《2.4圆的方程》课件与导学案VIP

2.4.1圆的标准方程

第二章直线和圆的方程学习目标1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.(数学抽象)2.能根据所给条件求圆的标准方程.(数学运算)3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.(数学运算)．

月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写.如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标满足的方程如何表示?情境导学《古朗月行》唐李白小时不识月，呼作白玉盘。

又疑瑶台镜，飞在青云端。Ar

xyO探究新知

问题1：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？

平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆．

问题2：平面直角坐标系中，如何确定一个圆？圆心：确定圆的位置半径：确定圆的大小定点定长确定圆的几何要素：圆心和半径Ar

问题3：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？xyOA(a,b)M(x,y)P={M

||MA|=r

}圆上所有点的集合(x-a)2+(y-b)2=r2设点M(x,y)为圆A上任一点，则|MA|=r．r探究新知思考3：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？

点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上．探究新知xyOA(a,b)M(x,y)圆心C(a,b),半径r特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：标准方程知识点一：圆的标准方程三个独立条件a,b,r确定一个圆的方程.小试牛刀1(口答)说出下列圆的圆心及半径（5）x2+y2

4x+10y+28=0圆心C(2，

5),r=1圆心C(a,0),（6）(x

a)2+y

2=m2

（7）x

2+(y+3a)

2=-4m(m<0)圆心C(0，-3a),2写出下列圆的方程(1)圆心在(-3,4),半径为；

(2)圆心在原点,半径为3；

(3)圆心在点C(3,-4),半径为7.(1)(x+3)2+(y-4)2=5(2)x

2+y

2=9(3)(x

3)2+(y+4)

2=

49

例1

写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．

解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：

把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；

把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．典型例题探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？MA|AM|<r|AM|=rAMAM|AM|>r点在圆内点在圆上点在圆外探究新知

点与圆的位置关系:知识点二：点与圆的位置关系MAAMAM跟踪训练1.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(

)A.在圆上

B.在圆外C.在圆内

D.以上都不对[0,1)解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.B待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程．典型例题例3

己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.BxoyACl典型例题解:∵A(1,1),B(2,-2)即：x-3y-3=0∴圆心C(-3,-2)几何性质法例3

己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.典型例题圆经过A(1,1),B(2,-2)解2:设圆C的方程为∵圆心在直线l:x-y+1=0上待定系数法

圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.归纳总结跟踪训练已知的顶点坐标分别是求外接圆的方程．

课堂小结

求出圆的圆心和半径《2.4.1圆的标准方程》导学案第二章直线和圆的方程学习目标1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征.(数学抽象)2.能根据所给条件求圆的标准方程.(数学运算)3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.(数学运算)．

月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?情境导学《古朗月行》唐李白小时不识月，呼作白玉盘。

又疑瑶台镜，飞在青云端。思考1圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？

各要素与圆有怎样的关系？探究新知定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，

定点称为圆心，定长称为圆的半径.确定圆的因素：圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.AMrxOy思考2

已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？一、圆的标准方程

点睛：(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,但是半径是不变的.新知探究1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是(

)A.x2+(y-2)2=1

B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1

D.x2+(y-3)2=1小试牛刀解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.答案:A

二、点与圆的位置关系圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.答案:B2.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(

)A.在圆上

B.在圆外C.在圆内

D.以上都不对例1.求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.典例解析解:(方法1)设点C为圆心,∵点C在直线:x-2y-3=0上,∴可设点C的坐标为(2a+3,a).又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.

圆的标准方程的两种求法(1)几何法它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;③解——解方程组,求出a,b,r;④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.归纳总结跟踪训练跟踪训练2已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)周长最小的圆的方程;(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.(1)解:当AB为直径时,过点A、B的圆的半径最小,从而周长最小,即跟踪训练例2(1)点P(m2,5)与圆x2+y2=24的位置关系是(

)A.点P在圆内

B.点P在圆外

C.点P在圆上

D.不确定思路分析:(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径,然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系;(2)首先确定圆心和半径,利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解.典例解析答案:(1)B

(2)[0,1)

点与圆的位置关系及其应用

点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r2的大小关系.通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.跟踪训练3若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是(

)A.a<-1或a>1 B.-1<a<1

C.0<a<1 D.a=±1解析:由题意可知,(1-a)2+(1+a)2<4,解得a2<1,故-1<a<1.答案:B

金题典例1.圆x2+y2=1的圆心到直线3x+4y-25=0的距离是(

)A.5 B.3 C.4 D.2答案:A当堂检测2.以C(2,-3)为圆心,且过点B(5,-1)的圆的方程为(

)A.(x-2)2+(y+3)2=25 B.(x+2)2+(y-3)2=65C.(x+2)2+(y-3)2=53 D.(x-2)2+(y+3)2=13答案:D3.已知点P(1,-1)在圆(x+2)2+y2=m的外部,则实数m的取值范围是

.

解析:由题意,得(1+2)2+(-1)2>m,即m<10.又m>0,故m的取值范围是(0,10).答案:(0,10)解析:已知圆的圆心(-2,0)关于原点的对称点为(2,0),半径不变,故所求对称圆的方程为(x-2)2+y2=5.答案:(x-2)2+y2=54.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为

.

课堂小结2.4.2圆的一般方程第二章直线和圆的方程圆的标准方程:

(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：

(x-1)2+(y+2)2=2

(x+2)2+(y-2)2=5

(x+a)2+(y-2)2=a2(a≠0)

特征：直接看出圆心与半径

复习圆心半径(1,-2)(-2,2)(-a,2)

x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-++-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数结论：任何一个圆方程可以写成下面形式动动手1.是不是任何一个形如

x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线都是圆呢？

思考2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x+4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.答案：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定是圆的方程.配方可得：把方程：x2

＋y

2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2+E2-4F>0时,表示以（）为圆心，以

（）为半径的圆.

动动脑(3)当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.x2

＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）②没有xy这样的二次项；①x2与y2系数相同并且不等于0；

圆的一般方程:

探究新知说明：思考：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？标准方程易于看出圆心与半径.一般方程突出形式上的特点.(x-a)2+(y-b)2=r2

1.判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径不是不是不是

小试牛刀2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于（）3.若

x2+y2-2ax-y+a=0表示圆，则a的取值范围是（

）

小试牛刀DD例1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.典型例题解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),例1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.典型例题解:(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),小结1：二元二次方程表示圆的判断方法任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F的值,

若其值为正,则表示圆;

若其值为0,则表示一个点;

若其值为负,则不表示任何图形.方法：待定系数法解：设所求圆的方程为：因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上所求圆的方程为例2：求过三点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)的圆的方程待定系数法典型例题(1)依题意设出待定系数方程;(2)列出关于待定系数的方程（组）;(3)解方程（组）得出系数，写出所求方程.小结2:待定系数法步骤：注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.

(特殊情况时,可借助图象求解更简单)例3.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.相关点法.Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)分析：点A的运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足圆的方程.建立点M与点A坐标之间的关系,就可以建立点M的坐标满足的条件,从而求出点M的轨迹方程.典型例题小结3：相关点法步骤：变式：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的

..Oxy.B(4,3).A(x0,y0).M(x,y)注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.所以点M的轨迹是以

为圆心,半径长是1的圆.课堂小结1.任何一个圆的方程可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0（1）的形式，但方程（1）表示的不一定是圆，只有D2+E2-4F>0时，方程表示圆心为半径为3.方程形式的选用：①若知道或涉及圆心和半径,采用圆的标准方程②若已知三点求圆的方程,采用圆的一般方程求解.2.一般方程标准方程配方展开4.轨迹方程的求法：待定系数法、相关点法《2.4.2圆的一般方程》导学案第二章直线和圆的方程学习目标1.理解圆的一般方程及其特点2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题

前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.

请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆?下面我们来探讨这一方面的问题.问题导学

问题思考探究新知

一、圆的一般方程1.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.2.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0),(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程,x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0).归纳总结3.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?小试牛刀1.圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是

.

答案:(3,0)2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=

.

答案:4答案:(1)A=C,且均不为0;

(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0.例1判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.思路分析:可直接利用D2+E2-4F>0是否成立来判断,也可把左端配方,看右端是否为大于零的常数.典例解析解:(方法1)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),(方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,当m=2时,它表示一个点;当m≠2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,-m),

二元二次方程表示圆的判断方法

任何一个圆的方程都可化为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程不一定表示圆.判断它是否表示圆可以有以下两种方法:(1)计算D2+E2-4F,若其值为正,则表示圆;若其值为0,则表示一个点;若其值为负,则不表示任何图形.归纳总结跟踪训练1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.跟踪训练例2圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.思路分析:由条件知,所求圆的圆心、半径均不明确,故设出圆的一般方程,用待定系数法求解.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①3D+4E+F=-25.②令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则x1+x2=-D,x1x2=F.∵|x1-x2|=6,∴(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36.③由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.典例解析

圆的方程的求法

求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.归纳总结跟踪训练2圆心在直线y=x上,且过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程是

.

解得D=E=-4,F=-2,即所求圆的一般方程是x2+y2-4x-4y-2=0.答案:x2+y2-4x-4y-2=0跟踪训练例3已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,

并说明它的轨迹是什么图形.思路分析:设出点C的坐标,根据|AB|=|AC|列出方程并化简.解:设另一端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得典例解析又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,所以变式：求本例中线段AC中点M的轨迹方程.解:设M(x,y),又A(4,2),M为线段AC的中点,∴C(2x-4,2y-2).∵点C在圆(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5)上,∴(2x-4-4)2+(2y-2-2)2=10,求动点的轨迹方程的常用方法1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程.归纳总结跟踪训练3两个定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的