《3.1椭圆》课件与导学案

第一课时椭圆及其标准方程

第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆情景引入问题2如果改变圆锥的轴与截平面所成的角,那么会得到怎样的曲线呢?问题1用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个什么图形？答案：如图,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线,答案：截口曲线是一个圆.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conicsections).它们分别是抛物线、椭圆和双曲线.行星绕太阳运行的轨道生活中的椭圆

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？情景引入1什么是圆？2取一条定长的细绳，把它的两端固定在平面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么？3若将细绳两端分开，并且固定在平面内的F1，F2两点.当长绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？合作探究答案：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.答案：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆.

椭圆的定义

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.

这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点.两个焦点的距离叫做焦距.注意:椭圆定义中容易遗漏的地方：（1）两个定点间的距离---|F1F2

|=2c

（2）与两个定点F1,F2的距离的和等于常数---|MF1|+|MF2|=2a

（3）2a>2c2cMF1F2解惑提高

焦距的一半称为半焦距.我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|

）的点的轨迹叫做椭圆.|F1F2|=2c,|MF1|+|MF2|=2a2a>2c2a=2c2a<2c小结F1F22cMF1F2的点的轨迹是什么图形？椭圆线段不存在解惑提高♦回忆如何求圆的方程♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、简洁OxyMF1F2形式一F1F2形式二OxyM合作探究解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).

设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a>2c)

，则F1、F2的坐标分别是(

c,0)、(c,0).xF1F2M0y建构数学（问题：下面怎样化简？）由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标1)椭圆的标准方程的推导合作探究整理得两边再平方，得移项后平方得两边除以简洁、美观、对称、和谐总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx解惑提高[1]建系设点[2]列等式[3]等式坐标化[4]化简[5]证明求椭圆的方程方法——坐标法解惑提高

图形方程焦点F1(-c,0)，F2(c,0)a,b,c之间的关系a2=b2+c2|MF1

|+|MF2|=2a

(2a>2c>0)定义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表F1(0,-c)，F2(0,c)解惑提高共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.

焦点在y轴的椭圆项分母较大.

图形方程12yoFFx1oFyx2F1.判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标答：在x

轴.（-3，0）和（3，0）答：在y轴.（0，-5）和（0，5）答：在y轴.（0，-1）和（0，1）解惑提高判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：

焦点在分母大的那个轴上.小试牛刀

2.将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标解惑提高在下述方程中，A、B、C满足什么条件，就表示椭圆？答：A、B、C同号，且A不等于B.小试牛刀(1)两个焦点的坐标分别是(-4，0),(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10.例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程解:因为焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:典型应用(2)

求两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2)，并且经过点的椭圆方程.解:因为焦点在y轴上,所以设它的标准方程为:法1：由题意得：解得：例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程典型应用(2)

求两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2)，并且经过点的椭圆方程.例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程典型应用法2：

例1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程典型应用解:设椭圆的方程为:

解得:

∴所求椭圆的方程为:

解惑提高1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（

）A.5B.6C.4D.10A2.已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则其焦距为（）A3.,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__________.课堂检查小结(1)椭圆的定义(2)椭圆的标准方程焦点在x轴：焦点在y轴：(3)求椭圆的标准方程的方法代定系数法定义法《3.1.1椭圆及其标准方程》导学案第三章圆锥曲线的方程学习目标1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)情境与问题

椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。探究取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1,F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？常数(大于|F1F2|)两个定点两焦点间的距离一半概念解析问题思考观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

椭圆的标准方程

问题思考

椭圆的标准方程问题思考

2.椭圆的标准方程

焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=a2-c2椭圆的标准方程小试牛刀解析:

(1)

易得为D选项.(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.答案:(1)D

(2)D

(3)C典例解析归纳总结跟踪训练典例解析归纳总结跟踪训练当堂达标5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,从而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又点M在AQ的垂直平分线上,则|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.又A(1,0),C(-1,0),故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,课堂小结第二课时椭圆的简单几何性质第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆1.椭圆的定义

把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.复习巩固2.椭圆的标准方程2)焦点在y轴：1)焦点在x轴：椭圆的几何性质：(2)

椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形区域里.(1)-a≤x≤a,-b≤y≤b.1、范围xF1F2OyA1A2B1B2(-a,0)(0,-b)(0,b)合作探究(a,0)

椭圆关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是它的对称轴，原点是它的对称中心.椭圆的对称中心叫椭圆的中心.2、对称性xF1F2OyA1A2B1B2合作探究顶点坐标:A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).(1)顶点：椭圆与其对称轴的交点叫做椭圆的顶点.(2)几个相关概念：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,

其中:长轴长为2a,短轴长为2b

a、b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.3、顶点xF1F2OyA1A2B1B2合作探究小试牛刀

说出下列椭圆的顶点,焦点,焦距,长轴长,短轴长,长半轴长,短半轴长.合作探究e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.(1)离心率的定义：

椭圆的焦距与长轴长的比e=叫做椭圆的离心率.(2)离心率的范围

：(3)离心率对椭圆形状的影响：0<e<14、离心率变形公式:如何刻画椭圆的圆扁程度？小试牛刀

求出下列椭圆的离心率.

合作探究特殊三角形:观察直角△B2OF2关系式:a2=b2+c2椭圆还有许多精彩的几何性质,等待同学们去探究.对椭圆性质的研究观察椭圆OXYA1A2B1B2F1F2abc

当椭圆方程换成即焦点在y轴上的性质与焦点在x轴上的椭圆性质的关系.合作探究方程图形

范围对称性顶点离心率关于x轴，y轴，原点对称.关于x轴，y轴，原点对称.oxyB2(0,b)B1(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)F1F1F2oyxB2(b,0)B1(-b,0)A2(0,a)A1(0,-a)F2F1例1:求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．典型例题解：把原方程化为标准方程，得

因此，椭圆的长轴长是_____，短轴的长是_____，离心率___________，焦点坐标分别是_______________，四个顶点坐标分别是______________________________．2a=102b=8

F1(-3,0)和F2

(3,0)A1(-5,0)、A2(5,0)、B1(0,-4)和B2(0,4)椭圆的几何性质解惑提高(1)化标准,把椭圆方程化成标准形式;(2)定位置,根据标准方程中x2,y2对应分母的大小来确定焦点位置;(3)求参数,写出a,b的值,并求出c的值;(4)写性质,按要求写出椭圆的简单几何性质.确定椭圆几何性质的基本步骤典型例题例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）经过点P（-3，0）Q（0，2）（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，-6）；（3）长轴长为20，离心率为0.6；（4）在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线相互垂直，且焦距为6求椭圆的标准方程解惑提高1.已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤为:(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;(3)写出标准方程.根据椭圆的性质求椭圆方程2.在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式,若不能确定焦点所在坐标轴,则应进行讨论.一般地,已知椭圆的焦点坐标时,可以确定焦点位置,而已知离心率、长轴长、短轴长、焦距时,则不能确定焦点位置.小试牛刀

已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且经过点A(2,0),求椭圆的标准方程.典型例题例3：设M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹.解：如图，设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合

将上式两边平方，并化简，得

所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.求动点的轨迹方程典型例题

解：由方程组

消去y，得

方程①的根的判别式

判断直线与椭圆的交点个数典型例题

解：

判断直线与椭圆的交点个数解惑提高判断直线与椭圆个数的方法这是求解直线与二次曲线有关问题的通法.∆<0，∆=0，∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）判断复习小结方程图形

范围对称性顶点离心率关于x轴，y轴，原点对称.关于x轴，y轴，原点对称.oxyB2(0,b)B1(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)F1F1F2oyxB2(b,0)B1(-b,0)A2(0,a)A1(0,-a)F2F1《3.1.2椭圆的简单几何性质（1）》导学案第三章圆锥曲线的方程学习目标1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点)2．根据几何条件求出椭圆的方程．(重点、难点)情境与问题与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。

新知探究思考观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？

思考1.离心率对椭圆扁圆程度的影响?椭圆的几何性质

椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长

长轴长为2a,短轴长为2b焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c对称性对称轴:x轴、y轴,对称中心:坐标原点离心率1.判断

答案:(1)×

(2)×

(3)√答案:C小试牛刀长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.典例解析

讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.归纳总结跟踪训练1求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.跟踪训练例2椭圆

(a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为

.

典例解析典例解析

求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程(或不等式),再将方程(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围).归纳总结跟踪训练A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上当堂达标解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选C.答案:C2.设AB是椭圆

(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是(

)A.98a

B.99a

C.100a

D.101a解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.答案:D3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(

)解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的