人教版高一年级第二学期期末考试数学试题与答案解析（共五套）

人教版高一年级第二学期期末考试数学试题（一）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则其共轭复数为（）A. B. C. D.3.某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒.若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为60的样本，则样本中乙类奶制品的数量为（）A.6盒 B.15盒 C.20盒 D.24盒4.设函数，在用二分法求方程在内的近似解过程中得，则方程的解所在的区间是（）A.B.C.D.5.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A.B.C.D.7.“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知为等边三角形，点分别是的中点，连接并延长到点使得，则=（）A. B.C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选明中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9.已知复数则（）A.是纯虚数 B.对应的点位于第二象限C. D.10.某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如下，根据该折线图，下列结论正确的是（）A.上半年的月销售量逐月增加B.与前一个月相比，销售量增加最多的是11月C.全年的平均月销售量为2.9百万台D.四个季度中，第三个季度的月销售量波动最小11.将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（）A.B.最小正周期为C.的图象关于对称D.在区间上单调递增12.如图所示，正四棱锥的各棱长均相等，分别为侧棱的中点，则下列结论正确的是（）AB.平面C.异面直线PD与MN所成的角为D.与平面成的角为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，且，则实数的值为____________.14.下列数据是30个不同国家中每10000名患某种疾病男性的死亡人数：1.53.25.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1这组数据的第70百分位数是_______________.15.一组样本数据，4，5，6，的平均数为，标准差为4，则_______________.16.如图1所示，在直角梯形中，，，，将沿折起到的位置，得到图2中的三棱锥，其中平面平面，则三棱锥的体积为___________,其外接球的表面积为___________,四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.已知函数（1）解方程（2）求满足的的取值范围.18.如图所示，在三棱柱中，，且平面，点是上一点，求证：（I）平面；（II）平面平面19.已知的三个内角的对边分别为，且，，.（I）求；（II）求边上的高.20.某公司有名员工，根据男女员工人数比例，用分层随机抽样的方法从中抽取了人，调查他们的通勤时间（上下班途中花费的总时间，单位：分钟），将数据按照，，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图：（I）从总体中随机抽取人，估计其通勤时间小于分钟的概率；（Ⅱ）求样本数据中位数的估计值；（Ⅲ）已知样本中通勤时间大于或等于分钟的人都是男员工，通勤时间小于分钟的人中有一半是男员工，求该公司男员工的人数.21.已知向量和，其中，函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）求在区间上值域.22.某中学高一年级由1000名学生,他们选着选考科目的情况如下表所示：科目人数物理化学生物政治历史地理300√√√200√√√100√√√200√√√100√√√100√√√从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：A=“该生选了物理”；B=“该生选了化学”；G=“该生选了生物”；D=“该生选了政治”；E=“该生选了历史”；F=“该生选了地理”.（1）求.（2）求.（3）事件A与D是否相互独立？请说明理由.答案解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的.）1.已知集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再求出即可.【详解】由集合，集合，得.故选：C.【点睛】本题考查了交集的计算.属于容易题.2.已知复数满足，则其共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则计算，即可写出共轭复数.【详解】因为，所以，其共轭复数为.故选：D.【点睛】本题考查复数的运算法则，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.某奶制品工厂某天甲、乙、丙、丁四类奶制品的产量分别为2000盒、1250盒、1250盒、500盒.若按产量比例用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为60的样本，则样本中乙类奶制品的数量为（）A.6盒 B.15盒 C.20盒 D.24盒【答案】B【解析】【分析】由题意，先确定抽样比，再由题中数据，即可得出结果.【详解】样本中乙类奶制品的数量为：（盒）.故选：B.【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，熟记分层抽样的概念即可.属于容易题.4.设函数，在用二分法求方程在内的近似解过程中得，则方程的解所在的区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据已知条件确定方程的解所在的区间即可.【详解】函数在上为增函数，又，则方程的解所在的区间为.故选：C.【点睛】本题主要考查了利用二分法求方程的解所在的区间问题.属于较易题.5.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，2件都是合格品的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题先列出所有的基本事件共10种，再列出目标任务的基本事件共3种，最后求概率即可.【详解】解：设5件产品中2件次品为、，剩下的3件合格品为、、，任取2件产品的基本事件为：、、、、、、、、、，共10种，其中2件都是合格品的基本事件为：、、，共3种.所以2件都是合格品的概率为：.故选：A.【点睛】本题考查利用古典概型求概率，是基础题.6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】运用中间量判断，运用中间量比较.【详解】，，，则．故选：B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．属于较易题.7.“”是“函数为奇函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先将根据函数为奇函数求参数，判断前后两个条件相互等价，即可解题.【详解】解：∵函数为奇函数，∴即，解得：，∴函数为奇函数，∴“”是“函数为奇函数”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数、判断是的什么条件，是中档题.8.已知为等边三角形，点分别是的中点，连接并延长到点使得，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的加法法则以及数乘运算即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的加法法则以及数乘运算.属于较易题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选明中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分）9.已知复数则（）A.是纯虚数 B.对应的点位于第二象限C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A正确；对于B选项，对应的点位于第四象限，故B错；对于C选项，，则，故C错；对于D选项，，则，故D正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.10.某品牌手机2019年1月到12月期间的月销量（单位：百万台）数据的折线图如下，根据该折线图，下列结论正确的是（）A.上半年的月销售量逐月增加B.与前一个月相比，销售量增加最多的是11月C.全年的平均月销售量为2.9百万台D.四个季度中，第三个季度月销售量波动最小【答案】BD【解析】【分析】根据折线图，逐个分析，计算选项，即可判断出结果．【详解】对A，1月销售量为2.4百万台，2月销售量为1.8百万台，显然是下降了，故选项A错误；对于选项B：与前一个月相比，11月销售量增加量为1.9百万台，是最多的，故选项B正确；对C，全年的平均月销售量为百万台，故选项C错误；对D，从折线图观察可得四个季度中，第三季度的折线最平缓，所以第三季度的月销售量波动最小，故选项D正确，故选：BD．【点睛】本题考查利用图表分析数据，考查简单合情推理，是基础题．11.将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则下列结论正确的是（）A.B.最小正周期为C.的图象关于对称D.在区间上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，对A，函数，故A错误；对B，最小正周期为，故B正确；对C，当，求得为最小值，故的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，单调递增，故D正确，故选：BCD．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．12.如图所示，正四棱锥的各棱长均相等，分别为侧棱的中点，则下列结论正确的是（）A.B.平面C.异面直线PD与MN所成的角为D.与平面成的角为【答案】BC【解析】【分析】利用已知条件即可判断选项A；利用线面垂直的判定定理即可判断选项B；利用平行关系，将异面直线所成的角转化成共面直线所成的角即可判断选项C；由线面垂直关系可得线面角，求解即可判断选项D．【详解】因为正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均相等，所以∠PCB＝60°，所以PC与BC不垂直，故A错误；因为正四棱锥P﹣ABCD的各棱长均相等，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以PB⊥AN，PB⊥CN，又AN∩CN＝N，所以PB⊥平面CAN，故B正确；因为MN∥AB，AB∥DC，所以MN∥DC，所以异面直线PD与MN所成的角为∠PDC，由已知可得∠PDC＝60°，所以异面直线PD与MN所成的角为60o，故C正确；因为PB⊥平面CAN，所以PC与平面ACN所成的角为∠PCN，又∠PCN＝30°，所以D错误．故选：BC．【点睛】本题主要考查线线，线面的位置关系的判断，考查异面直线，直线与平面所成的角的求解方法，属于中档题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知向量，，且，则实数的值为____________.【答案】【解析】【分析】由向量，故，即可得到答案.【详解】因为，，且，所以，解得故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14.下列数据是30个不同国家中每10000名患某种疾病的男性的死亡人数：1.53.25.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1这组数据的第70百分位数是_______________.【答案】27.【解析】【分析】把此30个数据按从小到大排列，计算出指数，计算可得.【详解】按从小到大排列此30个数据，指数，则第70百分位数是，故答案为：27.【点睛】计算第p百分位数的步骤如下：第1步：以递增顺序排列原始数据（即从小到大排列），第2步：计算指数i=np%，第3步：l）若i不是整数，将i向上取整，大于i的毗邻整数即为第p百分位数的位置，2)若i是整数，则第p百分位数是第i项与第（i+l）项数据的平均值.15.一组样本数据，4，5，6，的平均数为，标准差为4，则_______________.【答案】128.【解析】【分析】先根据题意建立方程组，再根据方程组化简整理得即可解题.【详解】解：根据题意：，化简整理得：故答案为：128.【点睛】本题考查数据的平均数与标准差，是基础题.16.如图1所示，在直角梯形中，，，，将沿折起到的位置，得到图2中的三棱锥，其中平面平面，则三棱锥的体积为___________,其外接球的表面积为___________,【答案】(1).(2).【解析】【分析】先由题意求出，取的中点为，连接，求出，利用面面垂直的性质定理求出平面，平面，得，取的中点为，连接，则就是外接球的半径，代入即可求出结果.【详解】因为，，，，得，故，取的中点为，连接，，，则，又平面平面，平面；，平面平面，且平面平面，而，平面，得，取的中点为，连接，就是外接球的半径，则三棱锥体积为；外接球的表面积为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查了利用面面垂直的性质定理得线面垂直，求三棱锥的体积公式以及求球的表面积公式.属于中档题.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.已知函数（1）解方程（2）求满足的的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分和两种情况讨论求解即可；（2）分和两种情况讨论求解即可.【详解】（1）因为，所以当时，，解可得；当时，，解可得（舍），故方程解为.（2）当时，恒成立，所以；当时，，解得，所以；综上可知.所以的的取值范围的.【点睛】本题考查的是分段函数的知识，考查了分类讨论的思想.属于较易题.18.如图所示，在三棱柱中，，且平面，点是上的一点，求证：（I）平面；（II）平面平面【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）本小题先证明，再结合平面，平面，证明平面；（2）本小题先证明平面，从而证明，再证明，结合，证明平面，最后证明平面平面【详解】解：（1）证明：∵是三棱柱，∴，又∵平面，平面，∴平面.（2）证明：∵平面，，平面，∴平面，又∵平面∴，∵是三棱柱，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形，∴，又∵，∴平面，再∵平面∴平面平面【点睛】本题考查利用线线平行证明线面平行，利用线面垂直证明面面垂直，是基础题.19.已知的三个内角的对边分别为，且，，.（I）求；（II）求边上的高.【答案】（I）；.（II）.【解析】【分析】（I）先利用正弦定理得到的关系，再利用余弦定理求出即可；（II）由（I）的结论，再结合余弦定理即可求出，利用同角三角函数的基本关系求出，利用边上的高为，即可得出结果.【详解】（I）因为，由正弦定理可得，即，又因为，，则，整理可得：.（II）由（I）可得，则，所以边上的高为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形.属于较易题.20.某公司有名员工，根据男女员工人数比例，用分层随机抽样的方法从中抽取了人，调查他们的通勤时间（上下班途中花费的总时间，单位：分钟），将数据按照，，，分成组，并整理得到如下频率分布直方图：（I）从总体中随机抽取人，估计其通勤时间小于分钟的概率；（Ⅱ）求样本数据的中位数的估计值；（Ⅲ）已知样本中通勤时间大于或等于分钟的人都是男员工，通勤时间小于分钟的人中有一半是男员工，求该公司男员工的人数.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求解即可；（Ⅱ）先根据频率分布直方图判断中位数落在哪一区间上，然后利用中位数将频率分布直方图的面积分为相等的两部分求解；（Ⅲ）先计算出样本中男员工的人数，计算出男员工所占的比例，然后估计总体中男员工的人数.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，样本中通勤时间小于的概率,故从总体中随机抽取人，估计其通勤时间小于分钟的概率也为.（Ⅱ）由图可知，样本的中位数位于之间，设中位数为，则，解得，故中位数为.（Ⅲ）样本中通勤时间大于或等于分钟的人的概率为，共人，通勤时间小于分钟的人的频率为，其中男员工有人，所以样本中男员工共有人，占样本容量的，故该公司男员工人数为人.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查用样本估计总体，难度一般.21.已知向量和，其中，函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）求在区间上的值域.【答案】（1）；（2）值域为【解析】【分析】（1）根据倍角公式、两角和与差公式，对函数进行化简，再利用的最小正周期为，即可求出的值；（2）由（1）知，可得，再根据正弦函数的性质，即可求出函数在时的取值范围.【详解】（1），.（2）时，，，在的值域为【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质、倍角公式及两角和与差公式，向量的数量积坐标运算.22.某中学高一年级由1000名学生,他们选着选考科目的情况如下表所示：科目人数物理化学生物政治历史地理300√√√200√√√100√√√200√√√100√√√100√√√从这1000名学生中随机抽取1人，分别设：A=“该生选了物理”；B=“该生选了化学”；G=“该生选了生物”；D=“该生选了政治”；E=“该生选了历史”；F=“该生选了地理”.（1）求.（2）求.（3）事件A与D是否相互独立？请说明理由.【答案】（1），；（2），；（3）相互独立，理由见解析；【解析】【分析】（1）B＝“该生选了化学”，得1000名学生中选化学的学生有500名，由此能求出P（B）；D＝“该生选了政治”；E＝“该生选了历史”；F＝“该生选了地理”．1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200名，由此能求出P（DEF）．（2）C＝“该生选了生物”，E＝“该生选了历史”，1000名学生中选生物或历史的学生有800名，由此能求出P（C∪E）；B＝“该生选了化学”，F＝“该生选了地理，1000名学生都选化学或地理，由此能求出P（B∪F）．（3）A＝“该生选了物理”，D＝“该生选了政治”，由题意得选择物理与否与选择政治无关，选择政治与否与选择物理无关，从而事件A与D相互独立．【详解】（1）B＝“该生选了化学”，由题意得1000名学生中选化学的学生有：300+100+100＝500（名），D＝“该生选了政治”；E＝“该生选了历史”；F＝“该生选了地理”．由题意得1000名学生中同时选政治、历史、地理的学生有200（名），（2）C＝“该生选了生物”，E＝“该生选了历史”，由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有：300+200+200+100＝800（名），B＝“该生选了化学”，F＝“该生选了地理，由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有：300+200+100+200+100+100＝1000（名），（3）A＝“该生选了物理”，D＝“该生选了政治”，事件A与D相互独立．理由如下：由题意得选择物理与否与选择政治无关，选择政治与否与选择物理无关，∴事件A与D相互独立．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件等基础知识，是基础题．人教版高一年级第二学期期末考试数学试题（二）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.时间经过5小时，时针转过的弧度数为（）A. B. C. D.2.已知，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，且，则（）A. B. C. D.4.下列选项中描述的空间角类型与其它三项不同的是（）A.短道速滑运动员在弯道时由于离心力的作用，身体与冰面产生通常小于的角度B.为保证安全性和舒适性，一般客机起飞时会保持的仰角C.市场上主流笔记本电脑屏幕开合角度一般在，超过这个角度容易导致转轴损坏D.春分时节，威海正午时分太阳的高度角约为5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则的值为（）A. B. C. D.6.古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A.立方丈 B.立方丈C.立方丈 D.立方丈7.已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则8.如图所示，在平面四边形中，，，，，现将沿边折起，并连接，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下列选项中，与的值相等的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.的最大值为B.的最小正周期为C.是偶函数D.将图象上所有点向左平移个单位，得到的图象11.已知非零平面向量，,,则（）A.存在唯一的实数对，使 B.若，则C.若，则 D.若，则12.已知正四棱柱的底面边长为，，则（）A.平面B.异面直线与所成角的余弦值为C.平面D.点到平面的距离为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知单位向量，若，则与的夹角为__________.14.设分别为三个内角的对边，已知，，，则角__________.15.函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为_____．16.正方体的棱长为，则平面与平面所成角为_______；设为的中点，过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）当时，求的取值范围.18.设分别为三个内角的对边，若.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.19.在正三棱柱中，为中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面距离.20.中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.21.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，，求直线与平面所成角的正弦值.22.天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？（2）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱的直线距离；（3）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.答案解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.时间经过5小时，时针转过的弧度数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据时针每转过一个小时，其转过的度数为，故可得时针转过的弧度数．【详解】时针每过一个小时，其转过度数为，故时间经过5小时，时针转过的弧度数.故选：A．【点睛】本题考查弧度数的计算，注意旋转的方向对角度正负的影响，本题属于基础题．2.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系，由题中条件，即可求出结果.【详解】因为，，所以，因此，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查由余弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.3.已知向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据已知建立方程，再求解即可.【详解】解：∵向量，，且，∴，解得：，故选：D.【点睛】本题考查利用向量平行求参数，是基础题.4.下列选项中描述空间角类型与其它三项不同的是（）A.短道速滑运动员在弯道时由于离心力的作用，身体与冰面产生通常小于的角度B.为保证安全性和舒适性，一般客机起飞时会保持的仰角C.市场上主流笔记本电脑屏幕开合角度一般在，超过这个角度容易导致转轴损坏D.春分时节，威海正午时分太阳的高度角约为【答案】C【解析】【分析】根据线面角、二面角的概念，逐项判断即可得出结果.【详解】A选项，身体与冰面所成的角为线面角；B选项，客机起飞时所保持的仰角是线面角；C选项，电脑屏幕开合角度是二面角；D选项，太阳的高度角是视线与地平面所成的角，属于线面角.故选：C.【点睛】本题主要考查线面角和空间角的概念，属于基础题型.5.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题意求出，，再求即可.【详解】解：∵终边与单位圆交于点，∴，，∴，故选：B.【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，是基础题.6.古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（）A.立方丈 B.立方丈C.立方丈 D.立方丈【答案】B【解析】【分析】先利用上下底面圆的周长分别求得圆的半径，再利用圆台体积公式计算即可.【详解】由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），所以它的体积为所以(立方丈).故选：B.【点睛】本题考查了圆台的体积公式，属于基础题.7.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】分析】根据各选项中的前提考虑相应的各种可能的结果，从而可得正确的选项.【详解】对于A，若，则或相交，对于B，若，或相交或异面，对于C，若，则必成立，对于D，若，则或，故选：C.【点睛】本题考查空间中与点、线、面的位置关系有关的命题的判断，注意根据题设条件考虑所有可能的结果，本题属于基础题.8.如图所示，在平面四边形中，，，，，现将沿边折起，并连接，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用条件判断平面ACD平面ABC时体积最大，再计算知空间中AB对的角，即判断AB为外接球的直径，计算表面积即可.【详解】因为的面积不变，要使体积最大，需D到平面ABC的距离最大，即当平面ACD平面ABC时，体积最大，因为等腰直角三角形，取AC中点E,则DE平面ABC，高为DE=最大，AC=，则Rt中，BC=2，AB=4，所以EB=，故Rt中BD=，所以中，即得空间中即AB为球直径，故半径，所以外接球的表面积.故选：D.【点睛】本题考查了空间几何体外接球的表面积问题，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下列选项中，与的值相等的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】先计算已知正弦值，再逐一计算选项，判断是否相等即可.【详解】首先，下面计算选项：A选项中，，不相等；B选项中，，相等；C选项中，，相等；D选项中，，不相等；故选：BC.【点睛】本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题.10.已知函数，则（）A.的最大值为B.的最小正周期为C.是偶函数D.将图象上所有点向左平移个单位，得到的图象【答案】AC【解析】【分析】先将原式整理，得到，进而可得最大值，判定A正确；得出最小正周期，判定B错；根据函数奇偶性，判定C正确；根据函数图象平移原则，判定D错.【详解】，因为，所以，因此，则，故A正确；最小正周期为，故B错；，所以是偶函数，即C正确；将图象上所有点向左平移个单位，得到，故D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查求三角函数的最值，最小正周期，判定三角函数的奇偶性，求平移后的解析式，属于常考题型.11.已知非零平面向量，,,则（）A.存在唯一的实数对，使 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.【详解】A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A错；B选项，因为，,是非零平面向量,若，则，，所以，即B正确；C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由不能推出；如与同向，与反向，且，则，故C错；D选项，若，则，，所以，即D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.12.已知正四棱柱的底面边长为，，则（）A.平面B.异面直线与所成角的余弦值为C.平面D.点到平面的距离为【答案】ACD【解析】【分析】因为，平面，平面，所以平面，故判断A选项正确；先判断异面直线与所成角即为异面直线与所成角，再求出，，，最后求出，故判断B选项错误；因为，，，所以平面，故判断C选项正确；先判断点到线段的距离就是点到平面的距离，再求出到线段的距离为，故判断D选项正确.【详解】根据题意作图如下，A选项：在正四棱柱中，因为，平面，平面，所以平面，故A选项正确；B选项：在正四棱柱中，因为，所以异面直线与所成角即为异面直线与所成角，在中，因为，，，所以，故B选项错误；C选项：在正四棱柱中，因为，，，所以平面，故C选项正确；D选项：在正四棱柱中，因为平面，在平面内点到线段的距离就是点到平面的距离，在中，到线段的距离为，所以点到平面的距离为，故D选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的判断，异面直线所成的角，点到面的距离，是中档题.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知单位向量，若，则与的夹角为__________.【答案】【解析】【分析】根据向量数量积的运算翻法则，先得到，再由向量夹角公式，即可得出结果.【详解】因为为单位向量，，所以，，因此，即向量与的夹角为，则，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量的夹角公式，以及向量的数量积运算法则即可，属于基础题型.14.设分别为三个内角的对边，已知，，，则角__________.【答案】或【解析】【分析】根据正弦定理，由题中条件，即可得出结果.【详解】因为，，，由正弦定理可得：，则，所以或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型.15.函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为_____．【答案】y＝2sin（2x）．【解析】【分析】根据图象先求出，然后利用五点对应法进行求解即可.【详解】由图象知，由五点对应法得，解得，即函数的解析式为.故答案为：.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合五点对应法是解决本题的关键，属于基础题．16.正方体的棱长为，则平面与平面所成角为_______；设为的中点，过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为__________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先连接，根据题意，得到，，得出即等于平面与平面所成的角，即可求出二面角；取中点为，连接，，判定梯形即为过点，，的平面截该正方体所得截面，根据题中条件，求出梯形面积，即可得出结果.【详解】连接，在正方体中，易知且，则四边形为平行四边形，即平面，因为正方体中，，，且平面，则侧面，所以，又平面平面，则即等于平面与平面所成的角，所以，即；取中点为，连接，，因为为的中点，则，又，则，即，，，四点共面，即梯形即为过点，，的平面截该正方体所得截面，因为正方体棱长为，则，，所以，，，即梯形为等腰梯形，分别作于点，于点，则，所以，因此梯形的面积为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查求二面角的大小，考查求正方体截面的面积，根据几何法求解即可，属于常考题型.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换，先将函数解析式化简整理，得到，由正弦函数的单调区间列出不等式求解，即可得出结果；（2）设，由题意，求出，根据正弦函数的性质，即可求出值域.【详解】（1），由，解得所以函数单调递增区间为，（2）设，∵，∴，∴，∴，所以当时，函数的取值范围为.【点睛】本题主要考查求正弦型函数的单调区间，以及求正弦型函数在给定区间的值域，涉及两角和的余弦公式以及辅助角公式的应用，属于常考题型.18.设分别为三个内角的对边，若.（1）求角；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）先由正弦定理，根据题中条件，得到，化简整理得到，即可求出结果；（2）根据（1）的结果，由三角形面积公式，得到，再由余弦定理，求出，即可得出结果.【详解】（1）由及正弦定理可得，由代入上式，整理得，因为所以，因为，所以角.（2）∵的面积为，∴，得，由，可得，即，，解得，所以求的周长为.【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.19.在正三棱柱中，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）可证明平面，从而得到平面平面（2）利用等积法可求点到平面的距离.【详解】（1）∵正三棱柱，∴平面,∴,∵为的中点，∴,又,∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）过点作，为垂足，则，∵平面平面，∴平面，∴，设点到平面的距离为，∵,∴,由（1）可知为直角三角形，可求得，∴,可得,∴点到平面的距离.【点睛】面面垂直的判定可由线面垂直得到，而线面垂直可通过线线垂直得到，注意面中两条直线是相交的．由面面垂直也可得到线面垂直，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.求点平面的距离，可直接根据已知条件作出该距离，也可以利用等积法来求该距离.20.在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.21.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）若，，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）取得中点，连接，，根据线面平行的判定定理，即可证明线面平行；（2）连接交于点，根据线面垂直的判定定理，由题中条件，得到平面，进而可得线线垂直；（3）过作，为垂足，连接，由（2）可知平面，推出平面，得到为直线与平面所成角，根据题中数据，求出，，进而可得线面角的正弦值.【详解】（1）证明：取得中点，连接，，∵为的中点，∴且，∵为的中点且四边形为菱形，∴且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）连接交于点，∵四边形为菱形，∴，∵，∴，又为平面内的两条相交直线，∴平面，又平面，∴.（3）过作，为垂足，连接，由（2）可知平面，所以平面平面，而平面平面，所以平面，因此直线在平面的射影为，即为直线与平面所成角，∵四边形为菱形边长为，，∴，,由题意可知为直角三角形，易得，又，∴，∴，由平面可知为直角三角形，∴，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查证明线面平行，考查证明线线垂直，考查求线面角的正弦值，熟记线面平行和线面垂直的判定定理，以及几何法求线面角即可，属于常考题型.22.天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为米，最高点距离地面米，相当于层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了个透明座舱，每个座舱最多可坐人，整个摩天轮可同时供余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要分钟.（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问分钟后他距离地面的高度是多少？（2）若甲乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱，求，两个座舱的直线距离；（3）若游客在距离地面至少米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.【答案】（1）37.5米；（2）；（3）分钟.【解析】【分析】（1）设摩天轮转动分钟（）时游客的高度为，则，根据该函数可得分钟后他距离地面的高度.（2）利用余弦定理可求的长.（3）令，通过解三角不等式可得摩天轮旋转一周能有分钟最佳视觉效果.【详解】（1）设摩天轮转动分钟（）时游客的高度为，摩天轮旋转一周需要分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为，由题意可得，，当时，，所以游客分钟后距离地面的高度是米.（2）由题意可知，，在中，，（3）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，应满足，化简得，因为，所以所以，解得，所以摩天轮旋转一周能有分钟最佳视觉效果.【点睛】本题考查三角函数的应用以及余弦定理的应用，注意根据题设条件合理建模，本题属于中档题.人教版高一年级第二学期期末考试数学试题（三）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（）A. B. C. D.4.在中，点满足，则（）A. B.C. D.5.二十四节气（The24SolarTerms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置，根据上述描述，从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.已知一个圆柱侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.8.若函数的最小正周期为，则（）A. B.C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，则10.下列叙述正确的是（）A.已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面B.已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点C.已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线D.已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则11.在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则是等边三角形D.若面积是，则该三角形外接圆半径为412.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A.B.当时，函数单调递增C.当时，点到轴的距离的最大值为D.当时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，的共轭复数为，则________.14.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，且高为2，则该正四棱锥的斜高为________.15.若函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为________.16.已知两个非零向量，，，若，则________；若存在两个不同，使得成立，则正数的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中.（1）若，求的值；（2）若，求的值.18.某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是.（1）求正方体石块的棱长；（2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积.19.已知向量，，.（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.20.从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知中，，，分别是内角，，所对的边，且.（1）求角；（2）已知，且________，求值及的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）21.某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深入.近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域（如图所示），其中三角形区域为健身休闲区，四边形区域为文娱活动区，，，，，，为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，，，.（1）求道路的长度；（2）求道路，长度之和最大值.22.已知函数的图象如图所示.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.（i）求函数的最大值；（ii）若函数在内恰有2015个零点，求、的值.答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先将分子的1化为，然后约分化简.【详解】因为，故选：B【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，虚数单位的性质，属于容易题.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,故选D3.已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的面积，得到答案.【详解】由题意，某扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式，可得所以此扇形的面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，其中解答中熟记扇形的面积公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4.在中，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知条件可得，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.【详解】由点满足，可得,由图可知,故选：A【点睛】本题考查平面向量的加减法法则的运用，属于简单题.5.二十四节气（The24SolarTerms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动所到达的一个位置，根据上述描述，从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，得到从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度，即可求解.【详解】根据题意，立秋时夏至后的第三个节气，故从从夏至到立秋对应地球在黄道上运行了.故选：B.【点睛】本题考查了合情推理的应用，着重考查学生阅读理解能力，以及计算能力，属于基础题.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，代入即可求解.【详解】因为，由.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的化简、求值，其中解答中熟记余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.7.已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设圆柱的底面半径为，高为，则由题意得，，解方程组，再根据圆柱的体积公式求解即可．【详解】设圆柱的底面半径为，高为，∵圆柱的侧面积等于表面积的，且其轴截面的周长是24，∴，解得，∴圆柱的体积为，故选:D．【点睛】本题主要考查圆柱的表面积公式与体积公式，属于基础题．8.若函数的最小正周期为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得，求得函数在上单调递增，结合，，利用单调性作出比较，即可求解.【详解】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，合理应用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.若，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，，则D若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断．【详解】对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确；对于，当且时，，但，可以不相等，故错误；对应，若，，则方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正确；对应，若，则，，，故正确．故选：【点睛】本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．10.下列叙述正确的是（）A.已知，是空间中的两条直线，若，则直线与平行或异面B.已知是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或与只有一个公共点C.已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线D.已知直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，则【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据空间直线位置关系的定义即可判断；对于B，根据线面位置关系的定义即可判断；对于B，根据平面与平面的位置关系的定义即可判断；对于D，根据线面垂直的判定定理即可判断【详解】解：对于A，根据空间中直线的位置关系有：相交、平行、异面，由题意可知，说明直线与不相交，即直线与平行或异面，故A正确；对于B，根据直线与平面的位置关系有：直线与平面相交、直线与平面平行、直线在平面内，因为，所以直线与平面不平行，即直线与平面相交或直线在平面内，从而得或与只有一个公共点，故B正确；对于C，因为平面与平面的位置关系有：相交或平面，因为，是空间两个不同的平面，而，所以平面与相交，即，必相交于一条直线，故C正确；对于D，当直线与平面相交，且垂直于平面内的无数条直线，若这些直线中没有相交直线，则不一定垂直平面，故D不正确，故选：ABC【点睛】此题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的理解和应用，以及线面垂直的判定定理的理解，属于中档题.11.在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（）A.B.若，则C.若，则是等边三角形D.若的面积是，则该三角形外接圆半径为4【答案】AC【解析】【分析】对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出；对于，利用正弦定理可求得，进而可得；对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得；对于，根据三角形面积公式求得，利用余弦定理求得，进而由正弦定理求得．【详解】解：由正弦定理可将条件转化为，因为，故，因为，则，故正确；若，则由正弦定理可知，则，因为，则，故错误；若，根据正弦定理可得，又因为，即，即有，所以，因为，则，故，整理得，即，解得，故，则，即，所以是等边三角形，故正确；若的面积是，即，解得，由余弦定理可得，即设三角形的外接圆半径是，由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，故选：AC．点睛】本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．12.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A.B.当时，函数单调递增C.当时，点到轴的距离的最大值为D.当时，【答案】AD【解析】【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.【详解】由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，代入可得＝6sinφ，∵，∴φ＝－.故A正确；所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；当时，，此时，点，，故D正确，故选：AD．【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数，的共轭复数为，则________.【答案】1【解析】【分析】根据共轭复数的概念，先求出复数的共轭复数，再根据复数的乘法运算，即可求出结果.【详解】复数的共轭复数为所以.故答案为：1.【点睛】本题考查了共轭复数的概念，以及复数的乘法运算，属于基础题.14.已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，且高为2，则该正四棱锥的斜高为________.【答案】【解析】【分析】由题意画出草图，设，结合高和等边三角形的性质，利用勾股定理，可求，由此即可求出结果.【详解】如图，四棱锥为正四棱锥，由题意可知，高，取中点，连接，，则为正四棱锥的斜高.设，则，在等边三角形中，由，得在中，，由勾股定理，可得，解得所以该正四棱锥的斜高为故答案为：.【点睛】本题考查棱锥的结构特征，考査运算求解能力，是基础题.15.若函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位后，所得图像关于轴对称，则的最小正值为________.【答案】【解析】【分析】利用函数的图像变换规律，正弦函数的周期性、图像的对称性，求得和的值，即可得解【详解】解：因为函数的最小正周期为，所以，所以其图像向左平移个单位后，可得的图像，因为所得图像关于轴对称，所以，即，所以的最小正值为，故答案为：【点睛】此题考查函数的图像变换规律，正弦函数的周期性、对称性，属于基础题.16.已知两个非零向量，，，若，则________；若存在两个不同的，使得成立，则正数的取值范围是________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据数量积的坐标运算公式计算，分离参数可得，根据有两解求出的范围，从而得出的范围．【详解】，，故，．又，，．由可得：，令，，，则在，上单调递增，在，上单调递减，且，，．存在两个不同的，使得成立，故存在两个不同的，使得成立，，，．故答案为：；，【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用三角函数的定义；（2）先求正切值，再把弦化切.【详解】（1）由题意知，，因为，所以.解得，所以.（2）当时，，所以.【点睛】本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系.18.某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是.（1）求正方体石块的棱长；（2）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设正方体石块的棱长为，求出每个截去的四面体的体积，再由等体积法列式求解值；（2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大，可得正方体的棱长正好是球的直径，再由球的表面积公式求解．【详解】（1）设正方体石块的棱长为，则每个截去的四面体的体积为．由题意可得，解得．故正方体石块的棱长为；（2）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的表面积最大．此时正方体的棱长正好是球的直径，球形石凳的表面积．【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．19.已知向量，，.（1）若与向量垂直，求实数的值；（2）若向量，且与向量平行，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出，解方程即得解；（2）由已知得，解方程即得解.【详解】（1）由已知得，，所以，即，解得；（2）由已知得，因为，所以，解得【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查向量垂直平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知中，，，分别是内角，，所对的边，且.（1）求角；（2）已知，且________，求的值及的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求出角；（2）若选①，则可求出角，再利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先利用正弦定理求出，从而可求出，再利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求出结果【详解】（1）因，由正弦定理得，即，得，又，所以；（2）选择①时：，，故；根据正弦定理，故，故.选择②时：，根据正弦定理，故，解得，，根据正弦定理，故，故.【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题.21.某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深入.近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域（如图所示），其中三角形区域为健身休闲区，四边形区域为文娱活动区，，，，，，为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，，，.（1）求道路的长度；（2）求道路，长度之和的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）如图，连接，由余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即得的长度；（2）设，利用正弦定理求出，再利用三角函数求和的最大值.【详解】（1）如图，连接，在中，由余弦定理得，所以，因为，所以，又，所以，在中，，，，由正弦定理得，所以，或（舍去），所以，，得，即的长度是.（2）设，因为，所以，在中，由正弦定理得，因为，所以，，所以，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，即道路，长度之和的最大值为.【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22.已知函数的图象如图所示.（1）求函数单调递增区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.（i）求函数的最大值；（ii）若函数在内恰有2015个零点，求、的值.【答案】（1），；（2）（i）；（ii），.【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数的单调递增区间.（2）根据函数的图象变换规律，求得的解析式.（i）从而得到的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域求得在的最大值.（ii）令,令，得，易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，再分情况讨论求出求、的值.【详解】（1）由图象可得，最小正周期，则，由，所以，，又，则易求得，所以，由，，得，，所以单调递增区间为，.（2）（i）由题意得，，所以的最大值为；（ii）令，可得，令，得，易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，①当且或者且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；②当且0时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；③当且，当时，，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有2013个根，由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，因此，不合题意，舍去；④当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有2013个根，由于方程在区间上有两个根，方程在区间上有一个根，此时，满足题意；因此，，，得，综上，，.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，正弦函数的增区间，函数的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.人教版高一年级第二学期期末考试数学试题（四）一、选择题1.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面2.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（）A. B. C. D.4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（）A. B. C. D.5.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.6.中，已知，，，则（）A.4 B.2 C.3 D.7.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为（）A. B.或C. D.或8.四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据下面四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）（注：一组数据的平均数为，它的方差为）A.平均数为2，方差为2.4 B.中位数为3，众数为2C.平均数为3，中位数为2 D.中位数为3，方差为2.89.棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（）（注：球的体积，其中为球的半径）A. B.C. D.10.已知的三个内角的对边分别为.向量，，若，则（）A. B. C. D.二、填空题11.已知甲、乙两名射击运动员射击中靶概率分别为0.7和0.8，且甲、乙两人射击的结果互不影响.若甲、乙两人各射击一次，则两人都中靶的概率为_______.12.已知四面体各棱长均为1，则这个四面体的表面积为_______.13.已知，是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数的值为______.14.在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为____________.15.已知中，为边上的点，且，若，则______.三、解答题16.已知是虚数单位，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若复数的虚部为2，且的虚部为0，求.17.从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩（分）分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：，，...，后，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求图中实数的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生600名，试根据以上数据，估计该校高一年级数学检测成绩不低于80分的人数.18.在中，内角所对的边分别为，已知，，.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求角的正弦值.19.己知某区甲、乙、丙三所学校教师志愿者人数分别为240，160，80.为助力疫情防控，现采用分层抽样的方法，从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师，参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.（Ⅰ）求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数；（Ⅱ）设抽出的6名教师志愿者分别记为，，，，，，现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取2名教师志愿者来自同一所学校”，求事件发生的概率.20.如图，在三棱锥中，点，分别是棱，的中点，且，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：.答案解析一、选择题1.下列命题正确的是（）A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【解析】【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.2.复数（是虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项.【详解】复数对应的坐标为，在第四象限.故选：D【点睛】本小题主要考查复数对应点所在象限的判断，属于基础题.3.用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的面积.【详解】设原图的面积为，直观图的面积为，则.正方形的面积为，所以其直观图的面积为.故选：A【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题.4.一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用古典概型概率计算公式，求得所求的概率.【详解】依题意，这个球中红球和白球各有个概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，属于基础题.5.已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】利用向量夹角公式求得向量与的夹角的余弦值，由此求得向量与的夹角.【详解】设向量与的夹角为，则，由于，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，属于基础题.6.在中，已知，，，则（）A.4 B.2