离心率的范围问题-2024年高考数学重难点攻略含答案

离心率的范围问题-2024年高考数学

重难点攻略

版受豆腐芯率的范圆冏敦

圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型,对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关

键,相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

知识导图

考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围

考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围

考点三利用几何图形的性质求离心率的范围

考点分类讲解

考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围

规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a,b,c的不

等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.

[题目[1](23-24高三上.内蒙古锡林郭勒盟•期末)已知椭圆。：毛+g=l(a>6>0)上存在点P,使得|P^|

ab

=4区园,其中瓦月是椭圆。的两个焦点，则椭圆。的离心率的取值范围是()

蜃团可(23—24高三上・云南曲靖•阶段练习)已知用，月,分别为双曲线=l(a>0,6>0)的左、右焦

a2b2

点，河为双曲线左支上任意一点，若篙^的最小值为8a,则双曲线离心率e的取值范围是()

A.(1,^-]B.(2,4]C.(1,3]D.(3,5]

遒自H(23—24高三上•陕西安康•阶段练习)己知双曲线E：三―*=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

ab

后，月，过点E的直线/与双曲线E的左、右两支分别交于点A,B,弦AB的中点为朋■且M瓦，ME.若过原

点。与点”的直线的斜率不小于，^则双曲线E的离心率的取值范围为()

A.(1,V2]B.[V2,+<»)C.(1,V5]D.[V5,+c»)

题目@(2023•亳州模拟)己知双曲线C：4一当=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为用，月,若。与直线沙

ab

=,有交点，且双曲线上存在不是顶点的P,使得NP朋=3/PE用，则双曲线离心率的取值范围为.

考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围

规律方法利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的

范围等，建立不等式(不等式组)求解.

题目曰(2024•陕西•模拟预测)已知椭圆G：4+¥=l(a>b>0)的左、右焦点分别为E(—c,0),E(c,0),抛

ab

•••

物线。：/=（）椭圆与抛物线。相交于不同的两点且四边形的外接圆直径为

22pyp>0,G2AB,ABFXF2

等，若b>c,则椭圆G的离心率的取值范围是（）

2V52V52V51

B.D.

~5~"T"5'

题目区（2024高三•全日•专题练习）如图，椭圆的中心在坐标原点,焦点在7轴上，4,48,5椭圆顶点，用

为右焦点，延长BE与4玛交于点P，若/BF4为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）

C.(0,^^11

D.

趣瓦区（23—24高三下•陕西安康•阶段练习）己知椭圆G：三+耳=l（a>6>0）的左、右焦点分别为E（—C,

ab

0）,E（C,0）,抛物线4:/=2py（p>0）,且椭圆G与抛物线Q相交于两点，若耳N•瓦§=3c2,则椭圆G

的离心率的取值范围是（）

知双曲线?一卷=地>°'9°）的左、右焦点分别为印&若双曲线上存在点p，使

包噌黑=色，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A.(1,1+V2)B.(1,1+A/3)C.(1,1+A/2]D.(1,1+Vj?]

考点三利用几何图形的性质求离心率的越国

规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.

寂目工（2023•无得模拟）已知点P在双曲线C：q—卫=l（a>0,6>0）上，P到两渐近线的距离分别为

ab

4,d2,若did245Q冏2恒成立，则。的离心率的最大值为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

「题目0（2022高三上•河南•专题练习）已知椭圆C：4+学=l（a>6>0）的焦距为2c,直线g=%+擀与

abQ2

椭圆C交于点P,Q,若|PQ|W〃7c,则椭圆。的离心率的取值范围为（）

A/亭1）B.（0空。•[嘈」）D.（0,1]•••

'题目①（23—24高三上•广东•阶段练习）过双曲线C：4—¥=l,（a>0,b>0）的右焦点F作渐近线的垂线,

ab

垂足为H,点O为坐标原点，若sin/HOF>sinZHFO,又直线y=2x与双曲线无公共点，则双曲线。的离

心率的取值范围为（）

A.（V2.V5］B.（V2,+oo）C.（1,V5）D.（V2,V5）

彘目⑷（2023•陕西西安•模拟预测）已知两动点4B在椭圆。：考■+y2=l（a>1）上，动点P在直线3必+4g

a

—10=0上，若/APB恒为锐角，则椭圆。的离心率的取值范围是（）

强化训练

一、单选题

题目工（2023•全国•模拟覆测）己知双曲线。：4—3=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为用，&P为双曲

ab

线。的右支上一点，且PQLPE，2去W4,则双曲线。的离心率的取值范围为（）

D.[V5,+co)

222

趣亘区（23-24高二上•江苏榆州•期中）设月，月分别为椭圆6卷+3=1（如>仇>0）与双曲线a'—

aib1a2

*=1@>0也>0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点/号ME=60°,若椭圆的离心率e】e

bl一

［宇，宇］，则双曲线。2的离心率e?的取值范围为（）

[Ri

22

：题目区（2023•贵州得东南―模）设双曲线氏与—%=l（a>0,b>0）的右焦点为F,MXCUb）,若直线I与

ab

E的右支交于AB两点，且F为的重心，则E的离心率的取值范围为（）

A.（U（V3,+oo）B.（2^^,同）U（V3,+℃>）

D.（1卓）

题目回（2023•四川攀枝花•三模）已知双曲线。4―誓=19>0力>0）,4为双曲线。的左顶点，3为虚轴

ab~

的上顶点，直线Z垂直平分线段AB,若直线Z与。存在公共点，则双曲线。的离心率的取值范围是（）

A.（V2,V3）B.（V2,+c»）C.（V3,+OO）D.（1.V2）

题目回（2023•湖北•模拟预测）已知双曲线［-，菰=1,mC（0,4）,过点F（2,l）可做2条直线与左支只

有一个交点,与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交,则双曲线离心率的取

值范围是（）

•••

A.(1,V5)B.(1,普^

C.(1.V2)D.(1,2)

〔题目〔6〕（23-24高三上•内蒙古得林弗期JL中求）已知椭圆C：4+g=l（a>6>0）上存在点P,使得户局

ab

=4|P月I，其中月，月是椭圆。的两个焦点，则椭圆。的离心率的取值范围是（）

A.（。，看]B.（1,1）C.（f,l）D,[1.1）

痼目口（2023•四川•模拟预测）已知双曲线C:工—冬=l（a>0,b>0）的左右焦点分别为E,用，离心率为

ab

2,焦点到渐近线的距离为遍.过月作直线，交双曲线。的右支于AB两点，若H,G分别为△A?眄与人8月

£的内心，则旧G|的取值范围为（）

A.[2V2,4]B,[V3,2）C.[2,竽）D.卜方,竽）

蜃U£|（23—24高二上•山东济宁•阶盘练习）设椭圆考■+¥=1（a>6>0）的左、右焦点分别为E、月，P是

ab

椭圆上一点，|P月=北到信W4W3）,/印谯=',则椭圆离心率的取值范围为（）

A.[岑穹B.[X|]C.符呼]D.[X1]

二、多选题

金目回（2024•河北帮郭三模）己知双曲线。：入-匕=1,则（）

A"的取值范围是（一6,3）B.C的焦点可在，轴上也可在夕轴上

C.C的焦距为6D.C的离心率e的取值范围为（1,3）

22

题园回（23—24高三上•黑龙江哈尔滨•期末）已知椭圆。今+%=1（0<b<2）的左右焦点分别为耳B，

点P（6,1）在椭圆内部，点Q在椭圆上,则以下说法正确的是（）

A.离心率的取值范围为（0,空）

B.IQEHQ勾的最小值为4

C.不存在点Q,使得◊瓦•92=0

D.当6=乎时，以点P为中点的椭圆的弦的斜率为1

O

痼目红（2023•广东汕头•三模）已知耳，E分别为椭圆。:与+4=1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不

4O

在力轴上），APE另外接圆的圆心为半径为内切圆的圆心为/，半径为,，直线P/交。轴于点

M,O为坐标原点，则（）

A.鸟鸟最大时，度=卒B.丽・甫的最小值为2

C.椭圆。的离心率等于篙D.R-r的取值范围为（5，年]

三、填空题

2

题目应（22—23高三上•福建泉州•期中）抛物线C1：y=42的焦点F,点P（3,2）,以点F,P为焦点的椭圆与

抛物线有公共点,则椭圆的离心率的最大值为.

「藏目包（2023•广东•一模）已知双曲线C：g—g=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为用，后，倾斜角为母

ab3

的直线与双曲线。在第一象限交于点P,若/耳PE，则双曲线。的离心率的取值范围为

22

〔题目〔14］（23-24高三上•湖南奏底•期末）已知双曲线—4=l（a>0,6>0）,直线。和L相互平行，直

ab

线。与双曲线。交于AB两点，直线%2与双曲线。交于DE两点，直线AE和BD交于点p（异于坐标原

点）.若直线k的斜率为3，直线OP（O是坐标原点）的斜率%>1,则双曲线。的离心率的取值范围为

四、解答题

［题目|15）（21-22高三上•新瞪曷吉•阶盘练习）己知双曲线与—5=l（a>0,b>0）的左右焦点分别为乐

ab

月,点P在双曲线的右支上（点P不在2轴上），且|P园=5|P£］.

⑴用a表示|P盟,|P£|；

（2）若/鼻叨是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.

•••

题目正(2023•上海奉贴三模)已知双曲线T：考■—3=1伍>0]>0)离心率为6,圆0j2+才=&

ab

(7?>0).

(1)若e=2,双曲线T的右焦点为F(2,0),求双曲线方程；

(2)若圆。过双曲线T的右焦点F,圆。与双曲线T的四个交点恰好四等分圆周，求耳的值；

a

(3)若_R=1,不垂直于力轴的直线2：g=+m与圆。相切，且/与双曲线T交于点A,时总有ZAOB=

争求离心率e的取值范围.

22

蜃团五)(23—24高三上•辽宁朝用•阶段练习)设双曲线。:马~^=l(a>0,b>0)的右焦点为F,a2+b2=

ab

1,。为坐标原点，过F的直线Z与。的右支相交于A,B两点.

(1)若6〈岑,求。的离心率e的取值范围；

(2)若/AOB恒为锐角，求C的实轴长的取值范围.

•••

22

'题目逗(2023•上海徐汇•一模)已知双曲线E：4—9=l(a>0,6>0)的离心率为e.

ab

(1)若e=，^,且双曲线E经过点(2,1),求双曲线E的方程；

(2)若a=2,双曲线E的左、右焦点分别为E、月,焦点到双曲线E的渐近线的距离为血，点”在第一象限

且在双曲线E上,若也以|=8,求cos/EME的值；

(3)设圆。:/+才=4,AnzGR.若动直线功=版:+馆与圆。相切，且/与双曲线石交于4B时，总有

ZAOB■，求双曲线E离心率e的取值范围.

懑亘00(22—23高三下•上海浦东新•阶段练习)已知坐标平面多。夕上左、右焦点为(—4,0),(4,0)的双曲线

22

Cr：----%=l(m,n>0)和圆C2:a;+(y—a)=9(aCR).

mn

(1)若G的实轴恰为C2的一条直径，求G的方程；

(2)若G的一条渐近线为沙=心，，且G与G恰有两个公共点，求a的值；

⑶设a=5,若存在G上的点P(g，u。)，使得直线lp——驾=1与G恰有一个公共点，求G的离心率的

mn

取值范围.

•••

Illi.离M率妁量冏盘.

圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型,对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关

键,相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

知识导图

考点一利用圆锥曲线的定义求离心率的范围

考点二利用圆锥曲线的性质求离心率的范围

考点三利用几何图形的性质求离心率的范围

考点分类讲解

考点一利用国偿曲线的定义求离心率的越国

规律方法此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a,b,c的不

等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.

[题目|1]（23-24南三上•内蒙古得林弗勒JL由末）已知椭圆+g=l（a>6>0）上存在点P，使得\PF}\

ab

=4区制,其中瓦月是椭圆。的两个焦点，则椭圆。的离心率的取值范围是（）

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出炉同,炉月|,再利用线段和差关系建立不等式求解即得.

（详解】点P在椭圆。:々+t=l（a>6>0）上，瓦后是椭圆。的两个焦点，令半焦距为c,

ab

由\PF1\=4|P£|及两|+\PFi\=2a,得|PR|=萼,|PE|=第，

55

显然\PF{\-\P^\W㈤E|,当且仅当点用，鸟,P共线，且其在线段PE上时取等号，

因此2c>单一学=坐，即e=£>|■，又0<eVl,则孑<eVl,

555a55

〔题目〔2〕（23-24高三上•云南南靖册段练习）己知E，&分别为双曲线考■—4=l（a>0,6>0）的左、右焦

ab

点，”为双曲线左支上任意一点，若暮^的最小值为8a,则双曲线离心率e的取值范围是（）

A.（1,^-]B.（2,4]C.（1,3]D.（3,5]

【答案】。

【分析】由双曲线定义卫"及="四+2。），变形后由基本不等式得最小值，从而得血用|=2a,再利用双

\MF{\\MFr\

曲线中的范围有|皿园）c—a,由此结合可得离心率的范围.

【详解】E,E是左、右焦点，M为双曲线左支上的任意一点，

•••

则|山际|—用|=2a,即\MF^\=\MF]+2a,

代人应得应（|谢+2a>4a2

=|加++4a>2lWx+4a=8a,

\MF,\\MFi\\MF,\\MF,\7M

当且仅当|上用|=2a时取等号，即\MF[\^2a,

又点M是双曲线左支上任意一点，所以|A4R|>c—a,即2a>c—a,解得e43,

所以双曲线离心率e的取值范围是(1,3].

故选：C.

0瓦区(23—24高三上•陕西安康•阶段练习)已知双曲线E：乌—g=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为

ab

E，&过点E的直线Z与双曲线E的左、右两支分别交于点A,B,弦AB的中点为N且血若过原

点。与点”的直线的斜率不小于g，则双曲线E的离心率的取值范围为()

A.(1,V2]B.[V2,+a))C.(1,V5]D.[V5,+»)

【答案】B

【分析】方法一：连接人耳，班,结合双曲线的定义，再由条件列出不等式，代入计算，即可得到结果；方法二:

连接AF2,BF2,可得|4月|=\BFi\,联立直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，表示出垢河,列出不等

式，即可得到结果.

【详解】

方法一：如图，设双曲线E的半焦距为c,连接AFLBE,因为砺_LAfFL

所以|AFj|=|B£h设|4月|=m,

由双曲线的定义，得\AF^—m—2a,\BF\\—2a+m,

所以\AB\—4a,\AM\—\BM\—2a,\MF{\—m,

所以|Aif^F=m2—4a2=4c2—m2，即trC—2c2+2a2.

设/班月=a，则AMOF2=2a,

所以tan2a=—2tana,>V3,解得]Wtan%<1.

1—tana3

_\MF\1rn2-4a2一1

又7tana=——2，所以石&----j一<1,

\MF{\3m2

解得m2^6a2,所以2C2+2Q2）6a2，即c?>2c?,所以e=9>

a

故选：B.

方法二:如图，设双曲线E的半焦距为c,连接4月，因为AYF]_L所以|力倒=\BF,\.

设|4月=nz,由双曲线的定义，得\AF^=m—2a,\BF1\=2a+vn,所以\AB\-4a.

设直线l的方程为x—ty—c,4（宏i,pi）,B（力2,佻）.

x=ty-c

2

由<X娟_消去力并整理,得（比2—Q2）g2_2b2fcg+匕4=0.

、/一至=1

A=4b4备2__（以2_Q2）=4同Q2+4&4Q2>。，•••

因为直线，与双曲线E的两支相交，所以一上〈工V。，即62t2-a2>0.

ata

由1+比—得［AB］=e彳。—匍=2吧+f).结合MH=4a,化简得力2=出±誓①.

N片/「ab

4-4=i

Xi-x_a，即「『八②,

由<a：9，两式相减，得2

也_3=1yi-V2b261+/2

la2b2-1

②代入①化简，得用M=星半i>3,

a

所以a2,即c2>2a2,所以e>V2.

故选：B.

题目回(2023•亳州模拟)已知双曲线C：考■—%=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为E，&若。与直线9

ab

=工有交点，且双曲线上存在不是顶点的P,使得ZP£E=3/PEE，则双曲线离心率的取值范围为

【答案】(V2,2)

【解析】双曲线C与直线u=2有交点，

2

则_L>1匹=c--a>1

a>32fl2>1，

解得e=2>A/2^,

a

双曲线上存在不是顶点的P,使得NP®F产3/PEE,则P点在双曲线右支上,

设PE与夕轴交于点Q,

由对称性得|QE|=|QE|,

所以NQRE=/QER,

所以ZPRQ=

=2NPFE=NPQa,

所以|PQ|=|0矶，

所以IPEI—F匈=FEHPQI=4园=2a,

由|Q囿>|。囿得2a>c,

所以e=—V2,

a

又在中，

APFIF2+APF2FI=4/PRE<180°,

ZP^<45°,

所以粉=cos/PER>空，

即e=—>V2,

a

综上，血VeV2.

考点二利用国隹曲线的性质求离心率的越国

规律方法利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角，通径，三角形中的边角关系，曲线上的点到焦点距离的

范围等，建立不等式(不等式组)求解.

［题目工(2024•陕西•模拟预测)已知椭圆G：4+¥=l(a>b>0)的左、右焦点分别为月(―c,0)，E(c,0),抛

物线C：/=2py（p>0）,椭圆G与抛物线C相交于不同的两点AB,且四边形的外接圆直径为

22ABFXF2

等，若b>c,则椭圆G的离心率的取值范围是（）

A.（李，乎）B.（冬等）CT，*

【答案】A

［分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形AB用耳的外接圆就是△郎月的外接圆，再利用正弦定

理求得sin/EB^,再利用椭圆中焦点三角形的性质得到。的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐

次不等式，解之即可得解.

【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性，知点AB关于沙轴对称，

四边形是等腰梯形，易知四边形ABF.Fi的外接圆就是的外接圆,

ABFXF2

设四边形人班月的外接圆半径为R.

=2五=苧,sin/EB£=4,

记椭圆G的上顶点为仇坐标原点为O,

易知/_FyBF^<i仇又b>c,则tan-^-=tan/EMO=0<

0vV~~y0VZ-9v，即。为锐角，

3=sin/EB£Vsin。，

5

2sin-ycos-y2tan-y2tan§AIn

又sin。=-------------=--------------------->—,A—<tan—<2.

sin2-1-+cos2-1-tan2-1-+1tan2-1-+1522

又。<9<号，.”<又吟<1,5V1,则发〈告VL,

所以;则造<2〈与，即冬<e<乎，

4a—c5a252

则椭圆C1的离心率的取值范围是

故选：A.

【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a,c,代入公式6=£~;

a

②只需要根据一个条件得到关于a,6,c的齐次式，结合/=（?—0?转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两

边分别除以a或转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

题目囱（2024高三•全国•专题练习）如图，椭圆的中心在坐标原点,焦点在c轴上，44耳,5椭圆顶点，月

为右焦点，延长B阳与425交于点P，若/BF4为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（•）••

A.B.（0,^^-）C.D.

【答案】。

【分析】利用椭圆的性质及平面向量数量积的坐标表示构造齐次式计算即可.

【详解】解:如图所示，是瓦里与福的夹角；

设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c,

则B2A2—(a,-6),反瓦=(-c,-fe),

■/向量的夹角为钝角时，瓦川•瓦瓦=—ac+b2V0,

又&2—Q?—C2,/./—ac—C2V0,

2

两边除以Q之得1—目—e<0,

解得e>，y或e<—J1—1;

又；0<e<1,1>e>瓜J.

故选：D.

题画可(23—24商三下•陕西安康•阶段练习)已知椭圆C1：4+4=l(a>&>0)的左、右焦点分别为用(―c,

ab

2

0),月(c,0),抛物线C2:X=2py(p>0),且椭圆G与抛物线Q相交于AB两点，若用小幅=3c?,则椭圆G

的离心率的取值范围是()

A.(0,哈B.(0,叫C(率1)D.［孚1)

【答案】B

【分析】由椭圆和抛物线的对称性可知A,B两点、关于y轴对称，设出两点坐标，代入条件计算，将结果与椭圆

联立可求解人点纵坐标，结合点在椭圆上纵坐标的范围即可求出离心率的范围.

【详解】解:设4%0，队)，则8(—g,加),因为片(一c,0),月(c,0),

由F\A•F\B—3c2,得:(g+c)・(―g+c)+若=3c2,即谥一裕=-2。?,

点AB在椭圆上，所以满足苗■+粤=1,代入上式可得：

ab

正手+q=1,即62(y§-2c2)+遍=,即若=警2,

aba+b

因为点在椭圆上，所以砥=/吁2?2c24b2,解得：2c2<b2,

a+b

即3c24a2,解得：0Ve4空.

O

故选：B•••

画门已知双曲线£—V（a>°，9。）的左、右焦点分别为&&若双曲线上存在点P，使

吗舞■二包，则该双曲线的离心率的取值范围为（）

sin/产白251c

A.(1,1+V2)B.(1,1+V3)C.(1,1+72]D.(1,1+73]

【答案】A

ac

［解析】若点P是双曲线的顶点,无意义，故点P不是双曲线的顶点，在中，

sin/PEEsinZPF^Fl

由正弦定理得用I

sin/PERsin/PEE'

ac

又=q,即旧制=且・|。咒|,在双曲线的右支上,

sin/PREsin/P月五一四|aa

由双曲线的定义，得—|P耳|=2a,-|P耳|=2a,即|PE|=2二

ac—a

由双曲线的几何性质，知|P^|>c—a,.•.且一>c—a,即02—2加一(?〈0,

c—a

e2—2e—1<C0,解得一A/2+1VeVA/2+1,又e>1,

・・・双曲线离心率的取值范围是（1,1+2）.

考点三利用几何图形的性质求离心率的范围

规律方法利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.

1题目工（2023•无得模拟）已知点P在双曲线。：芸―¥=l（a>0,b>0）上，P到两渐近线的距离分别为

ab

&,也，若〈卷。冏2恒成立，则。的离心率的最大值为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

【答案】A

【解析】双曲线C:号一4=1（。>0,6>0）的渐近线方程为土立巩即bx±ay=0,

abza

设双曲线上的点P（X（）,no）,

所以"r

即b2xl-a2y^a2b2,

则P（x0,y。）到两条渐近线be土ay=0的距离分别为a=叫。）。也,

Va2+62

,\bx-ay\

di——,00

I面—az源a?/

所以drd-i—

a^+b2a2+b2'

2

又|O抨=就+加=&2+后若+/

=/+（3+1）加,y0ER,

所以QP『>a2,

因为恒成立,•••

所以黑制心

整理得/WM,即

a

所以离心率e=£~二<V2,

a

则。的离心率的最大值为V2.

题目区（2022高三上•河南•专题练习）已知椭圆C：4+M=l（a>b>0）的焦距为2c,直线“与

椭圆。交于点P,Q,若［PQ<〃7c,则椭圆。的离心率的取值范围为（）

至［卓,1）B.（0,等］C.［乎,1）D.（0,1］

【答案】。

［分析】联立椭圆与直线方程，利用韦达定理与弦长公式得到关于a,b,c的齐次不等式，从而得解.

【详解】

联立方程1y2，消去g,整理得8/+4QN—3aJ0,

序+京=1

则△=（4Q）2—4X8X（-3a2）=112a2>0,

设_P,Q的横坐标分别为力1，力2,则/1+62=—9,伤・力2=一

2o

所以|PQ|=+（誓丫,\X1-X2\=J1+（£）2,J（21+工2）2—4/1电

=7^7??亨―.

由|PQ4,得空，?寿<V7c,整理得a2+b2<4c2,

即a'+aZ—c'W4c,，即号>3，又0<e<1,则e=9>,故<e<l,

a5a55

所以椭圆。的离心率的取值范围为［乎,1）.

故选：C.

【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a,c,代入公式e=/■;

a

②只需要根据一个条件得到关于Q,b,c的齐次式，结合”=Q2—。2转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两

边分别除以a或Q2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

［题目包（23—24高三上•广东册盘练习）过双曲线C：4—¥=l,（a>0,b>0）的右焦点F作渐近线的垂线,

垂足为H,点。为坐标原点，若sinZHOF>sinZHFO,又直线y=2x与双曲线无公共点，则双曲线。的离

心率的取值范围为（）

A.（V2,V5］B.（A/2,+（»）C.（1,V5）D.（V2,V5）

【答案】A

【分析】结合题意以及双曲线的有关知识，找到a,b,c之间的不等关系，整理计算即可.

【详解】如图，可知△QFH中，OF=c,FH=b,OH=a,

因为sin/HOF>sin/HFO,由正弦定理可知b>a,•••

22

即6>a?,所以c>2a2,得e>V2.

又因为直线沙=2rc与双曲线无公共点，则上42,即6W2a,

a

结合a2+b2=c?,所以cW5a2，所以eWV5.

综上：血Ve<〃K,

故选:A.

题目④（2023•陕西西安•模拟预测）已知两动点A,B在椭圆C：4+/=i（a>1）上，动点P在直线32+4y

a

—10=0上，若/4PB恒为锐角，则椭圆。的离心率的取值范围是（）

A.(05)B.(fl)

【答案】。

【分析】由椭圆性质和图像得出椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为圆，由条件可知直线34+4。一

10=0与圆/+d=Q?+I相离，从而可得出Q的范围，进而求出离心率的范围.

22

【详解】若从圆£C2+7/2=a2+b2上一点引椭圆<+<=1的两条切线一定互相垂直.

ab

证明如下：设椭圆的切线方程为y=kx±Vfc2a2+fe2,

/.过圆上一\点、a(%1,%)的切线为kx、土TkT+l,(^―fcxi)2=fc2a2+62,

即（力;—a?*?—2/四+（g；—ft2）=0.（1）