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文档简介
运城市2024年高三第二次模拟调研测试
数学
试卷类型:A
考生注意:
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分,考试时间120分钟。
2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时,请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.已知复数z满足(4—3i)z=l+2i,则目=()
2.已知圆锥的侧面积为12万,它的侧面展开图是圆心角为一的扇形,则此圆锥的体积为()
3
3.已知向量Z和B满足问=3,忖=2邛+4=近,则向量刃在向量Z上的投影向量为()
1-1一
A.----QC.—a
4.已知双曲线彳=1(。〉0,6〉0)的两条渐近线均和圆C:/+/+8》+7=0相切,且双曲线的左
焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(
5.将函数/(x)=2sin3x+£的图象向右平移°(9〉0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若函数
g(x)在区间(0,9)上恰有两个零点,则。的取值范围是()
6.“五一”假期将至,某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路
可供旅客选择,其中“乔家大院”线路只剩下一个名额,其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这
四人前去报名,每人只选择其中一条线路,四人选完后,恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总
共有()
A.360种B.316种C.288种D.216种
7.已知等差数列{%}的前〃项和为S”,若耳5〉0,S]6<0,则十的取值范围是()
D.(—U*+8
8.已知正方形48CD的边长为2,点尸在以N为圆心,1为半径的圆上,贝“必「+|/>0『+归。「最小值为
A.18-872B.18-8V3
C.19-8V3D.19-872
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题
目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数(每穗颖花数)、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地
有两块面积相等的试验田,在种植环境相同的条件下,这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻,连续试
验5次,水稻的产量如下:
甲(单位:kg)250240240200270
乙(单位:kg)250210280240220
则下列说法正确的是()
A.甲种水稻产量的极差为70
B.乙种水稻产量的中位数为240
C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数
D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差
10.己知函数/(X)的定义域为R,且对任意的x,yeR,者B有/(9)=犷(y)+w(x),若/⑵=2,则
下列说法正确的是()
A./(1)=OB./(x)的图象关于〉轴对称
20242024
CX/(2')=2023X22025+2D,^/(2Z)=2024x22026+2
Z=1Z=1
11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-44cl2中,点P是侧面4DD]4内的一点,点E是线段C。上
的一点,则下列说法正确的是()
A.当点P是线段4。的中点时,存在点£,使得平面P8Q]
9
B.当点£为线段CG的中点时,过点/,E,A的平面截该正方体所得的截面的面积为一
114
C.点E到直线BQ的距离的最小值为J5
D.当点£为棱CG的中点且尸£=2后时,则点P的轨迹长度为与
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知集合Z=<xeN;<31<27,,5=(x|x2-3x+w=o},若leNCB,则NU8的子集的个数
为.
in(a+/)=;,贝Ijsin
13.已知tana=2tan/?,sin(万-a)=
14.已知椭圆C:亍+0=l(a>6>0)的左、右焦点分别为片,耳,过鸟的直线与。交于4,5两点,
且以用=|48],若△。4片的面积为?/,其中。为坐标原点,则^^的值为
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
DI/c/c
在△48。中,内角力,B,C的对边分别为a,b,c,csin-----=——bsin2C+——csinCcosB.
242
(1)求sin4的值;
(2)如图,a=6下,点、D为边AC上一点、,且2DC=5D5,ZABD=-,求△48。的面积.
2
B.
A
D
16.(本小题满分15分)
长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能,较长时间有节奏的深长呼吸,能使人体呼吸大量的氧气,吸收氧
气量若超过平时的7-8倍,就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态,加
快了心肌代谢,同时还使心肌肌纤维变粗,心收缩力增强,从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生
是否喜欢长跑进行了调查,调查男、女生人数均为200,统计得到以下2x2列联表:
喜欢不喜欢合计
男生12080200
女生100100200
合计220180400
(1)试根据小概率值a=0.050的独立性检验,能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联?
(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因,从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9
人,再从这9人中抽取3人进行面对面交流,记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数,求X的分布列;
(3)将频率视为概率,用样本估计总体,从该校全体学生中随机抽取12人,记其中喜欢长跑的人数为匕
求丫的数学期望.
c+d.
如图1,在△48C中,AC=BC=4,48=4近,点。是线段NC的中点,点E是线段48上的一点,
且。£_L48,将△ZDE沿£>£翻折到的位置,使得PEA.BD,连接必,PC,如图2所示,
点厂是线段必上的一点.
(1)若BF=2PF,求证:CR〃平面PDE;
4738
(2)若直线CE与平面所成角的正弦值为竺??,求线段斯的长.
57
18.(本小题满分17分)
已知抛物线C:「=2内(7〉o)的准线与圆。:/+/=]相切.
(1)求C的方程;
(2)设点尸是。上的一点,点/,8是。的准线上两个不同的点,且圆。是△尸48的内切圆.
①若|48]=2百,求点P的横坐标;
②求△尸48面积的最小值.
19.(本小题满分17分)
已知函数f(%)=(x-«)eA+x+eR).
(1)若。=4,求/(x)的图象在x=0处的切线方程;
(2)若/(x)20对于任意的xe[0,+co)恒成立,求a的取值范围;
(3)若数列{%}满足q=1且a"+1=’」(〃eN*),记数列{%}的前〃项和为S“,求证:
an+2
S"+;<ln[("+l)(〃+2)].
运城市2024年高三第二次模拟调研测试•数学
参考答案、提示及评分细则
/、l+2i(l+2i)(4+3i)211
LA因为复数z满足(4—3i)z=l+2i,所以z=————各——i,所以
,)4-3i(4-3i)(4+3i)2525
忖=.故选A.
27r
2.B设圆锥的底面半径为r,母线长为/,则%〃=12万,—,解得尸=2,1=6,所以此圆锥的
I3
高力=J/2—/=4正,所以此圆锥的体积『=」"乂22*4起=电4互.故选8.
33
3.A因为p+q=V7,所以问2+2[%+区『=7,又同=3,W=2,所以9+273+4=7,解得75=—3,
设。与b的夹角为。,则COS,=普谷=--=—-,所以向量6在向量。上的投影向量为
卜帆3x22
|S|cos6>-1ir=——a.故选A.
11W3
4.D双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以反—肛=0.圆C:/+/+8》+7=。的标准方程为
a
(X+4)2+/=9,所以圆心为C(—4,0),厂=3,所以不要^=3,又/+62=16,解得a=近,6=3,
22
所以双曲线的方程为土-匕=1.故选D
79
5.C将函数/(x)=2sin3X+£的图象向右平移>0)个单位长度,
得到y=2sin3(%-^)+^=2sin13x-30+?),
所以g(x)=2sin13x-30+?
当xw(0,0)时,3x—30+1£1—3夕+
又函数g(x)在区间(0,9)上恰有两个零点,
LLt、t-c兀ATI/n57r37r
所以一27r<—30+]<一»,解得五〈。《不,
(57r37r
即。的取值范围是甘,手.故选C.
6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中,没有人选择“乔家大院”线路,则报名情况有CjxA:=144种.
若小张、小胡、小李、小郭这四人中,恰有1人选择“乔家大院”线路,则报名情况有C;(C;xA;)=144种.
所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.
7.B由题意知Sl5="Si+/5)=]54〉o,所以%〉0,
_16(一+%6
=8(%+为)<o,
16—2
所以小+为<0,所以为<一。8<0•
设等差数列{为}的公差为d,则[=成―%<0,
氏二a1+7d>0,1d2
所以q>0.所以《81所以——<一<——,
U+%=%+7d+4+8d=26+15d<0,7%15
所以竺=色±1=1+4€(士”],即殁的取值范围是产,11]故选B.
qaxaxv15Jax\J15)
8.D以/为坐标原点,AB,40所在的直线分别为x,歹轴建立平面直角坐标系,如图所示.
设P(x,y),所以1+/=1,又3(2,0),C(2,2),D(0,2),
2
所以附+|PC|+1即2=(x_2)2+r+(x_a]+(—J+X?+(y—2)2
=19-8(x+v),
令x+y=f,即X+〉—,=0,所以直线X+J—/=0与圆/+「=1有公共点,所以<b
解得-CwtwC,
所以「砰+|PC『+归02)=19-80.故选D.
9.ABD由表中数据可知,甲种水稻产量的极差为270-200=70,故A正确;
由表中数据可知,乙种水稻产量从小到大排列为210,220,240,250,280,所以乙种水稻产量的中位数为
240,故B正确;
对于C,甲种水稻产量的平均数为(><(250+240+240+200+270)=240,乙种水稻产量的平均数为
1x(250+210+280+240+220)=240,所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数,故C
错误;
甲种水稻产量的方差为
1x(250-240)2+(240-240)2+(240-240)2+(200-240)2+(270-240)1=520,
乙种水稻产量的方差为
:x[(250—240)2+(210-240)2+(280-240)2+(240-240)2+(220-240)2]=600,
所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差,故D正确.
故选ABD.
10.AC令x=l,J=l,得/(1)=/(1)+/(1),解得/(1)=0,故A正确;
令x=—1,y=—1,所以=1)—/(—1)=0,解得=令y=—1,所以
==所以/(x)是奇函数,所以/(x)的图象关于原点对称,故B错误;
因为/(2")=/(2'Tx2)=2-7(2)+2/(2"T),令4=/(2"乂〃eN*),
则%=2%T+2"(〃"〃eN*),所以2一%"=2-("T%_I+1,
令"=2一%,则或=%+1,
又4=2-^x2=1,所以{〃}是首项为1,公差为1的等差数列,
所以"=4+-1)=〃,所以%=〃♦2",
nn
令s“=—ciy+/+,•,+Qn—1x2+2x2?+3x2^+•••+〃•2",
k=\k=\
则2S”lx22+2x23+3x24+・..+(〃-l)2+〃・2"i,
所以—=2+22+23+-+2〃—〃・2"i
2x(1-2")
=—-------2"i=(1—〃)2-1—2,
1-21)
所以S“=(〃—1)-2用+2,
2024
所以Z/(2')=2023x22025+2,故C正确,D错误.
7=1
故选AC.
1LACD以。为坐标原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示.
则。(0,0,0),A(0,0,2),4(2,0,2),男(2,2,2),
当点p是线段4。的中点时,尸(1,0」),
设E(0,2,a)(0Va<2),
所以西=(—1,0,1),电=(1,2,1),章=(—2,2,a—2),
假设存在点E,使得&E1平面PBR,
则西•乖=2+。-2=0,阍・乖=-2+4+。-2=0,
解得a=0,
所以存在点£,使得平面尸々A,此时点E与点C重合,故A正确;
取8C的中点凡连接BQ,EF,FA,AD},DXE,如图所示.
则所〃8。1,ADJ/BC1,所以4D]〃EN,
又易得4C>i=2应,EF=41,AF=*=#,
所以梯形Z2EE的面积为
AD,+EFI,.(g-EF、2V2+V2I/2后-逝丫9
9
所以过aE,A点的平面截该正方体所得的截面的面积为一,故B错误;
12
又3(2,2,0),设E(0,2,加)(04加V2),
所以西=(—2,—2,2),屉=(—2,0,加),
所以点£到直线BQ的距离
d=网sin(西,西=同-J]_c0s2(两屈)
所以4„m=也,
此时加=1,所以点E到直线3。的距离的最小值为正,故C正确;
取。。的中点G,连接EG,EP,GP,
易得GEJ_平面AAXD{D,又GPu平面AAXDXD,
所以GELGP,所以GP=JPE2—GE2=j(2亚『―2?=2,
则点P在侧面力4〃。内运动轨迹为以G为圆心,半径为2的劣弧,
分别交4D,42于8,月,
TTTT
则则
APXGD,=AP2GD=-,APXGP2=j,
jr27r
所以点尸的轨迹长度为。x2=,,故D正确.
33
故选ACD.
12.8由题意知Z=<xeN;<3>i<27>={0,1},又leZQB,
所以leB,所以a―3+加=0,解得加=2,
所以5=卜卜2一3X+2=0}={1,2},所以ZU8={0」,2},所以ZU8的子集的个数为23=8.
1e〜c口匚sinasinB
13.-----因为tana=2tan。,即--------=2------,
12cosacosp
所以sinacos尸=2sin尸cosa,
因为sin(。+/)=sin。cos'+cos。sin,二;,
所以3cosasin。=;,解得cosasin,=g,sinacosP=9
所以sin(6一a)=sin/?cosa-cos/sina='一:二一^。
小尸=2义立尸=在心
△阳尸263
由余弦定理可得闺周2=|/川+|^|2-2|^||^|COS6»,
即4c2=(|/司+忸名『_2|/片设凡卜2卜用,巴|cosd
=44+(-2-2COS6)M"|,
贝!I(2+2cos6)防|陷\=4a2-4c2=4",
所以△片zg的面积s=;|/片|MB卜Ee=
1+cos33
所以百sin6—cos6=1,
715717T
即sin6—?-,由于。一工€,所以6=2.
26~6,~63
又以胤=|/8],所以/是等边三角形,即以周=|%|=|/同,
由椭圆的定义可得|/周+忸制+|4B|=4a,所以以胤=ga,
22a
则M闻=铲,忸闾=§,所以28,公鸟,
\AB\2URI2G
则占占=/H=2tan/Z片乙=1-
FRFR
15.解:(1)因为csin'=^~bsin2CT——-csinCcos5,
242
由正弦定理得
sinCsin'十。=-sinBsin2C+sin2CcosB
242
二——sinBsinCcosC+——sin2CcosB
22
二sinC(sin8cosC+sinCcos5)=-^-sinCsin(5+C),
〃
二匚1.71—AA/5
又sinCwO,所以sinw±=^sin(5+C),所以sin-------二——sin(万一/),
22
所以cos3=Y^sin/=V5sin—COS—,
2222
又会n*,A八.AV5A
cos—^0,所以sin一二——cos—=
2225225
所以sin/=2sin—cos—=—.
225
(2)设Z>8=2x(x〉0),又2DC=5DB,
所以DC=5x,cosZBDC=cosI^4+—I=-sin^4=-y.
4/+25/—(6扃
DB2+DC?-BC?4
在△ADC中,由余弦定理得cosNRDC=
2DBDC2-2x-5x5
解得x=2,
所以80=4,DC=10,
DB44__
XsinA===—,所以7X4=5,AC=DA+DC=15>
DADA5
5LAB2+BD2=AD2,所以A8=3,
114
所以△48C的面积S=-48-/Csin/=—x3xl5x—=18.
225
16.解:(1)零假设为J/。:学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.
根据列联表中的数据,经计算得到
人工翳黑”………
根据小概率值a=0.050的独立性检验,我们推断笈。不成立,即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联,
此推断犯错误的概率不大于0.050.
(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人,其中男生的人数为:
9x」^=4人,
80+100
女生人数为:9义10°=5人.
80+100
X的所有可能取值为0,1,2,3,
「315
所以尸(x=o)=工=一,0(X=1)=上孕=2
、JCl21v/C;14
12C3
P(X=2)=^C^=—10,尸(万=3)===上5
、/C;21、7Cg42
X的分布列为:
X0123
P15105
21142142
(3)由题意知‘任抽I人喜欢长跑的概率夕
所以y〜802,\1133
,所以E(y)=i2x.=《
17.(1)证明:过点。作CHLED,垂足为〃,
在P£上取一点使得1PA/=」PE,连接印/,FM,
3
如图所示.
因为「河=工/>£,PF=-PB,所以FM〃EB且FM=^EB,
333
因为。是ZC的中点,且所以CH〃EB且CH=LEB,
3
所以CH〃FM且CH=FM,所以四边形是平行四边形,所以C尸〃
又CEU平面即/u平面所以CE〃平面P£>£.
(2)解:因为P£,££>,PE1BD,EDCBD=D,ED,BDu平面BCDE,所以P£J_平面BCDE,
又5£u平面BCDE,所以P£J_B£,PB=^PE2+BE2=275.
又EBLED,所以EB,ED,£P两两垂直,
故以£为坐标原点,EB,ED,£尸所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立空间直角坐标系,如图所示.
所以8(3行,0,0),D(0,V2,0),尸(0,0,行),C(亚,2亚,0).
设平面尸友)的一个法向量〃=(x,y,z),
又丽=卜3亚,0,行),5D=(-372,72,0),
n-BP=-3A/2X+也z=0,
所以_____.「厂
n-BD=-3A/2x+J2y=0,
令x=1,解得y=3,z=3,
所以平面PHD的一个法向量3=(1,3,3).
设赤=2丽=卜3届,0,岳)(0—41),
所以3=赤+而=(2行2后,0)+卜36>,0,岳)
设直线CF与平面PBD所成角的大小为e,
____n-^F
所以sin。=cos//2,CT7')=
'/矶CF
___________________472___________________4M
Jl+9+9x,(2后—3@『+卜2旨『+(忘『57
]7177/«
解得2=—或彳=一,所以BF=—BP=由或BF=〈BP=9.
2102105
18.解:(1)由题意知。的准线为x=—又。的准线与圆0:/+2=]相切,所以—K=i,
22
解得夕=2,所以。的方程为/=4x.
(2)设点尸(/Jo),点/(一1,加),点5(-1,〃),直线尸4方程为y-加二%——(x+1),
招+1
-m+mx
化简得(%-m)x-(x0+1)v+(v0)(o+1)=0.
又圆。是△尸48的内切圆,
卜()一加+加(/+1)|
所以圆心0(0,0)到直线尸力的距离为1,即二1,
22222
故(队-m)+(x0+l)=(y0-m)+2m(y0-m)(x0+l)+m(x0+l),
易知玉)>1,上式化简得,一1)加2+2%加一(X。+1)=0,
同理有-1)/+2%〃_(%0+1)=0,
所以加,〃是关于/的方程(玉)-1)72+2%/—(/+1)=0的两个不同的根,
所以加+“=,mn="。+1)
%T/T
4.VQ14(x0+l)
所以|48-=(m-n『二(冽+〃)2—4m几
(%-1)2%T
又点P是。上的一点,所以需=4%,
16x4(x0+1)_4%T
所以|4a=0n-------------—Z
(%-丁/T-I)2
①若M邳=2指,则24-i/)T2=26
解得x0=3或x0=:(舍),所以点P的横坐标为3.
②因为点尸(玉),%))到直线x=-1的距离d=x0+l,
所以△PZ8的面积
S=^\AB\-d=^2(%+1)=
(公-以
2
t+4+4/)(r+4+6/)2,〜4016-
令%—1=/«>0),贝!JS二,2+IttH----1---F32,
因为「+16|22卜.4=8,10?+—>2
,2二40,
当且仅当/=2时等号成立,所以S2,8+40+32=4下,
即APAB面积的最小值为46.
19.(1)解:若a
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