2023-2024学年河北省秦皇岛抚宁区台营学区中考数学最后一模试卷含解析

2023-2024学年河北省秦皇岛抚宁区台营学区中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，RtAAOB中，ZAOB=90°,OA在x轴上，OB在y轴上，点A、B的坐标分别为（6，0）,（0,1）,把

R3AOB沿着AB对折得到RtZkACTB,则点。的坐标为（）

「，2也5

32

2.如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系,

图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量x一件产品

A.第24天的销售量为200件B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等D.第27天的日销售利润是875元

3.如图，在RSABC中，ZC=90°,NCAB的平分线交BC于D,DE是AB的垂直平分线，垂足为E,若BC=3,

则DE的长为（）

C.3D.4

4.方程x（x+2）=。的根是（）

A.x=2B.x=0C.xi=O,X2=-2D.xi=O,X2=2

5.许昌市2017年国内生产总值完成1915.5亿元，同比增长9.3%,增速居全省第一位，用科学记数法表示1915.5亿

应为（）

A.1915.15X108B.19.155x101°

C.1.9155X1011D.1.9155X1012

6.二次函数y=a（x—4产—4（a#））的图象在2VxV3这一段位于x轴的下方，在6VxV7这一段位于x轴的上方，则a

的值为（）

A.1B.-1C.2D.-2

7.如图，正方形ABCD的边长为4,点M是CD的中点，动点E从点B出发，沿BC运动，到点C时停止运动，速

度为每秒1个长度单位；动点F从点M出发，沿M-D-A远动，速度也为每秒1个长度单位：动点G从点D出发,

沿DA运动，速度为每秒2个长度单位，到点A后沿AD返回，返回时速度为每秒1个长度单位，三个点的运动同时

开始，同时结束.设点E的运动时间为x,AEFG的面积为y,下列能表示y与x的函数关系的图象是（）

8.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2—12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）

A.14B.12C.12或14D.以上都不对

9.下列事件中，必然事件是（）

A.若ab=O,则a=0J

B.若|a|=4,贝！|a=±4

C.一个多边形的内角和为1000。

D.若两直线被第三条直线所截，则同位角相等

10.如图，以O为圆心的圆与直线y=-x+百交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为（）

21

A.—71B.71L.------7tD.—71

3

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m,他在不弯腰的情况下，在棚内的横向

活动范围是—m.

12.中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五，羊二，值金十两.牛二，羊五,

值金八两。问牛羊各值金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两.问牛、羊

每头各值金多少？设牛、羊每头各值金X两、y两，依题意，可列出方程为.

13.若代数式x2-6x+b可化为（x+a）2-5,则a+b的值为.

x-2>0

14.不等式组.八的解集为_________.

%+3>0

15.如图，将量角器和含30。角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0。线在

同一直线上，且直径。。是直角边3c的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E在量角器上所

对应的度数是

16.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足SAPAB=；S矩形ABCD,则点P到A>B两点的

距离之和PA+PB的最小值为.

17.（8分）如图，在矩形中，对角线AC,30相交于点0.画出AAOB平移后的三角形，其平移后的方向为

射线AO的方向，平移的距离为AO的长.观察平移后的图形，除了矩形ABC。外，还有一种特殊的平行四边形？请

证明你的结论.

BC

18.（8分）如图，点P是。。外一点，请你用尺规画出一条直线PA,使得其与。。相切于点A,（不写作法，保留作

图痕迹）

19.（8分）如图，已知抛物线y=ax?+2x+8与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,且B（4,0）.

⑴求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

⑵如果点P（P，0）是x轴上的一个动点，则当IPC-PDI取得最大值时，求p的值；

（3）能否在抛物线第一象限的图象上找到一点Q,使AQBC的面积最大，若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明

理由.

20.（8分）如图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知AB,C,£）分别为“果圆”

与坐标轴的交点，直线y=2x-3与“果圆”中的抛物线丫=3必+法+。交于6、。两点

-44

⑴求“果圆”中抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长；

（2汝口图，E为直线下方“果圆”上一点，连接AE、AB.BE,设AE与交于尸，的面积记为k"七夕，

S

户的面积即为S区,求三口的最小值

3BEF

（3）“果圆”上是否存在点P,使NAPC=NC钻，如果存在，直接写出点P坐标，如果不存在，请说明理由

图图

图123

r2-l

21.（8分）先化简，再求值：（J，其中

X2-2X+1

22.(10分)解方程(2x+l)2=3(2x4-1)

23.（12分）如图,AB=16,O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O,B重合），将OC绕点O逆时针旋转270。后得到扇

形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P,Q,且点P,Q在AB异侧，连接OP.

求证：AP=BQ；当BQ=时，求°。的长（结果保留万）；APO

的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.

24.在平面直角坐标系xOy中有不重合的两个点Q（X，yJ与尸（%，%）•若。、尸为某个直角三角形的两个锐角顶点，

当该直角三角形的两条直角边分别与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为

点。与点尸之间的“直距”记做。叱，特别地，当尸0与某条坐标轴平行（或重合）时，线段尸。的长即为点。与点P

之间的“直距”.例如下图中，点P（Ll）,点。（3,2）,此时点°与点尸之间的“直距”=3.

⑴①已知。为坐标原点，点4（2,—1）,B（-2,0）,则2。=,DB°=；

②点C在直线y=—x+3上，求出。。。的最小值；

（2）点E是以原点。为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y=2x+4上一动点.直接写出点E与点尸之

间“直距”的最小值.

少

，I1t1j

Pl2345x

备用图

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

连接OO。作O'HLOA于H.只要证明小OO，A是等边三角形即可解决问题.

【详解】

连接OO',作O'HLOA于H,

:./BAO=30。，

由翻折可知，NBAO，=30。,

:.NOAO'=60。，

VAO=AOr,

二.△Aocr是等边三角形，

VOrH±OA,

.•.OH=正,

2

OH=y

V33

.'.O'---)9

22

故选B.

【点睛】

本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是发现特殊三

角形，利用特殊三角形解决问题.

2、C

【解析】

试题解析：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；

B、设当仁区20,一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z=kx+b,

必=25

把(0,25),(20,5)代入得:

20左+6=5

左=一1

解得：＜

b=25

:.z=-x+25,

当x=10时,y=-10+25=15,

故正确；

C、当0WW24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=kit+bi,

‘4=100

把代入得:

(0,100),(24,200)12的+4=200

k,=—

解得：\6,

4=100

.25

••y=­/+100,

6

当t=12时，y=150,z=-12+25=13,

.•.第12天的日销售利润为；150x13=1950（元），第30天的日销售利润为；150x5=750（元）,

750到950,故C错误；

D、第30天的日销售利润为；150x5=750（元），故正确.

故选C

3、A

【解析】

试题分析：由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得NB=NCAD=NDAB=30。，•••口£垂直平分AB,

；.DA=DB,AZB=ZDAB,；AD平分NCAB,/.ZCAD=ZDAB,；NC=90。，.*.3ZCAD=90°,

.•.NCAD=30。，；AD平分NCAB,DE1AB,CD±AC,/.CD=DE=—BD,VBC=3,/.CD=DE=1

2

考点：线段垂直平分线的性质

4、C

【解析】

试题解析：x（x+1）=0,

=>x=0或x+l=0,

解得xi=0,xi=-l.

故选C.

5、C

【解析】

科学记数法的表示形式为ax10〃的形式，其中14时<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，”是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数.

【详解】

用科学记数法表示1915.5亿应为1.9155x1011,

故选C.

【点睛】

考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.

6、A

【解析】

试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4,利用抛物线对称性得到抛物线在1VXV2这段位于x轴的上

方，而抛物线在2Vx<3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2,0）然后把（2,0）代入y=a（x—4）2—4（存0）

可求出a=l.

故选A

7、A

【解析】

当点F在MD上运动时，0WxV2；当点F在DA上运动时，2Vxg4.再按相关图形面积公式列出表达式即可.

【详解】

解：当点F在MD上运动时，0<x<2,贝!J:

2

y=S梯形ECDG-SAEFC-SAGDF=-------x4—a（4—x）（2+x）—5%><（2—x）=x+4,

当点F在DA上运动时，2VxW4,贝!J：

y=g[4-（x-2）x2]x4=-4x+16,

综上，只有A选项图形符合题意，故选择A.

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图像，抓住动点运动的特点是解题关键.

8、B

【解析】

解方程d_i2x+35=0得：x=5或x=L

当x=l时，3+4=1,不能组成三角形；

当x=5时，3+4>5,三边能够组成三角形.

该三角形的周长为3+4+5=12,

故选B.

9、B

【解析】

直接利用绝对值的性质以及多边形的性质和平行线的性质分别分析得出答案.

【详解】

解：A、若ab=O,则a=0,是随机事件，故此选项错误；

B、若|a|=4,则2=±4,是必然事件，故此选项正确；

C、一个多边形的内角和为1000。，是不可能事件，故此选项错误；

D、若两直线被第三条直线所截，则同位角相等，是随机事件，故此选项错误;

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了事件的判别，正确把握各命题的正确性是解题关键.

10、C

【解析】

过点。作

Vy=-X+A/3,

:.D(50),C(0,A/3),

:.COD为等腰直角三角形，ZODC=45°,

OE=OD-sin450=73.—，

22

•••△Q钻为等边三角形，

：.ZOAB=6Q°,

；.Ao=&=艮与=曰

sin60°26

，43=2兀=@^=2缶=也兀.故选C.

360063

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、1

【解析】

设抛物线的解析式为：y=ax2+b,由图得知点（0,2.4）,（1,0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=-

X2+2.4,根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案；

15

【详解】

设抛物线的解析式为：y=ax2+b,

由图得知：点（0,2.4）,（1,0）在抛物线上,

2.4=b

,解得：，15,

0=9a+b

b=2.4

二抛物线的解析式为：y=-X2+2-41

15

丁菜农的身高为l.8m,即y=L8,

4

贝！）1.8=--X2+2.4,

15

解得：X=1（负值舍去）

故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：1米,

故答案为1.

5x+2y=10

12、＜

2x+5y=8?

【解析】

【分析】牛、羊每头各值金x两、y两，根据等量关系：“牛5头，羊2头，共值金10两”，“牛2头，羊5头，共值

金8两”列方程组即可.

【详解】牛、羊每头各值金工两、丁两，由题意得：

5x+2y=10

2x+5y=8'

5x+2y=10

故答案为：＜

21+5y=8

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是关键.

13、1

【解析】

根据题意找到等量关系x2-6x+b=(x+a)2-5,根据系数相等求出a,b,即可解题.

【详解】

解：由题可知x2-6x+b=(x+a)2-5,

整理得：x2-6x+b=x2+2ax+a2-5,

即-6=2a,b=a2-5,

解得：a=-3,b=4,

a+b=l.

【点睛】

本题考查了配方法的实际应用，属于简单题，找到等量关系求出a,b是解题关键.

14、x>l

【解析】

分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集.

【详解】

X-2>0①

[x+3>0②，

解不等式①，得：x>L

解不等式②，得：x>-3,

所以不等式组的解集为：x>L

故答案为：x>l.

【点睛】

本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，

小大大小中间找，大大小小解不了.

15、60.

【解析】

首先设半圆的圆心为。，连接OE,OA,由题意易得AC是线段05的垂直平分线，即可求得NAOC=NABC=60。,

又由AE是切线，易证得RtAAOE丝RtAAOC,继而求得NAOE的度数，则可求得答案.

【详解】

设半圆的圆心为。，连接OE,OA,

CD=2OC^2BC,

；.OC=BC,

；NACB=90°,即AC_L05,

J.OA^BA,

：.ZAOC=ZABC,

；NBAC=30。，

:.ZAOC=ZABC=6Q°,

,：AE是切线，

：.ZAEO=90°,

:.NAEO=NAC0=9Q°,

•.,在RtAAOE和RtAAOC中，

AO=AO

OE=OC'

/.RtAAOE^RtAAOC(HL),

：.ZAOE=ZAOC=60°,

.,.ZEOD=180°-ZAOE-NAOC=60。，

，点E所对应的量角器上的刻度数是60°,

故答案为：60.

DOCB

【点睛】

本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌

握数形结合思想的应用.

16、40

【解析】

分析：首先由SAPAB=；S矩形ABCD,得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，作A关于直线1的对称

点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，

即PA+PB的最小值.

详解：设△ABP中AB边上的高是h.

..1

•SAPAB=二S矩形ABCD,

/.-AB»h=-AB»AD,

23

2

...h=—AD=2,

3

动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，如图，作A关于直线1的对称点E,连接AE,连接BE,则

BE的长就是所求的最短距离.

E

在RSABE中，；AB=4,AE=2+2=4,

®E=7AB2+AE2-V42+42-472，

即PA+PB的最小值为4应.

故答案为40.

点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质.得出动

点P所在的位置是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)如图所示见解析；(2)四边形OCED是菱形.理由见解析.

【解析】

(1)根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；

(2)根据图形平移的性质得出AC〃DE,OA=DE,故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA=OB,

故DE=CE,由此可得出结论.

【详解】

(1)如图所示；

(2)四边形OCED是菱形.

理由：由AAOB平移而成,

AAC/7DE,BD〃CE,OA=DE,OB=CE,

二四边形OCED是平行四边形.

•.•四边形ABCD是矩形，

/.OA=OB,

/.DE=CE,

.••四边形OCED是菱形.

【点睛】

本题考查了作图与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与根据题意作图.

18、答案见解析

【解析】

连接OP,作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K,以点K为圆心OK为半径作。K交。O于点A,A，，作直线

PA,PAS直线PA,PA，即为所求.

【详解】

解：连接OP,作线段OP的垂直平分线MN交OP于点K,以点K为圆心OK为半径作。K交。O于点A,A\作

直线PA,PAS

直线PA,PA，即为所求.

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

19、⑴y=-(x-1)2+9,D(1,9)；(2)p=-l；(3)存在点Q(2,1)使AQBC的面积最大.

【解析】

分析：

(1)把点B的坐标代入y=ax?+2x+l求得a的值，即可得到该抛物线的解析式，再把所得解析式配方化为顶点式，即

可得到抛物线顶点D的坐标；

(2)由题意可知点P在直线CD上时，|PC-PD|取得最大值，因此，求得点C的坐标，再求出直CD的解析式，即

可求得符合条件的点P的坐标，从而得到p的值；

2

(3)由(1)中所得抛物线的解析式设点Q的坐标为(m,-m+2m+l)(0<m<4),然后用含m的代数式表达出小BCQ

的面积，并将所得表达式配方化为顶点式即可求得对应点Q的坐标.

详解：

(1),抛物线y=ax?+2x+l经过点B(4,0),

•*.16a+l+l=0,

a=-1,

二抛物线的解析式为y=-X2+2X+1=-(x-1)2+9,

AD(1,9)；

(2),当x=0时,y=l,

AC(0,1).

设直线CD的解析式为y=kx+b.

将点C、D的坐标代入得：\Z?:=8C，解得：k=l,b=l,

k+b=9

二直线CD的解析式为y=x+l.

当y=0时，x+l=0,解得：x=-1,

二直线CD与x轴的交点坐标为(-1,0).

当P在直线CD上时，|PC-PD|取得最大值，

•'.p=-1;

(3)存在，

理由：如图，由(2)知，C(0,1),

VB(4,0),

二直线BC的解析式为y=-2x+l,

过点Q作QE〃y轴交BC于E,

设Q(m,-m2+2m+l)(0<m<4),则点E的坐标为：(m,-2m+l),

•*.EQ=-m2+2m+l-(-2m+l)=-m2+4m,

SAQBC=—(-m2+4m)x4=-2(m-2)2+l,

；.m=2时，SAQBC最大，此时点Q的坐标为：(2,1).

点睛：(1)解第2小题时，知道当点P在直线CD上时，|PC-PD|的值最大，是找到解题思路的关键；(2)解第3小

题的关键是设出点Q的坐标(m,-m2+2m+l)(0<m<4),并结合点B、C的坐标把4BCQ的面积用含m的代数

式表达出来.

20、(l)y=ix2--x-3；6；(2)”^有最小值(3)《(0,-3),2(3,-3).

-44SBEF4

【解析】

(1)先求出点B,C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造

直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；

s

(2)先判断出要求《巫的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一

个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG,结论得证.

(3)求出线段AC,BC进而判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点P.

【详解】

3

解:⑴对于直线y=—x-3,令x=0,

4

；.y=-3,

•*.B(0,-3),

令y=0，

3

..—x-3=0,

4

•*.x=4,

AC(4,0),

3

V抛物线y=-x2+bx+c过B,C两点，

4

'3

—xl6+4b+c=0

：.u

c=-3

：.<4，

c=-3

3g

，抛物线的解析式为y=-x2--x-3；

44

令y=0,

/•一Y—x_3=0,

44

x=4或x=-l,

AA(-1,0),

；.AC=5,

如图2,记半圆的圆心为O',连接O，D,

53

.*.OO'=OC-O'C=4--=-

22

在RtACFOD中，OD=』0£p—OCr2=2,

AD(0,2),

/.BD=2-(-3)=5；

⑵如图3,

VA(-1,0),C(4,0),

.\AC=5,

过点E作EG〃BC交x轴于G,

VAABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h,

.11

・・SAABF=-AF・h,SABEF=-EF*h,

22

q-AF»h

uAB/AF

2______=

q~EF

uBEF-EF*h

2

q

uA族

的最小值,

q

uBEF

.A尸且।

——最小,

EF

CF/7GE,

.AF_AC5

**EF-CG-CG

最小,即:CG最大，

CG

...EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大,

3

•.•直线BC的解析式为y=-x-3,

4

3_

设直线EG的解析式为y=：x+m①，

4

39

•；抛物线的解析式为y=-x2--x-3②，

44

联立①②化简得，3x2-12x-12-4m=0,

AA=144+4X3X(12+4m)=0,

:.m=-6,

3

直线EG的解析式为y=-x-6,

4

令y=o，

3

:.—x-6=0,

4

:.x=8,

.-.CG=4,

.SABF_竺_任

-

sBEF-EF_CG4

(3)4(0,—3),g(3,—3).理由:

，半圆上除点A,C外任意一点Q,都有NAQC=90。，

...点P只能在抛物线部分上，

VB（0,-3）,C（4,0）,

/.BC=5,

VAC=5,

/.AC=BC,

.,.ZBAC=ZABC,

当NAPC=NCAB时，点P和点B重合，即：P（0,-3）,

由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3,-3）,

即：使NAPC=NCAB,点P坐标为（0,-3）或（3,-3）.

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线的对称性，等腰

三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关键.

21、-2.

【解析】

根据分式的运算法化解即可求出答案.

【详解】

解：原式=（△1—3?（x—i）=E±l,

x-1XX

当x=-l时，原式=（1）+]=-2.

—1

【点睛】

熟练运用分式的运算法则.

1

22>xi=—，X2=l

2

【解析】

试题分析：分解因式得出(2x+l)(2x+l-3)=0,推出方程2x+l=0,2x+l-3=0,求出方程的解即可.

试题解析：解：整理得：(2x+l)2—3(2x+l)=0,分解因式得：(2x+l)(2x+l-3)=0,即2x+l=0,2x+l-3=0,解

得：xi---，X2=l.

2

点睛：本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解答此题的关键是把一元二次方程转化成解一元一次方

程，题目比较典型，难度不大.

14

23、(1)详见解析；(2)―冗；(3)4<OC<1.

3

【解析】

(1)连接OQ,由切线性质得NAPO=NBQO=90。，由直角三角形判定HL得RtAAPO也R3BQO,再由全等三角

形性质即可得证.

(2)由(1)中全等三角形性质得NAOP=NBOQ,从而可得P、O、Q三点共线，在R3BOQ中，根据余弦定义可

得cosB=岩，由特殊角的三角函数值可得NB=30。，NBOQ=60。，根据直角三角形的性质得OQ=4,结合题意可

得NQOD度数，由弧长公式即可求得答案.

(3)由直角三角形性质可得AAPO的外心是OA的中点,结合题意可得OC取值范围.

【详解】

；AP、BQ是。。的切线，

；.OP_LAP,OQ1BQ,

，ZAPO=ZBQO=90°,

在RtAAPO和RtABQO中,

OP=OQ

OA=OB'

ARtAAPO^RtABQO,

，AP=BQ.

(2)VRtAAPO^RtABQO,

，NAOP=NBOQ,

，P、O、Q三点共线，

•在RtABOQ中,cosB=皎=,

OB82

：.ZB=30°，/BOQ=60°,

1

..OQ=—OB=4,

VZCOD=90°,

:.ZQOD=90°+60°=150°,

.gmAAIX210•乃・414

••优弧QD的长=---------=—n，

1803

(3)解：设点M为RtAAPO的外心，则M