押重庆卷第19-21题（整式与分式化简、尺规作图与补全证明、统计）（原卷版）-备战2024年中考数学临考题号押题

押重庆卷第19-21题押题方向一：整式与分式化简3年成都真题考点命题趋势2023年重庆A卷第19题运用平方差公式进行运算；分式加减乘除混合运算；从近年重庆中考来看，求整式和分式化简以解答题形式考查，难度较小；预计2024年重庆卷还将继续考查难度变化不大，需熟练掌握分式的基本性质。2023年重庆B卷第19题计算单项式乘多项式及求值；运用完全平方公式进行运算；分式加减乘除混合运算；2022年重庆A卷第17题整式的混合运算；分式加减乘除混合运算；2022年重庆B卷第17题整式的混合运算；运用平方差公式进行运算；分式加减乘除混合运算；异分母分式加减法；2021年重庆A卷第19题分式加减乘除混合运算；2021年重庆B卷第19题整式的混合运算；分式加减乘除混合运算；1．（2023·重庆·中考真题）计算：(1)a2−a(2)x2．（2023·重庆·中考真题）计算：(1)xx+6(2)3+n3．（2022·重庆·中考真题）计算：(1)x+22(2)ab4．（2022·重庆·中考真题）计算：(1)(x+y)(x−y)+y(y−2)；(2)1−m5．（2021·重庆·中考真题）计算（1）x−y2（2）1−a6．（2021·重庆·中考真题）计算：（1）a(2a+3b)+(a−b)（2）x2此类题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键。1．计算：(1)(a−2)(2)m+1−2．计算：(1)x(2)a−3．计算：(1)x(2)34．（1）计算：9a−b（2）计算：m25．计算：(1)2m+12(2)2x押题方向二：尺规作图+补全证明过程3年成都真题考点命题趋势2023年重庆A卷第20题全等的性质；作垂线(尺规作图)；利用平行四边形的性质证明；从近年重庆中考来看，2021年考的是两问，第一问考查基本作图，第二问在作图基础上简单证明。2022年和2023年设置一问但分“作图”与“填空”两步，作图以后补全证明过程，今年很有可能延续去年考法，需掌握5种基本尺规作图，和证明的基础知识。2022年重庆A卷第18题全等的性质；作垂线(尺规作图)；2022年重庆B卷第18题全等的性质；作垂线(尺规作图)；利用矩形的性质证明；2021年重庆A卷第21题利用平行四边形的性质证明；2021年重庆B卷第21题作角平分线(尺规作图)；根据三线合一证明；利用平行四边形的性质求解；1．（2023·重庆·中考真题）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE=OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO=①．∵EF垂直平分AC，∴②．又∠EOC=___________③．∴ΔCOE≅∴OE=OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．2．（2022·重庆·中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得__________________④∴S△BCE3．（2022·重庆·中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S=12aℎ．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°．∵∠F=90°，∴______①____．∵EF∥BC，∴______②_____．又∵____③______．∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：_____④______．S△ABC4．（2021·重庆·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB>AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．5．（2021·重庆·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC=2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）此类题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线5种基本尺规作图方法是解题的关键．1．如图，已知△ABC，BD平分∠ABC．(1)用尺规完成以下基本作图：作BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，交BD于点G，连接DE，DF．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）(2)求证：四边形BFDE是菱形证明：∵BD平分∠ABC∴①∵EF垂直平分BD∴BE=DE，GB=GD∴∠1=∠EDB∴∠2=∠EDB∴②在△BGF和△DGE中∠2=∠EDB∴△BGF∴③∵BF∴四边形BFDE是平行四边形∵④∴平行四边形BFDE是菱形（⑤）2．在学习等腰三角形性质时，小美遇到这样一个题目，如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD．过点C作CE⊥AD于E，且∠ACE=12∠BAC小美的解决方法是过点A作AF垂直BC于点F，利用等腰三角形和全等三角形的性质解决问题．请根据小美的思路完成下面的作图与填空．证明：用直尺和圆规，过点A作BC的垂线AF，垂足为F．（只保留作图痕迹）∵AB=AC，①______，∴∠CAF=1∵∠ACE=1∵CE⊥AD,AF⊥CB,∴③______．∵AC=AC,∴△ACE≌△CAF，∴④______，∴AD=CD．3．如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD．

(1)尺规作图：在BC下方作射线BF，使得∠CBF=∠C，且射线BF交AD的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图中，连接CE，求证：AB∥CE．（请补全下面的证明过程）证明：∵点D为BC边上的中点，∴DC=DB，（①）在△ADC和△EDB中，∠ACD=∠EBD∴△ADC≌△EDB（②）∴AD=③，在△ADB和△EDC中DB=DC∴△ADB≌△EDC（④）

∴∠ABD=∠ECD，∴AB∥CE（⑤）．4．如图，在平行四边形ABCD中，完成下列作图和证明过程．(1)尺规作图：在AD上截取AE=AB，作∠BAD的角平分线交BC于点F，连接BE，EF（保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：AF⊥BE．证明：∵BF∥AE，∴________又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠EAF．∴________∴AB=FB．∵AB=AE，∴FB=AE且BF∥AE∴四边形ABFE是平行四边形又∵AB=AE，∴________∴AF⊥BE（________）．5．如图，在△ABC中，(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，并在射线AD上另取一点E（不与A重合），使得DE=DA，连接CE；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作图形中，若D恰为线段BC的中点，求证；AB=AC．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）证明：∵D为BC中点∴BD=CD∴在△ABD和△ECD中∴AD=ED∴△ABD∴AB=CE，∠BAD=∠CED又∵AD是∠BAC的角平分线∴②∴∠CAD=∠CED∴③又∵CE=AB∴AB=AC由此发现一个结论，请完成下列命题：如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线，那么④．押题方向三：统计3年成都真题考点命题趋势2023年重庆A卷第21题由样本所占百分比估计总体的数量；由扇形统计图求某项的百分比；求中位数；求众数；重庆近10年统计图表的综合题每年都会考查，统计图表的综合考查中位数，众数，平均数以及用样本估计总题解决实际问题。2023年重庆B卷第21题由样本所占百分比估计总体的数量；由扇形统计图求某项的百分比；求中位数；求众数；2023年重庆A卷第19题由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数；求众数；运用众数做决策；2023年重庆B卷第19题由样本所占百分比估计总体的数量；由条形统计图推断结论；求中位数；求众数；2023年重庆A卷第20题由样本所占百分比估计总体的数量；由扇形统计图求某项的百分比；求中位数；求众数；2023年重庆B卷第20题由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数；运用中位数做决策；求众数；1．（2023·重庆·中考真题）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x<70，中等70≤x<80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60,64,67,69,71,71,72,72,72,82B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70,71,72,72,73两款智能玩具飞机运行最长时间统计表，B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图类别AB平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6

根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中a=___________，b=___________，m=___________；(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？2．（2023·重庆·中考真题）某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A，B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级，不满意x<70，比较满意70≤x<80，满意80≤x<90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息．抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；抽取的对B款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．

抽取的对A，B款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m9645%B8887n40%根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=_______，m=_______，n=_______；(2)5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数；(3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．3．（2022·重庆·中考真题）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x<85，良好85≤x<95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a26.640B90b903030

根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=_________，b=_________，m=_________；(2)这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．4．（2022·重庆·中考真题）在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（阅读时长记为x，6≤x<7，记为6；7≤x<8，记为7；8≤x<9，记为8；…以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，七年级抽取的学生课外阅读时长：6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11，七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表年级七年级八年级平均数8.38.3众数a9中位数8b8小时及以上所占百分比75%c根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=______________，b=______________，c=______________．(2)该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数．(3)根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由，（写出一条理由即可）5．（2021·重庆·中考真题）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x表示，共分为四个等级：A．x<1，B．1≤x<1.5，C．1.5≤x<2，D．x≥2），下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．七八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级1.31.1a0.2640%八年级1.3b1.00.23m%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a，b，m的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．6．（2021·重庆·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．八年级教师竞赛成绩扇形统计图七、八年级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数a9众数8b优秀率45%55%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a=__________，b=_________；（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．此类题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键。1．为了解七、八年级学生对消防知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生成绩分为A、B、C、D四个等级．分别是A：x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100，其中，七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89．两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：学生平均数中位数众数方差七年级85.286a59.66八年级85.2b9191.76

根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=______，b=______，m=______．(2)根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）(3)若该校七年级有800名学生参加测试，八年级有740名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？2．4月14日，某校初三年级学生参加了体育中考，为了解学生的考试情况，从该校初三年级男生、女生中各随机抽取20名同学的体考成绩（满分为50分）进行整理、描述和分析（体考成绩用x表示，且均为整数，共分为四个等级：A．48≤x≤50；B．46≤x<48；C．44≤x<46；D．0≤x<44），下面给出了部分信息：抽取的20名男生体考成绩中A等级包含的所有数据为：50，48，50，49，49，48，50，50，50，50，49，48，48，50．初三年级抽取的男生、女生体考成绩统计表性别男生女生平均数47.948中位数a49众数50b满分率3545根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=______；b=______；m=______；(2)根据以上数据，你认为该校初三年级男生和女生谁的体育中考成绩更优异？请说明理由；（写出一条理由即可）(3)若该校初三年级共有学生800人参加体育中考，估计该校初三年级体育中考成绩A等级的学生人数．3．2023年8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，单位：分，且得分为整数，共分为5组，A组：0≤x<60，B组：60≤x<70，C组：70≤x<80，D组：80≤x<90，E组：90≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82；八年级被抽取的学生测试得分中，C组包含的所有数据为：72，77，78，79，75．七、八年级被抽取的学生测试得分统计表平均数众数中位数七年级77a80.5八年级778977.5

根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中：a=______，b=______；(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）；(3)若该校七年级有学生900人，八年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？4．成都世园会将于2024年4月26日至10月28日举行，主题为“公园城市、美好人居”，某高校为选拔世园会志愿者，开展了园艺知识竞赛，现从大二年级和大三年级参与知识竞赛的学生中各随机抽取1