2020-2021学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年湖南省永州市高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.设全集U={\,2,3},A={1,2},则CuA=()

A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,3}

2.365°是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3.命题x-1>2W的否定是（)

A.3XGR,x-1<2B.3XGR,X-1W2C.VxeR,x-1<2D.V.rGR,x-1W2

4.扇形的半径为1,圆心角为2,则扇形的面积为()

A.1B.2C.3D.4

5.已知a=log2"^,b=(-^-)-2,=2-i-,则a,b,c的大小关系是

c)

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

6.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：

“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.”由此推断,

“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.函数/（x）=i+cosx的零点所在的区间为)

A.(-1,-B.(-,0)C.(0,y)D..1)

8.设函数/G）的定义域为R,/（元+1）=方小）,当花（0,1］时，/（x）=X(1-X),若

Q

存在成［帆，+°°）,使得/'（x）有解，则实数〃？的取值范围为（)

64

A.(-8,寺B.(-8,,8,争D.

C.（一,学

二、多项选择题（共4小题）.

9.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般

好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列

函数中，在（0,+8）上单调递增且图象关于），轴对称的是（）

A.f(x)=x3B.f(x)=x2C.y=x-2D.f(x)=|x|

10.设a,b,cGR,a<b,则下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<b+cB.e~a>e~bC.ac1<bc2D.—<—

ba

ir兀

11.将函数/(x)=sin(2x-(p)(0<(p<--)的图象上所有的点向左平行移动个单位

乙o

长度，得到偶函数力(X)的图象，则下列结论中正确的有()

A.h(x)的图象关于点(——,0)对称

4

JT

B.h(x)的图象关于工=冬对称

2

C.h(x)在］上的值域为［一

D.h(x)在［,---］上单调递减

62

f(xj)-f(x2)

12.若函数/(x)对Vxi,X2E(1,+8),(X］芋及)，不等式----2----2---VI成立，

X1-x2

则称/(X)在(1,+8)上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的

有()

A.f(x)=-2x+lB.f(x)=x2+2x+l

9

C.f(x)=x2-loguD.f(x)=x2-x+—

X

三、填空题(共4小题).

13.已知赛函数y=/(x)的图象过点(2,&),则/(4)=.

ROJT

14.已知sina=——,贝”cos(———+Q)=.

132----------

15.若/(x)=〈乙'k,则不等式/(无)>4的解集为______.

-2x+l,x<C0

16.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法

成了当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算

而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即/=N=b=log〃M现已知

a=log36,2匕=36,则(工二)X3,=.

abb

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知集合4={》仇22},B={x|3<xW5}.

(1)求AU8：

(2)定义M-N={x|xeM且x任N},求A-B.

18.(12分)给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一

个补充在下面问题中，并加以解答.

问题：已知p:实数x满足/一3。X+2。2<0,。>0.

(1)若〃=1,求实数x的取值范围；

(2)已知夕：实数工满足2VxW3.若存在实数。，使得〃是q的条件，则求出a

的取值范围；若不存在，请说明理由.

19.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，以QK轴为始边作两个锐角a,0,它们的

终边分别与单位圆相交于P,Q两点，P,。的纵坐标分别为3,—.

55

(1)求sina的值；

(2)求a+仇

20.(12分)已知函数/(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x+/n(xe[0,-^-])的最大值为1.

(1)求函数/(x)的最小正周期;

(2)求使/(x)N0成立时自变量x的集合.

21.(12分)某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一

种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶.

(1)根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶.要使

月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？

(2)为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售

价到x元，并投入万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用.试问：

技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销

售量r(万瓶)的最小值，以及r取最小值时的每瓶饮料的售价.

22.(12分)已知函数f(x)=出，g(x)=勿(式+"“)+2021.

(1)判断函数g(x)的奇偶性并证明；

(2)若VxiW(0,+8),3X2GR,使得/(2幻)+mf(xi)-g(及)>0成立，求实数〃?

的取值范围.

参考答案

一、选择题（共8小题）.

1.设全集U={1,2,3},A={\,2）,则CuA=（）

A.{1}B.{2}C.{3}.{1,3}

解：：U={1,2,3},A={1,2},

.\CuA={3}.

故选：C.

2.365°是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角.第四象限角

解：因为365°=360°+5°,5°是第一象限角，

所以365°是第一象限角.

故选：A.

3.命题“M6R,x-l>2”的否定是（）

A.3AGR,x-1<2B.3AGR,x-1W2C.V.rGR,X-1<2.V.VGR,x-1W2

解：命题'勺x6R,x-l>2”的否定是Vx6R,X-1W2,

故选：D.

4.扇形的半径为1,圆心角为2,则扇形的面积为（）

A.1B.2C.3,4

解：扇形的半径为1,圆心角为2,扇形的弧长为2,

所以扇形的面积为：yX2X1=1

故选：A.

2

5.已知a=log2L，b=(―)~,c=2；,则a,b,c的大小关系是()

222

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<b.a<h<c

•.吗严=4,加今

.'.a<c<b,

故选：C.

6.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，内容为：

“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.”由此推断,

“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，

故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件，

故选：4.

7.函数/（x）=x+cosx的零点所在的区间为（）

C.(0,/)D.(右，1)

A.(-1,-B.(-,0)

解：根据题意，f（X）=X+COSA\

则函数/（x）=x+cosx的零点所在的区间为（T,

故选：A.

8.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)=《/(x),当xe(0,l]Ht,f(x)=x(1-x)若

存在比［加，+8）,使得f（x）有解，则实数机的取值范围为（)

64

C.(-8,1]

(一8,1]B.(-8,—.]-oo马

A.D.,41

解：f(x+l)=*'(x),当(0,1]时，f(x)=x(1-x).

当xW(1,2]时，/(x)=-(x-1)(x-2).

当在(2,3]时，/(x)=-工(x-2)(X-3).

4

当xe(3,4]时，f(x)=-J(x-3)(x-4).

8

根据y(x)=三，结合图象可得，W=-=(x-2)

(x-3)

64644

qQ

所以x=一,所以m*—,

44

.q

所以〃?的取值范围为（-8,于］.

故选：C.

二、多项选择题（共4小题）.

9.我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般

好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列

函数中，在（0,+8）上单调递增且图象关于），轴对称的是（）

A.f（x）=x3B.f（x）=x2C.y=x'2D.f（x）=|x|

解：对于A,/（x）=2为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；

对于8,/（x）=N为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0,+8）上单调递增，符合题

意；

对于C,丫=/2=」玄为偶函数，在（0,+8）上单调递减，不符合题意；

x

对于D,f（x）=|卫为偶函数，图象关于y轴对称，且在（0,+8）上单调递增，符合题

意.

故选：BD.

10.设a,b,ceR,a<b,则下列不等式一定成立的是（）

A.a+c<b+cB.e~a>e~bC.ac2<bc2D.—<—

ba

解：对于4,因为“Vb,所以a+cV%+c,故A正确：

对于B,因为所以所以e“>e”,故B正确：

对于C,若c=0,则”/=儿2,故c错误；

对于。，取a=-2,b=-\,则且=2,—,则且益立，故。错误.

ba2ba

故选：AB.

ITTT

11.将函数/（x）=sin（2x-<p）（0<（p<-）的图象上所有的点向左平行移动---个单位

23

长度，得到偶函数力（X）的图象，则下列结论中正确的有（）

A.h(x)的图象关于点(--,0)对称

4

JT

B.h(x)的图象关于工=5-对称

C.h(x)在［弓，然I上的值域为［3,

D.h(x)在[—,—]上单调递减

62

ITJT

解：将函数/(x)=sin(2x-(p)(0<(p<----)的图象上所有的点向左平行移动--个

23

单位长度，得到函数〃(x)=sin(2r+等-(p)的图象，

由于函数〃(X)为偶函数,

拓2兀/兀

故《一一4=左五十工-，

/7T

所以<p=tn+-^-,

由于OVtpV-^-,

jr

所以当&=0时，(p=——•

6

9JTJT冗

所以〃(x)=sin(2x+------------)=sin(2v+-----)=cos2x,

362

ITTT

对于A:当x=-------时，h(-------)=0,故4正确；

44

TTTT

对于8：当X=----时〃(---)=COS(-TT)=-1,故B正确；

22

当x€[-5，”]时,2xE[£■，4}]，所以h(x)€[-1,故C错误；

123632

"J।,1111

对于D：x€[u,-T-],所以2X€，兀],根据函数的性质，函数在该区间上

623

单调递减，故。正确.

故选：AD.

f(Xj)-f(x2)

12.若函数/(x)对Vxi,X2E(1,+8),(X1=#X2),不等式22VI成立，

X1-、2

则称/G)在(1,+8)上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的

有()

A.f(x)=-2x+lB.f(x)=x2+2x+l

O

C.f(x)=x2-10g2XD.f(x)=N-x+—

解：根据题意，设g(x)=f(x)-X2,

若f(X)在(1,+8)上为“平方差减函数”，则对Vxi,X2G(1,+8),(X|=#X2),

f(x,)-f(X2)

不等式22〈J成立，

X1-x2

22

f(xj)-f(x2)f(x1)-x1-[f(x2)-x2]

则有22~1=

22

X1-x2X1~x2

g(X])-g(x2)

-=<0,

xl-x2

g(xP-g(x2)

则有<0,则函数g(x)—f(x)-x2在[1,+8)为减函数,

xl-x2

-

g(x1)g(x9)

反之，若函数g(x)=f(x)在［1,+8)为减函数，则有----------------=(XI+X2)

xl-x2

22

f(x1)-x1-［f(x2)-x2l

——-----r——仔——--<0,即/(X)在(1,+OO)上为“平方差减函数”，

X［-X2

分析选项：

对于A,/(x)=-2x-1,g(x)=f(x)-x2=-x2-2x-1,为开口向下，对称轴为x

=-1的二次函数，g(X)在区间［1,+8)为减函数，则f(X)在(1,4-00)上为“平

方差减函数”；

对于8,f(x)=N+2X+1,g(x)=f(x)-x2=2x+l,g(x)在区间［1,+8)为增函数，

则/(x)在(1,+8)上不是“平方差减函数”：

对于C,f(x)=X2-log2X,g(x)=f(x)-X2=-log2X,g(x)在区间［1,+8)为减

函数，则/(X)在(1,+8)上为“平方差减函数”；

99

对于£),/Cr)=x2-x+—,g(x)=f(x)-x2=-x+—,g(x)在区间［1,+8)为减

xx

函数，则f(x)在(1,+8)上为“平方差减函数”；

故选：ACD.

三、填空题(共4小题).

13.已知寐函数(x)的图象过点(2,加)，则/(4)=2.

解：设暴函数y=/(x)=¥<,aeR,

其图象过点(2,&),

・・・2。=衣，

解得a=-^-,

•**/（x）=~2»

x

f（4）=^2-=2.

故答案为：2.

14.已知sina=-^-,贝qcos（3无+a）=.

132—13—

解：Vsina=-^-,/.cos（3兀+a）=sina=-^",

13213

故答案为：—.

13

15.若f（x）=12'x>0,则不等式y（x）>4的解集为（-8,-3）u（2,+

-2x+l,x<02

8）.

解：x'O时，由2">4,解得x>2,

Q

xVO时，由-2x+l>4,解得％V--,

故不等式的解集是（-8,-U（2,+8）,

故答案为：（一8,-"I"）U（2,+8）,

16.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法

成了当务之急，数学家约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算

而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即"，=N=匕=log〃N,现已知

ci—logs6,2"=36,则（一十一）X3;-=

abb—J

解：因为。=log36,2b=36,所以/?=log236,

121212

故—七-----丁七----五■二^----------------=log6b3+log6b2=log6b6=l,

ablog36log236log3621og26

log36

a1"36log331

9不嬴=叵远亍吟2=1。g3加，

log32

a_

所以3b=3.3/

故(工***?*)X3"=lXj^W^.

abb

故答案为：近.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步臊.

17.(10分)已知集合A={小知2},B={x|3<xW5}.

(1)求AU8：

(2)定义M-N={x|xeM且腌N},求A-B.

解：(1)；A={x|x22},B={x|3VxW5},

.,.AUB={小》2}；

(2)..•〃-)=出抚加且小用,A={x|x22},B={x|3VxW5},

A-B={x|2WxW3或x>5}.

18.(12分)给定两个条件：①充分不必要，②必要不充分，从上述两个条件中，任选一

个补充在下面问题中，并加以解答.

问题：已知p:实数x满足/-3or+2a2<0,a>0.

(1)若a=l,求实数x的取值范围；

(2)已知q:实数x满足2VxW3.若存在实数小使得p是q的条件，则求出a

的取值范围；若不存在，请说明理由.

解：(1)因为a=l,解不等式N-3X+2V0,可得1cx<2,

所以实数x的取值范围为(1,2);

(2)由N-3ar+2a2<0,a>0,可得a〈xV2a,

若选①：

因为p是<7的充分不必要条件，

则有且2aW3,不等式组无解，

所以实数a的值不存在；

若选②：

因为p是<7的必要不充分条件，

则有。<2且2。>3,解得微«2,

所以实数a的取值范围为亳，2].

19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角a,0,它们的

终边分别与单位圆相交于P,。两点，P,。的纵坐标分别为★金

55

(1)求sina的值;

解：（1）以Qr轴为始边作两个锐角a,p,它们的终边分别与单位圆相交于尸，Q两点,

24

P,Q的纵坐标分别为高，卷,

55

..3.4

・・sina=—,smQp=—.

55

(2)由题意可得cosa=^/1_sin2a=Acos0=Mi_sin2B

DD

4334

Va+pG(0,n),cos(a+0)=cosacosp-sinasinp=—X-^--—X—=0,

5555

八兀

・・a+S=N

TT

20.(12分)已知函数/(%)=cos4x-2sinxcosx-sin4x+/?z(xG[0,-^-])的最大值为1・

（1）求函数/G）的最小正周期;

（2）求使/（外20成立时自变量x的集合.

解：(1)函数/(尤)=cos4x-2siarcosx-sin4«r+机=(cos2x+sin2%)(cos2x-sin2x)-sin2x+/n

TVTT

=cos2x-sin2x+m=^J2iifn(------2x)+m,(xG[0,-----]).

42

，函数/(x)的最小正周期T=,J=R;

I-21

(2)VxG[0,?],・・・(三一公)日。，

2444

：.sim(-y-2x)6[-喙，喙],

兀

/.(------2x)+mE[tn-1,m+1],

4

,.•/(x)的最大值为1,.\m+\=1,解得m=0.

jrjr

使f(x)20成立，即加(----2x)20,化为：sim(2x--------)WO,

44

解得：O