河南省开封市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

河南省开封市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.4的算术平方根是（）

A.2B.-2C.±2D.16

2.下列各组数是勾股数的是（）

A.1,2,3B.3,4,7C.2.5,4,4.5D.5,12,13

3.某数学小组想了解本校1800余名学生对数学的喜爱情况，现拟定以下步骤进行调查:

①从每班随机抽取10人进行调查；②设计对数学喜爱情况的调查问卷；③利用样本估

计总体得出调查结论；④对得到结果进行记录整理.其中排序正确的是（）

A.①②③④B.②①④③C.②①③④D.①④②③

4.下列运算正确的是（）

A.）=a5B.—a-a4=-a5C.D.（2afe2）3=2aV

5.下列各命题的逆命题成立的是（）

A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等，那么它们的绝对值

相等

C.两直线平行，同位角相等D.如果两个角都是45。，那么这两个角相

等

6.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末

端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m,则旗杆的高度为一（滑轮上方

的部分忽略不计）（）

A.14mB.15mC.16mD.17m

7.如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）

A.(Q+Z?)2=〃+2。/?+Z?2B.(a—Z?)2=4—2ab+b?

C.(a+b){a—b)=a1—b2D.(abf=a2b2

8.如图，在c/lBC中，分别以点A和点C为圆心，大于《AC的长为半径作弧，两弧相

交于M,N两点，作直线MN,交AC于点E,AE=3,△A3。的周长为13,则ABC的周

长是（）

A.16B.17C.18D.19

9.综合实践活动小组为测量池塘两端A,2的距离，活动小组的三位同学分别设计出如

下三种方案：

小华：如图①，先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和8.连

接AC并延长到点。，使OC=6,连接BC并延长到点E,使CE=CB,连接。E,量

出OE的长即为A,8的距离.

图①“

小欣：如图②，先过点B作A3的垂线在班上取C,。两点，使3C=CD,再过

点。作80的垂线DE,交AC的延长线于点E,则量出DE的长即为A,8的距离.

试卷第2页，共8页

图②卜

小彤：如图③，过点8作A3的垂线BE,在3E上取一点连接AO,然后在42的延

长线上取一点C,连接8,使/BDC=/BDA.这时只要量出BC的长即为A,8的距

离.

图③■

以上三位同学设计的方案中可行的是（）

A.小华和小欣B.小欣和小彤

C.小华和小彤D.三个人的方案都可以

10.某次考试中，某班级的数学成绩被绘制成了如图所示的频数分布直方图.下列说法

错误的是（）

B.及格（不低于60分）的人数为26

C.得分在90〜100分之间的人数占总人数的5%

D.该班的总人数为40

二、填空题

11.请写出一个大于1小于3的无理数.

12.等腰△ABC中，若NA=30。，则/B=

13.（3ab-2a）^-a-.

14.如图，RtABC中，两直角边5c和A3的长分别3和4,以斜边AC为边作一个正

方形ACDE,再以正方形的边AE为斜边作Rt,AFE,然后依次以两直角边■和EF为

边分别作正方形AHGF和EFMN,则图中阴影部分的面积为

15.如图，CQBO是ABC的两个外角NPCB2QBC的角平分线，OM±AP,ON±AQ,

且QW=ON.下列结论中正确的个数有个.

①/PAO=/0A。；®ZAOB=-ZACB；®1Z.COB=180°+Z.CAB；

2

④ZPAQ+2,ZCOB=180°.

三、解答题

16.（1）因式分解4x3y-4尤2y2+孙3

（2）先化简，再求值：3a（2a~-4a+3j—2a2（3a+4）,其中a=-2.

17.如图是一个平分角的仪器，其中BC=DC,将点A放在角的顶点，A2和

AO沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是/D48的平分线，请你说明它

的道理.

试卷第4页，共8页

18.如图，一艘轮船位于灯塔尸的北偏东60。方向，与灯塔尸的距离为30海里的A处,

轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30。方向上的B处，求此时

轮船所在位置B处与灯塔尸之间的距离.

19.已知实数无，y满足归一5|+Jy+3=0.

（1）求x,y的值；

⑵求尤-2y的平方根.

20.某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷

调查，并将调查结果收集整理如下：

收集数据:

调查问卷

ADCCADBBACDBDAC

2023年6月

ACCCCDCADBBCAAC

你崇拜的偶像是（）（单选）

BBCACBCCBCACCAC

A.娱乐明星B.英雄人物

ACAACACCCBBDBDD

C.科学家D.其他

整理数据:

崇拜偶像人数统计表

偶像类型划记人数百分比

A.娱乐明星正正正1525%

B.英雄人物正正■

C.科学家正正正正・2440%

D.其他9

请根据所统计信息，解答下列问题：

(1)请补全统计表和条形统计图并填空"=;

(2)若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？

(3)请你针对中学生崇拜偶像问题.提出积极的合理化的建议.

21.学习过等边三角形，小丽用折纸的方法裁出一个等边三角形.如图，先将正方形纸

片对折后展开，折痕为.点E在线段上，连接AE,将A3沿AE折叠，点3落

在上的点H处，连接AH,DH,沿A“和。"裁剪得到，,贝U044即为等

边三角形，请给予证明.

22.如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同

的三个三角形，如果NC=90。，々=30。，小明利用直尺(无刻度)和圆规进行了如

下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图(保留作图痕迹，不写作法).

(1)作的平分线AD,交BC与点、D.

试卷第6页，共8页

（2）作的垂直平分线EF（选择正确选项并完成作图）.

A.线段ABB.线段3cC.线段AC

（3）根据以上信息请判断：

点。在直线所上吗？（填“在”或“不在”）

理由：.

23.问题初探

（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：

如图①，在ABC中，高BD,CE交于点F,且BD=CD,试说明FC,AB有怎样的数

量关系.

小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证AWZ）丝从而得出

FC=AB.

小明证明AABD^AFCD的依据可能是（填序号）.

图①卜

①SSS②ASA③HL@SAS

引导发现

（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：

如图②，在ABC中，AB^AC,ZA=90°,8平分/AC3,BELCD,垂足E在CO

的延长线上.

图②+

填空：ZABE=°；

判断线段班与8的数量关系，并写出证明过程.

拓展延伸

（3）ABC中，AB=AC,ZA=90°,如图③，点。在线段8c上，BELED于点、E,

DE交AB于点、F,S.ZABE=ZEDB,请直接写出BE和FD的数量关系.

试卷第8页，共8页

参考答案:

1.A

【分析】一个正数有两个平方根，其中正的平方根是算术平方根.

【详解】4的平方根是±2,

所以4的算术平方根是2.

故答案为：A

【点睛】考点：算术平方根的意义.

2.D

【分析】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知

ABC的三边满足/+62=02,则ABC是直角三角形.判断是否为勾股数，必须根据勾股

数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.

【详解】解：A、12+22^32,不能构成直角三角形，不合题意；

B、32+42^72,不能构成直角三角形，不合题意；

C、2.5,4,4.5,不是正整数，不符合题意；

D、52+122=132,是勾股数，符合题意.

故选：D.

3.B

【分析】此题考查了调查收集数据的过程与方法，正确进行数据的调查步骤是解题关键.根

据统计调查的一般过程得出答案.

【详解】解：几个步骤进行排序为：

②设计对数学喜爱情况的调查问卷；

①从每班随机抽取10人进行调查；

④对得到结果进行记录整理；

③利用样本估计总体得出调查结论；

排序为②①④③，

故选：B.

4.B

【分析】根据塞的乘方，同底数幕乘法，同底数塞除法，及积的乘方计算法则分别计算并判

断即可.

【详解】解：A、（-〃3丫=/,故原计算错误，故不符合题意；

答案第1页，共15页

B、—a-a4=—a5，故原计算正确，故符合题意；

C、.4+/=1,故原计算错误，故不符合题意；

D、(2"2丫=8/庐，故原计算错误，故不符合题意；

故选：B.

【点睛】此题考查了整式的乘法计算，正确掌握塞的乘方，同底数幕乘法，同底数幕除法,

及积的乘方计算法则是解题的关键.

5.C

【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假.

【详解】解：A、逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误，不符合题意；

B、逆命题是：绝对值相等的两个数相等，错误，不符合题意；

C、逆命题是：同位角相等，两条直线平行，正确，符合题意；

D、逆命题是：相等的两个角都是45。，错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了逆命题，解题的关键是写出各个命题的逆命题，条件和结论换位置，再

进一步判断真假.

6.D

【分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x,可得AC=AD=xm,AB=(x-2)m,

8C=8m,在RtZXABC中利用勾股定理可求出尤.

【详解】解：设旗杆高度为尤米，则AC=AD=x,AB=(x-2)m,

在RtZXABC中，由勾股定理得A82+3C2=AC2即(无一2)2+82=尤2

解得：x=17

；•旗杆的高度为17米.

故选：D.

答案第2页，共15页

A

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角

形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线.

7.A

【分析】根据大正方形的面积=边长为a的正方形的面积+两个长为a,宽为b的长方形的面

积+边长为b的正方形的面积，即可解答.

【详解】根据题意得：（。+6）2=（?2+2油+5,

故选：A.

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用整体和部分两种方法表示面积是解题的关

键.

8.D

【分析】根据基本作图和线段垂直平分线的性质解答即可.

【详解】解：根据作图痕迹可知，直线为线段AC的垂直平分线,

：.AD=CD,AE^CE=3即AC=6,

AABD的周长=A8+8O+AO=4B+BO+CO=A8+BC=13,

ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19,

故选：D.

【点睛】本题考查基本尺规作图-作垂线、线段垂直平分线的性质，判断出直线为线段

AC的垂直平分线是解答的关键.

9.D

【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.在

三个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得

证.

【详解】解：在ABC和DEC中,

答案第3页，共15页

DC=AC

<ZDCE=ZACB,

EC=BC

ABC咨DEC（SAS）,

:.AB=DE,故小华的方案可行；

ABLBF,

.\ZABC=90°,

DE±BF,

，NEDC=90。,

在ABC和△即。中，

ZABC=ZEDC

<BC=CD,

ZACB=/ECD

/.ABC^-EDC（ASA）,

:.AB=ED,故小欣的方案可行；

BD±AB,

:.ZABD=ZCBD,

在△讯）和中，

ZABD=ZCBD

<BD=BD,

/BDC=/BDA

/.ABDCBD（ASA）,

：.AB=BC,故小彤的方案可行；

综上可知，三人方案都可行，

故选：D.

10.B

【分析】根据频数分布直方图得出各分数段内的人数，再据此对各选项逐一判断即可.

【详解】A.得分在70〜80分之间的人数最多，有14人，故此选项正确，不符合题意,

B.及格（不低于60分）的人数为12+14+8+2=36（人），故此选项错误，符合题意,

C.,・,总人数为4+12+14+8+2=40（人），得分在90〜100分之间的人数为2人，

答案第4页，共15页

2

得分在90〜100分之间的人数占总人数的百分比为WxlOO%=5%,故此选项正确，不符

合题意；

D.该班的总人数为40,故此选项正确，不符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查条形统计图，正确提取图中信息是解题关键.

11.V2（答案不唯一）

【分析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方

数介于两者之间的数即可.

【详解】解：：1=&，3=也,

写出一个大于1且小于3的无理数是

故答案为：V2（答案不唯一）.

【点睛】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质.

12.30。或75。或120°

【分析】本题要分两种情况讨论：（1）当/A=30。为顶角；（2）当/A=30。为底角时，则/B

为底角时或顶角.然后求出/B.

【详解】分两种情况讨论：

1QAO_QQO

（1）当NA=30。为顶角时，NB==75。；

2

（2）当/A=30。为底角时，NB为底角时/B=/A=30。；NB为顶角时

ZB=180°-ZA-ZC=180o-30o-30o=120°.

故填30。或75。或120°.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，分情况讨论问

题.

13.3bsb

【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算.根

据多项式除以单项式运算法则进行计算即可.

【详解】解：（3ab—2a）+a=3ab+a—2a+a=3b—2.

故答案为：36-2.

14.25

答案第5页，共15页

【分析】证明ABC^EFA,可得到Ab和比的长度，分别计算出正方形AHG产和右丹亚

的面积即可得到阴影部分的面积.

【详解】解：・・・四边形AC。石是正方形，

ZEAC=90,AC=AE

***ZEAC+ZBAC+ZFAE=180,

ZBAC+ZFAE=90,

VZBAC+ZACB=90,

：.ZACB=ZFAE,

***ZAFE=90,

ZFAE+ZFEA=90,

:.ZBAC=NFEA,

ZACB=ZFAE

,.・\AC=AE,

ZBAC=ZFEA

：..ABC^.EFA

：.AF=BC=3,EF=AB=4,

22

：.sGHAF=AF=9,SFENM=EF=16,

•,S阴影=SGHAF+SFENM=25,

故答案为：25.

【点睛】本题考查正方形、全等三角形和直角三角形的性质，证明ABC四,硕4是解本题

的关键.

15.3

【分析】过。作于根据角平分线的性质得出OM=OEQE=ON,求出

OM=OE=ON,求出NOM4=NOEC=NQEB=NON4=9。。，根据全等三角形的判定得出

RtOMC^Rt^OEC,RtOEBQRt,ONB,再逐个判断即可.

【详解】过。作QE_LBC于E

答案第6页，共15页

M,

ABN?

•.•ZMCR/QBC的角平分线OC、03交于点O,OMAP,ONLAQ

:.OM=OE,OE=ON

:.OM=ON

.•.O在N尸AQ的角平分线上，即(M平分NPAQ,故①正确；

OMrAP,ON±AQ,OE±BC

ZOMA=ZOEC=90°,ZOEC=ZONA=90°

在RtZkOMC和&OEC中

joc=oc

[OM=OE

:.RtOMC^RtOEC(HL)

:.ZEOC=ZMOC

同理及OEB^RtONB

:.NEOB=NNOB

-ZOMA=ZONA=90°

NPAQ+AMON=360°-90°-90°=l80°

ZPAQ+2ZCOB=1SO°,故④正确；

,?OB平分/CBN,OA平分^PAQ

ZQBC=ZPAQ+ZACB=2ZOBN

ZQBN=-ZPAQ+ZAOB

ZPAQ+ZACB=2^ZPAQ+ZAOB^

:.ZACB^2ZAOB,

即NAOB=g/AC8,故②正确；

由④已知ZPAQ+2ZCOB=180°

答案第7页，共15页

如果③成立，将③代入④得：ZW+180°+ZCAB=180°

解得：ZPAQ+ZCAB=O°,显然不成立，故③不成立；

即正确的有：①②④，共3个，

故答案为：3

【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角

两边的距离相等时解此题个关键.

16.(1)xy(2x-j)2；(2)-20a2+9a;-98

【分析】本题主要考查了因式分解，整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确

计算.

(1)先提公因式，然后用完全平方公式进行分解因式即可；

(2)先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可.

【详解】解：(1)4x3y-4x2y2+xy3

=xy(4x?-4xy+丁)

(2)3a(2q〜—4a+3)—2a?(3a+4)

=6a3—12。~+9cl—6/-8a〜

=—20。~+9。，

把a=-2代入得：原式=-20x(0+9x(-2)=-80-18=-98.

17.见解析.

【分析】AC为公共边，其中AB=AD,BC=DC,利用SSS判断两个三角形全等，根据全等

三角形的性质解题.

【详解】解：在AACD和AACB中，

AD=AB,CD=CB,AC=AC.

.'.△ACD^AACB.

.•.ZDAC=ZBAC,

；.AE是/DAB的平分线.

【点睛】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全

等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意.

答案第8页，共15页

18.30—海里

【分析】根据题意得出：ZB=30°,AP=3O海里，ZAPS=90°,再利用勾股定理得出BP的

长，即可求出答案.

【详解】解：由题意可得：ZB=30°,AP=30海里，ZAPS=90°,

AB=2AP=60(海里)，

•*-BP=y/AB2-AP2=V602-302=3073海里，

此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为3073海里.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，正确应用

勾股定理是解题关键.

19.(l)x=5,y=-3

⑵土而

【分析】(1)根据非负数的性质列式，即可求出x、y的值，

(2)根据(1)求得的x、y的值，代入代数式进行计算即可得解.

【详解】(1)由题意得：x-5=0,y+3=0,

解得:x=5,y=-3

(2)由(1)得：x=5,y=-3,

x-2y=5—2x(—3)=5+6=11,

x-2y的平方根土

【点睛】本题主要考查了非负数的性质，即算术平方根和绝对值的性质.解题的关键是根据

非负数的性质求得无，y的值.

20.(1)72

(2)960,详见解析

(3)详见解析

【分析】(1)用A的人数除以A所占百分比可得样本容量，进而求出B的人数，再补全统

计表和条形统计图即可；用360。乘8所占百分比可得n的值；

(2)用总人数乘样本中崇拜英雄人物和科学家所占百分比之和即可；

答案第9页，共15页

(3)要围绕所统计的条形统计图给出合理化建议.

【详解】(1)由题意得，样本容量为：15-25%=60,

故B的人数为：60-15-24-9=12,

补全统计表和条形统计图如下：

偶像类型划记人数百分比

A.娱乐明星正正正1525%

B.英雄人物正正■1220%

24

C.科学家正正正正―40%

D.其他915%

n°=360°x(1-25%-15%-40%)=72°,故〃=72,

故答案为：72；

(2)1600x(g40%J=960(人)，

答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；

(3)由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树

立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图

中得到必要的信息是解决问题的关键.条计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图

直接反映部分占总体的百分比大小.也考查了用样本估计总体的思想.

21.见解析

【分析】本题主要考查了正方形的折叠问题，垂线平分线的性质，等边三角形的判定，解题

答案第10页，共15页

的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法.根据折叠得出垂直平分AD，根据垂直平分

线性质得出4/=。/,根据折叠，结合正方形性质得出==OH,即可证明结论.

【详解】解：根据折叠可知，MN垂直平分AD,

：.AH=DH,

根据折叠可知：AH=AB,

：四边形ABC。为正方形，

,AD=AB,

，AD=AH=DH,

.DHA为等边三角形.

22.(1)见解析

(2)作图见解析；A

(3)在；理由：VZC=90°,ZB=30°,ABAC=90°-30°=60°,；^£)平分/朋(7,

ZDAB=-ZBAC=30°,：.ZB=ZDAB,：.DB^DA,.•.点。在直线E尸上

2

【分析】(1)用尺规作/B4c的平分线即可；

(2)用尺规作线段48的垂直平分线即可；

(3)先证明=得出。B=再根据线段垂直平分线的判定进行判断即可.

【详解】(1)解：如图，4。为所求作的/BAC的平分线；

(2)解：如图，作线段AB的垂直平分线.

故答案为：A；

答案第11页，共15页

B

(3)解：在；理由如下：

VZC=90°,ZB=30°,

・•・ZBAC=90°-30°=60°,

・・,AZ)平分/BAC,

/DAB=-ABAC=30°,

2

ZB=ZDAB，

**•DB-DA9

・••点。在直线所上.

【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和

性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本作图方法.

23.(1)②；(2)22.5,CD=2BE,过程见解析；(3)BE=^FD

【分析】(1)先证明=NCDF=NCEB=90。，JJ[l|NA+/ABO=NA+NACE=90。，从

而ZABD^ZACE即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明AABD^AFCD；

(2)由余角的性质得NACD=/4B尸，结合角平分线的定义可求出乙钻£=22.5。；根据ASA

证明ACEF丝ACEB得FE=BE,根据ASA证明ACD出「ABF得