2024届广东省广州市实验中学高一数学第二学期期末监测模拟试题含解析

2024届广东省广州市实验中学高一数学第二学期期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．给出函数为常数，且，，无论a取何值，函数恒过定点P，则P的坐标是A． B． C． D．2．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A． B．C．或 D．或3．若，，，设，，且，则的值为（）A．0 B．3 C．15 D．184．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”5．若直线：与直线：平行，则的值为()A．-1 B．0 C．1 D．-1或16．设是定义在上的偶函数，若当时，，则()A． B． C． D．7．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了根棉花的纤维长度（单位：），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（）A．这批棉花的纤维长度不是特别均匀B．有一部分棉花的纤维长度比较短C．有超过一半的棉花纤维长度能达到以上D．这批棉花有可能混进了一些次品8．已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．9．若直线与圆相切，则（）A． B． C． D．或10．在等差数列中，若公差，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算：________12．函数的最小正周期是______．13．平面四边形如图所示，其中为锐角三角形，，，则_______.14．设函数，则的值为__________．15．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的侧面积__________．16．已知球为正四面体的外接球，，过点作球的截面，则截面面积的取值范围为____________________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，，.（1）若，求实数的值；（2）若，求向量与的夹角.18．已知等差数列满足．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足,求的前项和．19．已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）求函数在区间上的最小值以及取得该最小值时的值.20．已知.（1）若对任意的，不等式上恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.21．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，，．求证：⑴平面；⑵．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析：因为恒过定点，所以函数恒过定点.故选D.考点：指数函数的性质.2、C【解析】

设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0),令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C.3、B【解析】

首先分别求出向量，然后再用两向量平行的坐标表示，最后求值.【详解】,,当时，，解得.故选B.【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示，属于基础题型.4、C【解析】分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C正确；在D中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D错误．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.5、C【解析】

两直线平行表示两直线斜率相等，写出斜率即可算出答案．【详解】显然，，．所以，解得，又时两直线重合，所以．故选C【点睛】此题考查直线平行表示直线斜率相等，属于简单题．6、A【解析】

利用函数的为偶函数，可得，代入解析式即可求解.【详解】是定义在上的偶函数，则，又当时，，所以.故选：A【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题.7、C【解析】

根据频率分布直方图计算纤维长度超过的频率，可知不超过一半，从而得到结果.【详解】由频率分布直方图可知，纤维长度超过的频率为：棉花纤维长度达到以上的不超过一半不合理本题正确选项：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体数据的分布特征，关键是能够熟练掌握利用频率分布直方图计算频率的方法.8、B【解析】

首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积（其中为底面圆的半径，为母线长），即可得到答案．【详解】由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，所以母线长，故圆锥的侧面积；故答案选B【点睛】本题考查圆锥母线和侧面积的计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积的计算公式，即（其中为底面圆的半径，为母线长），属于基础题9、D【解析】

本题首先可根据圆的方程确定圆心以及半径，然后根据直线与圆相切即可列出算式并通过计算得出结果。【详解】由题意可知，圆方程为，所以圆心坐标为，圆的半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，即解得或，故选D。【点睛】本题考查根据直线与圆相切求参数，考查根据圆的方程确定圆心与半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，考查推理能力，是简单题。10、B【解析】

根据等差数列的通项公式求解即可得到结果．【详解】∵等差数列中，，公差，∴．故选B．【点睛】等差数列中的计算问题都可转为基本量（首项和公差）来处理，运用公式时要注意项和项数的对应关系．本题也可求出等差数列的通项公式后再求出的值，属于简单题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.【详解】.【点睛】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.12、【解析】

由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．【详解】．由周期公式可得：．故答案为【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．13、．【解析】

由二倍角公式求出，然后用余弦定理求得，再由余弦定理求．【详解】由题意，在中，，在中，，即，解得，或．若，则，，不合题意，舍去，所以．故答案为：．【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，考查余弦定理．掌握余弦定理是解题关键．14、【解析】

根据反正切函数的值域，结合条件得出的值.【详解】，且，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查反正切值的求解，解题时要结合反正切函数的值域以及特殊角的正切值来求解，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】

根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.【详解】三棱锥，平面，，，画出图像：易知：每个面都是直角三角形.【点睛】本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.16、【解析】

在平面中，过圆内一点的弦长何时最长，何时最短，类比在空间中，过球内一点的球的大圆面积最大，与此大圆垂直的截面小圆面积最小.利用正四面体的性质及球的性质求正四面体外接球的半径、小圆半径，确定答案.【详解】因为正四面体棱长为AB=3，所以正四面体外接球半径R=.由球的性质，当过E及球心O时的截面为球的大圆，面积最大，最大面积为；当过E的截面与EO垂直时面积最小，取△BCD的中心，因为为正四面体，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以过E且与EO垂直的截面圆的半径r为，截面面积为.所以所求截面面积的范围是.【点睛】本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，空间组合体的关系，正四面体、球的性质，考查计算能力，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得结果；（2）利用向量夹角公式可求得，进而根据向量夹角的范围求得结果.【详解】（1），解得：（2）又【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示、向量夹角的求解问题；考查学生对于平面向量坐标运算、数量积运算掌握的熟练程度，属于基础应用问题.18、（1）（2）【解析】

（1）根据基本元的思想，将已知条件转化为的形式，列方程组，解方程组可求得的值.并由此求得数列的通项公式.（2）利用（1）的结论求得的值，根据基本元的思想，，将其转化为的形式，由此求得的值，根据等比数列前项和公式求得数列的前项和.【详解】解：（1）设的公差为，则由得,故的通项公式，即．（2）由（1）得．设的公比为，则，从而，故的前项和．【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解有关等差数列和等比数列的问题，属于基础题.19、（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）当时，函数取最小值.【解析】

（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期，解不等式可求得函数的单调递增区间；（2）由计算出的取值范围，再利用正弦函数的基本性质可求得该函数的最小值及其对应的值.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为；令，得，所以函数的单调增区间为；（2）当时，，所以，当时，即当时，取得最小值，所以，函数在区间上的最小值为，此时.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期和单调区间、最值的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.20、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）参变分离后可得在上恒成立，利用基本不等式可求的最小值，从而得到参数的取值范围.（2）原不等式可化为，就对应方程的两根的大小关系分类讨论可得不等式的解集.【详解】（1）对任意的，恒成立即恒成立.因为当时，（当且仅当时等号成立），所以即.（2）不等式，即，①当即时，；②当即时，；③当即时，.综上：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式大于零的条件下比较两根的大小，