2024年天津市和平区高考数学一模试卷（附答案解析）

2024年天津市和平区高考数学一模试卷

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（5分）已知集合A={x6N|-2V尤<2},B={XGZ||X|<2）,集合C=An8,则集合C的

子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

A.V3+1B.V3-1C.4+2V3D.4-2V3

4.（5分）已知a,beR,贝!]“/+庐>2”是“°+6>2”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件

D.充要条件

5.（5分）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个

比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理

得到如图频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）

①估计居民月均用水量低于15/的概率为0.25；

②估计居民月均用水量的中位数约为2.1m3；

③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3/的人数为6万；

④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了

容量为20人的样本，则在用水量区间（1.5,2]中应抽取4人.

频率

用水量(立方米)

A.1B.2C.3D.4

分)设。奥更c=则有(

6.(5(4)=2,b=Zo3-Io9,(1))

A.a〈b<cB.a〈c〈bC.b〈c〈aD.b<-a<-c

7.（5分）已知函数/（%）=sin2x-cos2x（xER）,f（x）是/（x）的导数，则以下结论中

正确的是（）

A.函数f（x+*）是奇函数

B.函数/（尤）与/（无）的值域相同

C.函数/（无）的图象关于直线％=今对称

D.函数无）在区间（『金上单调递增

8.（5分）若三棱台ABC-AiBiCi的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，

且其各顶点都在表面积为260n的球。的表面上，AB==8遮，则三棱台ABC-

A1B1G的高为（）

A.2V3B.8C.6或8D.2百或6

9.（5分）设双曲线C；*，=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为点尸i,Fi,过坐标原

点的直线与C交于A,B两点，兽斗=AABF2的面积为88，且&-彘〉0,若

\F1B\2

双曲线。的实轴长为4,则双曲线。的方程为（）

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

4244

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

424169

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的

给3分，全部答对的给5分）

10.（5分），为虚数单位，复数z=l+i,则|3+iz|=.

11.（5分）在（/—言产的二项展开式中，尤3的系数为（请用数字作答）.

12.（5分）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学

习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛

者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其

中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为；党员

甲能通过初试的概率为.

13.（5分）圆_?+/+6丫-16=0与抛物线x2=2py（p>0）的准线相交于A,B两点.若

=6,则抛物线的焦点坐标为.

14.（5分）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主

流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六

边形的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为2,若点M在正六边形的边上

运动，动点A,B在圆。上运动且关于圆心。对称.

（i）请用M2、MB表示M。=；

—>—>

（ii）请写出MB的取值范围.

15.（5分）若函数f（x）=si7i（a?rx——^）（ax2—4x+3a+4）（其中>>0）在区间［0,5］上

恰有4个零点，则a的取值范围为.

三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（14分）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别a,b,c,其中a=6+2,c=&6,且

sinA=迎sinC.

(I)求c的值；

(II)求tanA的值;

(III)求cos(24+今)的值.

17.(15分)如图，四棱锥P-ABC。的底面ABC。是正方形，ABCD,PD=AD

=3,点E,尸分别是棱E4,PC的中点，点M是线段8C上一点.

(I)求证：尸3_1_平面EFD；

(II)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值；

3-722

(III)若直线板与平面ABCD所成的角的正弦值为----,求此时MC的长度.

18.(15分)在平面直角坐标系尤0y中，椭圆C；各'=l(a>6>0)的左焦点为点R离

心率为称,过点尸且与尤轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

(I)求椭圆C的方程；

V3

(II)设不过原点0且斜率为方■的直线/与椭圆C交于不同的两点P,Q,线段PQ的

中点为T,直线。T与椭圆C交于两点M,N,证明：|TP|・|TQ=|7M・|7M

19.(15分)若数列｛久｝满足%+1=―酹+d(neN*),其中dWO,an>0,则称数列｛即｝为

M数列.

(I)已知数列｛即｝为Af数列，当d=l,〃1=1时，

(i)求证：数列｛。等是等差数列，并写出数列包九｝(nCN*)的通项公式；

(ii)Tn=[(碗+或)(一1再(n6N*),求a=1N*).

(II)若｛斯｝是M数列(aeN*),且d>0,证明：存在正整数”.使得济11>2024.

20.(16分)已知函数/(x)=xlnx,g(x)=x(1-^D(x>0),(〃eR,e为自然对数的

底数).

(I)求函数/G)的单调区间；

(II)设g(x)在x=l处的切线方程为y=k(x),求证：当xE(1,+8)时，g(x)

<k(x)；

0<%<l,

(Ill)若〃(%)=存在％1〈X2Vx3,使得力（XI）—h（X2）=h（%3）,

X>1/

且％2=gi,求证:当ME(1,2)时，X2+x3<(2/〃2e)xi+1.

2024年天津市和平区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.（5分）已知集合A={x6N]-2cx<2},B={xEZ\\x\<2},集合C=ACB,则集合C的

子集个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】先求出集合C,再根据子集公式可得结果.

【解答】解：由题意知，因为A={0,1},B=[-1,0,1）,贝ijC=ACB={0,1},所

以C的子集个数为22=4个.

故选：D.

【点评】本题主要考查交集和子集，属于基础题.

【答案】D

【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的情况判断即可.

【解答】解：对任意的xCR,|x|+2N2>0,故函数f（久）=卷，的定义域为R,

又因为〃一乃=自冷=高3=一/（乃，所以/（X）为奇函数，故A、C错误；

当x>0时，/（%）>0,故2错误；

故选：D.

【点评】本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题.

3.(5分)已知等比数列｛金｝的各项均为正数，若的,^a3,a2成等差数列，则

A.V3+1B.V3-1C.4+2V3D.4-2V3

【答案】A

【分析】设正项等比数列｛板｝的公比为q(q>0),由等差数列的性质列式求解q,则答

案可求.

【解答】解：设正项等比数列｛而｝的公比为q(q>0),

1、1

由a〉4a3，a2成等差数列，得3a3=ai+a2,

即］—a4一%=0,贝!J『-2q-2=。，

得q=l+g(q>0).

.a+a(a+a)q,r-

•.--9------1--0=-----8------9---=q=1+V3.

故选：A.

【点评】本题考查等比数列的通项公式与等差数列的性质，是基础题.

4.(5分)已知a,66R,贝l|"/+片>2”是“°+6>2”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件

D.充要条件

【答案】B

【分析】根据题意可将/+■>2与a+b>2,看作圆搭贬=2与直线a+Q2之间的关系，

再结合充分条件与必要条件定义可解.

【解答】解：设圆/+必=2与直线a+b=2的距离为d,

贝IJ圆/+必=2与直线a+b=2相切，贝Ij能推出“/+62>2”，故必要性成立.

当。=-2,b=-1时，满足"/+户>2，，，但能推出“a+b>2”,充分性不成立.

故选：B.

【点评】本题考查充分条件与必要条件定义，属于中档题.

5.(5分)某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个

比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理

得到如图频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为()

①估计居民月均用水量低于1.5/的概率为0.25；

②估计居民月均用水量的中位数约为2.1机3；

③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3/的人数为6万；

④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了

容量为20人的样本，则在用水量区间(1.5,2］中应抽取4人.

用水量(立方米)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图的性质可判断①③④，由中位数的定义可判断②.

【解答】解：对于①，由频率分布直方图可知，居民月均用水量低于15滔的概率约为

(0.2+0.3)X0.5=0.25,故①正确；

对于②，由频率分布直方图可知，前3组的频率之和为(0.2+0.3+0.4)X0.5=0.45<0.5,

前4组的频率之和为(0.2+0.3+0.4+0.5)X0.5=0.7>0.5,

所以中位数位于［2,2.5)内，设其为加，

则0.45+(m-2)X0.5=0.5,

解得机=2.1,

即居民月均用水量的中位数约为2.1冽3,故②正确；

对于③，由频率分布直方图可知，样本中居民中月均用水量不低于3m3的频率为

(0.1+0.1+0.1)X0.5=0.15,

用样本估计总体，估计全市居民中月均用水量不低于3,/的人数为40X0.15=6(万人)，

故③正确；

对于④，由频率分布直方图可知，用水量区间(1.5,2］的频率为0.4*0.5=0.2,

所以在用水量区间(1.5,2］中应抽取20X0.2=4人，故④正确，

综上所述，说法正确的个数为4个.

故选：D.

【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了中位数的定义，属于基础题.

6.(5分)设(3a=2,b=log-［3-log19,c=&厂与，则有()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】B

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.

【解答】解：：［尸=2,...4=/912<2。911=0,

J33

311

■:b=logi3—log19=log1„=logi>log\=1,

222y252Z

c=弓=23>2°=1,c>1,

14„_o

：2c=2x23=23=怀z=V16<V27=3,：A<c<|,

13

*.*2b=220gl与=21og23=log29>log28=3,:.1)>亍

25,

:.aVcUb.

故选：B.

【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题.

7.(5分)已知函数/(%)=sin2x-cos2x(xGR),f'(x)是/(%)的导数，则以下结论中

正确的是()

A.函数f(x+今是奇函数

B.函数/(尤)与/(尤)的值域相同

C.函数无)的图象关于直线》=今对称

D.函数/(无)在区间(『金上单调递增

【答案】D

【分析】根据二倍角的余弦公式可求出f(x)=-cos2x,进而得出f(x)=2sin2x,

然后根据奇函数的定义可判断A的正误；根据正余弦函数的值域可判断5的正误；根据

余弦函数的对称轴可判断C的正误;根据余弦函数和复合函数的单调性可判断D的正误.

【解答】解：f(%)=-cos2x,f'(x)=2sin2x,

+^）=-COS（2x+7T）=cos2x,函数/'（久+*）是偶函数，A错误；

f（x）的值域是[-1,1],f'（x）的值域是[-2,2],B错误；

/。）=-cos*=0,（x）不关于x=,对称，C错误；

1时,2xG（J,竽）,则/（无）在管,令上单调递增，D正确.

故选：D.

【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，奇函数和偶函数的定义，余弦函数和复合函数

的单调性，是中档题.

8.（5分）若三棱台ABC-AiBiCi的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，

且其各顶点都在表面积为260n的球。的表面上，AB=2ArBx=8V3,则三棱台ABC-

A1B1C1的高为（）

A.2V3B.8C.6或8D.2g或6

【答案】C

【分析】由外接球的表面积可得N=65,分别求出正三棱台ABC-A1B1C1的上下两个底

面的外接圆的半径，然后由球的性质分别求出球心到上下两个面的距离，再分三棱台的

上下底面在球心O的同侧和异侧两种情况求解即可.

【解答】解：设点。1,。2分别是正△ALBICI,△ABC的中心，球的半径为R,

则4nR2=260Tt,即尼=65,且02,。三点共线，正三棱台ABC-ALBIQ的高为

0102,

在等边△ABC中，由2B=8/，由正弦定理可得：24。2=77备=萼，得4。2=8,

Dt/lOUVD

T

在等边△ALBICI中，由&%=4值，由正弦定理可得：241。1=康柒=等，得4。1

Sl/lOU73

T

=4,

在RtZXOOiAi中，。。/+。1//=R2,即。。/+16=65,得001=7,

在RtZ^OOM中，。劣？+劣人？=R2,即。。22+64=65,得0。2=1,

如果三棱台的上下底面在球心0的两侧，则正三棱台的高为0102=001+002=7+1=8,

如果三棱台的上下底面在球心0的同侧，则正三棱台的高为0102=001-002=7-1=

6,

所以正三棱台ABC-AiBiCi的高为8或6.

故选：C.

【点评】本题考查了正三棱台的相关计算，属于中档题.

9.(5分)设双曲线C：*，=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为点尸i,F»过坐标原

点的直线与C交于A,8两点，粤a="AAB政的面积为8小，且产:1・盛>0,若

IF®2

双曲线C的实轴长为4,则双曲线C的方程为()

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

4244

x2y2x2y2

C.---=1D.---=1

424169

【答案】C

【分析】可设8(徵，n),A(-如-〃)，m,n>0,推得四边形人厂出乃是平行四边形，

由双曲线的定义和条件曾=推得|4八1=4,医乃1=8,由两点的距离公式求得m,n,

再由三角形的面积公式求得c,结合向量的数量积的坐标表示，舍去一个。的值，可得所

求方程.

【解答】解：由双曲线的对称性可得A,B关于原点对称，设3(m，〃)，A(-m,-〃)，

m,〃>0,

由于A5,尸1尸2互相平分，可得四边形A尸皮尸2是平行四边形，可得以尸1|=|3尸2],

由双曲线的定义可得|8"TB尸2|=旧为|-|A"=2a=4,詈?=

解得|AF1|=4,18nl=8,

设R(-c,0),Fi(c,0),可得(加+c)2+n2=64,(m-c)2+n2=16,

1212

解得加=",几2=16-(――c)2,

1

而△ABF2的面积为8百，可得-c・2〃=8百，

2

即有02后=192,即有16c2-(12-/)2=192,

化为。4-4002+336=0,解得。2=28,或02=12,

若。2=12,则相=2g，”=4,Fi(2V3,0),A(-2遍，-4),B(2次，4),

则点=(-4V3,-4)«(0,4)=-16<0,故?=12舍去，

Y2-y2

所以,2=28,房=24,即双曲线的方程为一一乙=1.

424

故选：C.

【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及向量的数量积的坐标表示，考查方

程思想和运算能力，属于中档题.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的

给3分，全部答对的给5分)

10.(5分)i为虚数单位，复数z=l+i,贝”3+iz|=逐.

【答案】V5.

【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.

【解答】解：z=l+i,

则iz=i(l+i)=-1+z,

故|3+iz|=|3-l+i|=|2+i|=V22+l2=V5.

故答案为：V5.

【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题.

11.(5分)在。2—2)5的二项展开式中，尤3的系数为一80(请用数字作答).

【答案】-80.

【分析】求出通项公式，然后令x的指数为3,进而可以求解.

【解答】解：二项式的展开式的通项公式为图+1=C^x2)5-r(-^y=羽•(一2)31°一冬,

〃=0,1,…，6,

7

令10-*=3,解得r=3,

则X3的系数为0.(-2)3=-80.

故答案为：-80.

【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.

12.(5分)为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学

习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛

者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其

9

中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为-；党员甲能通过初试的概率

为1•

92

【答案】--

【分析】利用超几何分布列的性质即可得出结论.

【解答】解：由题意可得X=0,1,2,3.

尸(X=0)=舁=嘉,P(X=1)=空=磊,P(X=2)=空=4,P(X=3)=峥=与

c10c10c10c10

可得X的分布列为：

X0123

p1311

301026

1Q119

・，・期望E(X)=0x+1x+2x2+3xG=5.

、112

党员甲能通过初试的概率为；+-=

263

92

故答案为：二,

53

【点评】本题考查了超几何分布列与期望，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

13.(5分)圆_?+/+6丫-16=0与抛物线/=2py(p>0)的准线相交于A,2两点.若［42|

=6,则抛物线的焦点坐标为(0,7).

【答案】(0,7).

【分析】根据圆的几何性质，抛物线的几何性质，建立方程，即可求解.

【解答】解：：圆C：f+y2+6y-16=0可化为：

/+(y+3)2=25,二圆心C(0,-3),半径，=5,

又抛物线/=2py(p>0)的准线为了=一殳

圆心C(0,-3)到准线为y=的距离d=|-3+苧，

又圆C被准线截得的弦长|AB|=6,

：.d=Jr2-(苧尸=V25-9=4,

：.d=\-3+1|=4,p>0,

解得p=14,

抛物线的焦点坐标为（0,7）.

故答案为：（0,7）.

【点评】本题考查抛物线的几何性质，圆的几何性质，方程思想，属中档题.

14.（5分）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主

流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六

边形的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为2,若点〃在正六边形的边上

运动，动点A,B在圆。上运动且关于圆心。对称.

（i）请用M4MB表示M。=春QMA+MB）；

—>—>

（ii）请写出MA•MB的取值范围「8,⑵.

【分析】⑴连接AB,OM,根据。为的中点，即可求解;

（拓）根据平面向量的数量积运算将问题转化为关于|薪|范围的问题，数形结合即可求得

结果.

【解答】解：⑺连接A3,OM,如图所示:

——»T—>—>TT——>T—>

(〃)MA-MB=(MO+04)-(MO+OB)=MO2*4+MO-0A+MO-OB+0A-OB

=\M0\2+MO•(04+OB)-4=\M0\2-4,

―>

根据图形可知，当点M位于正六边形各边的中点时，鹿。|有最小值为2百，此时-

4=8,

当点M位于正六边形的顶点时，|MO|有最大值为4,此时|薪『一4=12,

—>―»—>—>

故8WM7TM8W12,即M2•MB的取值范围是［8,12］.

-»-1->—>

故答案为：("MO(MA+MB)；(z7)［8,12］.

【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题.

,37T.

15.(5分)若函数/(%)=s讥(sr%—彳)(a%2—4%+3a+4)(其中〃>0)在区间［0,5］上

“一人X-E小,1143192V253-8V229-8

恰有4个零点，则a的取值范围为|六,二)5-，七)U{二}U{一}U{一}.

20742051212

【答案】益’》U小弟U{各U连等马U8}.

【分析】分别分析g(x)=ax1-4x+3〃+4和〃(%)=sin{anx-筌)的零点个数求解即可,

同时要注意重根问题的检验.

【解答】解：当〃>0,设〃(%)=sin^anx—筌)，g(x)=ax2—4%+3a+4,

则g(无)为开口向上的二次函数，A=16-4ti(3(7+4)=-4(3(7-2)(〃+2),

①当。=叁，g(%)=0有唯一解％=3,此时/(%)=5讥(,兀汽一苧)，

t=|以一苧E［-苧，斗却，此时。⑴=0有三个解，且均不为3,符合题意；

②当4VO,g(%)=0无解，故/(%)=s讥(cur%-彳)区间［0,5］上恰有4个零点，

则37r<5。"一手<4TT,解得一<a<一，符合题意；

4420

27

③当OVaV/A>0,g(x)的对称轴x=(>0,且g(5)=28。-16,g(2)=7a-4,

(i)当a—g(2)=g(5)=0,此时g(x)—0有两个解:2和5,t—ynx-G［-,

凳］,止匕时a(x)=0有三个解，且与g(x)=0的解2,5不重合，不合题意，

42

(拓)当/VaV?且g(2)=g(5)〉0,此时g(x)=O有两个解，且均属于(2,5),t=

anx—?C[—?,5a7r—芋],若h(x)=0有2个解，故TT<5an—苧<2n,解得看工

11,

a<一，贝!J〃E0,舍去；

20

o113

(万)若/i(x)=0有3个解，故27r<5sr——<3TT,解得一<a<-,

4204

若此时g(x)=0有2个解，则必须有1个重根，

下面检验重根情况：anx一竽=kTi,则％=(kEZ),h(x)=0的3个解为X=磊,

71131577351111

而，而，且蔡e(1，五]，[2,5],-e(-，-]e[2,5],-e(--5]c

7113

[2,5],故重根可能为.

4a4a4a

22—(a+2)(3a-2)

*2*411

令^(x)=ax—4%+3a+4=0/0<a<2,尚军得xr=----------------,x2=

2+J-(a+2)(3a-2)

a'

当承公个11皿户2+”(a+2)(3a-2)

当X2重合，右％2-则==-----------------(a>0),

4a4aa

解得a—--Eg,刍，满足题意；

若上=/，则比=出z£a+2)(3a-2),即_：=,_很+2)(3a—2),无解；

4a4aa-

QQ2+(a+2)(3a—2)c_________________

若久2=而，4a=------a--------，即-4=J_(a+2)(3a-2),无解；当xi重合，

e3Mli32—(a+2)(3a—2)々刀-曰±J181-84/普土、

右久1=777,贝北丁二-----------------,斛得。=---75<7(舍去)；

4a4aa"/

若“卷则三=2一正(a+2)(3”),解得。=V>53-8>4符合题意；

4a4aa

,,Il2-J-(a+2)(3a-2)3------------------人、

右久1=Z7P则丁=-----------------,即一五=J-(a+2)(3a-2),无解，舍去；

,a4aCL-

4

(zv)当OVaV芦g(2)=g(5)<0,止匕时g(x)=0有1个解，

设为m,则？ri€(1/2),t=Q,Tix-6[―,Seen—,故2TT<5CZTI-V3TT,解

113A114

得一<a<~,又0VqV5,综合得一<a<~,

204/207

321157735

同理(沆)的分析，—G(一，—]G[1,2],—6(-/—]U[2,5],

4a,1611JL」4a211JL」

此时/z(x)=0有三个解，且与g(x)=0的解不重合，符合题意，

1141923?

综上所述：一<aV-或一<a<一或a=5.

20720203

故答案为:[如今&U｛刍u｛用当u｛乌|当.

【点评】本题主要考查根据方程实根个数求参数问题，属于难题.

三、解答题(本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(14分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别a,b,c,其中a=6+2,c=41b,且

sinA=\[2sinC.

(I)求c的值；

(II)求tanA的值；

(III)求cos(24+*)的值.

【答案】(I)2A/2；

(II)-V7；

V14-3V2

(III).

8

【分析】(I)由题意利用正弦定理可得。=&c,结合已知即可求解c的值；

(II)由(I)可得6,。的值，利用余弦定理可求cosA的值，进而利用同角三角函数

基本关系式即可求解tanA的值；

(IID由题意利用二倍角公式可求sin2A,cos2A的值，进而利用两角和的余弦公式即可

求解.

【解答】解：(I)因为si/M=V2sinC,

所以由正弦定理可得a=V2c,

又c=&b,a—b+2,

所以应c=^+2,解得c=2企；

(II)由(I)可得C—2-/2,b—2,a—4,

二匚[、i,力2+c2一次4+8—16"/5

所以c0sA==双必万=一彳，

可得sinA=V1—cos2A=

q

所以ta卷=鬻=一夕

(HI)由题意sin2A=2sinAcosA=2xx(—?)=—cos2A=2cos2A-1=2X(—，)

r-r-KI/cA71、A•Z3、/>/7、A/^2J14—3\^2

以cos(2/+4)=cos2Acos"—sin2Asin]=(—[)x—(—^-)x----g---.

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式

以及两角和的余弦公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

17.(15分)如图，四棱锥P-ABC。的底面ABC。是正万形，PD±nABCD,PD=AD

=3,点、E,尸分别是棱融，PC的中点，点M是线段BC上一点.

(I)求证：P8_L平面EFD-,

(II)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值；

3\/22

(III)若直线"/与平面ABC。所成的角的正弦值为——，求此时MC的长度.

【答案】(I)证明过程见解答；(II)一；(III)1.

3

【分析】建立空间直角坐标系，(I)求出直线PB的方向向量和平面EFD的法向量，由

两向量平行即可证明；

(II)求出平面EFD与平面的法向量，再求两向量的夹角即可；

—»—»

(III)设=(0W入W1),由直线与平面所成角的向量表示建立关于人的方程，求

解后结合图形即可求得.

【解答】解：因为底面A8CD是正方形，平面4BCD,所以ZM,DC,OP两两互

相垂直，

以。为坐标原点，DA,DC,。尸所在直线分别为无，y,z轴，建立空间直角坐标系，

则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),P(0,0,3),E(1,0,

芬3F(0,I3，I3),

(/)证明：PB=(3,3,—3),DE=窿,0,|),DF=(0,|)

设平面瓦7)的法向量为就=(%,y,z).

3

-zo

2

令

m-DE=yX+则1

X-1z-y-

则31-1

-zo

m-DF=5y+2

所以m=(1,1,-1),

—T—T

因为PB=3m，所以PB||m,所以PB_L平面EFD；

(〃)由题知，平面ABC。的一个法向量为盛=(0,0,1),

由(/)知，平面E7Z)的一个法向量为罚=(1,1,-1),

设平面EFD与平面ABCD的夹角为0,

贝!Jcos。=\cos(m,n)|=蝮,号-=——堂；

|m||n|V3$

—»

(IH)因为点M是伐段BC上一点，且BC=(—3,0,0),

->—>

所以设BM=4BC=(-330,0)(0<A<1),

T—TZZZZ

所以MF=BF—BM=(—3,—1,引一(—34,0,0)=(34—3,一二,引，

设直线Mb与平面ABCD所成的角为a,

则s讥a=\coslMF,n)|=।?_=

J(3A-3)2+1+|22

解得："(或"［舍)，此时BM=(-2,0,0),所以|BM=2,则|MC|=3-2=1,

所以MC的长度为1.

【点评】本题考查线面垂直的证明和平面与平面的夹角，直线与平面所成角的求法，属

于中档题.

18.(15分)在平面直角坐标系尤Oy中，椭圆C；圣+，=l(a>6>0)的左焦点为点凡离

心率为擀，过点F且与尤轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

(I)求椭圆C的方程;

（II）设不过原点。且斜率为方■的直线/与椭圆C交于不同的两点P,Q,线段PQ的

中点为T,直线0T与椭圆C交于两点M,N,证明：|TP|・|TQ=|7M・|W.

x2y2

【答案】（I）—+—=1；

43

（II）证明见解答

【分析】（I）根据已知可得关于〃，b,。的方程组，求解即可;

（II）设直线I的方程为y=+丰0）,与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，

从而可得PQ的中点T的坐标，进而可得直线OT的方程，与椭圆方程联立，可得点

N的坐标,分别计算\TM\'\TN\,即可得证.

^=2

a=2

【解答】（I）解：依题意,笙=3，解得b=遮,

ac=1

=fa2+c2

22

所以椭圆c的方程为X了+V—=1.

43

(II)证明：设直线/的方程为y=孚％+znQnH0),设点尸(xi,yi),Q(X2,"),

4+3_

联立

73,

y=~^x+m

消去y,整理得3久2+2V3mx+2m2—6=0,

A=12(6-m2)>0,BP6-m2>0,即一伤V通且机WO,

x1+x2=_*m

由韦达定理得

2m2—6

%1久2=

所以尸0中点7（一弱,粤）,

所以直线OT方程为y=-苧%,设点N在第二象限，

4+配=1

联立方程组•43痣'解得知（鱼，—^）,N（—夜，

y=-多久

所以|7W|.|TN|=冬—弱—阳X争一代+瑞|=［（字:

222

\TP\-\TQ\=^\PQ\=1［J1+|7^I+^2）-4X1X2］

=£［（_专小）2_4（誓心）］=£（6_血2）,

所以|7P}・|TQ=|W|7N|.

【点评】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力,

属于中档题.

19.(15分)若数列｛斯｝满足每+i=J呜+d(neN*),其中d=0,an>Q,则称数列｛即｝为

M数列.

(I)已知数列伍”｝为M数列，当