.

【答案】略

【解析】证明：连结4),

・・・AB=AC,ZBAC=90°

/.ZB=ZC=45°

•・・BD=CD

.\AD±BC,BPz64T)C=90o

/./.BAD=Z.CAD=-ABAC=45°

2

:.CD=AD

•：AE=CF

.\MED=ACFD

ZADE=ZCDF

ZADE+ZADF=ZADF+ZCDF=90°即

【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合

相关条件可分割成全等的两个部分.

班假暑级年八

【例21]如图，已知锐角A/WC,分别以8C、84为一直角边,皆以8为直角顶点，向

△ABC内侧作等腰ABCD和延长0A、EC,交于点尸.

求证：DFVEF.

【答案】略

【解析】证明：•.•N/MC=NABE=90。

ZDBC-ZABC=ZABE-ZABC,B|JZDBA=NCBE

.AB=BE,DB=BC

ADBA=ACBE

:"DAB=/CEB

.・./CEB+NBAF=/DAB+ZBAF=180°

vZABE=90°

:.ZF=3600-ZCEB-ABAF-ZABE=900

即。尸_L斯

【总结】考查等腰直角三角形的旋转变形，两个等腰直角三角形叠加会产生全等三角形，先

全等判定再应用性质.

【例22]如图，已知。、E两点分别在AB、AC上，AD=AE,BD=CE,BE、CD交

于点F.

求证：FB=FC.

【答案】略

【解析】证明：=BD=CE,

：.AD+DB=AE+CE,BPAB^AC

-,-AD=AE,ZA=ZA

AAB£=AACD

.,.NB=NC

•・・BD=CE,ZDFB=ZEFC

ADFB=AEFC

:.FB=FC

【总结】考查全等三角形的判定和性质，结合题意，发现题目中的全等三角形往往不止一对.

12/22

【例23]如图所示，在AA5c中，AB=2AC,。是钻的中点，E是AD的中点.

求证：BC=2CE.

【答案】略

【解析】证明：延长所到F,使EF=CF,连结£>F,

.AE=DE,ZAEC^ZDEF

AAEC=ADEF

:.ZA=&DE,AC=DF

\AB=2AC9AD=DB

:.BD=AD=AC=DF

:,ZADC=ZACD

，ZBDC=ZA+ZACD=NFDE+ZADC=NFDC

\CD=CD

.・.&CFD3ACBD:.BC=FC=2CE

【总结】''倍长中线法”构造全等三角形可将线段或角转移到全等或一个图形中.

随堂检测

【习题1】命题“互余的两个角一定是锐角”是命题（填“真”或"假”）.

【答案】真

【解析】根据互余的定义，两个角和为90。即为互余，且角都为正值，可判断出两个角大小

都在0。到90。之间，即为锐角.

【总结】定义均为真命题，本题考查互余的定义.

【习题2】下列命题中，是真命题的有（）.

A.两锐角之和是锐角B.钝角减去锐角得锐角

C.钝角大于它的补角D.锐角小于它的余角

【答案】C

【解析】根据补角的定义，可知钝角的补角是锐角，由此可知钝角大于它的补角，C正确，

为真命题，ABD选取合适的角度均可找到反例，都为假命题.

【总结】考查关于角的互余和互补的相关概念，抓住概念，即可得出相关命题真假，若有反

例则为假命题.

班假暑级年八

【习题3】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：

（1）同角的余角相等；

（2）直角都相等；

（3）对顶角相等；

（4）在一个三角形中，等角对等边.

【答案】（I）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；

（2）如果有一些角是直角，那么它们都相等：

（3）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；

（4）在一个三角形中，如果有两个相等的角，那么这两个角所对的边相等.

【解析】略

【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅

助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化.

【习题4】求证“三角形内角和等于180。”，并说明其中的因果关系.

【答案】略

【解析】证明：如图，延长到点。，过点C作

射线CE7/A8,

-.-CE//AB（己知）

.-.ZB=Z£CD（两直线平行，同位角相等）

ZA=ZACE（两直线平行，内错角相等）

ZACB+ZACE+AECD=180°（平角定义）

.•.NA+ZB+448=180。（等量代换）

【总结】三角形内角和的证明过程需进行记忆，充分利用平行线的相关性质即可进行证明和

理解应用.

【习题5】已知：四边形ABCZ）中，AD\\BC,E是线段10c的中点，AE是NBA。的

平分线.

求证：BE是NABC的平分线.

【答案】略

【解析】证明：延长AE与8C的延长线交于点F,

-.■ADHBC

:.ZDAE=ZF

\DE=CE,ZAED=ZCEF

:,MDE三,CE

:,AE=EF

・.・AE是NSW的角平分线，

:.ZBAE=ZDAE=ZF

:.AB=BF

\-AE=EF

BE是ZABC的角平分线.

【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明

一系列的结论.

【习题6]如图，己知：在△ABC中，AD平分N8AC,BD=CD.

求证：AB=AC.

【答案】略

【解析】证明：延长4）到使。£=">,连结CE,

・,BD=CD,ZADB=/CDE

:.N\BD=^ECD

:.ZBAD=ZEfAB=CE

•・・AD平分々AC

/CAD=/BAD=NE

/.AC=CE

.\AB=ACE

【总结】注意，边边角不能用来证明全等，在这个题目里面根据中点“倍长中线”构造全等

三角形即可.

【习题7】如图，已知，是△ABC的角平分线，ZC=2ZB,将△43C沿直线翻

折，点C落在的七处.试判断△£»£）的形状，并加以证明.

【答案】△£»£＞等腰三角形

【解析】证明：・.,AA£D是AACD翻折形成,

即得AAC。=AA£D

D

B

班假暑级年八

.\ZAED=ZC

・・・ZC=2ZB9

・•.ZA£L>=2Zfi=ZEDS+ZB

:.ZB=ZEDB

：.BE=DE

即证△£1班）是等腰三角形.

【总结】翻折问题，翻折前后两个三角形始终保持全等不变.

【习题8]如图，已知C4J_AB,£:为AB上一点，CE平分NACO,DE平分NCDB,

ZCED=900.

求证：AB1DB.

【答案】略

【解析】证明：・.・NCEE>=90。，

/.ZECD+Z£DC=90°

•：CE平分ZACD,DE平分NCDB,

/.ZACD+/CDB=2/ECD+2ZEDC=180°

/.AC//BD

\CA±AB

:.ABLDB

【总结】反推思想证明题可知证上下底边平行即可,根据角平分线即可快速得出结论.

【习题9】己知：如图，AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD=DBfAE=CF.

求证：DE=DF.

A

【答案】略

【解析】证明：连结8,

・.・AC=8GZBG4=90°

:.ZA=ZB=45°

•・・AD=DB

:.CD1.AB

ZACD=/BCD=-ZBCA=45°

2

:.CD=AD

\AE=CF

:.MEDwACFD

:.DE=DF

【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合

相关条件可分割成全等的两个部分.

课后作业

【作业1】下列语句中，正确的是（）.

A.相等的角是对顶角；

B.三角形的两锐角互余；

C.判定两个三角形全等，至少需要一对边相等；

D.面积相等的两个三角形全等.

【答案】C

【解析】对顶角必须是有公共顶点且角的两边互为反向延长线的角，A错误；互余是两角相

加和为90。，只有直角三角形两锐角互余，B错误；全等判定定理中，都至少包含一条

边，C正确；面积相等，底和高可能都不相等，不一定全等，D错误.

【总结】考查三角形中一些基本知识和相关定理的认识.

【作业2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结

论.

（1）对顶角相等；

（2）同位角相等，两直线平行；

（3）同角的余角相等.

【答案】（I）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；

（2）一条直线截另两条宜线形成一对同位角，如果这都同位角相等，那么被截的两条直线

平行；

（3）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等.

【解析】略

【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅

助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化.

班假暑级年八

【作业3】如图，已知：△A8C中，NB=2NC,BC=2AB.

求证：ZA=90°.4

【答案】略

【解析】证明：作N/3C的角平分线BD交AC

于点D,作DELBC交BC于E,

・・•ZABC=2ZDBE=2ZCE

:2DBE=/C

:.BD=DC

..BE=CE=-BC

2

•・・BC=2AB

：.AB=BE

•.ZABD=NEBD,BD=BD

.-.AABD^AEBD

.\ZA=ZB£D=90°

【总结】考查30。,60。,90。角的直角三角形问题，注意本题中不能通过取中点证明.

【作业4】已知：如图，Z1=Z2,AB>AC.

求证：BD>DC.

【答案】略A

【解析】证明：在AB上截取AF=AC,连结。尸,

vZl=Z2,AD=AD

:.^ADF=^ADC

.\ZADC=ZADF,DF=DC

vZA£>C=Zl+ZB

NBFD=N1+ZADF=2N1+NBBC

.\ZBFD>ZB

:.BD>DF=DC

【总结】本题应用“大角对大边”知识点，或通过延长AD作AB平行线也可证，但会应用

到相似三角形知识点.

BE是ZCBA的角平分线，

：.AE=EF

-.-ZAED^ZCEF

:.^ADE=\FCE:.AD=CF

:.AB=BF=BC+CF=AD+BC

【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明

一系列的结论.

【作业6】已知：AB=AC,ZA=108°,Z1=Z2.

求证：BC=AB+CD.A

【答案】略

【解析】证明：在3c上截取=

连结。

・・・N1=N2,BD=BD

/.Z\AB£)=AEBD

:.AB=BE,ZBED=ZA=WS°

vZA=108°,AB=AC

ZABC=ZC=36°

由N3ED=108。，可得NEDC=108。，故NE£)C=72。

班假暑级年八

:.CE=CD

..BC=BE+CE=AB+CD

【总结】考查“倍角三角形”中的角平分线分三角形为等腰三角形，由此可得线段之间的等

量关系.

【作业7】如图，已知：在四边形ABC。中，AB//CD,班:平分NA3C,AB+CD=BC.

求证：CE平分NBCD.

【答案】略

【解析】证明：在3c上截取M=AB,

连结。尸，

・.ZABE=/CBE,BE=BE

:.^ABE=/^FBE

:.ZA=ZBFE

ABIICD

/.ZA+ZEZX?=180°

­.•ZBFE+ZEFC=180°

..Z£DC=ZEFC

・・•BC=AB+CD=BF+CF,AB=BF

:.CD=CF

/CFD=/CDF

:.ZEFD