2024年中考考前数学集训试卷7及参考答案（含答题卡）A4版

11112024年中考考前集训卷7数学（考试时间：90分钟试卷满分：100分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．的相反数是（）A． B．2024 C． D．2．下列地铁标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）

A．佛山地铁 B．广州地铁 C．南京地铁 D．深圳地铁3．2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（

）A． B． C． D．4．下列各式中运算不正确的是（

）A． B．C． D．5．如图，等腰三角形中，，按以下要求作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于D,E两点；②分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线，交于点M；④分别以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于G,H两点；⑤作直线，交于点N，连接．则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．66．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（

）A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPaB．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40NC．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8mD．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为7．某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（）A．﹣=6 B．﹣=6C．﹣=6 D．﹣=68．全国重点文物保护单位羑里城位于安阳市汤阴县城北八华里美、汤两河之间的空旷原野上，是《周易》的发源地．3000年前殷纣王关押周文王姬昌7年之处，是文王据伏羲八卦推演出64卦384爻，即“文王拘而演《周易》”之圣地，也是有史可据、有址可考的中国历史上第一座监狱．古都安阳为弘扬中原文化，特在某街心公园建造一八卦迷宫阵，其外形是正八边形，如图．若正八边形相对的两边和之间的距离是8米，则所建八卦迷宫阵的正八边形的边长为（）A．米 B．米 C．米 D．米9．如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为；的圆心为，半径为，…，，，，…的圆心依次为A，B，C，D循环，则的长是（

）A． B． C． D．10．如图，在正方形中，平分，交于点E，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点F．则有①；②连接，则；③连接、，则平分；④连接交于点M，；则以上结论正确的有()A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①③④第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．因式分解：=．12．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是．13．如图是路灯维护工程车，如图是其工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，米，当，时，则工作篮底部到支撑平台的距离是米．14．如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图像上，交x轴于点C，，，的面积为，则．15．如图，在等腰三角形中，，，点为的中点．将线段绕点旋转，得到线段，连接，．当时，的长为．三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．计算：；17.先化简，再求值：．其中，a=2sin60°-3tan45°，b=3．18．某校准备组织开展四项项目式综合实践活动：“．家庭预算，．城市交通与规划，．购物决策，．饮食健康”．为了解学生最喜爱哪项活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：(1)本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中，的值是______；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有名学生，估计最喜爱和项目的学生一共有多少名？(4)现有最喜爱，，，活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱和项目的两位学生的概率．19．如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D．

(1)求证：；(2)若，求的半径．20．2024年春节假日期间，33万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃，宾飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需49元，购买2千克A种食材和1千克B种食材共需53元．(1)求A，B两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共48千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．21．用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少?（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．22．【读一读】一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题．课本里对三角形、四边形的研究即遵循着上面的思路．【算一算】当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．如图，在中，，点M、N分别为边、的中点，连接．(1)如图1，若，，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点A、E、F在同一直线上时，与相交于点，连接、．①填空：______（填度数），是______三角形（填类别）；②求的长．(2)如图2，若，将绕点顺时针旋转，得到，连接、．当旋转角满足，点C、E、F在同一直线上时，利用所提供的图2和备用图探究与的数量关系，并说明理由．2024年中考考前集训卷7贴条形码区考生禁填：缺考标记贴条形码区考生禁填：缺考标记违纪标记以上标志由监考人员用2B铅笔填涂选择题填涂样例：正确填涂错误填涂[×][√][／]1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。注意事项姓名：__________________________准考证号：第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题一、选择题（每小题3分，共30分）1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D]3.[A][B][C][D]4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][D]7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][D]10.[A][B][C][D]二、填空题（每小题5分，共15二、填空题（每小题5分，共15分）_________________12．_____________________________________14．_____________________________________请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！三、（本大题共7个小题，共三、（本大题共7个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：17.（6分）先化简，再求值：．其中，a=2sin60°-3tan45°，b=3．请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！18.（8分）18.（8分）(1)______;______；(2)补全条形统计图；(3)(4)（8分）(1)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！(2)20.（8分）(2)20.（8分）(1)(2)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！21.（9分）（1）21.（9分）（1）（2）（3）请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！22.（10分）(1)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！22.（10分）(1)①____________②(2)请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2024年中考考前集训卷7数学·参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）12345678910BDBCBBBCAA第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．2（x+3）（x﹣3）12．13．14．15．或三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.【详解】（1）解：(4分）(5分）(6分）17.【详解】解：(1分）(3分）a＝2sin60°－3tan45°＝(4分）＝(5分）把a＝，b＝3代入原式=(6分）18.【详解】（1），；(2分）（2）最喜爱活动项目的学生有（名），补全统计图如图所示：(3分）（3）（名），(4分）答：估计最喜爱和活动项目的学生一共有名；(5分）（4）画树状图为：(7分）共有种等可能的结果，最喜爱和项目的两位学生的可能情况由种，∴最喜爱和项目的两位学生的概率为．(8分）19.【详解】（1）解：证明：连接，如图，是的切线，，(1分），，，(2分），，；(3分）（2）连接，如图2，

在中，，，(4分）为直径，，(5分），，，(6分），即，解得，(7分），，的半径为5．(8分）20.【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．根据题意，得(2分）解得(3分）A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元．(4分）（2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元．根据题意，得．(5分），．(6分），随的增大而增大．(7分）当时，有最小值为：（元）．A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元(8分）21.【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)，∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400，(1分）∴当h=10时，s2有最大值400，(2分）∴当h=10时，s有最大值20cm．∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20cm；(3分）(2)∵s2=4h(20-h)，设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a(20-a)=4b(20-b)，(4分）∴20a-a2=20b-b2，∴a2-b2=20a-20b，∴(a+b)(a-b)=20(a-b)，∴(a-b)(a+b-20)=0，(5分）∴a-b=0或a+b-20=0，∴a=b或a+b=20.(6分）(3)设垫高的高度为cm，则(7分）∴当时，∴时，此时(8分）∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．(9分）22【详解】（1），等边；(2分）②如图所示，连接，，，，为中点，，，，，∵M为中点，由旋转得，，，，(3分），设，则，在中，，则，∴，在中，，，解得：或（舍去），(4分）；(5分）（2）解：如图所示，当点，，在同一直线上时，且点在上时，，，设，则，是的中位线，，，(6分）将绕点顺时针旋转，得到，，，，，点，，在同一直线上，，，，，，在同一个圆上，(7分），，，，(8分）如图所示，当在上时，，，，，，在同一个圆上，设，则，将绕点顺时针旋转，得到，设，则，则，，，，，，，，(9分）综上所述，或．(10分）2024年中考考前集训卷7数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．【答案】B【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：的相反数是2024，故选：B．2．【答案】D【分析】该题主要考查了轴对称和中心对称图形的判断，中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．轴对称图形的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可．【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．3．【答案】B【分析】本题考查了把绝对较大的数用科学记数法表示，关键是确定n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．【详解】解：；故选：B．4．【答案】C【分析】本题考查合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，逐项分析判断即可．【详解】解：A.，计算正确，故选项不符合题意；B.，计算正确，故选项不符合题意；C.，计算错误，故选项符合题意；D.，计算正确，故选项不符合题意；故选：C．5．【答案】B【分析】根据作图过程可得AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，由等腰三角形三线合一，得AM是边BC上的中线，可得MN是△ABC的中位线，进而可得MN的长．【详解】解：根据作图过程可知：AM平分∠BAC，GH是边AB的垂直平分线，∵AB＝AC＝6，AM平分∠BAC，∴AM是边BC上的中线，∴BM＝CM，∵GH是边AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∴MN是△ABC的中位线，∴MNAC＝3．故选：B．【点睛】此题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解题的关键．6．【答案】B【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可．【详解】A.由图得：当时，，故此项说法正确；B.当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误；C.当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确；D.当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确．故选：B．【点睛】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键．7．【答案】B【分析】根据题意，可以列出相应的分式方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【详解】由题意可得：﹣=6，故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．8．【答案】C【分析】此题主要考查了正多边形和圆以及平行线分线段成比例、解直角三角形等知识，正确的做出辅助线是解题关键．延长，交于点M，运用平行线分线段成比例得比例式即可解得．【详解】解：延长，交于点M，由题可知：，，，，，即，，，，，，，解得，故答案为：C．9．【答案】A【分析】本题主要考查了图形类规律探索，弧长的计算，找到的圆心角所对的弧的半径变化规律是解本题的关键．观察图形知曲线…是由多段的圆心角所对的弧组成的．并且每一段弧的半径每次比前一段弧半径，得出半径规律，再计算弧长即可，【详解】四边形是边长为的正方形由已知可得；的半径为1；的半径为，的半径为2；的半径为，的半径为3，，每一段弧的半径每次比前一段的圆心角所对的弧半径大，半径增加2，的半径为3；的半径为5，的半径为7；的半径为，的长是．故选：A．10．【答案】A【分析】①由正方形性质得出，，根据直角三角形两锐角互余的关系可得，利用可证得，即可得出结论；②首先得到点A，D，C，G四点共圆，然后根据同弧所对的圆周角相等求解即可；③由正方形性质与角平分线的定义得出，利用可证得得出，由直角三角形斜边中线的性质得出，根据角的和差关系可得，即可得出结论；④连接，由正方形的性质得出，，，推出，根据角的和差关系可得，利用可证得，得出，推出，即可证得，即可得出结果．【详解】证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故①正确；②如图所示，连接∵∴点A，D，C，G四点共圆∴，故②正确；③∵四边形是正方形，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴平分；④连接，如图3所示：∵四边形是正方形，∴，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴．综上所述，正确的有①②③．故答案为：A．【点睛】本题是相似综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质、正方形的性质、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，涉及知识面广，熟练掌握正方形的性质、角平分线定义，证明三角形全等与相似是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．【答案】2（x+3）（x﹣3）【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可．【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．故答案为：2（x+3）（x﹣3）【点睛】考点：因式分解．12．【答案】【分析】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种可能性，根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图得由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合，，故有2种可能性，所以概率为．故答案为：13．【答案】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，过点作于点，交于点，分别在和中利用特殊角的三角函数值求出、的长，即可得出工作篮底部到支撑平台的距离．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于点，交于点，∵，∴是等腰直角三角形，，∵米，∴，∴，∴米，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴米，∴（米），即工作篮底部到支撑平台的距离是米，故答案为：．14．【答案】【分析】过点B作轴于点D，根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质得出，再由三角形面积求解即可．【详解】解：过点B作轴于点D，如图所示．∵，∴，，∴．，∵的面积为，∴，即，解得，∴，∴，，即点坐标为∴．故答案为：．【点睛】题目主要考查反比例函数与三角形面积及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．15．【答案】或【详解】先根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，然后分类讨论分别得出的长即可求解．【分析】解：在等腰三角形中，，，点为的中点．∴,，如图，过点作于点,则∴，在中，，则如图，当在的右侧时，∵∴∴∴,如图，当在的左侧时，连接，∵∴∵∴∴∵旋转，∴，∴是等边三角形，∴∴在中，，综上所述，的长为或【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【答案】1；【分析】把cos30°、tan60°、sin30°的值代入求值；【详解】（1）解：17.【答案】，【分析】先化简，再把化简后的a值和b值代入，求值．【详解】解：a＝2sin60°－3tan45°＝＝把a＝，b＝3代入原式=【点睛】本题考查了特殊三角函数值和分式的混合运算，牢记特殊三角函数值、掌握运算法则是解题的关键．18．【答案】(1)，；(2)补全统计图见解析图；(3)估计最喜爱和活动项目的学生一共有名；(4)．【分析】（）用喜欢项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；用减去其它项目所占的百分比，即可求出的值；（）用总人数乘以项目所占的百分比，求出项目的人数，从而补全统计图；（）用该校的总人数乘以喜爱和项目的学生所占的百分比即可；（）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出最喜爱和项目的两位学生的结果数，然后根据概率公式求解；本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．【详解】（1）被调查的学生有（名），，即，故答案为：，；（2）最喜爱活动项目的学生有（名），补全统计图如图所示：（3）（名），答：估计最喜爱和活动项目的学生一共有名；（4）画树状图为：共有种等可能的结果，最喜爱和项目的两位学生的可能情况由种，∴最喜爱和项目的两位学生的概率为．19．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）连接，如图2，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；（2）连接，如图2，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．【详解】（1）解：证明：连接，如图，是的切线，，，，，，，；（2）连接，如图2，

在中，，，为直径，，，，，，即，解得，，，的半径为5．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．20．【答案】(1)A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元(2)A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．根据题意列出方程组，并解出方程组的解，即可作答．（2）设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元，依题意，得，根据“购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，”得，即可作答．【详解】（1）解：设A种食材的单价为元/千克，B种食材的单价为元/千克．根据题意，得解得A种食材的单价是每千克19元，B种食材的单价是每千克15元．（2）解：设A种食材购买千克，则B种食材购买千克，总费用为元．根据题意，得．，．，随的增大而增大．当时，有最小值为：（元）．A种食材购买36千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为864元21．【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18c