人教版九年级上册数学期末考试解答题练习（解析卷）

人教版九年级上册数学期末考试解答题专项练习

参考答案与试题解析

一、解答题。

1.（2021春•靖边县期末）如图，在平面直角坐标系中，△/8C三个顶点的坐标分别为/

（0,3）,B（3,4）,C（2,2）.

（1）画出△48C向下平移5个单位所得到的△小囱。；

（2）画出将△48C绕原点。逆时针方向旋转90°后的△Z2&C2，并写出点C的对应点

C2的坐标.

【分析】（1）利用点的平移规律写出/卜Bi、Ci的坐标，然后描点即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出/、B、C的对应点力2、台2、C2,从而得到Q点的

坐标.

【解答】解：（1）如图，△4SC1为所作;

（2）如图，△/2以。2为所作，点。2的坐标为（-2,2）.

2.（2021秋•沈北新区期末）2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每

年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元.

（1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；

（2）若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入

“扶贫工程”多少万元？

【分析】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x,利用2021年该县计划投入

“扶贫工程”的资金=2019年该县投入“扶贫工程”的资金又（1+增长率）2,即可得出

关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率

（2）利用2022年该县将投入“扶贫工程”的资金=2021年该县投入“扶贫工程”的资

金X（1+增长率），即可求出2022年该县将投入“扶贫工程”的资金.

【解答】解：（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为X,

依题意得：100（1+x）2=144,

解得：xi~02—20%,X2—-2.2（不合题意，舍去）.

答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%.

（2）144X（1+20%）=144X1.2=172.8（万元）.

答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”172.8万元.

3.（2021春•济宁期末）某商场从2019年至2021年两年时间里，营业额由1000万元增加

到1440万元，则这两年的平均增长率为多少？

【分析】设这两年营业额的平均增长率为x,利用2021年的营业额=2019年的营业额X

（1+增长率）2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出这两年营业额

的平均增长率为20%.

【解答】解：设这两年营业额的平均增长率为X,

依题意得：1000（1+x）2—1440,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2（不合题意，舍去）.

答：这两年营业额的平均增长率为20%.

4.（2021春•南召县期末）如图1,将三角板/2C与三角板4DE摆放在一起；如图2,其

中NNC8=30°,ZDAE=45°,ZBAC=ZD=90°.固定三角板N8C,将三角板/£）£

绕点/按顺时针方向旋转，记旋转角/C/E=a（00<a<180°）.

D

操作发现:

（1）在旋转过程中，当a为15度时,AD//BC,当a为105度时,ADLBC,

（2）当△/£）£的一边与△N8C的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角a的所有

可能的度数；

拓展应用：

当0°<a<45°时，连接8。，利用图3探究值的大小变化情况,

并说明理由.

【分析】（1）根据和NOL8C,再根据三角板的度数即可求出a的度数；

（2）要分5种情况进行讨论，分别画出图形，再分别计算出度数即可；

拓展应用先设AD分别交NC、/£于点M、N,在中，ZAMN+ZCAE+ZANM=

180°,再根据ZAMN^ZC+ZDBC,得出/E+/BDE+NC4E+

ZC+Z£）5C=180°,然后根据NC=30°,ZE=45°,即可得出/3OE+/C4E+ND8C

的度数.

【解答】解：（1）如图（1）,记DE与/C的交点为点凡DE与3c的交点为点G,

■:AD//BC,

：.ZDAF=ZC=30°,

VZDAE^45°,

：.ZCAE=\5°,即a=15°,

如图(2),记/。与BC的交点为尸,

\'AD±BC,

：.ZADF=90°,

AZZ)ylC=180°-ZAFC-ZC=180°-90°-30°=60°,

AZCAE=ZDAC+ZEAD=600+45°=105°,即a=105°,

故答案为：15,105.

（2）①当40〃5C时，如图1所示，由（1）得，a=15

②当。石〃时，如图2所示，

由（1）得，ADLBC,

：.ZAFC=90°,

VZADE=90°,

：.DE//BC,

a=105°；

③当〃/8时，如图3所示，a=45°；

④当DE〃/C时，如图4所示，a=NEAD+NBAC=45°+90°=135°；

（5）ZEAC+ZC=180°,

VZC=30°,

/.ZEAC=150°,即a=150°；

综上所述：旋转角a的所有可能的度数是：15°,45°,105°,135°,150°.

拓展应用：当0°<a<45°,NBDE+/CAE+/DBC=1Q5：保持不变，理由如下:

如图6,设2。分别交NC、AE于点、M、N,

在中，ZAMN+ZCAE+ZANM=1800,

•；/ANM=ZE+ZBDE,/AMN=/C+NDBC,

：.ZE+ZBDE+ZCAE+ZC+NDBC=180°,

VZC=30°,/E=45°,

:.NBDE+NCAE+/DBC=U）5°.

5.（2020秋•徐汇区期末）己知，在直角三角形/2C中，/ACB=9G°,/C=8,BC=6,

AB=10,以48边为直径作半圆，把4个相同的直角三角形通过一定的图形运动拼成四

叶草的形状(如图所示)，求阴影部分的周长和面积.(n取3.14)

【分析】根据圆的面积和三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：C=2TT<7=20K=62.8；

S=L(TU*-AOXBO)X4=50TT-96=61.

2

答：阴影部分的周长是62.8,面积是61.

6.(2020秋•上虞区期末)如图，是。。的直径，AB=4,尸是N8延长线上一点，且3P

=1,过点尸作一直线，分别交O。于C,。两点，已知/尸=30°.

(1)求CD与PC的长；

(2)连接3C,AD,求圆内接四边形/BCD的面积.

【分析】(1)过点。作于点，，连接OC,解直角三角形求得PH,然后

根据勾股定理求得CH,进而即可求得CD和PC；

(2)求得和△P3C的面积，进而即可求得四边形4SCD的面积.

【解答】解：(1)过点。作CD于点〃，连接。C,

在RtZkOP"中，/尸=30°,OP=OB+BP=2+}=3,

,:CD=2CH,

CD=2

.343V7373-V7

••PC=PH-HC气=\

（2）由（1）知:PD=CD+PC=V7+3^'*，P4=5,/尸=30。，

3

•J_Rpr；9n°-1V1yV3-V713g一中

,*cSAPEC^PBPCcsinn3°/XIX---Xyy=一g-'

c_lpnPA.nono_1y3V3+V7yRy15（373+77）

SAPAD至PD，PA-Sin30—X---X5Xy=-----------，

_5（诉m）373-V76V3+377

'''四边形ABCD-bAPAD-bAPBC=§8=4'

D

7.（2021春•新城区校级期末）一个不透明的口袋中放有14个白球，16个黑球，若干个红

球，每个球除颜色外都相同.

（1）某同学从袋子里每次随机摸出一个球，记下颜色后放回袋子，然后再摸出一个球,

记下颜色后放回袋子…，如此一共摸球20次，其中摸出红球的次数为4次，求这次摸球

活动中红球出现的频率；

（2）若袋子中白球的数量比红球的数量的2倍还多2个，求从袋中任取一个球是黑球的

概率.

【分析】（1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数即可；

（2）设口袋中红球的个数为x,根据“白球的数量比红球的数量的2倍还多2个”建立

方程求出x的值，再利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）这次摸球活动中红球出现的频率为4・20=0.2；

（2）设口袋中红球的个数为x,

根据题意，得：2x+2=14,

解得x=6,

袋中红球的个数为6,

从袋中任取一个球是黑球的概率为一比一=9.

14+16+69

8.（2021春•广饶县期末）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500

元，标价为3000元.

(1)商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次

降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；

(2)市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降

50元时,平均每天就能多售出4台,若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000

元，则每台冰箱的定价应为多少元？

【分析】Q)设每次降价的百分率为x,根据降价后的价格=降价前的价格Q-降价的百分

率)，则第一次降价后的价格是60(1-%)元，第二次后的价格是60(1-x)2元，据此

即可列方程求解；

(2)假设下调。个50元，销售利润=一台冰箱的利润X销售冰箱数量，-一台冰箱的利

润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利X

销售的件数=5000元，即可列方程求解.

【解答】解：(1)设每次降价的百分率为X,

依题意得：3000(1-x)2=2430,

解得修=0.1=10%,X2=1.9(不合题意，舍去)

答：每次降价的百分率是10%；

(2)假设下调。个50元，依题意得：5000=(2900-2500-50«)(8+4°).

解得。1=。2=3.

所以下调150元，因此定价为2750元.

9.(2021春•沂源县期末)为更好地发展低碳经济，建设美丽中国.某公司对其生产设备进

行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量.已知该公司去年第三季度

产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长

率相同.

(1)求该公司每个季度产值的平均增长率；

(2)问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由.

可能用到的数据计算结果(已取近

似值)

[32

归1.18

1.1821.39

1.1831.64

【分析】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x,列出方程求解即可；

（2）根据（1）求出的增长率先求出二，三，四季度的产值，再全部相加即可得出答

案.

【解答】（1）解：设该公司每个季度产值的平均增长率为x,依题意得：

2300（1+x）2=3200,

解得xi=0.18=18%,X2=-2.18（不合题意，舍去），

答：该公司每个季度产值的平均增长率为18%；

（2）•.•今年第一季度产值是3200万元，

...第二季度产值是3200X（1+18%）=3776（万元），

第三季度产值是3200X（1+18%）2=4448（万元），

第四季度产值是3200X（1+18%）3=5248（万元），

.•.该公司今年的总产值为3200+3776+4448+5248=16672（万元），

该公司今年总产值能超过1.6亿元.

10.2021春•渠县校级期末）将两块全等的三角板按如图1所示摆放，其中=

=90°,/小=//=30°.

（1）将图1中的△/日?按顺时针方向旋转45°得图2,NC与交于点尸1，小田与

BC交于点Q,求证：CPi=CQ；

（2）在图2中，若/尸产2,求CQ的长.

【分析】（1）根据△小为C和△N8C是两个完全一样的三角形，顺时针旋转45。两个条

件证明gABCB，然后可求证：CPX=CQ-,

（2）作PiD_L/C于。，根据N/=30°,ZP1CD=45°分别求出尸1。=上/%，。乃=

2

近PiD=q~APi，于是得到结论.

【解答】（1）证明：•..N8iC5=45°,/BiC4i=90°,

；./B[CQ=/BCPi=45°；

又BiC=BC,=

:会ABCPi(ASA),

：.CQ=CPli

(2)解:如图：作PpOL/C于D,

VZ^=30°,

；.尸1。=工4尸1；

2

,."々Q=45°,

11.(2020秋•斗门区期末)如图1,在△/8C中，BA=BC,D、E是/C边上的两点，且满

足/DBE=L/ABC.以点8为旋转中心，将△C3E按逆时针方向旋转得到尸，连

2

(2)如图2,^ABLBC,其他条件不变.求证：DE2^AD2+EC1.

【分析】(1)先根据/。8£=工//8(7可知再由图

22

形旋转的性质可知2£=8尸，NABF=NCBE,故可得出NDBP=NDBE,由全等三角形

的性质即可得出△■DBE0zXDBR故可得出结论；

(2)把△CBE逆时针旋转90°,由于△/3C是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C

与点/重合，/FAB=/BCE=45°,所以NZX4尸=90°,由(1)ilEDE^DF,再根据

勾股定理即可得出结论.

【解答】(1)证明：VZDBE=1-ZABC,

2

ZABD+ZCBE=/DBE=L/ABC,

2

•；AABF由△CAE1旋转而成，

：.BE=BF,ZABF=ZCBE,

：./DBF=NDBE,

在△D8E与△DBF中，

'BE=BF

-ZDBE=ZDBF.

BD=BD

.MDBE沿ADBF(SAS),

：.DF=DE；

(2)证明：•.,将△C5E按逆时针方向旋转得到

：.BA=BC,NABC=9Q°,

；./BAC=/BCE=45°,

图形旋转后点C与点/重合，C£与/尸重合，

:.AF=EC,

：.ZFAB=ZBCE=45°,

AZDAF^90°,

在Rt4/D尸中，DF2=AF2+AD2,

；AF=EC,

：.DF2=EC2+AD2,

同(1)可得DE=DF,

：.DE2=AD2+EC2.

12.(2021春•单县期末)如图，将矩形/BCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,

使点2落在AD边上的点E处，连接2G交CE于点8,连接2E.

(1)求证：EB平分NAEC；

(2)求证：点〃为2G中点.

【分析】(1)根据旋转的性质知8C=C£,再由等腰三角形的性质得到/CB£=/C£8,

根据矩形的性质得//班=NC2E,再等量转化可得结论；

(2)过点3作5PLCE于点尸，根据角平分线的性质得出由全等三角

形的判定得之△GCH(44S)即可得到结论.

【解答】解：(1)根据旋转的性质得8C=C£,

：.ZCBE=ZCEB,

又•../BCD为矩形，

C.AD//BC,

：.ZAEB=ZCBE,

：.NAEB=NCEB,

平分/NEC；

(2)过点3作APLCE于点尸，

如图,

由(1)可知

又,：NA=/BPE,MBE=BE,

:AAEB沿APEB(44S),

:.BP=AB,

:.BP=CG,

又：/BHP=/GHC,

/BPH=/GCH,

:ABPH%AGCH(AAS),

:.BH=HG,

...点〃为8G中点.

13.如图，已知抛物线y=-/+6x+c与一直线相交于/(-1,0),C(2,3)两点，与y

轴交于点N,其顶点为。.

(1)求抛物线及直线NC的函数表达式；

(2)在抛物线对称轴上是否存在一点使以/,N,"为顶点的三角形是直角三角形?

若存在，请求出M点的坐标.若不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用待定系数法即可得到函数解析式；

(2)根据抛物线解析得对称轴，然后分三种情况：当是斜边时，当NN是斜边时，

当是斜边时，由勾股定理得方程式，求解可得答案.

【解答】解：(1)由抛物线＞=-x2+bx+c过点/(-1,0)及C(2,3)得

f-l-b+c=0

1-4+2b+c=3

解得产2,

lc=3

故抛物线的函数表达式为歹=-X2+2X+3.

设直线4c的函数表达式为歹=6+〃，将4(-1,0)、C(2,3)分别代入^=履+〃中可

得口切=0

l2ktn=3

解得任=1,

ln=l

故直线NC的函数表达式为y=x+l.

(2)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x=l,设点M(l,仅)，

\'A(-1,0),M(1,加)，N(0,3),

.".AM2—(1+1)2+m2—4+m2,同理/解=10,AGV2=1+(nt-3)2

当4M是斜边时,贝！I4+加2=10+1+(m-3)2

当MN是斜边时，4+W2+10=1+(加-3)2

14.（2020秋•江城区期末）如图，已知一次函数y=_lx+2的图象与x轴交于点/,与二次

2

函数的图象交于y轴上的一点3,另一交点为。，二次函数图象的顶点C在x轴的正半

轴上，且OC=2.

（1）求二次函数的表达式；

（2）设P为x轴上的一个动点，当△P8O为直角三角形，且Rt△尸8。面积最小时，求

点尸的坐标；

（3）当0WxW2时，抛物线的一段8C上是否存在一点0,使点。到直线4。的距离等

于遥？若存在，请求出此时点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）根据坐标系中点的坐标特点得3点坐标，然后由待定系数法可得二次函数

解析式；

（2）分三种情况：当点8为直角顶点，过8作交x轴于Pi点；当。为直角

顶点，作连接AP2；当尸为直角顶点.通过比较得点尸1到AD的距离最

短.最后根据相似三角形的性质可得答案；

（3）过0作x轴的垂线交直线于点N.设。点的坐标为（x,为），N点的坐标为

（x,为），利用数形结合思想可得答案.

【解答】解：（1）：y^x+2交X轴于点/，

0=yx+2T

.*.x=-4,

;y=/x+2与歹轴交于点B，

Vx=O,

=2,

・・・5点坐标为（0,2）,

：.A（-4,0）,B（0,2）.

・・,二次函数图象的顶点。在x轴的正半轴上，且。。=2,

可设二次函数解析式为：y=a（x-2）2,把2（0,2）代入得

2

...二次函数的解析式为：yU-x_2x+2；

（2）分三种情况：

当点8为直角顶点，过8作8P1L4D交x轴于尸1点;

当P为直角顶点.

以上三种情况中，和比较，从可知点尸1到8。的距离最短.和比较,

点尸3只能在尸1的右边，否则/23员0将为钝角，故点尸1到区D的距离最短.

由RtZ\/OBsRtZ^goP],得更

BOP10

.42

>•-------------------得。尸1=1,

2OPi

.•.点P的坐标为尸(1,0).

(3)存在.

过0作x轴的垂线交直线AB于点N.

设0点的坐标为(无，为)，N点的坐标为(无，及)，

贝!jN°=y2-yi=(AX+3)-(—x2-2x+2)=—x--x2,

2222

.119

"2AABQ=^AANQ-^ABNQ)NQ—1NQ=5x-x'

：AB=2遥，

...当S“BQ=5时，Q到直线AD的距离等于遍.

由5x-2=5解得xi丹叵＜2，乂2月区(舍去)，

3W5X

24

15.(2020秋•铁西区期末)如图，抛物线y=a/+6x+3(a,6是常数，且aWO)与x轴交

于4,8两点，与y轴交于点C.并且N,3两点的坐标分别是/(1,0),5(-3,0),

抛物线顶点为D.

(1)①求出抛物线的解析式；

②顶点。的坐标为(-1,4)；

③直线BD的解析式为v=2x+6；

(2)若K为线段8。上的一个动点，其横坐标为加，过点£作£尸，工轴于点尸，求当机

为何值时，四边形EFOC的面积最大？

(3)若点P在抛物线的对称轴上，若线段P/绕点尸逆时针旋转90°后，点/的对应

点4恰好也落在此抛物线上，请直接写出点P的坐标.

【分析】(1)①把/(1,0),B(-3,0)代入＞=办2+区+3,即可求解;

②由＞=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,可求顶点坐标；

③设直线BD的解析式为＞=京+6,将点B、D的坐标代入即可求解；

(2)求出点E(m,2%+6),C(0,3),则$=工乂(OC+EF)=-(加+9)2+11,

2416

(3)抛物线的对称轴为x=-1,当P点在x轴上方时，过点4作-1交于点

M,证明(44S),则P0=1,求得尸(-1,1)；当尸点在x轴下方时,

△4PH为等腰直角三角形，求得4P=2,则P(-l,-2).

【解答】解：(1)①把/(1,0),8(-3,0)代入尸加+氏+3,

得卜+b+3=0,

19a-3b+3=0

解得卜=-l,

lb=-2

•'•y-―--2x+3；

②Vj=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.D的坐标为(-1,4),

故答案为：(-1,4)；

③设直线BD的解析式为＞=履+6,

将点B、D的坐标代入得：

(-3k+b=0

1-k+b=4

解得卜2

Ib=6

直线BD的表达式为y=2x+6,

故答案为：y=2x+6；

(2)•..点£的横坐标为他，则点E的纵坐标为2m+6,

当x=0时，y=0+0+3=3,

：.C(0,3),

由题意可知：OC=3,OF=-m,EF=2m+6,

；.S=J_X(OC+EF)=_lx(2加+6+3)X(-加)=-(机+2)2+H,

22416

当加=-_1时，S最大值啜；

(3)抛物线的对称轴为x=-1,

当P点在X轴上方时，如图1,

过点4作A,MLx=-1交于点M,

VZAPA'^90°,

/.ZMPA'+ZMCP=90°,ZMPC+ZAPQ=90°,

NMCP=ZAPQ,

'：AP=A'P,

；.△MP%LQAP(AAS),

：.PQ=MC,

；.P0=1,

：.P(-1,1)；

当P点在x轴下方时，如图2,

'：AP=A'P,ZAPA,=90°,

.,.△/尸⑷为等腰直角三角形，

：.AP=PQ,

:.AP=2,

：.P(-1,-2)；

综上所述：P点坐标为(-1,1)或(-1,-2).

16.（2021春•岳麓区校级期末）有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形,

正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”.抛物线y=a/+bx+c

与x轴交于/、2两点（点/在点2的左侧），与了轴交于点C,抛物线的顶点为点D.

（1）当。=-2，6=3,c=5,请判断四边形C08。是否为“乐学四边形”，如果是,

162

请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由.

（2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点£使得

=2迈，若存在，请求出点£的横坐标，若不存在，请说明理由.

3

（3）四边形C02。为“乐学四边形"，且CD=OC.抛物线还满足：

①a<0,abWQ,c=2；

@AABD为等腰直角三角形；

点P（工0，70）是抛物线y=ox2+6x+c上任意一点，且f=yo-若点心+1°5°5恒

8084

成立，求加的最小值.

【分析】(1)先求得4(4-"g,0),B(4+生匹，0),C(0,5),D(4,8),由勾

33

股定理得CD=5,运用新定义“乐学四边形”，“善思线段”即可得出答案.

(2)过点£作明，x轴于点H连接/E,BE,利用5段班=工,/小£〃，求出£〃，令

2

y=2,得-gG-4)2+8=2,解方程即可.

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2

(3)在抛物线〉=办2+加:+2中，顶点。的坐标为(-旦，=[,_),c(0,2),根据

2a4a

2

CD=OC.可得(--L-0)2+(.8azk-2)2=22①，根据△48。为等腰直角三角形,

2a4a

可得吃-干=工X32Vq.②,联立①②，且仍＜0,解得6=士叵，得

4a2a33

Lx2+2/③x+2,进而可得t=yo-痣0=」(xo+Y③)2+旦,

出抛物线解析式为y