福建省泉州市永春县华侨中学2025届高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析

福建省泉州市永春县华侨中学2025届高一下数学期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1,则函数图象的对称中心为（）A． B． C． D．2．在正项等比数列中，，则（）A． B． C． D．3．已知角α的终边过点P(2sin60°,-2cos60°),则sinα的值为()A． B． C．- D．-4．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（）A． B． C． D．5．设点是函数图象上的任意一点，点满足，则的最小值为（）A． B． C． D．6．设集合，则元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．在三棱柱中，底面，是正三角形，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A． B． C． D．8．已知直线与直线平行，则实数k的值为（）A．-2 B．2 C． D．9．已知向量=(3，4)，=(2，1)，则向量与夹角的余弦值为()A． B． C． D．10．中，，，，则的面积等于（）A． B． C．或 D．或二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．利用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由“”变到“”时，左边增加了_____项．12．一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积为.13．已知{}是等差数列，是它的前项和，且，则____.14．在等比数列中，，，则________.15．设，用，表示所有形如的正整数集合，其中且，为集合中的所有元素之和，则的通项公式为_______16．若过点作圆的切线，则直线的方程为_______________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某厂生产产品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投人成本万元.当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，万元，每千件产品的售价为50万元，该厂生产的产品能全部售完.（1）写出年利润万元关于千件的函数关系式；（2）当年产量为多少千件时该厂当年的利润最大？18．已知是复数，与均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．19．在中，已知角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.20．假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费y(万元)有如下表的统计资料(1)画出数据的散点图，并判断y与x是否呈线性相关关系(2)若y与x呈线性相关关系，求线性回归方程的回归系数，(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少?参考公式及相关数据:21．如图扇形的圆心角，半径为2，E为弧AB的中点C､D为弧AB上的动点，且，记，四边形ABCD的面积为.（1）求函数的表达式及定义域；（2）求的最大值及此时的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

先计算周期得到，得到函数表达式，再根据中心对称公式得到答案.【详解】直线与函数的图象相邻的两个交点之间的距离为1则的对称中心横坐标为：对称中心为故答案选A【点睛】本题考查了函数的周期，对称中心，意在考查学生综合应用能力.2、D【解析】

结合对数的运算，得到，即可求解.【详解】由题意，在正项等比数列中，，则.故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算求值，其中解答中熟记等比数列的性质，合理应用对数的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3、D【解析】

利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，然后利用正弦的定义，求得的值.【详解】依题意可知，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4、B【解析】

由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.【详解】甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，所以三人中至少有一人被录取的概率为，故选B.【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.5、B【解析】

函数表示圆位于x轴下面的部分．利用点到直线的距离公式，求出最小值．【详解】函数化简得．圆心坐标,半径为2.所以【点睛】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题．6、B【解析】

计算圆心到直线的距离，可知直线与圆相交，可得结果.【详解】由，圆心为，半径为1所以可知圆心到直线的距离为所以直线与圆相交，故可知元素个数为2故选：B【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系判断，属基础题.7、C【解析】

设球心为，的中心为，求出与，利用勾股定理求出外接球的半径，代入球的表面积公式即可.【详解】设球心为，的中心为，则，，球的半径，所以球的表面积为.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球问题，球的表面积公式，属于中档题.8、A【解析】

由两直线平行的可得:，运算即可得解.【详解】解：由两直线平行的判定可得:，解得，故选：A.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，属基础题.9、A【解析】

由向量的夹角公式计算．【详解】由已知，，．∴．故选A．【点睛】本题考查平面向量的数量积，掌握数量积公式是解题基础．10、D【解析】

先根据余弦定理求AC，再根据面积公式得结果.【详解】因为，所以或2，因此的面积等于或等于，选D.【点睛】本题考查余弦定理与三角形面积公式，考查基本求解能力，属基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】

分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当时，左边，由此将其对时的式子进行对比，得到结果.【详解】当时，左边，当时，左边，观察可知，增加的项数是，故答案是.【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.12、【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.13、【解析】

根据等差数列的性质得，由此得解.【详解】解：由题意可知，；同理。故.故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.14、【解析】

根据等比数列中，，得到公比，再写出和，从而得到.【详解】因为为等比数列，，，所以，所以，，所以.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列通项公式中的基本量计算，属于简单题.15、【解析】

把集合中每个数都表示为2的0到的指数幂相加的形式，并确定，，，，每个数都出现次，于是利用等比数列求和公式计算，可求出数列的通项公式．【详解】由题意可知，，，，是0，1，2，，的一个排列，且集合中共有个数，若把集合中每个数表示为的形式，则，，，，每个数都出现次，因此，，故答案为：．【点睛】本题以数列新定义为问题背景，考查等比数列的求和公式，考查学生的理解能力与计算能力，属于中等题．16、或【解析】

讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率【详解】圆即①当斜率不存在时，为圆的切线②当斜率存在时，设切线方程为即，解得此时切线方程为，即综上所述，则直线的方程为或【点睛】本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）100【解析】

（1）由于每生产千件需另投人成本受产量的影响有变化，根据题意，所以分当时和当时，两种情况进行讨论，然后根据利润的定义写出解析式.（2）根据（1）的利润函数为，当时，用二次函数法求最大值；当时，用基本不等式求最大值.最后两段中取最大的为利润函数的最大值，相应的x的取值即为此时最大利润时的产量.【详解】（1）根据题意当时，，当时，，综上：.（2）由（1）知，当时，，当时，的最大值为950万.当时，，当且仅当即时取等号，的最大值为1000万.综上：当产量为100千件时，该厂当年的利润最大.【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，还考查了建模，运算求解的能力，属于骠题.18、【解析】试题分析：解：设，为实数，．为实数，，则．在第一象限，解得．考点：本题主要考查复数相等的充要条件，复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的运算，不等式组解法．点评：主要运用复数的基础知识，具有一定综合性，中档题．19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用边角互化思想得，由结合两角和的正弦公式可求出的值，于此得出角的大小；（2）由余弦定理可计算出，再利用三角形的面积公式可得出的面积．【详解】（1）∵是的内角，∴且，又由正弦定理：得：，化简得：，又∵，∴；（2）∵，，∴由余弦定理和（1）得，即，可得：，又∵，故所求的面积为.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的思想，考查余弦定理以及三角形的面积公式，本题巧妙的地方在于将配凑为，避免利用方程思想求出边的值，考查计算能力，属于中等题．20、（1）见解析；（2），；（3）12.38万元【解析】

（1）在坐标系中画出5个离散的点；（2）利用最小二乘法求出，再利用回归直线过散点图的中心，求出；（3）将代入（2）中的回归直线方程，求得.【详解】（1）散点图如下：所以从散点图年，它们具有线性相关关系.（2），，于是有，.（3）回归直线方程是当时，（万元），即估计使用年限为10年时，维修费用是万元.【点睛】本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线