山西省运城市2024届高三第二次模拟调研测试数学试题（含答案）

运城市2024年高三第二次模拟调研测试

数学

试卷类型：A

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知复数z满足（4—3i）z=l+2i,则目=（）

2.已知圆锥的侧面积为12万，它的侧面展开图是圆心角为一的扇形，则此圆锥的体积为（）

3

3.已知向量Z和B满足问=3,忖=2邛+4=近，则向量刃在向量Z上的投影向量为（）

1-1一

A.----QC.—a

4.已知双曲线彳=1（。〉0,6〉0）的两条渐近线均和圆C：/+/+8》+7=0相切，且双曲线的左

焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（

5.将函数/(x)=2sin3x+£的图象向右平移°（9〉0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数

g（x）在区间（0,9）上恰有两个零点，则。的取值范围是（）

6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路

可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这

四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总

共有（）

A.360种B.316种C.288种D.216种

7.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S”，若耳5〉0,S]6<0,则十的取值范围是（）

D.(—U*+8

8.已知正方形48CD的边长为2,点尸在以N为圆心，1为半径的圆上，贝“必「+|/>0『+归。「最小值为

A.18-872B.18-8V3

C.19-8V3D.19-872

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地

有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试

验5次，水稻的产量如下：

甲（单位：kg）250240240200270

乙（单位：kg）250210280240220

则下列说法正确的是（）

A.甲种水稻产量的极差为70

B.乙种水稻产量的中位数为240

C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数

D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

10.己知函数/（X）的定义域为R,且对任意的x,yeR,者B有/（9）=犷（y）+w（x），若/⑵=2,则

下列说法正确的是（）

A./（1）=OB./(x)的图象关于〉轴对称

20242024

CX/（2'）=2023X22025+2D,^/（2Z）=2024x22026+2

Z=1Z=1

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-44cl2中，点P是侧面4DD]4内的一点，点E是线段C。上

的一点，则下列说法正确的是()

A.当点P是线段4。的中点时，存在点£，使得平面P8Q]

9

B.当点£为线段CG的中点时，过点/,E,A的平面截该正方体所得的截面的面积为一

114

C.点E到直线BQ的距离的最小值为J5

D.当点£为棱CG的中点且尸£=2后时,则点P的轨迹长度为与

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合Z=<xeN；<31<27,,5=(x|x2-3x+w=o},若leNCB,则NU8的子集的个数

为.

in（a+/）=；,贝Ijsin

13.已知tana=2tan/?,sin（万-a）=

14.已知椭圆C：亍+0=l(a>6>0)的左、右焦点分别为片，耳，过鸟的直线与。交于4,5两点,

且以用=|48],若△。4片的面积为?/，其中。为坐标原点，则^^的值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

DI/c/c

在△48。中，内角力,B,C的对边分别为a,b,c,csin-----=——bsin2C+——csinCcosB.

242

(1)求sin4的值；

(2)如图，a=6下，点、D为边AC上一点、,且2DC=5D5,ZABD=-,求△48。的面积.

2

B.

A

D

16.（本小题满分15分）

长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧

气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加

快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生

是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200,统计得到以下2x2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生12080200

女生100100200

合计220180400

（1）试根据小概率值a=0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？

（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9

人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列;

（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为匕

求丫的数学期望.

c+d.

如图1,在△48C中，AC=BC=4,48=4近，点。是线段NC的中点，点E是线段48上的一点,

且。£_L48,将△ZDE沿£>£翻折到的位置，使得PEA.BD,连接必，PC,如图2所示,

点厂是线段必上的一点.

(1)若BF=2PF,求证：CR〃平面PDE；

4738

(2)若直线CE与平面所成角的正弦值为竺?？，求线段斯的长.

57

18.（本小题满分17分）

已知抛物线C：「=2内(7〉o)的准线与圆。：/+/=]相切.

(1)求C的方程；

(2)设点尸是。上的一点，点/,8是。的准线上两个不同的点，且圆。是△尸48的内切圆.

①若|48]=2百，求点P的横坐标；

②求△尸48面积的最小值.

19.(本小题满分17分)

已知函数f(%)=(x-«)eA+x+eR).

(1)若。=4,求/(x)的图象在x=0处的切线方程；

(2)若/(x)20对于任意的xe[0,+co)恒成立，求a的取值范围；

(3)若数列｛%｝满足q=1且a"+1=’」(〃eN*),记数列｛%｝的前〃项和为S“，求证:

an+2

S"+；＜ln[("+l)(〃+2)].

运城市2024年高三第二次模拟调研测试•数学

参考答案、提示及评分细则

/、l+2i（l+2i）（4+3i）211

LA因为复数z满足（4—3i）z=l+2i,所以z=————各——i,所以

,）4-3i（4-3i）（4+3i）2525

忖=.故选A.

27r

2.B设圆锥的底面半径为r,母线长为/,则%〃=12万，—,解得尸=2,1=6,所以此圆锥的

I3

高力=J/2—/=4正,所以此圆锥的体积『=」"乂22*4起=电4互.故选8.

33

3.A因为p+q=V7,所以问2+2[%+区『=7,又同=3,W=2,所以9+273+4=7,解得75=—3,

设。与b的夹角为。，则COS，=普谷=--=—-,所以向量6在向量。上的投影向量为

卜帆3x22

|S|cos6>-1ir=——a.故选A.

11W3

4.D双曲线的一条渐近线方程为y=2x,所以反—肛=0.圆C：/+/+8》+7=。的标准方程为

a

(X+4)2+/=9,所以圆心为C(—4,0),厂=3,所以不要^=3,又/+62=16,解得a=近，6=3,

22

所以双曲线的方程为土-匕=1.故选D

79

5.C将函数/(x)=2sin3X+£的图象向右平移>0)个单位长度,

得到y=2sin3（%-^）+^=2sin13x-30+?）,

所以g（x）=2sin13x-30+?

当xw（0,0）时，3x—30+1£1—3夕+

又函数g(x)在区间(0,9)上恰有两个零点,

LLt、t-c兀ATI/n57r37r

所以一27r<—30+]<一»,解得五〈。《不，

（57r37r

即。的取值范围是甘，手.故选C.

6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有CjxA：=144种.

若小张、小胡、小李、小郭这四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，则报名情况有C；（C；xA；）=144种.

所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.

7.B由题意知Sl5="Si+/5）=]54〉o,所以％〉0,

_16(一+%6

=8(%+为)<o，

16—2

所以小+为<0，所以为<一。8<0•

设等差数列｛为｝的公差为d,则[=成―%<0，

氏二a1+7d>0,1d2

所以q>0.所以《81所以——<一<——,

U+%=%+7d+4+8d=26+15d<0,7%15

所以竺=色±1=1+4€（士”],即殁的取值范围是产,11]故选B.

qaxaxv15Jax\J15）

8.D以/为坐标原点，AB,40所在的直线分别为x,歹轴建立平面直角坐标系，如图所示.

设P(x,y),所以1+/=1,又3(2,0),C(2,2),D(0,2),

2

所以附+|PC|+1即2=(x_2)2+r+(x_a]+(—J+X?+(y—2)2

=19-8(x+v),

令x+y=f,即X+〉—，=0,所以直线X+J—/=0与圆/+「=1有公共点，所以<b

解得-CwtwC，

所以「砰+|PC『+归02)=19-80.故选D.

9.ABD由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270-200=70,故A正确；

由表中数据可知，乙种水稻产量从小到大排列为210,220,240,250,280,所以乙种水稻产量的中位数为

240,故B正确；

对于C,甲种水稻产量的平均数为(><(250+240+240+200+270)=240,乙种水稻产量的平均数为

1x(250+210+280+240+220)=240,所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C

错误；

甲种水稻产量的方差为

1x(250-240)2+(240-240)2+(240-240)2+(200-240)2+(270-240)1=520,

乙种水稻产量的方差为

:x[(250—240)2+(210-240)2+(280-240)2+(240-240)2+(220-240)2]=600,

所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.

故选ABD.

10.AC令x=l,J=l,得/(1)=/(1)+/(1)，解得/(1)=0,故A正确；

令x=—1,y=—1,所以=1)—/(—1)=0,解得=令y=—1,所以

==所以/(x)是奇函数，所以/(x)的图象关于原点对称，故B错误；

因为/(2")=/(2'Tx2)=2-7(2)+2/(2"T)，令4=/(2"乂〃eN*),

则%=2%T+2"(〃"〃eN*),所以2一%"=2-("T%_I+1,

令"=2一%,则或=%+1，

又4=2-^x2=1,所以｛〃｝是首项为1,公差为1的等差数列，

所以"=4+-1)=〃，所以%=〃♦2",

nn

令s“=—ciy+/+,•,+Qn—1x2+2x2?+3x2^+•••+〃•2",

k=\k=\

则2S”lx22+2x23+3x24+・..+(〃-l)2+〃・2"i,

所以—=2+22+23+-+2〃—〃・2"i

2x（1-2"）

=—-------2"i=（1—〃）2-1—2，

1-21）

所以S“=（〃—1）-2用+2,

2024

所以Z/（2'）=2023x22025+2,故C正确，D错误.

7=1

故选AC.

1LACD以。为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示.

则。（0,0,0）,A（0,0,2）,4（2,0,2）,男（2,2,2）,

当点p是线段4。的中点时，尸（1,0」），

设E（0,2,a）（0Va<2）,

所以西=（—1,0,1）,电=（1,2,1）,章=（—2,2,a—2）,

假设存在点E,使得&E1平面PBR,

则西•乖=2+。-2=0,阍・乖=-2+4+。-2=0,

解得a=0,

所以存在点£,使得平面尸々A，此时点E与点C重合，故A正确;

取8C的中点凡连接BQ,EF,FA,AD},DXE,如图所示.

则所〃8。1，ADJ/BC1,所以4D]〃EN,

又易得4C>i=2应，EF=41,AF=*=#,

所以梯形Z2EE的面积为

AD,+EFI,.(g-EF、2V2+V2I/2后-逝丫9

9

所以过aE,A点的平面截该正方体所得的截面的面积为一，故B错误；

12

又3(2,2,0),设E(0,2,加)(04加V2),

所以西=（—2,—2,2）,屉=（—2,0,加），

所以点£到直线BQ的距离

d=网sin（西,西=同-J]_c0s2（两屈）

所以4„m=也，

此时加=1,所以点E到直线3。的距离的最小值为正，故C正确;

取。。的中点G,连接EG,EP,GP,

易得GEJ_平面AAXD{D,又GPu平面AAXDXD,

所以GELGP,所以GP=JPE2—GE2=j(2亚『―2?=2,

则点P在侧面力4〃。内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，

分别交4D,42于8，月，

TTTT

则则

APXGD,=AP2GD=-,APXGP2=j,

jr27r

所以点尸的轨迹长度为。x2=,，故D正确.

33

故选ACD.

12.8由题意知Z=<xeN；<3>i<27>={0,1},又leZQB,

所以leB,所以a―3+加=0,解得加=2,

所以5=卜卜2一3X+2=0}={1,2},所以ZU8={0」,2},所以ZU8的子集的个数为23=8.

1e〜c口匚sinasinB

13.-----因为tana=2tan。，即--------=2------,

12cosacosp

所以sinacos尸=2sin尸cosa,

因为sin(。+/)=sin。cos'+cos。sin,二;，

所以3cosasin。=；,解得cosasin，=g,sinacosP=9

所以sin(6一a)=sin/?cosa-cos/sina='一:二一^。

小尸=2义立尸=在心

△阳尸263

由余弦定理可得闺周2=|/川+|^|2-2|^||^|COS6»,

即4c2=(|/司+忸名『_2|/片设凡卜2卜用,巴|cosd

=44+(-2-2COS6)M"|,

贝!I(2+2cos6)防|陷\=4a2-4c2=4",

所以△片zg的面积s=；|/片|MB卜Ee=

1+cos33

所以百sin6—cos6=1,

715717T

即sin6—?-,由于。一工€,所以6=2.

26~6,~63

又以胤=|/8],所以/是等边三角形，即以周=|%|=|/同,

由椭圆的定义可得|/周+忸制+|4B|=4a,所以以胤=ga,

22a

则M闻=铲,忸闾=§,所以28,公鸟,

\AB\2URI2G

则占占=/H=2tan/Z片乙=1-

FRFR

15.解：（1）因为csin'=^~bsin2CT——-csinCcos5,

242

由正弦定理得

sinCsin'十。=-sinBsin2C+sin2CcosB

242

二——sinBsinCcosC+——sin2CcosB

22

二sinC（sin8cosC+sinCcos5）=-^-sinCsin（5+C）,

〃

二匚1.71—AA/5

又sinCwO,所以sinw±=^sin（5+C），所以sin-------二——sin（万一/）,

22

所以cos3=Y^sin/=V5sin—COS—,

2222

又会n*,A八.AV5A

cos—^0,所以sin一二——cos—=

2225225

所以sin/=2sin—cos—=—.

225

（2）设Z>8=2x（x〉0）,又2DC=5DB,

所以DC=5x,cosZBDC=cosI^4+—I=-sin^4=-y.

4/+25/—（6扃

DB2+DC?-BC?4

在△ADC中,由余弦定理得cosNRDC=

2DBDC2-2x-5x5

解得x=2,

所以80=4,DC=10,

DB44__

XsinA===—,所以7X4=5,AC=DA+DC=15>

DADA5

5LAB2+BD2=AD2,所以A8=3,

114

所以△48C的面积S=-48-/Csin/=—x3xl5x—=18.

225

16.解：（1）零假设为J/。：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.

根据列联表中的数据，经计算得到

人工翳黑”………

根据小概率值a=0.050的独立性检验，我们推断笈。不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联,

此推断犯错误的概率不大于0.050.

(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为:

9x」^=4人，

80+100

女生人数为：9义10°=5人.

80+100

X的所有可能取值为0,1,2,3,

「315

所以尸（x=o）=工=一，0（X=1）=上孕=2

、JCl21v/C；14

12C3

P（X=2）=^C^=—10,尸（万=3）===上5

、/C；21、7Cg42

X的分布列为:

X0123

P15105

21142142

(3)由题意知‘任抽I人喜欢长跑的概率夕

所以y〜802,\1133

，所以E（y）=i2x.=《

17.(1)证明：过点。作CHLED,垂足为〃，

在P£上取一点使得1PA/=」PE,连接印/,FM,

3

如图所示.

因为「河=工/>£,PF=-PB,所以FM〃EB且FM=^EB,

333

因为。是ZC的中点，且所以CH〃EB且CH=LEB,

3

所以CH〃FM且CH=FM,所以四边形是平行四边形，所以C尸〃

又CEU平面即/u平面所以CE〃平面P£>£.

(2)解：因为P£，££>,PE1BD,EDCBD=D,ED,BDu平面BCDE,所以P£J_平面BCDE,

又5£u平面BCDE,所以P£J_B£,PB=^PE2+BE2=275.

又EBLED,所以EB,ED,£P两两垂直，

故以£为坐标原点，EB,ED,£尸所在的直线分别为x轴，y轴，z轴,

建立空间直角坐标系，如图所示.

所以8（3行,0,0）,D（0,V2,0）,尸（0,0,行），C（亚,2亚,0）.

设平面尸友）的一个法向量〃=（x,y,z）,

又丽=卜3亚,0,行），5D=（-372,72,0）,

n-BP=-3A/2X+也z=0,

所以_____.「厂

n-BD=-3A/2x+J2y=0,

令x=1,解得y=3,z=3,

所以平面PHD的一个法向量3=（1,3,3）.

设赤=2丽=卜3届,0,岳）（0—41）,

所以3=赤+而=（2行2后,0）+卜36>,0,岳）

设直线CF与平面PBD所成角的大小为e,

____n-^F

所以sin。=cos//2,CT7')=

'/矶CF

___________________472___________________4M

Jl+9+9x,(2后—3@『+卜2旨『+(忘『57

]7177/«

解得2=—或彳=一，所以BF=—BP=由或BF=〈BP=9.

2102105

18.解：（1）由题意知。的准线为x=—又。的准线与圆0：/+2=］相切，所以—K=i,

22

解得夕=2,所以。的方程为/=4x.

（2）设点尸（/Jo）,点/（一1,加），点5（-1,〃），直线尸4方程为y-加二%——（x+1）,

招+1

-m+mx

化简得(%-m)x-(x0+1)v+(v0)(o+1)=0.

又圆。是△尸48的内切圆，

卜（）一加+加（/+1）|

所以圆心0（0,0）到直线尸力的距离为1,即二1,

22222

故(队-m)+(x0+l)=(y0-m)+2m(y0-m)(x0+l)+m(x0+l),

易知玉）＞1,上式化简得，一1）加2+2%加一（X。+1）=0,

同理有-1)/+2%〃_(%0+1)=0,

所以加，〃是关于/的方程（玉）-1）72+2%/—（/+1）=0的两个不同的根,

所以加+“=，mn="。+1)

%T/T

4.VQ14(x0+l)

所以|48-=(m-n『二（冽+〃）2—4m几

(%-1)2%T

又点P是。上的一点，所以需=4%,

16x4(x0+1)_4%T

所以|4a=0n-------------—Z

(%-丁/T-I)2

①若M邳=2指,则24-i/)T2=26

解得x0=3或x0=:（舍），所以点P的横坐标为3.

②因为点尸（玉）,％））到直线x=-1的距离d=x0+l,

所以△PZ8的面积

S=^\AB\-d=^2(%+1)=

（公-以

2

t+4+4/)(r+4+6/)2,〜4016-

令%—1=/«>0),贝！JS二,2+IttH----1---F32,

因为「+16|22卜.4=8,10?+—>2

,2二40,

当且仅当/=2时等号成立，所以S2，8+40+32=4下,

即APAB面积的最小值为46.

19.(1)解：若a