《一次函数》教学案

一次函数

教学目标

知识与技能：理解一次函数、常值函数的概念；

过程与方法：理解一次函数与正比例函数的关系；

情感态度与价值观：会利用待定系数法求一次函数的解析式.

教学重点及难点

一次函数与正比例函数概念的关系；

用待定系数法求一次函数的解析式.

教学过程

一、创设情境，复习导入

问题1：汽车油箱里原有汽油120升，每行驶10千米耗油2升，如果汽车油箱的剩余是y

（升）汽车行驶的路程为x（千米），试用解析式表示y与x的关系.

分析：每行驶10千米耗油2升，那么每行驶1千米耗油0.2升，因此y与x的函数关

系式为：

产120—0.2x（0WxW600）

当然，这个函数也可表示为：

y=-0.2x+120（0W点600）

说明当一个函数以解析式表示时,如果对函数的定义域未加说明,那么定义域由这个函数

的解析式确定；否则，应指明函数的定义域.

这个函数是不是我们所学的正比例函数它与正比例函数有何不同它的图像又具备什么

特征从今天开场我们将讨论这些问题.

二、学习新课

1.概念辨析

问题2：某人驾车从甲地出发前往乙地，汽车行驶到离甲地80千米的A处发生故障，

修好后以60千米/小时的速度继续行驶.以汽车从A处驶出的时刻开场计时，设行驶的时间

为t1小时），某人离开甲地所走的路程为s（千米），那么s与匕的函数解析式是什么

类似问题1：这个函数解析式是

6601+80

思考：这个解析式和尸-0.2X+120有什么共同特点

说明通过讨论使学生能够从它们的函数表达式得出表示函数的式子都是自变量的一

次整式.

如果我们用在表示自变量的系数，方表示常数.这些函数就可以写成：y=kx+b（A^O）的

形式.

一般地，形如产k/bIk、b是常数，且kWQ）的函数，叫做一次函数（linear

function）.一次函数的定义域是一切实数.

当斤0时，尸即片衣是常数，且5W0）.所以说正比例函数是一种特殊的一

次函数.

当公0时，y等于一个常数，这个常数用。来表示，一般地，我们把函数尸c〔c是常

数）叫做常值函数（constantfunction）它的定义域由所讨论的问题确定.

2.例题分析

例题1根据变量腔y的关系式，判断y是否是x的一次函数.

(1)y=2x；⑵y=l-L；(3)x--y-2；(4)y--+3.

23x

例题2变量x、y之间的关系式是产(济1)户a(其中a是常数)，那么y是x的一次函数吗？

例题3一个一次函数，当自变量产2时，函数值*T；当年5时，产8.求这个函数的解析式.

分析：求一次函数解析式，关键是求出A、6值.由此可列出关于不8的二元一次方程组，

解之可得.

解设所求一次函数的解析式为尸七什6；

由A=2时y=~l,得~l=2k+b；

由A=5时尸8,得8=54+6.

\-l=2k+b

解二元一次方程组1

S=5k+b

A=3,b=-7.

所以，这个一次函数的解析式是y=3x-7.

说明这里求一次函数解析式的方法是待定系数法.解析式中k,b是待定系数,利用两个

条件列出关于k、b的方程组再求解,可确定它们的值.

3.稳固练习：1.以下函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数

3

(1)y--Sx.(2]y=—.

x

(3)y=5x?+6.⑶y=-3x-l.

2.一个小球从斜坡由静止开场向下滚动，其速度每秒增加2米.这个小球的速度「随时间

t变化的函数关系是一次函数吗

3.汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y(升)随行

驶时间小时)变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.y是x的一次函数吗

4.一次函数图象过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式.

4、自我评价,谈谈感

1•这节课你学会了什么2.你认为有哪些要注意的地方

3.你还有什么问题吗

五、作业：练习册：20.1

分层作业：

金牌一课一练B卷8题

教学反思：学生对根据实际问题列一次函数解析式，有的时候题意不理解，故此解析式不

正确，尤其定义域还是不是很准确，有待在今后的学习中，逐渐渗透！

20.2(1)一次函数的图像

教学目标

1.了解一次函数图像是一条直线，会用描点法画一次函数图像；

2.掌握直线的截距的概念，并能根据解析式写出直线的截距；

3.理解一次函数图像与x轴、y轴交点含义，并会求出交点坐标.

教学重点及难点

1.画出一次函数图像，写出直线的截距；

2.会求直线与坐标轴交点坐标.

教学用具准备

三角板、ppt课件、多媒体设备

教学过程设计

一、情景引入

1.操作

按照以下步骤画正比例函数y=gx和一次函数y=gx+3的图像，并进展比照

(1)列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y

X・・・-4-3-2-101234・・・

1……

y=­x

2

1…•••

y=­x+3

2

(2)描点：分别以所取x的1直和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐才水，JSLH这些目乜标所

对应的点.

(3)连线:用光滑的曲线(包括直线)把描出的的这些点联结起来.(图略)

2.观察观察表格和图像，对于x的每一个一样值，函数y=；x+3的对应值比函数y=gx的对

应值都大多少？

说明不管从表中或图像上都可以看出，对于x的每一个一样值，函数y=；x+3的对应

值比函数y=；x的对应值都大3个单位.因此，函数y=gx+3的图像是由函数y=；x的图像

向上平移3个单位得到的.

3.思考

我们知道，正比例函数是特殊的一次函数，而正比例函数的图像是一条直线，那么一次

函数的图像是直线吗？

二、学习新课

1.概念辨析

一般来说，一次函数y=kx+b(其中k、b是常数，且kWO)的图像是一条直线.一次函数

y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b.一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.

2.例题分析

2

例1在平面直角坐标系xOy中，画一次函数y=§x-2的图像.

分析因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出直线上的两点，再过两

点画直线就可以了.

2

解：由y=§x-2可知，当x=0时，y=-2；当y=0时，x=3.

2

所以A(0,-2)、B(3,0)是函数y=jx-2的图像上的两点.

2

过点A、B画直线，则直线AB就是函数y=§x-2的图像.(图略).

说明(1)画直线y=kx+b时，通常先描出直线与x轴、y轴的交点，如果直线与x轴、y轴的交

点坐标不是整数，为了画图方便、准确，通常是描出直线上的整数点.

(2)本例讲述了求直线与坐标轴交点的方法，同时，为引出直线的截距概念作好铺垫.

由点A的横坐标x=0,可知点A在y轴上；由点B的纵坐标y=0,可知点B在x轴上.又点

22

A,B在直线y=1X-2上，所以点A、B是直线y=-x-2分别与y轴、x轴的交点.

3.概念辨析

一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.

一般地，直线y=kx+b(k#0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k#0)的截距是b.

4.例题分析

例2写出以下直线的截距：

(l)y=-4x-2；(2)y=8x；

(3)y=3x-a+l；(4)y=(a+2)x+4(aX-2).

解(1)直线y=-4x-2的截距是-2.

(2)直线y=8x的截距是0.

⑶直线y=3x-a+l的截距是-a+1.

(4)直线y=(a+2)x+4(“W-2)的截距是4.

说明本例是稳固对直线截距概念的理解，直线的截距是由x=0,求得对应的y值，同时，注意截

距与距离的区别.

例3直线y=kx+b经过A(-20,5)、B(10,20)两点，求：

(l)k、b的值；

(2)这条直线与坐标轴的交点的坐标.

分析直线经过点,即点在图像上，所以点的坐标满足直线解析式，根据条件，建设k、b的方程

组，解方程组，就可求得k、b的值.

解⑴因为直线丫=1«+1)经过点A(-20,5)、B(10,20),所以

-20k+b=51

解得k=-,b=15.

10k+b=202

(2)这条直线的表达式为y=-x+15.

2

由y=[x+15,令y=0,得Lx+15=0,解得x=-30；令x=0,得y=15.

22

所以这条直线与x轴的交点的坐标为(-30,0),与y轴的交点的坐标为(0,15).

说明本例进一步讲述了求直线与坐标轴交点的方法.强化重难点.

三、稳固练习

1.(口答)说出以下直线的截距：

⑴直线y=V3x+2；(2)直线y=-2x-V5；(3)直线y=3x+l-V2.

2

2.在平面直角坐标系xOy中，画出函数y=・§x+2的图像，并求这个图像与坐标轴的交点的

坐标.

3.直线经过点M(3』)，截距是・5,求这条直线的表达式.

4.直线y=kx+b经过点A(-l,2)和B(1,3),求这条直线的截距.

2

四、课堂小结(学生归纳，教师引导)

1、一次函数丫=1«+15(1<#())的图像是什么样的形状？假设何画一次函数的图像？

2、什么叫直线的截距？假设何求直线的截距？

3、用什么方法求直线解析式？假设何求直线与坐标轴交点的坐标？

五、作业布置练习册习题20.2(1)

分层作业：

直线y=mx+2与x轴、y轴的交点分别为A、B.点0为坐标原点，如果0A=10B,求直线的

2

表达式.

22

解：由y=mx+2,令y=0,得mx+2=0,解得x=-一，得点A坐标(-一,0)；令x=0,得y=2.

mm

得点B坐标为(0,2)

2

所以OA=|-—|,OB=2

m

12

由OA=-OB,得|--|=1,所以m=±2

2m

所以直线的表达式为y=2x+2或y=-2x+2

说明此题要求出直线的表达式，只要求出待定系数m的值即可，解决问题的关键是

正确运用点的坐标表示线段的长度.此题谨防漏解.

教学反思：对解析式求与坐标轴的交点，求与坐标轴围成的面积，学生掌握很好，但面积

求解析式，经常不会考虑两种情况，忽略了坐标并不和距离是等同的。

20.2(2)一次函数的图像

教学目标

知识与技能：.通过操作、观察、探究直线相对于x轴的倾斜程度、直线上下左右平行移动,

%和力的变化关系，领会用运动变化观点处理问题的方法.

过程与方法：知道两条平行直线表达式之间的关系.

教学重点及难点

研究直线相对于x轴的倾斜程度及两条平行直线表达式之间的关系.

教学用具准备

三角板、ppt课件、多媒体设备

教学过程设计

一、情景引入

1.操作

在同一直角坐标系中画出以下直线

(1)直线y=；x+2；(2)直线y=3x+2；

(3)直线y=-2x+2；(4)直线y=-gx+2.

2.观察

(1)观察上述四条直线，发现截距一样时，直线都过什么样的点？

(2)观察上述四条直线相对于x轴的倾斜程度，即直线与x轴正方向夹角的大小

3.思考

直线相对于x轴的倾斜程度，即直线与x轴正方向夹角的大小与k的大小有何关系

二、学习新课

1.b的作用

在坐标平面上画直线y=kx+b(kWO),截距b一样的直线经过同一点(0,b).

2.k的作用

k值不同，则直线相对于x轴正方向的倾斜程度不同.

(l)k>0时，K值越大，倾斜角越大

(2)k<0时，K值越大，倾斜角越大

说明(1)倾斜角是指直线与x轴正方向的夹角；

(2)常数k称为直线的斜率.关于斜率确实切定义和几何意义，将在高中数学中讨论.

3.例题分析例4在同一直角坐标系中画出直线y=-'x+2与直线y=-^x,并判断这两条直

22

线之间的位置关系.

分析描出直线上的两点，再过这两点画直线即可，问题在于假设何判断这两条直线之间的位

置关系.可以通过特殊点和任意点的坐标变化规律，进展判断.

解直线y=--x+2与x轴的交点是A(4,0),与y轴的交点是B(0,2).画出直线AB.

2

直线y=-'x过原点0(0,0)和点C(2,-l).画出直线OC.

2

则直线AB、直线OC分别就是直线y=-1x+2与直线y=-^x(图略)

22

在图中，观察点B相对于点O的位置，可知点。向上平移2个单位就与点B重合.

对于直线y=-1x上的任意一点P,设它的坐标为(XI,力),则yi=-1XL过点P作垂直于x轴的

22

直线，与直线y=-^x+2的交点记为Q,可知点Q与点P有一样的横坐标，设点Q的坐标

2

为(xi,y2),则y2=-yxi+2.

由y2-yi=(--x,+2)-(-^X1)=2,可知点Q在点P上方且相距2个单位，即点P向上平移2个

22

单位就与点Q重合.

因为P是直线y=-1x上的任意一点，所以把直线y=-1x"向上平移2个单位"，就与直线

22

y=-^x+2重合.因此，直线y=-1x+2与直线y=-1x平行.1可借助几何画板展示图形的动态

222

变化过程)

4.直线平移

一般地，一次函数丫=1«+156=0)的图像可由正比例函数丫=1«的图像平移得到.当b>0时，向

上平移b个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位.

5.直线平行

如果ki=k2,bi#bz，那么直线y=kix+bi与直线y=k2X+bz平行.

如果直线y=kix+b］与直线y=kzx+b2平行,那么ki=k2,b4b2.

6.例题分析

例5一次函数的图像经过点A(2,-l),且与直线y='x+l平行，求这个函数的解析式.

2

分析设一次函数解析式为y=kx+b(kWO),由平行条件可得k=L,再根据点A坐标求出

2

b,就可求出函数解析式.

解设一次函数解析式为y=kx+b(kWO).

因为直线y=kx+b与直线y二一x+1平行，所以k='.

22

因为直线y=kx+b经过点A(2,-1),又k二工，所以Lx2+b=T.

22

解得b=-2所以这个函数的解析式为y=-x-2.

2

三、稳固练习

1.指出以下直线中互相平行的直线：

⑴直线y=5x+l：(2)直线y=-5x+l；⑶直线y=x+5；

(4)直线y=5x-3；(5)直线y=x-3；(6)直线y=-5x+5.

2.直线y=(m-l)x+m与直线y=2x+I平行.

(1)求m的值；

(2)求直线y=(m-l)x+m与x轴的交点坐标.

3.一次函数的图像经过点M(-3,2),且平行于直线y=4x-l.

(1)求这个函数的解析式；

(2)求这个函数图像与坐标轴围成的三角形面积.

四、课堂小结(学生归纳，教师引导)

1.直线相对于x轴的倾斜程度与k的大小有何关系？

2.两条直线平行需要满足什么条件？

3.求直线与坐标轴围成的三角形面积时，需要注意什么？

五、作业布置练习册习题20.2(2)

分层作业：直线y=2x-3,把这条直线沿y轴向上平移5个单位，再沿x轴向右平移3个单

位，求两次平移后的直线解析式.

教学反思

通过学生动手画、以及观察这些截距一样直线的图像，归纳直线与x轴正方向的倾斜程

度与k的关系.通过两个例题的分析与解决，理解并掌握一次函数y=kx+b的图像与正比例函

数丫=入的图像之间的关系，并进一步得到两条平行直线表达式之间的关系，学会利用这种

关系确定直线表达式.通过拓展内容的学习，进一步稳固两条平行直线表达式之间的关系.

20.2(3)一次函数的图像

教学目标

知识与技能：能借助一次函数，进一步认识一元一次方程、一元一次不等式的解的情况，并

理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.

过程与方法：通过研究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，领会数形结

合的数学思想,初步能用函数知识分析问题和解决问题.

教学重点及难点

能以函数观点认识一元一次方程、一元一次不等式的解.

教学用具准备

三角板、PPt课件、多媒体设备

教学过程设计

一、情景引入

1.观察

一次函数y=kx+b(k#0)变量x与y的局部对应值如下表：

X-2-10123

y6420-2-4

(1)填空：方程kx+b=0的解为；

(2)填空：不等式kx+b>0的解集为；

(3)求这个一次函数的解析式.

2.思考

一次函数y=kx+b的自变量x的取值与方程kx+b=0的解或不等式kx+b>0的解集有何关系？

二、学习新课

1.一次函数与一元一次方程的关系

通过上述表格和填空训练，我们可以看到：

一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=O的解；反之，一元

一次方程kx+b=O的解就是一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.两者有着密切联系,

表达数形结合的数学思想.

2.一次函数与一元一次不等式的关系

问题1如图，直线1经过点A(0,-1)和B(2,0),那么直线1在x轴上方的点的横坐标的取值

范围是什么在x轴下方的点呢

问题2关于x的一元一次不等式kx+b>0、kx+b<0与一次函数y=kx+b之间有什么关系

通过对问题1、问题2的思考、讨论与探究，可以看到一次函数与一元一次不等式之间

也有着密切联系，进一步表达数形结合的数学思想.(可借助几何画板展示图形的动态变化

过程)

由一次函数y=kx+b的函数值y大于0(或小于0),就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0

(或kx+b<0).在一次函数y=kx+b的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐

标的取值范围就是不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解.

3.例题分析

(1)当x取何值时，函数值y=5

(2)当x取何值时，函数值y>5

2

(3)在平面直角坐标系xOy中，在直线y=-x+l上且位于x轴下方的所有点，它们的横坐标

3

的取值范围是什么

2?

解(1)要使函数y=—x+1的值y=5,只要使一x+l=5.

33

解方程&x+l=5,得x=6.所以当x=6时，函数值y=5.

3

22

(2)要使函数产一x+1的值y>5,只要使一x+l>5.

33

解不等式2X+I>5,得x>6.所以当x>6时，函数值y>5.

3

⑶因为所求的点在直线y=2x+1上且位于x轴下方，

3

23

所以一x+l<0.解得x<--,

32

3

即所有这样的点的横坐标的取值范围是小于-一的一切实数.

2

对例6进一步分析，在直线y=2x+l上，M(6,5)是以题(1)中所得的x的值为横坐标的点，

3

以题(2)所得的x的值为横坐标的点都位于这条直线上点M朝上一侧.

三、稳固练习

1.一次函数解析式是y=3x+2.

(1)当x取何值时，y=l

⑵当x取何值时，y>l

(3)当x取何值时，y〈l

2.一次函数y=kx+b的图像经过点A(-3,0)和次0,-2).

(1)求该函数解析式；

(2)当x取何值时,y>-2?

3.一次函数的解析式为y=-^x+3,求在这个一次函数图像上且位于x轴上方的所有点的横坐

2

标的取值范围.

四、课堂小结(学生归纳，教师引导)

1.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有什么关系？

2.假设何从函数观点来认识一元一次方程、一元一次不等式的解？

五、作业布置

练习册习题20.2(3)

分层作业：

三条直线11：yi=2x-l,Lyz=-x+5,13：ya=kx-3

(1)如果求k的值

(2)如果都经过同一点,求k的值

(3)当x取何值时，函数值1大于y2?

教学反思：

在熟悉一次函数图像根基上，通过观察表格和填空、以及问题1与问题2,从形和数两

个角度探讨一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.学会利用函数图像帮助

分析和认识一元一次方程与一元一次不等式的解.

20.3(2)一次函数的性质

教学目标

知识与技能：学会根据直线丁=区+人中的常数卜与b的正负情况，判断直线在坐标系中的

位置;反之根据直线在坐标系中位置特征，确定常数k与b的正负符号；

过程与方法：在探索直线丁二人工+力在坐标系中位置特征与常数k、b符号关系的过程中，

领会由特殊到一般的分析问题解决问题的思维方法.

教学重点及难点

根据直线丁=""+"中的常数k与b的正负情况，判断直线在坐标系中的位置;反之根据直

线在坐标系中位置特征，确定常数k与b的正负符号.

教学用具准备PPT幻灯片

教学过程设计：

复习引入

1、回忆一次函数y=Zx+6根据k的正负情况，说出y随x变化而变化的规律.

2、填空：

一次函数y=；x-3经过象限，当x逐渐增大时，函数值y逐渐；

y=inx-3,当x逐渐减小时，函数值y逐渐增大，则m的取值范围是；

函数y=+〃与y=平行，截距为5,则一次函数解析式为，此时函数值y随着x

的增大而.

二、学习新课

1.性质教学

例4一次函数y=kx+b(b丰0)的图像是与直线y=4x平行的直线.

(1)随着自变量x的值的增大，函数值y增大还是减小

(2)直线y=Zx+2经过哪几个象限

(3)直线丁=履+。3。0)经过哪几个象限

说明对例题4的分析与讨论，可以运用直线平移的知识.如因为直线y=4x+2可以由直

线y=4x向上平移2个单位得到，且直线y=4x经过第一象限、原点与第二象限，所以直

线y=4x+2经过第一、二、三象限.类似地，讨论直线y=4x+Z?经过的象限时，都可以

应用直线平移的知识，这种运动的观点，可借助多媒体来呈现.同时第三问正好是本节课所

学的重要性质的铺垫，渗透分类讨论的思想，引出讨论直线丁=%了+仇。*0)经过的象限.

2.议一议

在平面直线坐标系xQy中，直线y=kx+"女声0力。0)的位置与&、6的符号有什么关系

直线y=Zx+Z?(左。0,b。0)过点(0,b)且与直线y=平行，由直线y=kx在直角坐

标平面内的位置情况可知：

当k>0,且b>0时，直线y=经过第一、二、三象限；

当k>0,且b<0时，直线y=Ax+b经过第一、三、四象限；

当k<0,且b>0时，直线y=经过第一、二、四象限;

当k<0,且b<0时，直线y=Zx+b经过第二、三、四象限;

把上述判断反过来表达，也是正确的.

说明根据图像来总结性质，将书本上的图补充完整：

3.应用性质

例题5:一次函数y=(2—a)x—3的函数值y随着自变量x的值的增大而增大.

(1)求实数a的取值范围；(2)指出图像所经过的象限.

补充例题:根据一次函数的性质，画出以下直线的草图：y=x+4,y=-43x-2,

y=(3-乃)x+4

三、稳固练习课本书上P13练习20.312)

四、课堂小结总结直线y=kx+b(k。。力H0)经过象限与k、b的关系.

五、作业布置练习册20.3(2)

分层作业：金牌一课一练B卷13页11.12

教学反思：学生对图像过几个象限能判断K,b的符号，反之掌握也很好。但是不经过某一

象限时，学生考虑情况不全面，还有根据一个图像的情况来判断另一个图像的可能，不是准

确。

20.4(1)一次函数的应用

教学目标：

知识与技能：经历把实际问题中的有关变量以及关系用数学式子表示出来的过程，领会一次

函数的意义，掌握列函数解析式的方法和步骤,能根据题意正确熟练地列出函数解析式.

过程与方法：体会应用一次函数的知识解决简单的实际问题的作用，增强应用函数方法解决

实际问题的意识.

情感态度与价值观：会画实际问题的函数图像，注意实际问题中的定义域.

教学重点及难点

1、根据题意列出一次函数解析式.

2、应用函数的思想方法解决简单的实际问题.

教学用具准备

多媒体课件：PPt

教学过程设计

一、情景引入

1.问题：

2006年7月12日，刘翔以12秒88的成绩获得瑞士洛桑田径超级大奖赛金牌，并打破沉睡

13年之久、由英国名将科林.杰克逊创造的12秒91的世界纪录，这是中国人的骄傲.假设

刘翔在110米跨栏比赛中速度是匀速的，那么枪响后，刘翔离终点的距离y米与他所跑的

时间x秒之间的函数关系式是

2.思考:

审题分析，离终点的距离y=110-已跑过的路程，已跑过的路程=速度X时间.因为速度

13751375

=1104-12.88=-^(米/秒)，所以y=110—tx(O<x«12.88)

161161

说明创设问题情景，激发学生兴趣，进一步领会一次函数的意义.

二、学习新课

例1：某市为鼓励居民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费

标准：①假设用水量不超过8立方米，每立方米收费0.8元，并加收每立方米0.2元的污水

处理费;②用水量超过8立方米时，在①的根基上,超过8立方米的局部,按每立方米收费1.6

元,并加收每立方米0.4元的污水处理费.

(1)设某户一个月的用水量为x立方米，应交水费为y元，试分别对①②两种情况，写出y

关于x的函数解析式，并指出函数的定义域.(2)假设某用户某月所交水费为26元，则该居

民用户该月的用水量是多少吨

1、审题，给学生读题独力思考、小组讨论的时间.

2、分析：水费随着所用水量的变化而变化，它们之间存在函数关系，且随着用水量范围的不

同，水费也有着不同的计算方式，实质上它们是分段函数.根据收费标准在①的情况

下，°<%<8,这时每立方米应收费0.8+0.2=1(元)，故了=(0.8+0.2)%=%.丫与x是正

比例函数.在②的情况下，%>8时，有8立方米的用水按①应收费8元，超过8立方米的局

部每立方米水收费1.6+0.4=2(元)，应收费2(x-8)(元)，所以y=8+2(x-8)=2x-8.y是x的一

次函数.第2小问，学生应考虑代入②式中的y求x.

3、解答：教师板演，标准书写，特别是定义域不可遗漏.

4、指导学生画出上述函数的图像.实际问题函数图像，根据定义域的不同，图像可能是线段

或射线，且要注意端点是实心点还是空心点的问题.

5、小结：建设函数关系解题的步骤：

(1)仔细审题，确定变量.

⑵找出等量关系，列出函数关系式位(元)

(3)根据实际要求,写出函数定义域

(4)一般可根据定义域的端点来取值，描点，作出实际问题的函数

像.

说明从学生熟悉的的水费计算问题中，学生初步体验建设函8

系的过程就是把问题中的有关变量及其关系用数学的形式表示出

------------>

x(立方米)

(2)

过程也就是函数模型建设的过程.本例的学习为学生学习例2,用数学方法解决实际问题打

下良好的根基.

例2：据报道，某地区从1995年底开场，每年增加的沙漠面积几乎一样，1998年底

该地区的沙漠面积约为100.6万公顷，2001年底扩展到101.2万公顷，如果不进展有效治

理，试估计到2020年该地区的沙漠面积.

1、审题，学生独立思考.

2、小组讨论，全班交流.

解法一：（算术解法）（101.2-100.6）+3=0.2（万公顷/年）

0.2X（2020-1998）+100.6=105（公顷）

答:估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.

解法二:分析数量关系,合理确定变量和常量.其中1998年沙漠面积100.6万公顷,2001年

101.2万公顷,每年增加的沙漠面积是常量.沙漠面积随着年数的增加而增加，所以,年数是

自变量,沙漠面积是年数的函数.以1999年为第一年,第x年的沙漠面积=1998的沙漠面积+x

年内增加的沙漠面积.

解:设该地区每年增长的沙漠面积为。万公顷，以1999年为第一年，第x年的沙漠面积为y

公顷，那么y与x之间的函数关系为y=以+100.6

2001年是第三年，当x=3时，y=101.2,即101.2=3a+100.6,解得a=0.2.所以

y=0.2x+100.6.2020年是第22年，当x=22时，y=0.2X22+100,6=105

答：估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.

解法三：分析数量关系,建设函数模型,用待定系数法确定函数解析式后求解.

解：以1999年为第一年，设第x年的沙漠面积为y公顷，则y=Ax+b.再由

%=0时',丁=100.6;%=3时',丁=101.2,确定y=0.2%+100.6.当

x=22时，求出j=105.

答:估计到2020年该地区的沙漠面积为105万公顷.

说明在教学过程中可能大局部学生乐意采用解法一，算术解法好理解，书写简单，答案易

求.但教师要善于引导学生应用函数的数学思想来解决问题，让学生体会根据函数解析式可

以预测未来任何一年的沙漠面积，知道函数是描述客观世界的变化规律的重要数学模型.逐

步培养学生应用函数模型解决实际问题的意识和能力.解法三对学生函数的建模能力要求比

照高,教师可根据学生的实际情况进展教学.

三、稳固练习

1、某地普通的收费标准如下：通话时间不超过3分钟收费0.2元，3分钟后每超过1

分钟收费0.15元.写出话费y（元）与通话时间x（分钟）函数关系式.

解：此题分两种情况：

（1）当0<xW3时，函数关系式是y=0.2；

（2）当x>3时，函数关系式是y=0.2+0.15（x-3）.

2、按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定，全月应纳税额（所得税征收方

法规定：月收入元的局部不收税；）不超过的税率为5%,超过500元至2000元局部的税率

为10%.设全月应纳税额为x元，且500VxW2000,应纳个人所得税为y元，求y关于x的函

数解析式和自变量的取值范围；

解：y=500X5%+（x-500）X10%=0.lx-25（500<xW2000）

所求的函数解析式为y=0.lx-25,

自变量x的取值范围为500<x<2000.

四、课堂小结

1、

法十而右哪此感1

2、通过本节工实际问题函数问题

五、作业布置

分层作业

金牌B卷16J

教学反思：解决实际问题_________।建设函数关系

根据实际问题/'J0：2V八八人/1JI国数的思想方法来/UT1八1"J-T"MJlvJ'1rMZJ»/'JI；IJ刚学习函

数的八年级学生来说还是有一定难度的，所以教学设计从学生感兴趣的、熟悉的刘翔110米

跨栏这个具有实际背景的问题出发，分析变量以及它们的数量关系，建设函数关系.在问题

一的根基上进一步学习了例题1,学生体会了在不同的范围内，变量之间存在不同的依赖关

系，建设了不同的函数关系式，有利于学生深刻领会函数的概念，有利于提高列函数关系式

的能力.通过实际问题函数图像画法的学习，树立学生数形结合的思想，以上到达了本节课学

习的根本目标.

20.4（2）一次函数的应用

教学目标：

知识与技能：经历把实际问题转化为数学问题的过程，会应用一次函数知识分析和处理一些

较为复杂的问题，提高应用函数知识解题的能力.

过程与方法：能获取一次函数图像中信息，领会数形结合思想.

情感态度与价值观:初步体会应用函数思想分析和研究实际问题中的数量关系及其变化趋势,

是为人们作判断和决策而服务的，领悟数学的广泛应用性.

教学重点及难点

1、应用一次函数知识分析和处理一些较为复杂的问题.

2、获取一次函数图象中信息，领会数形结合思想.

教学用具准备

多媒体课件,弹簧,刻度尺，一个质量为2.5千克的祛码.

教学过程设计

一、问题引入，探究新知

问题1：

弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系，

如果有一根弹簧、一把刻度尺和一个质量为2.5千克的物体（在弹性限度内），你能用这根弹簧

制作一把简单的弹簧秤吗？

1.思考分析

（1）材料准备：一根弹簧、一把刻度尺和一个质量为2.5千克的物体（在弹性限度内）.

（2）试一试:讨论在制作弹簧秤的过程中，关键要确定什么？问题中“弹簧在一定限度内，它的

长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系”这句话的实际意义是什么？

2、成果交流

制作弹簧秤的原理:制作弹簧秤时关键要知道每挂一千克的重物弹簧的长度，这样就可以制作

出表示重量的刻度了.而“弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）

是一次函数关系”说明弹簧在一定限度内，每挂一千克重物弹簧伸长的量是一样的.所以用

弹簧制作弹簧秤关键是确定弹簧长度与所挂重物质量之间的函数解析式，可设

y=kx+b（kw0），通过两组对应值用待定系数法确定人与。，而利用手中的材料可得到

这两组对应值.

制作弹簧秤的方法：先量出弹簧不挂重物时的长度，假设长度为6（厘米），再量出弹簧挂上2.5

千克重物时的长度，假设长度为7.5（厘米），即得到两组对应

值：x=0时,y=6;x=2.5时,y=7.5,代入y=kx+b（k^0）中，得函数解析式

3<

y=+6.我们只要分别取X=l,2,3,…，得到对应的y的值，标记出相应的重量的刻度,弹

簧秤就制作成功了.当然利用函数解析式也可知，当弹簧的长度是7（厘米）时,重物的质量为之

3

千克.说明动手操作，在“做中学"，学生经历把实际问题转化为数学问题的过程，提高了应用

函数知识的能力.

二、稳固方法，学会应用

问题2：一家公司招聘销售员，给出以下两种薪金方案供求职人员选择，方案甲:每月的底薪

为1500元，再加每月销售额的10%;方案乙:每月的底薪为750元，再加每月销售额的20%，如

果你是应聘人员，你认为应该选择假设何的薪金方案？

1、审题

首先确定实际问题转化为假设何的数学问题？“假设何选择"关键是看哪一种方案薪金高.

而每月薪金又依赖每月的销售额.在明确常量和变量的根基上，用字母合理表示变量,寻找数

量之间的等量关系.

2、分析

变量:月薪y（元），月销售额为x（元）

等量关系:每月薪金=每月底薪+销售额X百分率

“选择哪种方案"，实质是比照两个函数值y的大小.显然，两个函数值的大小，随着x的变化而

变化，要比照它们的大小，可以先探索x取何值时，y尸y2,进而根据函数的图像性质探索函

数值的变化趋势，判断它们的大小.也可以先假设任意一种情形，例如y'y2,通过解不等式，求

得x的范围，作出断断.还可以通过两函数值的差的符号•来比照函数值的大小后作出判断.

“解法一:设月薪y（元），月销售额为x（元）

方案甲：y=1500+专道%>0）

方案乙:y=750+1%（%>0）

当yqi=yz,时;150°+历X=750