山东省菏泽市2024届高三年级下册3月月考数学试题含答案

荷泽市第三中学2024届高三下学期3月份月考数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.抛物线V=2内过点（2,2）,则焦点坐标为（）

A.（0,0）［刀］C［刀］D.（1,0）

2.已知平面向量a=（3,2）,〃=（一2,1）,若+则丸=（）

4334

A.----B.--C.—D.一

5555

3.已知角以0°<1<360°）终边上A点坐标为（sin310°,cos310°）,则e=（）

A.130°B.140°C.220°D,230°

4.设等比数列｛4｝的首项为i,公比为q,前几项和为s,,,若｛s“+i｝也是等比数列，则4=（）

A.-2B.1C.1D.2

5.过点p（—2,0）作圆c：f+y2—4x—4=0的两条切线，切点分别为A,B,则四边形24cB的面积为

（）

A.4B.472C.8D.872

6.设x>0,函数丁=尤2+%-7,丁=2*+%-7,丁=1082%+%—7的零点分别为“,"。，贝U()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

7.设是函数/(%)=三+依2+x+1的两个极值点，若玉+3%2=-2,则。=()

A.OB.1C.2D.3

8.已知〃x)=ae*T—lnx+lna,g(x)=(l—e)%,当x>0时，ef(x)>g(x),则。的取值范围为()

1

B.一，+8C.[1,-Hx))D.[e,+oo)

e

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9已知函数〃x)=A^sinx+cosx,则()

A.y=/(%)最大值为2B.y=/(x)的图象关于点对称

C.y=/(%)在10弓)上单调递增D.直线％=乌是y=/(x)图象的一条对称轴

JT

10.在ABC中，ZACB=-,AC=BC=26,。是A3的中点.将ACD沿着CD翻折，得到三棱

2

锥A—BCD,则()

ACD±AB.B.当AO5。时，三棱锥A—BCD的体积为4.

2兀

C.当43=2百时，二面角A—CD—5的大小为

2兀

D.当47)3=—时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为20兀.

3

11.已知点4(—1,0),5(1,0),直线AM5M相交于点且它们的斜率之和是2.设动点M(x,y)的轨

迹为曲线C,贝！I()

A.曲线C关于原点对称

B.x的范围是｛x|x00｝,y的范围是R

c曲线c与直线y=x无限接近，但永不相交

D.曲线C上两动点P(a,〃),Q(c,d),其中a<0,c>。，则归。1mhi=2亚行—2

第n卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

223

12.已知双曲线T―卓=1(。〉0］〉0)的渐近线方程为7=?^x，则其离心率为

-------，〃为奇数，

13.记S,,为数列｛qj的前〃项和，已知%=<72(九+2)则％=.

〃为偶数，

14.已知4,4,4,4,A五个点，满足：AA+i，4+6+2=0("=123),

I4A+i11A+1A+21=n(«=1,2,3),则14Al的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2

15.已知/(x)=(2x+l)ln%—1,曲线在无=1处的切线方程为丁=依+氏

(1)求〃涉;

(2)证明/(%)4双+瓦

16.①$3=7%,②。2=；，③%，。3，6%成等差，这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答

本题.

设正项等比数列｛4｝的前几项和为S”，满足.

(1)求4；

(2)求数列｛wj的前几项和北.

17.在一ABC中，点M,N分别为3C,AC的中点，AM与BN交于点G,AM=3,ZWLB=45°.

(1)若AC=56，求中线BN的长；

(2)若ABC是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围.

18.某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数

量y(单位：万人)，并根据统计数据绘制了如图所示的散点图(x表示年份代码，年份代码1-6分别代表

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

(1)根据散点图判断丁=引迎+。与y=e0+&(a,女c,d均为常数)哪一个适合作为》关于x的回归方程

类型；(给出结论即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的结果及表中的数据，求出丁关于*的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量；

(3)从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为X,求X的分布列和数学期望.

参考数据：

666

£（为-可9

y元）（y-歹）元）（吗一刃）

i=lZ=1i=I

5.151.5517.520.953.85

16

244254

其中诙=一12吗，吗=如y;,e'«11.47,e«12.68.

6,=i'

参考公式：对于一组数据其回归直线V=O+，”斜率和截距的最小二乘估

n

计分别为：B=上匕------------,a=v-pu.

E（M，-«）2

Z=1

19.在平面直角坐标系xQv中，重新定义两点4（%,%）,5（孙％）之间的“距离”为

=昆-力+|%-%|，我们把到两定点耳（―。,0）,我（c,0）（c>0）的“距离”之和为常数2a（a>C）的点

的轨迹叫“椭圆

（1）求“椭圆”的方程;

（2）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

（3）设c=La=2,作出，，椭圆，，的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为CC的左顶点为A,过工作直线交C

于帆N两点，-AMN的外心为Q,求证：直线。。与跖V的斜率之积为定值.荷泽市第三中学

2024届高三下学期3月份月考数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.抛物线产=2川过点（2,2）,则焦点坐标为（）

A.（0,0）B.,，0]仁IMD（1，0）

【答案】C

【解析】

【分析】代入所过的点可求。的值，从而可求焦点坐标.

【详解】因为抛物线产=2四过点（2,2）,所以4=4p,故。=1,

故y2=2x,故焦点坐标为

故选：C.

2.已知平面向量a=(3,2),&=(-2,1),若(a+X)),人，贝!]/[=()

4334

A.--B.--C.-D.一

5555

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算，求解义的值.

详解】平面向量a=(3,2),Z?=(-2,l),则a+Xb=(3—242+彳)，

由(a+XZ?)_LZ?,则(4+/1/?)•/?=—2(3—22)+2+X=0,解得

故选：D.

3.已知角。(0°<1<360°)终边上A点坐标为(sin310°,cos310°),则a=()

A.130°B.140°C.220°D,230°

【答案】B

【解析】

【分析】先确定角a的终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.

【详解】sin3100<0,cos310°>0,

所以角a的终边在第二象限,

cos3100cos(3600-50°)cos500

又因为tana=-------=——)---------七

sin310°sin(3600-50°)-sin50°

cos(140°-90°)sin140°i

------4=---=tan140,

-sin(140°-90°)cos140°

且0°<e<360°,

所以a=140°.

故选：B.

4.设等比数列｛4｝的首项为1,公比为心前〃项和为S”若｛S,,+l｝也是等比数列，则4=

A-2B.IC.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】由⑸+1｝是等比数列，得(s“+i)2=(s_i+i)(s.+i+i),故可求q.

【详解】由题意可知，％=1,“2=。，a^=q-,

若｛4｝常数列，则及+1=2,S?+1=3,S3+1=4,不为等比数列，与题意不合;

a"-1

若贝=q•工一-，-1

q-1q-1

若｛S〃+l｝也是等比数列，则(S“+l)2=(Si+l)(S〃+]+l),〃22/EN*.

即_q"-'+g-2.+g-20

Iq-iJg-iq-i

2q〃(q_2)=(q-2)+0用)分—2)(q_lj=0,

解得4=2或q=l(舍去).

故选：D.

5.过点？(—2,0)作圆C：x2+y2—4x—4=0的两条切线，切点分别为A,B,则四边形B4cB的面积为

()

A.4B.472C.8D.8近

【答案】C

【解析】

【分析】根据两点距离公式可得IPCI，即可由勾股定理求解IP例，由三角形面积公式即可求解.

【详解】由炉+丁―4x—4=0,得(x—2)2+/=8,则圆心(2,0)/=2/，

则|PC|=4,则\PB\=V16-8=272,

则四边形PACB的面积为2S配。=2xgx2&x2、/5=8.

故选：C

6.设x>0,函数y=f+x—7,丁=2*+%-7,丁=1082%+%-7的零点分别为“,仇。，贝i]()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】由题意见4C分别为函数y=-X+7与函数丁=/4=2;丁=1082》图象交点的横坐标，作出函

数y=/,丁=—%+7,y=2\y=log2x的图象，结合函数图象即可得解.

2r

【详角军］分另(］令y=x+x-7=0,_y=2+x-7=0,_y=log2x+x-7=0,

2

则%=—x+7,2'=—x+7,logQx=-x+7,

则。，dc分别为函数y=-％+7与函数y=/»=2:y=log2X图象交点的横坐标，

2x

分别作出函数y=x,y=~x+7,y=2,y=log2x的图象，如图所示，

由图可知，a<b<c.

故选：A.

7.设x是函数/(x)=d+G?+x+l的两个极值点，若%+3々=-2,贝i］a=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果.

【详解】由题意得/'(£>=3f+2依+1,又为是函数的两个极值点，

则看,4是方程3/+2℃+1=0的两个根，

2a1

故X]+%2———,xx=一,

31293

又石+3%=_2,则石=_3々_2,即工/=(—3/-2)%2=g，则X21

3

12〃

则再=-1,所以西+%2=-耳-1二——>解得。=2,

此时A=4?—4x3xl=4>0.

故选：C.

8.已知/(x)=ae"T—lnx+ln4,g(x)=(l—e)x,当x>0时,ef(x)>g(x),则。的取值范围为()

B.一，+8c.[l,+00)D.[e,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】设b(x)=e，+ex,利用同构得到网x+lna”-lnx),结合析⑺=升+=的单调性得到

lna>lnx-x,构造/z(x)=lnx—x,求导得到其单调性和最值，得到最大值为/z(l)=-1,故

ln«>-l,求出答案.

【详解】由题意得，当x>0时，ef(x)-g(x)=aex-elnx+elnfl-(l-e)x>0,

即ex+lna+e(x+ln«)>elnx+x=etax+elnx,x>0,

令夕(%)=6'+ex,则F(x+lna)>F(ln%),

因为尸(x)=e*+e>0恒成立，故/⑴=e*+ex在R上单调递增，

故x+ln。21nx，

即InaNlnx-x,

令/z(x)=lnx—x,则K(%)=—1=——-,

xx

当x«O,l)时，”(x)>0,7z(%)=lnx-x单调递增，

当X£(l,+oo)时，"(x)<0,7?(%)=In尤一%单调递减，

故"(%)=In%—%在工=1处取得极大值，也是最大值，最大值为可1)=-1,

故InaN-l,解得

e

故选：B

【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现e%与Inx,通常使用同构来进行求解，本题难点是

将acx-elnx+elna-(l-e)x>0变形得至！Jex+lntz+e(x+ln6z)>elnx+x=elnx+elnx,从而构造

/(x)=e%+ex进行求解.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.已知函数=6sinx+cosx,则()

A.y=/(x)的最大值为2

B.y=/(x)的图象关于点对称

C.y=/(x)[o，t]上单调递增

D.直线x=g是y=/(x)图象的一条对称轴

6

【答案】AC

【解析】

【分析】化简得/(x)=2sin[x+E)分析y=/(x)的最大值，对称中心，对称轴，单调性判断各个选

项.

[详解]/(x)=A/3sinx+cosx=2sin+^,

对A：y=/(X)的最大值为2,故A正确；

对B：因为/[m]=2sin[；+m]=2w0,所以[三刀]不是y=/(x)的对称中心，故B错误；

兀)।7t7ti।7t711

[时，龙+/上升而y=2sin/在上为增函数,故y=/(x)在

[o，w]上单调递增，故C正确；

对D：/1W]=2sin[W+W]=6w±2,所以直线x=看不是y=/(同图象的一条对称轴，故D错

误；

故选：AC

10.在一ABC中，ZACB=~,AC=BC=2我,。是A3的中点.将ACD沿着CD翻折，得到三棱

锥A—BCD,则()

A.CDIAB.

B.当4'。，皮）时，三棱锥A—BCD的体积为4.

2兀

C.当48=2百时，二面角A—CD—5的大小为三.

2兀

D.当=—时，三棱锥A—5CD的外接球的表面积为20兀.

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据线面垂直的性质定理判断A；根据等体积法可判断B；确定二面角A-CD-6的平面角，

解三角形可得其大小，判断C；确定三棱锥A-BCD的外接球的球心位置，求出外接球半径，即可求得

外接球表面积，判断D.

【详解】对于A,_ABC中，NAC3=90，AC=BC=272＞。是AB的中点，

故CD±AB,且AB=4，CD=AD=DB=-AB=2,

2

则在三棱锥A—BCD中，CDLAD,CD上BD,

因为A'DcBDn。，4。,5。<=平面48£>,

故CD,平面A'BD,ABu平面ABD,故CDLAB,故A正确；

,

对于B,当AOLBD时，SA.BD=1-xADxDB=1-x2x2=2,

114

由于CDJ_平面A3£>,故匕LBS=Z-A，BO=§SA，DB，CZ）=§X2X2=],故B错误;

对于C,当A5=28时，AD=DB=2,

则cosZA'DB=+（见2-"『=4+4-12=J_,而"DBe（0,兀），

2xA'DxBD2x2x22

2兀

故4753=」，

3

由于CD，平面ABD，故ZADB即为二面角A—CD—3的平面角，

故当45=26时，二面角A—CD—5的大小为故C正确；

2兀____________________________________

对于D,当NA7)3=3-时，AB=7(AfZ))2+DB--2AD-DBcosZADB=^4+4+4=273.

04826.

/y-------------------———/I

设，ADB的外接圆圆心为O',半径为广，则sin/A'D^—73一，则厂=2，

3

因为CD，平面ABD，所以三棱锥A-BCD的外接球的球心位于过O'垂直于平面ABD的直线上，

且在过CD的中点E垂直于CD的平面上，

设球心为。，由于00'，平面A3D,则OO'〃CD,

故过E作。。的垂线，垂足即为。，即三棱锥A—BCD的外接球的球心，

则四边形。O'OE为矩形，故OO'=ED=』CO=1,

2

设棱锥A-BCD的外接球的半径为R,连接0，

故，4=002=(oo，)2+(o⑼2=1+4=5,则氏=石，

故三棱锥A—BCD的外接球的表面积为4兀尺2=20兀，故D正确，

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题

求解，其解题思维流程如下：

(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

11.已知点4(—1,0),6(1,0),直线相交于点且它们的斜率之和是2.设动点M(x,y)的轨

迹为曲线C,贝。()

A.曲线C关于原点对称

B.x的范围是{x|x70},y的范围是R

c.曲线c与直线y=x无限接近，但永不相交

D.曲线。上两动点尸(a,/?),Q(c,d),其中a<0,c>。，则间匕=2,20_2

【答案】ACD

【解析】

【分析】设〃（尤,y）,根据题意求出曲线C的轨迹方程，再将-y）代入即可判断A；结合直线40,4V

的斜率都存在即可判断B；判断x趋于无穷大时，V-x是否趋于o即可判断c；求出|PQ|最小时，心。的

关系，再结合基本不等式即可判断D.

【详解】设M（x,y）,由题意心“+左BM=2,

即上+上=2,化简得孙=必一1,

x+1x-1

X2-11

即y=_£=%—上（%。0且XW±1）,

XX

对于A,将（一x,一y）代入得一y=—x,BPy=x-—,

-xX

所以曲线。关于原点对称，故A正确；

对于B,由A选项知，x的范围是卜卜工0且XW±1},故B错误；

对于C,由y二%—，得y-%=—，

XX

当Xf+oo时，0,即y—x—O,

X

当Xf—8时，0,gpy-x^O,

X

所以曲线c与直线y='无限接近，但永不相交，故c正确；

对于D,要使卢。|最小，则曲线。在RQ两点的切线平行，

由丁二九一,，得y'=l+」y,贝（Jl+4=l+4，所以片=/,

xxac

因为Q〈0,C>0,所以4二一。，

则P[_C,_C+_）,Q”,c—1,

所以|PQ|=J（2c/+12c—胃=卜+：一8>,2J8c2.、—8=2d20—2，

当且仅当8c2=5，即°=，当时取等号，

所以|PQLn=2,20—2，故D正确.

故选：ACD

【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：

(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程;

(3)相关点法：用动点。的坐标X、》表示相关点尸的坐标%、％,然后代入点尸的坐标(％,用)所满足

的曲线方程，整理化简可得出动点。的轨迹方程;

(4)参数法：当动点坐标X、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找X、y与某一参数方得到方程，即

为动点的轨迹方程;

(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22§

12.已知双曲线、—斗=1(。〉0］〉0)的渐近线方程为y=?：x,则其离心率为

ab4

【答案】I

4

【解析】

b

【分析】根据渐近线方程求出一，再根据双曲线的离心率公式即可得解.

a

223

【详解】因为双曲线三―方=l(a〉0,6〉0)的渐近线方程为y=?

所以2=』，

a4

所以禺心率e—/l+—r-二—•

A\a24

故答案为：一.

4

(1为奇数,

13.记5”为数列｛叫的前〃项和，已知为(〃+2)则几=.

0T，〃为偶数，

【答案】—

11

【解析】

【分析】注意到=%i，％eN*,进一步由裂项相消法即可求解.

【详解】由题意外尢=。21，%《叶，

11111

----1-----1-----1-----1-----

1x33x55x77x99x11

―33557799元一TF

故答案为：—.

14.已知4,4,A五个点，满足：4A+/A+A+2=0("=123),

AA

|nn+l11A+1A+2I=n(«=1,2,3),则的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意设出合理的向量模，再将其置于坐标系中，利用坐标表示出IAAI，再用基本不等式求

解出最值即可.

【详解】因为|AA+i|囚+A+21=9=L2,3),

所以/小卜2,|也|囚4卜3,

1Q

由题意设|\=x,贝iJ|44l=—，1A3A41=2x,|A^|=--,

AXA24

JCzx

设A(o,o),如图，因为求।AA।的最小值,

i

所以IAA|2=%2+=1,

4x2-V-Z?

当且仅当炉=工，即％=受时取等号,

4x22

所以IAA|的最小值为1.

故答案为：1.

【点睛】关键点点睛：首先是对向量模的合理假设，然后为了进一步降低计算的复杂性，我们选择利用坐

1

标法将涉及的各个点用坐标表示,最后得到14Al2=,再利用基本不等式即可求出最值.

47

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

2

15.已知/•(x)=(2x+l)ln%—曲线/(尤)在x=l处的切线方程为丁=依+尻

(1)求

(2)证明/(X)<以+Z?.

【答案】(1)a=2,b=--

2

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数的几何意义求出曲线y=/(x)在点x=l处的切线方程即可得。，方的值;

(2)要证明/(%)<◎+/?,只要证(2x+l)lnx—1—2x+?<0,令

g(x)=(2x+l)lnx-y-2x+j，求出其单调性证明g(x)Wg⑴=0即可.

【小问1详解】

丫211

由/(%)=(2%+l)lnx-----可得/'(*)=21n元+(2*+1)-----x—21nx—XH---------1-2,

2.Vx

则/⑴=2,所以曲线/(力在点％=1处的切线斜率为左=2,

又因为/(1)=—g，所以切线方程为：y+g=2(尤—1),即y=2x—g.

所以a=2,/?=—.

2

【小问2详解】

24

要证明/(“4双+〃，只要证(2x+l)hw—3―2x+|40，

丫2C1

g(x)=(2x+l)In%——2x+--则g,(x)=21ax+——x,

22x

令/z(x)=21n%+4一X,则"(尤)=2—\一1=—

xXXX

所以人⑺在(0,+8)上单调递减,又砍1)=0,

所以当xe(O,l)时,&(x)>0,则g(x)在(0,1)上单调递增，

当xe(l,+oo)时，&⑺<0,则g(x)在(1,+“)上单调递减，

所以g(x)Wg(l)=0，所以

16.①$3=74,②。2=；，③%，。3,6%成等差，这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答

本题.

设正项等比数列｛为｝的前几项和为S“，满足.

(1)求4;

(2)求数列｛也“｝的前几项和？；.

【答案】(1)无论选①②还是选②③都有4=出夕"-2=［；］

(2)(=2—上工

"2"

【解析】

①等价于③即q=；>0,再选②4=:

【分析】(1)首先由等比、等差数列基本量计算得在已知条件下,

即可得解；

(2)由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解.

【小问1详解】

若选①S3=7%,则(1+4+/)=,

因为等比数列｛4｝是正项数列，所以＞0,

所以6/—q—l=0,解得q=g＞0满足题意;

若选③%，的，6a$成等差，则2a§=%+6%=。3（4+6/），

因为名〉0,所以6/+4—2=0,解得4=；＞0满足题意;

所以在已知条件下，①等价于③,

所以无论选①②还是选②③都有，4=；＞°，/=；，此时4=。2广2=1）.

【小问2详解】

11111

由题意Tn=—xl+—x2++牙X"，/=9*1+声*2++西X"，

]_

1-

111n22〃+2

两式相减得H---------

2〃2〃2"+1券=1-2"+1

n+2

所以（=2—

2"

17.在中，点分别为5cAe的中点,AM与交于点G,AM=3,ZM4B=45°.

（1）若AC=5后，求中线BN的长;

（2）若一A5C是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围.

【答案】（1）

(2)P3

【解析】

再由平面向量的运算法则得

【分析】（1）对2AM=AB+AC两边同时平方可得|AB|=7A/2,

3

BN=AM——AB,对其两边同时平方即可得出答案.

2

（2）由分析知SG.CN=#|人印再分别讨论NAN&NC为锐角，由数量积的定义求出|4同的范围，即

可得出答案.

【小问1详解】

因为点M为的中点，所以2A"=AB+AC，

则AC=2AM—A3，WAC2=4AM2-4AM-AB+AB>

即50=4x9—4x3x,qx等+，解得：|AB|=7a或|AB|=-0（舍去），

又因为3N=AiV—AB=]AC—AB=gX（2AM—AB）—AB=AM—；AB,

BN=AM-3ABAM+-AB,即BAT=9—3x3x7后x2+三乂49义2=巨，

4242

所以阿卜等=空.

【小问2详解】

SGMCN=S24Mc_SAGN

=|x|x|AB|x3x^=^|AB|

因为—ABC是锐角三角形，所以NA是锐角，即A§.AC>0,

即AB-（2A〃—AB）〉0,所以,⑷？—3立卜.<0,得0<,母<30,

是锐角，即刚小84>0，BP（AAf-AB）AB<0,

所以3网义4―网2<0，得网〉^2,

NC是锐角，即C4-MB〉0，BP（AB-2AM）（AB-AA/）>0,

所以,@2一3AB.AM+2|AM1〉0,得,@2一券卜目+18〉0，

所以k,eR,综上：平<„<3夜，

所以

18.某市为繁荣地方经济，大力实行人才引进政策，为了解政策的效果，统计了2018-2023年人才引进的数

量y（单位：万人），并根据统计数据绘制了如图所示的散点图（x表示年份代码，年份代码1-6分别代表

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

（1）根据散点图判断丁=句皿+。与〉=6<?+^（。,仇。,1均为常数）哪一个适合作为y关于x的回归方程

类型；（给出结论即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出〉关于X的回归方程，并预测该市2025年引进人才的数量;

（3）从这6年中随机抽取4年，记引进人才数量超过4万人的年数为X,求X的分布列和数学期望.

参考数据：

666

之（受―可2

yZ&-元）（%-歹）£（%.—可（明一刃）

i=lZ=1i=l

5.151.5517.520.953.85

16

其中刃二—£叱，吗=Iny.,e2,44«11.47,e254«12.68.

6,-=i

参考公式：对于一组数据（4,匕）,（“2，岭），,，（%#"），其回归直线V=O的斜率和截距的最小二乘估

n

计分别为：B=上1F------------,d=v-^u.

£（%㈤*

«=1

【答案】（1）选择>=片+&更合适.

（2）y=e°-22x+078,12.68万人

（3）分布列见解析，2

【解析】

【分析】（1）观察散点图结合增长速度情况即可求解；

（2）两边取对数后，用最小二乘先得对应的线性回归方程；

（3）X的所有可能取值为1,2,3,由超几何分布概率公式先求得对应的概率，即可依次得分布列，数学

期望.

【小问1详解】

根据散点图可知，选择y=e'+&更合适.

【小问2详解】

因为>所以两边同时取常用对数，得lny=c+公.

设坟=lny,则w=c+必:，先求w关于x的线性回归方程.

1+2+3+4+5+6

因为x==3.5，

6

6

元）（%—刃）

3.85

----------------=0.22,

£（x,一元）-77?

i=\

c=w-0.22x=1.55-0.22x3.5=0.78，

所以y=e°,22x+°78.

把X=8代入上式，得,=0254al2.68，

故预测该市2025年引进人才的数量为12.68万人.

【小问3详解】

这6年中，引进人才的数量超过4万人的年数有3个，所以X的所有可能取值为1,2,3.

P（X=1）=罟C'C3=：1P（X=2）=胃c2C2=：3P（X=3）=C胃3cl=i：

所以X的分布列为

X123

131

P

555

4x3

所以E（X）=—=2.

6

19.在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A（%,%）,5（孙必）之间的“距离”为

=归2-玉1+1%-%|，我们把到两定点耳(―c,0),乙(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>C)的点

的轨迹叫“椭圆”.

(1)求“椭圆”的方程；

(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；

(3)设c=l,a=2,作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为CC的左顶点为A,过工作直线交。

于两点，的外心为。，求证：直线。。与肱V的斜率之积为定值.

【答案】(1)|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0)

(2)答案见解析(3)证明见解析

【解析】

【分析】⑴设“椭圆”上任意一点为尸(苍则|尸耳|+|［鸟］=2a,再根据两点之间的“距离”得新定义

即可得解；

(2)将点分别代入即可判断其对称性，取绝对值符号，进而可得出范围；

⑶先求出椭圆方程，设直线肱V的方程为％=7盯+1(加/0),河(苗,乂)川(々,%)，联立方程，利用韦

达定理求出M+%，%%，分别求出直线4%AN的方程，设。(/,%)，再次求出%，%的关系，进而求出

—,从而可得出结论.

【小问1详解