浙江省绍兴市诸暨市开放双语实验学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷　

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市开放双语实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下面四个手机应用图标，属于中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为(

)A. B. C. D.3.如图，在圆内接四边形ABCD中，，则的度数为(

)

A. B. C. D.4.已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为(

)A. B. C. D.5.对抛物线而言，下列结论正确的是(

)A.开口向上 B.与y轴的交点坐标是

C.与两坐标轴有两个交点 D.当时，有最大值16.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值为(

)A.1

B.

C.

D.7.将抛物线通过平移得到，则下列平移过程正确的是(

)A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位8.小明在一只装有红色和白色球各一只的口袋中摸出一只球，然后放回搅匀再摸出一只球，反复多次实验后，发现某种“状况”出现的机会约为，则这种状况可能是(

)A.两次摸到红色球 B.两次摸到白色球

C.两次摸到不同颜色的球 D.先摸到红色球，后摸到白色球9.知锐角，如图，在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；连接OM，根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(

)

A. B.若，则

C. D.10.如图，矩形ABCD中，，，动点P从点A出发，以的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则面积最小值为(

)A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.抛物线的顶点坐标为______.12.如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是______.

13.若点，，在抛物线的图象上，则，，的大小关系是______.14.如图，A，B，C，D为上的点，于点若，，则AB的长为______.

15.已知二次函数与x轴的交点是和，关于x的方程其中的两个解分别是和5，关于x的方程其中也有两个整数解，这两个整数解分别是______.16.如图，已知在中，，，，以AB为直径向外作圆O，P是半圆O上的一个动点，M是CP的中点，当点P沿半圆O从点A运动至点B时，点M的运动路径长为______.

三、计算题：本大题共1小题，共12分。17.某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加元，日均销售量减少40瓶．

当每瓶售价为11元时，日均销售量为______瓶；

当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为1200元；

当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.本小题8分

如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，、、

圆心P的坐标为______；

判断点与的位置关系．19.本小题8分

某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：

径赛项目：200m，400m，分别用、、表示；

田赛项目：跳远，跳高分别用、表示

该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为______；

该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．20.本小题8分

已知二次函数，设其图象与x轴的交点分别是A、点A在点B的左边，与y轴的交点是C，求：

、B、C三点的坐标；

设抛物线的顶点为D，求的面积．21.本小题8分

如图，在中，，以AB为半径的半圆交BC于点D，交AC于点

若弧DE的度数为，求的度数；

若点D、E是半圆弧AB的三等分点，，求弧BD的长．22.本小题10分

某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称跨度，桥面最高点到AB的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择：①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米．

如果设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立坐标系，求桥拱的函数解析式；

如果设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径；

在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，在两种方案分别求桥墩的高度．23.本小题12分

我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，，D是y轴上的一个动点，、D、C按顺时针方向排列，BC与经过A、B、D三点的交于点E，DE平分，连结AE，显然、、是半直角三角形．

求证：是半直角三角形；

求证：；

若点D的坐标为，求AE的长．24.本小题14分

如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为

填空：点A的坐标为______，点D的坐标为______，抛物线的解析式为______；

是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值．

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．

选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

故选：

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.【答案】A

【解析】解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：

故选：

随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少即可．

此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．必然事件不可能事件3.【答案】C

【解析】解：在圆内接四边形ABCD中，，

，

故选：

根据圆内接四边形的性质解答即可．

本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4.【答案】D

【解析】解：由题意得，扇形的面积

故选：

利用扇形的面积公式求解即可．

本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积5.【答案】D

【解析】解：，

抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，

抛物线与x轴有2个交点，当时，为函数最大值，

将代入得，

抛物线与y轴交点坐标为

故选：

将二次函数解析式化为顶点式求解．

本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．6.【答案】D

【解析】解：正六边形的任一内角为，

如图，

，

故选：

根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形即可得出的值，进而可求出a的值，此题得解．

本题考查了正多边形以及解直角三角形，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．7.【答案】D

【解析】解：抛物线可化为，

把抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到抛物线

故选：

先将抛物线化为的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答．

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减．左加右减”的法则是解答此题的关键．8.【答案】C

【解析】解：摸到红色和白色球的概率均为，

反复多次实验后，发现某种“状况”出现的机会约为，这种状况可能是两次摸到不同颜色的球．

故选：

根据用频率估计概率的意义，从四个选项中选出出现的机会约为的情况．

考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．9.【答案】D

【解析】解：由作法得，，

，

，所以A选项的结论正确；

当，

而，

此时为等边三角形，

，

，所以B选项的结论正确；

作半径，如图，则，

，

，

，所以C选项正确；

，

，所以D选项错误．

故选：

利用作法得到，，根据圆心角、弧、弦的关系得到，则可对A选项进行判断；当时，为等边三角形，则可对B选项进行判断；作半径，如图，利用垂径定理得到，，所以，则可对C选项进行判断；利用两点之间线段最短可对D选项进行判断．

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理．10.【答案】A

【解析】解：设的面积为y，

由题意得：，，

，

四边形EFPC是正方形，

，

，

，

，

当t为4时，的面积最小，且最小值为

故选：

由题意得：，，根据三角形面积公式可得的面积y与t的关系式，由图得：，代入可得结论．

本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、利用三角形的面积公式求二次函数的解析式，勾股定理的运用，动点运动等知识，考查学生数形结合的能力，分类讨论的能力，综合性强，难度适中．11.【答案】

【解析】解：抛物线是顶点式，

顶点坐标是

故答案为：

已知抛物线顶点式，顶点坐标是

本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．12.【答案】

【解析】解：根据题意，三个开关，只有闭合小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于

故答案为

根据概率公式知，共有3个开关，只闭一个开关时，只有闭合时才发光，所以小灯泡发光的概率等于

本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率13.【答案】

【解析】解：抛物线中，

抛物线开口向下，对称轴为直线，

点的对称点为，

又，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．

，

故答案为：

先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关系．

本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．14.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

在中，，

故答案为：

先求出，再利用含30度角的直角三角形的性质得出OE，进而用勾股定理求出AE，最后用垂径定理即可得出结论．

此题主要考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形的应用，熟记垂径定理是解题的关键．15.【答案】0和4

【解析】解：由题意可知二次函数与x轴的交点分别为和，

与的交点分别为和，

设与的交点分别为和，

，

直线在x轴和直线之间，

如图所示：

由图可知，，

又，q都为整数，

，，

故答案为：0和

先根据题意确定二次函数与x轴和直线的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与的交点位置，判断两个根的大小范围即可求解．

本题考查二次函数与一元二次方程的关系，关键是画出图象，利用数形结合的方法求解．16.【答案】

【解析】解：连接OP，OC，取OC的中点D，连接DM，

在中，，

由勾股定理得，

点M是PC的中点，点D是OC的中点，

，

点M在以D为圆心，MD为半径的圆上运动，

点M的运动路径长为，

故答案为：

连接OP，OC，取OC的中点D，连接DM，根据三角形中位线定理得，则点M在以D为圆心，MD为半径的圆上运动，代入弧长公式计算即可．

本题主要考查了轨迹，勾股定理，三角形中位线定理等知识，利用三角形中位线定理知是解题的关键．17.【答案】480

【解析】解：当每瓶的售价为11元时，日均销售量为瓶，

故答案为：480；

设每瓶的售价为x元，

根据题意可得：，

整理，得：，

解得：、，

答：当每瓶售价为12元或14元时，所得日均总利润为1200元；

设日均利润为y，

则

，

当时，y取得最大值，最大值为1280，

答：当每瓶售价为13元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为1280元．

根据日均销售量为计算可得；

根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得；

根据中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可．

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式．18.【答案】

【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．

如图所示，则圆心PD坐标为，

故答案为：；

圆的半径，

，

线段，

所以点Q在上．

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．

求出的半径，MD的长即可判断；

本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．19.【答案】

【解析】解：该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为，

故答案为：；

画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的结果有12种，

恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为

直接由概率公式求解即可；

画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的结果有12种，再由概率公式求解即可．

此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20.【答案】解：令，则，

解得，，

，，

令，则，

；

如图所示：设对称轴与BC相较于点M，

设直线BC的解析式为，

则，

解得，

直线BC的解析式为，

，

，

当，，

，

【解析】令，通过解一元二次方程求出抛物线与x轴的两个交点，令，来求点C的坐标；

根据抛物线解析式求出顶点D的坐标，在用待定系数法求出直线BC的解析式，再求出对称轴与BC的交点，然后根据分割法求三角形的面积．

本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．关键是通过解方程求出A，B，C的坐标．21.【答案】解：设圆的圆心为O，如图，连接

是圆O的直径，

又，

，

弧DE的度数为，

，

，则，

，

；

连接OD，OE，

点D、E是半圆弧AB的三等分点，

，

是等边三角形，

，

，，

，

，

弧BD的长为

【解析】设圆的圆心为O，如图，连接根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论；

连接OD，OE，求得，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论．

本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．22.【答案】解：如图所示：

抛物线的解析式为，

又抛物线经过点和点，

，

抛物线的解析式为；

如图所示：

设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，于D，延长CD经过O点，设的半径为R，

在中，

，

解得：，

该圆弧所在圆的半径为20米；

①在抛物线型中设点在抛物线上，，

米；

②在圆弧型中设点在弧AB上，作于，

于H，则，，

在中，，

，米，

在离桥的一端4米处，抛物线型桥墩高米，圆弧型桥墩高4米．

【解析】抛物线的解析式为，把点和点，代入即可求出抛物线解析式；

设弧AB所在的圆心为O，C为弧AB的中点，于D，延长CD经过O点，设的半径为R，利用勾股定理求出即可；

根据题意画出图形，利用垂径定理以及勾股定理得出AO的长，再求出EF的长即可．

此题主要考查了二次函数的应用，根据题意画出图形结合勾股定理是解题关键．23.【答案】证明：，DE平分，