《2.3.4 两条平行线间的距离》教案、导学案、同步练习

《2.3.4两条平行线间的距离》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条平行线间的距离。学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。本节重点是距离公式的推导和应用。解决问题的关键是理解距离公式的推导。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.理解两条平行线间的距离公式的推导B.会求两条平行直线间的距离．C.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：两条平行线间的距离公式2.逻辑推理：两条平行线间的距离公式的推导3.数学运算：两条平行线间的距离公式的应用4.数学建模：距离公式【教学重点】：理解和掌握两条平行线间的距离公式【教学难点】：应用距离公式解决综合问题【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。思考1：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离二、探究新知思考2：已知两条平行直线l1,l根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点Px0,y0，,点Px0,两条平行直线间的距离1.定义：夹在两平行线间的__________的长.公垂线段2.图示：3.求法：转化为点到直线的距离.1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)D[d＝eq\f(|－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).选D.]三、典例解析例1.求证两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明:在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0,d

=Ax0+By0+C2即Ax0+By0=-思考3：两条平行直线间的距离公式写成d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时对两条直线应有什么要求？[提示]两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．跟踪训练1两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4 B. C. D.解析:因为两直线平行,所以m=2.将6x+2y+1=0化为3x+y+=0,由两条平行线间的距离公式得d==,选D.例2.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程.思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程．[解]由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝eq\f(|m＋1|,\r(13))，d2＝eq\f(|m＋13|,\r(13))，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.求两平行直线间距离的两种思路1利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.跟踪训练2．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．[解]若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝eq\f(|1＋5k|,\r(1＋k2))＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝eq\f(12,5).∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.例3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？解析：如图，显然有0<d≤|AB|.而|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10).故所求的d的变化范围为(0,3eq\r(10)]．变式1．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝eq\f(2－－1,6－－3)＝eq\f(1,3)，∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.距离公式综合应用的三种常用类型1最值问题.①利用对称转化为两点之间的距离问题.②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.2求参数问题.利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.3求方程的问题.立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.)金题典例：已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．[解]设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐标为P(－1,0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴eq\f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.母题探究：1.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．[解]由例题知，正方形中心坐标为P(－1,0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1.2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＋7＝0，,3x－y－3＝0))可得交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，－\f(12,5)))，又正方形中心为P(－1,0)．∴由两点式方程得对角线方程为：eq\f(y－0,－\f(12,5)－0)＝eq\f(x＋1,\f(1,5)＋1)，即2x＋y＋2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0，,x＋3y－5＝0))可得正方形另一顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(6,5)))，又正方形中心为P(－1,0)，∴由两点式得另一对角线方程为：eq\f(y－0,\f(6,5)－0)＝eq\f(x＋1,\f(7,5)＋1)，即x－2y＋1＝0.综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.通过生活中两平行线间距离的问题情境，引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略。让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。通过两平行线间距离公式的推导，体会数学中的转化思想，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构，并体会点两平行线间的距离公式的初步应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋eq\r(10)＝0的距离等于()A．1B．0C．eq\r(10)D．3 【答案】A[l1、l2的距离为d＝eq\f(|\r(10)－0|,\r(32＋12))＝1.选A.]2．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．【解析】d＝|3－(－2)|＝5.【答案】53.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________.【答案】eq\f(1,2)或－6[由eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋12))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋12))，解得m＝eq\f(1,2)或m＝－6.]4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程.【解析】∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得eq\f(|b－6|,\r(52＋－122))＝3，解得b＝45或b＝－33.∴所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】在本节课的教学中，通过对两条平行线间的距离公式的推导，注意进一步让学生感悟化归思想和分类方法。教师要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。《2.3.4两条平行线间的距离》导学案【学习目标】1.理解两条平行线间的距离公式的推导2.会求两条平行直线间的距离．3.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力【重点和难点】重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式难点：应用距离公式解决综合问题【知识梳理】一、自主导学问题：已知两条平行直线l1,l根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点Px0,y0，,点Px0,两条平行直线间的距离1.定义：夹在两平行线间的公垂线段的长.2.图示：3.求法：转化为点到直线的距离.二、小试牛刀1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)【学习过程】一、情境导学前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。思考：立定跳远测量的什么距离？A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离二、典例解析例1.求证两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C思考：两条平行直线间的距离公式写成d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))时对两条直线应有什么要求？跟踪训练1两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()A.4 B. C. D.例2.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程.求两平行直线间距离的两种思路1.利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.2.接利直用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等.跟踪训练2．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．例3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？变式1．上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程．距离公式综合应用的三种常用类型1最值问题.①利用对称转化为两点之间的距离问题.②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离.③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值.2求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值.3求方程的问题:立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.)金题典例：已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．母题探究：1.求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？【达标检测】1．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋eq\r(10)＝0的距离等于()A．1B．0C．eq\r(10)D．32．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．3.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________.4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程.【课堂小结】点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【参考答案】知识梳理二、小试牛刀1．D[d＝eq\f(|－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).选D.]学习过程二、典例解析例1.分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离证明:在直线Ax+By+C1=0上任取一点Px0,d

=A因为点Px0,y0在直线即Ax0+By0=-思考3：[提示]两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等．跟踪训练1解析:因为两直线平行,所以m=2.将6x+2y+1=0化为3x+y+=0,由两条平行线间的距离公式得d==,选D.例2.思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程．[解]由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝eq\f(|m＋1|,\r(13))，d2＝eq\f(|m＋13|,\r(13))，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.跟踪训练2[解]若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝eq\f(|1＋5k|,\r(1＋k2))＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝eq\f(12,5).∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.例3．解析：如图，显然有0<d≤|AB|.而|AB|＝eq\r(6＋32＋2＋12)＝3eq\r(10).故所求的d的变化范围为(0,3eq\r(10)]．变式1．解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直．而kAB＝eq\f(2－－1,6－－3)＝eq\f(1,3)，∴所求直线的斜率为－3.故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.金题典例：思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．[解]设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐标为P(－1,0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴eq\f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.母题探究：[解]由例题知，正方形中心坐标为P(－1,0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1.2．[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＋7＝0，,3x－y－3＝0))可得交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，－\f(12,5)))，又正方形中心为P(－1,0)．∴由两点式方程得对角线方程为：eq\f(y－0,－\f(12,5)－0)＝eq\f(x＋1,\f(1,5)＋1)，即2x＋y＋2＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－3＝0，,x＋3y－5＝0))可得正方形另一顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(6,5)))，又正方形中心为P(－1,0)，∴由两点式得另一对角线方程为：eq\f(y－0,\f(6,5)－0)＝eq\f(x＋1,\f(7,5)＋1)，即x－2y＋1＝0.综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.达标检测1．【答案】A[l1、l2的距离为d＝eq\f(|\r(10)－0|,\r(32＋12))＝1.选A.]2．【答案】5【解析】d＝|3－(－2)|＝5.3.【答案】eq\f(1,2)或－6[由eq\f(|3m＋2＋3|,\r(m2＋12))＝eq\f(|－m＋4＋3|,\r(m2＋12))，解得m＝eq\f(1,2)或m＝－6.]4．【解析】∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，根据两平行直线间的距离公式得eq\f(|b－6|,\r(52＋－122))＝3，解得b＝45或b＝－33.∴所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0.《2.3.4两条平行线间的距离-基础练》同步练习一、选择题1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B．C． D．22．两条直线，之间的距离为（）A． B． C． D．133．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为()A． B． C．3 D．64．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）A． B． C． D．5．（多选题）到直线的距离等于的直线方程可能为()A．B．C．D．6．（多选题）已知直线，互相平行，且之间的距离为，则可能的值为（）A．1 B．2 C．-5 D．-10二、填空题7．已知直线的方程为，直线的方程为，则直线的斜率为________，直线与的距离为__________.8．将直线l：向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线，则直线l与之间的距离为__________．9．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是_________．10．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_______.三、解答题11．已知直线.（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.12．解答下列问题：（1）求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线方程；（2）求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线方程.《2.3.4两条平行线间的距离-基础练》同步练习答案解析一、选择题1．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B．C． D．2【答案】B【解析】，故选B．2．两条直线，之间的距离为（）A． B． C． D．13【答案】B【解析】两条直线的方程分别为：，，两条直线之间的距离，故选：B.3．P、Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为()A． B． C．3 D．6【答案】C【解析】|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4,0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.4．已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，所以3∶2=6∶m，所以m=4.直线6x+4y+1=0可以转化为3x+2y+=0，由两条平行直线间的距离公式可得：d===.5．（多选题）到直线的距离等于的直线方程可能为()A．B．C．D．【答案】CD【解析】因为所求与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，设所求直线方程为，，解得或，故所求直线方程为或.故选：CD.6．（多选题）已知直线，互相平行，且之间的距离为，则可能的值为（）A．1 B．2 C．-5 D．-10【答案】BD【解析】由可得，解得，则直线的方程为，由，即，解得或，故或，故选：BD二、填空题7．已知直线的方程为，直线的方程为，则直线的斜率为________，直线与的距离为__________.【答案】；【解析】直线的方程为，所以直线可化为，它的斜率为；又直线可化为，直线的方程为，所以直线与的距离为．8．将直线l：向左平移3个单位，再向上平移2个单位得到直线，则直线l与之间的距离为__________．【答案】【解析】由题意可得，直线的方程为，即，则直线与之间的距离.9．直线，分别过点，，它们分别绕点和旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离的最大值是_________．【答案】5【解析】根据题意画出图像，如图所示：根据图像可得：当，且，时，与之间的距离为；当，但是与不垂直，与不垂直时，过点向引垂线，垂足为，则与之间的距离为；因为，所以.10．若某直线被两平行线与所截得的线段的长为，则该直线的倾斜角大小为_______.【答案】和【解析】由两平行直线的距离公式可得：直线与的距离为，又直线被两平行线与所截得的线段的长为，即该直线与直线所成角，又直线的倾斜角为，则该直线的倾斜角大小为和.三、解答题11．已知直线.（1）若直线的倾斜角为，求实数a的值；（2）若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；（3）若直线与直线平行，求两平行直线与之间的距离.【解析】（1）因为直线，所以，又因为直线的倾斜角为，所以，解得.（2）因为直线，令得，，解得.（3）因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，两平行直线与之间的距离.12．解答下列问题：（1）求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线方程；（2）求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线方程.【解析】（1）设所求直线上任意一点P（x，y），由题意可得点P到直线的距离等于1，即，∴3x+4y-2=±5，即3x+4y+3=0或3x+4y-7=0．（2）所求直线方程为，由题意可得点P到直线的距离等于，即，∴或，即3x-y+9=0或3x-y-3=0．《2.3.4两条平行线间的距离-提高练》同步练习一、选择题1．若两条平行直线与之间的距离是，则（）A． B． C． D．或2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．43．已知，且满足，则的最小值为（）A． B． C． D．4．设两条直线的方程分别为,,已知是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为()A． B． C． D．5．（多选题）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（）A． B． C． D．6.（多选题）两条平行直线l1,l2分别过点P(-1,3)，Q(2,-1)，它们分别绕P,Q旋转，但始终保持平行，则l1,l2之间的距离可能取值为()A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题7．若直线与直线平行，则_____，与之间的距离是___．8．如图，已知直线l1：x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，l2的方程为____．9．与两条平行线等距离的平行线_____.10.若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．三、解答题11．已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0)，直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0，且l1和l2的距离是.(1)求a的值.(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是?若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由.12．设直线与.（1）若∥，求、之间的距离；（2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线的方程.《2.3.4两条平行线间的距离-提高练》同步练习答案解析一、选择题1．若两条平行直线与之间的距离是，则（）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由题意直线与平行，则两条直线的斜率相等，即，又直线间的距离为，即，解得，所以.故选：A2．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得，所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.3．已知，且满足，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】为直线上的动点，为直线上的动点，可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离：.故选：C4．设两条直线的方程分别为,,已知是方程的两个实根,且,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为()A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得两条直线的距离是，因为是方程的两个根，所以，则，因为，所以，即.故选：C5．（多选题）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（）A． B． C． D．【答案】AB【解析】由题意，，，所以，所以：，即，由两平行直线间的距