《专题复习12概率》重难点突破及同步训练

《专题12概率》重难点突破一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理知识点一古典概型1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型-具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.【特别提醒】如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是eq\f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).3.古典概型的概率公式-P(A)＝eq\f(事件A包含的可能结果数,试验的所有可能结果数).考点二事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅P(A∪B)＝1考点三概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).重难点题型突破重难点01简单的古典概型例1．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A． B． C． D．【变式训练1】．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A． B． C． D．【变式训练2】．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．重难点02基本事件的关系与运算例2．从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（）A．① B．②④ C．③ D．①③【变式训练1】．打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（）A．全部击中 B．至少击中发C．至少击中发 D．以上均不正确【变式训练2】．如果事件A，B互斥，那么（）A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件C．与一定互斥 D．与一定不互斥例3．（多选题）袋中装有形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，下列事件是互斥事件的是（）A．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D．至少一个黑球事件和全是白球事件【变式训练1】（多选题）下列叙述正确的是（）A．某人射击1次，"射中7环”与"射中8环"是互斥事件B．甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标"与"没有人射中目标"是对立事件C．抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于D．若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为和，则乙同学成绩比较稳定【变式训练2】.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.（1）三个事件都发生；（2）三个事件至少有一个发生；（3）A发生，B，C不发生；（4）A，B都发生，C不发生；（5）A，B至少有一个发生，C不发生；（6）A，B，C中恰好有两个发生.重难点03概率与频率例4．在全球新冠肺炎疫情仍在流行的背景下，我国新冠病毒疫苗研发取得可喜进展，已有多款疫苗获批使用.目前我国正在按照“应接尽接、梯次推进、突出重点、保障安全”的原则，积极组织实施疫苗接种，稳步提高疫苗接种人群覆盖率.小王想从甲、乙、丙、丁四位好友中，随机邀请两位一起接种新冠病毒疫苗，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（）A． B． C． D．【变式训练1】.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A． B． C． D．【变式训练2】.2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为___________．【变式训练3】.宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________.例5．做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.（1）求这个试验样本点的个数；（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.【变式训练1】.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率．重难点04随机模拟例6．已知集合，从集合中有放回地任取两元素作为点的坐标，则点落在坐标轴上的概率为（）A． B． C． D．【变式训练1】.农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（）A． B． C． D．《专题12概率》重难点突破答案解析一、重难点题型突破重难点01简单的古典概型例1．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，而加数全为质数的有(3，3)，根据古典概型知，所求概率为，故选A。【变式训练1】．用电脑每次可以从区间内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都小于的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵每次生成一个实数小于1的概率为.∴这3个实数都小于1的概率为。【变式训练2】．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4个，其和等于的概率。重难点02基本事件的关系与运算例2．从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（）A．① B．②④ C．③ D．①③【答案】C【分析】列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.【详解】解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C【变式训练1】．打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（）A．全部击中 B．至少击中发C．至少击中发 D．以上均不正确【答案】B【分析】利用并事件的定义可得出结论.【详解】所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.故选：B.【变式训练2】．如果事件A，B互斥，那么（）A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件C．与一定互斥 D．与一定不互斥【答案】B【分析】利用集合法判断.【详解】如图所示：因为事件A，B互斥，所以是必然事件，故选：B．例3．（多选题）袋中装有形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，下列事件是互斥事件的是（）A．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D．至少一个黑球事件和全是白球事件【答案】ABD【分析】根据互斥事件的定义可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.【详解】对于A，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A正确.对于B，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故B正确.对于C，比如三个球中两个黑球和1个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故C错误.对于D，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故D正确.故选：ABD.【变式训练1】（多选题）下列叙述正确的是（）A．某人射击1次，"射中7环”与"射中8环"是互斥事件B．甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标"与"没有人射中目标"是对立事件C．抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于D．若甲、乙两位同学5次测试成绩的方差分别为和，则乙同学成绩比较稳定【答案】AB【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，独立重复试验中事件的发生互不影响，方差的含义，即可判断各项的正误.【详解】A：根据互斥事件的定义，由于"射中7环”与"射中8环"不可能同时发生，即它们为互斥事件，故正确；B：根据对立事件的定义，甲、乙两人各射击1次，要么"至少有1人射中目标"，要么"没有人射中目标"，这两个事件不能同时发生而且它们必有一个会发生，故正确；C：由于抛硬币是独立重复试验，任意一次试验出现正面或反面的概率都为，故错误；D：方差越小代表成绩越稳定，即甲同学的乘积稳定，故错误.故选：AB.【变式训练2】.设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.（1）三个事件都发生；（2）三个事件至少有一个发生；（3）A发生，B，C不发生；（4）A，B都发生，C不发生；（5）A，B至少有一个发生，C不发生；（6）A，B，C中恰好有两个发生.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可【详解】解：（1）三个事件都发生表示为；（2）三个事件至少有一个发生表示为；（3）A发生，B，C不发生表示为；（4）A，B都发生，C不发生表示为；（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为重难点03概率与频率例4．在全球新冠肺炎疫情仍在流行的背景下，我国新冠病毒疫苗研发取得可喜进展，已有多款疫苗获批使用.目前我国正在按照“应接尽接、梯次推进、突出重点、保障安全”的原则，积极组织实施疫苗接种，稳步提高疫苗接种人群覆盖率.小王想从甲、乙、丙、丁四位好友中，随机邀请两位一起接种新冠病毒疫苗，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】基本事件总数，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数，由古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：基本事件总数，其中甲和乙中至少有一人被邀请包含的基本事件个数，则甲和乙中至少有一人被邀请的概率是．故选：A.【变式训练1】.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个(为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，即可求，根据每人分到橘子且为正整数即可确定其可能取值，由“子”恰好分得13个橘子可得m值，进而求概率即可.【详解】设男､子､伯､侯､公各分得个橘子，∴由题意有：，即，又且为正整数，∴，若“子”恰好分得13个橘子，则，即.∴“子”恰好分得13个橘子的概率为.故选：B【变式训练2】.2021年的两会政府工作报告中提出：加强全科医生和乡村医生队伍建设，提升县级医疗服务能力，加快建设分级诊疗体系，让乡村医生“下得去、留得住”．为了响应国家号召，某医科大学优秀毕业生小李和小王，准备支援乡村医疗卫生事业发展，在康庄、青浦、夹山、河东4家乡村诊所任选两家分别就业，则小李选择康庄且小王不选择夹山的概率为___________．【答案】【分析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】基本事件的总数为，小李选择康庄且小王不选择夹山的事件数为，所以所求概率为故答案为：【变式训练3】.宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的《数书九章》，李治的《测圆海镜》和《益古演段》，杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》，朱世杰的《算学启蒙》和《四元玉鉴》.现有数学著作《数书九章》，《测圆海镜》，《益古演段》，《详解九章算法》，《杨辉算法》，《算学启蒙》，《四元玉鉴》，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是__________.【答案】【分析】求一本也不含杨辉的著作的概率，再用1减它即可.【详解】所求概率故答案为：例5．做试验“从一个装有标号为1，2，3，4的小球的盒子中，不放回地取两次小球，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第一次取到的小球上的数字，y为第二次取到的小球上的数字”.（1）求这个试验样本点的个数；（2）写出“第一次取出的小球上的数字是2”这一事件.【答案】（1）12；（2）{(2，1)，(2，3)，(2，4)}.【分析】（1）分x=1,2,3,4，分别考虑y的不同情况，即可得到样本试验点的个数；（2）即为x=2时的样本点的集合，由（1）的分析可得.【详解】（1）当x=1时，y=2，3，4；当x=2时，y=1，3，4；同理当x=3，4时，也各有3个不同的有序数对，所以共有12个不同的有序数对.故这个试验结果样本点的个数为12.（2）记“第一次取出的小球上的数字是2”为事件A，则A={(2，1)，(2，3)，(2，4)}.【变式训练1】.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据空气质量指数趋势图，结合已知的定义、古典概型的概率计算公式进行求解即可；（2）根据空气质量指数趋势图，结合已知的定义、古典概型的概率计算公式进行求解即可.【详解】（1）在3月1日至3月12日这12天中，1日、2日、3日、7日、12日共5天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是；（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日，或4日，或5日，或6日，或7日，或8日”．所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为．重难点04随机模拟例6．已知集合，从集合中有放回地任取两元素作为点的坐标，则点落在坐标轴上的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】由已知得，基本事件共有个，其中落在坐标轴上的点为：，，，，，，，共个，所求的概率，故选：．【变式训练1】.农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设“福”字的面积为，由几何概型建立比例关系，可以求出.【详解】设“福”字的面积为，根据几何概型可知，解得.故选：B.【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题.《专题12概率》同步训练A组基础巩固1．下列试验中是古典概型的是（）A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环2．来自澳大利亚的心理学家MichaelWhite设计出了一种被人称为“怀特错觉”的光学戏法.这类型的图片只有三种颜色：黑､白､灰，但大多数人都会看到四种颜色.这是因为灰色的色块嵌入了白色和黑色条纹中，从视觉上看，原本完全相同的灰色因亮度不同而仿佛变成了两种.某班同学用下边图片验证怀特错觉，在所调查的100名调查者中，有55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，根据这个调查结果，估计在人群中产生怀特错觉的概率约为（）A．0.45 B．0.55 C．0.05 D．0.953．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）A． B． C． D．4．四书五经是四书、五经的合称，泛指儒家经典著作.四书指的是《大学》《中庸》《论语》《孟子》.五经指的是《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》五部.某同学计划从“《大学》《论语》《孟子》《诗经》《春秋》”5种课程中选2种参加兴趣班课程进行学习，则恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经的概率为（）A． B． C． D．5．下列事件中，是随机事件的是（）①明天本市会下雨②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上④13个人中至少有2个人的生日在同一个月A．①③ B．③④ C．①④ D．②③6．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为（）A．一个是5点，另一个是6点 B．一个是5点，另一个是4点C．至少有一个是5点或6点 D．至多有一个是5点或6点7．下列说法正确的是（）A．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B．若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定C．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是58．第二次世界大战中，英军急需找到空战中飞机的危险区域并加固钢板.美国数理统计学家瓦尔德(Wal，Abrahom)研究了返航轰炸机的中弹情况.他画了飞机的轮廓，并标示出弹孔位置.图中的小黑点表示返航的轰炸机机身上所受到的德军防空炮火的袭击棕记.根据这张图，可以确定战机需要加强防护的主要部位是（）A．机头部分 B．机翼部分C．机翼和尾翼部分 D．机头和机腹部分9．（多选题）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（）A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品10．算盘是中国传统的计算工具，是中国人民在长期使用算筹的基础上发明的，是中国一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是世界广为使用的计算工具．算盘以算珠靠梁表示计数，如图是算盘的初始状态，表示零，在规定好某一档为个位后，自右向左，分别是个位、十位，、百位…；上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）表示1，即五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小现在从个位和十位这两档中随机下拨一粒上珠，分二次上拨两粒下珠，则算盘上表示的数能被5整除的概率是（）A． B． C． D．11．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.75 D．0.812．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率是______B组能力提升13．（多选题）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）A．取出的最大号码X服从超几何分布B．取出的黑球个数Y服从超几何分布C．取出2个白球的概率为D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为14．（多选题）从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么下列事件中关系正确的是（）A．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件B．“至少有一个白球”与“至少有一个红球”是互斥事件C．“恰好有一个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件D．“都是红球”与“都不是红球”是对立事件.15．（多选题）掷两枚硬币，若记出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的概率分别为，则下列判断中，正确的是（）A． B． C． D．16．（多选题）从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”17．厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替交替之势，为了备战2021年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从9名协会会员中随机挑选3人参赛，则事件“其中A，B，C，D这4人中至少1人参加，且A与B不同时，C与D不同时参加”发生的概率为______________18．元宵节是中国的传统节日之一，元宵节主要有赏花灯、吃汤圆、猜灯谜、放烟花等一系列传统民俗活动，北方“滚”元宵，南方“包”汤圆．某超市在元宵节期间出售2个品牌的黑芝麻馅汤圆，2个品牌的豆沙馅汤圆，若将这4种汤圆随机并排摆在货架的同一层上，则同一种馅料的汤圆相邻的概率为__________．19．小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会吉祥物和冬残奥会吉祥物纪念邮票一套2枚，冬奥会会徽和冬残奥会会徽纪念邮票一套2枚．现从这4枚邮票中随机抽取2枚，恰好有一张是“冰墩墩”（图案为大熊猫）的概率为________．20．世界各国越来越关注环境保护问题，某检测点连续100天监视空气质量指数（AQI），将这100天的AQI数据分为五组，各组对应的区间为.并绘制出如图所示的不完整的频率分布直方图.（1）请将频率分布直方图补充完整；（2）已知空气质量指数AQI在内的空气质量等级为优，在内的空气质量等级为良，分别求这100天中空气质量等级为优与空气质量等级为良的天数；（3）在（2）的条件下，在空气质量等级为优和良的天数中，先按分层抽样的方法已经选定了6天，然后再从这6天中任取两天，求这两天的空气质量等级相同的概率.《专题12概率》同步训练答案解析A组基础巩固1．下列试验中是古典概型的是（）A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环【答案】B【分析】利用古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性进行判断．【详解】解：古典概型满足两个条件：随机实验所有可能的结果是有限的；②每个基本结果发生的概率是相同的．在A中，这个试验的基本事件共有“发芽”，“不发芽”两个，而“发芽”或“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故不是古典概型；在B中，观察球的颜色，满足古典概型的两个条件，故B是古典概型；在C中，实验的结果是无穷的，故不是古典概型；在D中，不满足基本事件是等可能的，故不是古典概型．故选：B．2．来自澳大利亚的心理学家MichaelWhite设计出了一种被人称为“怀特错觉”的光学戏法.这类型的图片只有三种颜色：黑､白､灰，但大多数人都会看到四种颜色.这是因为灰色的色块嵌入了白色和黑色条纹中，从视觉上看，原本完全相同的灰色因亮度不同而仿佛变成了两种.某班同学用下边图片验证怀特错觉，在所调查的100名调查者中，有55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，根据这个调查结果，估计在人群中产生怀特错觉的概率约为（）A．0.45 B．0.55 C．0.05 D．0.95【答案】D【分析】结合题意，根据古典概型计算公式进行求解即可.【详解】因为在所调查的100名调查者中，55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色(他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中)，所以100名调查者中，产生怀特错觉的人数为，因此估计在人群中产生怀特错觉的概率约为，故选：D3．北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据古典概型计算公式，结合组合的定义、对立事件的概率公式进行求解即可.【详解】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为，所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为.故选：B.4．四书五经是四书、五经的合称，泛指儒家经典著作.四书指的是《大学》《中庸》《论语》《孟子》.五经指的是《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》五部.某同学计划从“《大学》《论语》《孟子》《诗经》《春秋》”5种课程中选2种参加兴趣班课程进行学习，则恰好安排了1个课程为四书、1个课程为五经的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由古典概型公式求解即可.【详解】5种课程有3门为四书，2门为五经，从5种课程中选2种有10种选法，则所求概率为5．下列事件中，是随机事件的是（）①明天本市会下雨②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上④13个人中至少有2个人的生日在同一个月A．①③ B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断.【详解】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；②不可能发生，是不可能事件；④一定发生，是必然事件.故选：A6．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为（）A．一个是5点，另一个是6点 B．一个是5点，另一个是4点C．至少有一个是5点或6点 D．至多有一个是5点或6点【答案】C【分析】结合事件的关系和运算即可.【详解】设两枚骰子分别为甲、乙，则其点数的可能值包括以下四种可能:甲是5点且乙是6点，甲是5点且乙不是6点，甲不是5点且乙是6点，甲不是5点且乙不是6点，事件“都不是5点且不是6点”为第四种情况，故其对立事件是前三种情况.故选：7．下列说法正确的是（）A．投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”B．若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定C．为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式D．一组数据1､2､5､5､5､3､3的中位数和众数都是5【答案】B【分析】根据统计量，对各项分析判断即可得解.【详解】对于A，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故A错误；对于B，因为方差越小越稳定，故B正确；对于C，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；对于D，数据1､2､5､5､5､3､3按从小到大排列后为1､2､3､3､5､5､5，则其中位数为3，故D错误，故选：B.8．第二次世界大战中，英军急需找到空战中飞机的危险区域并加固钢板.美国数理统计学家瓦尔德(Wal，Abrahom)研究了返航轰炸机的中弹情况.他画了飞机的轮廓，并标示出弹孔位置.图中的小黑点表示返航的轰炸机机身上所受到的德军防空炮火的袭击棕记.根据这张图，可以确定战机需要加强防护的主要部位是（）A．机头部分 B．机翼部分C．机翼和尾翼部分 D．机头和机腹部分【答案】D【分析】根据图示分析飞机各部分中弹情况，得到需要加强部分，即可得到结果.【详解】因为飞机每一部分在空中中弹情况都是等可能的，而飞回来的飞机的机头和机腹部分鲜有弹孔，说明机头和机腹部分较为薄弱危险，只要中弹就回不来了.机翼和机尾部分弹孔密集，说明这两部分危险性较小，比较耐打.故应该加强机头和机腹部分.故选：D.9．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（）A．3件都是正品 B．至少有1件次品C．3件都是次品 D．至少有1件正品【答案】CD【分析】根据题意25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，且至少有1件正品，即可得解.【详解】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机事件，是不可能事件，又25件产品中只有2件次品，从中任取3件产品，则“至少有1件正品”为必然事件，而A，B是随机事件，故选：CD10．算盘是中国传统的计算工具，是中国人民在长期使用算筹的基础上发明的，是中国一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是世界广为使用的计算工具．算盘以算珠靠梁表示计数，如图是算盘的初始状态，表示零，在规定好某一档为个位后，自右向左，分别是个位、十位，、百位…；上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）表示1，即五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小现在从个位和十位这两档中随机下拨一粒上珠，分二次上拨两粒下珠，则算盘上表示的数能被5整除的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用列举分析得到所有可能的等可能的情况种数，再考虑能被5整除的情况种数，从而求得所求概率.【详解】用表示拨出的数的情况，a,b表示上档数，c,d表示下档数，a,c是十位，b,d为个位，(a,b)取(0,5),(5,0),(c,d)可能为(2,0),(0,2),(11,12),(12,11)(后面的两种情况表示第一次拨十位第二次拨个位和第一次拨个位第二次拨十位),共四种不同的情况，每种情况都是等可能的，故总共有8种不同的情况，每种情况都是等可能的，只有，两种情况所得数为70和25，能被5整除，∴所得数能被5整除的概率为，故选:C.【点睛】本题考查古典概型的计算，关键是弄清楚总共有多少种等可能的不同情况，并确保各种情况都是等可能的.11．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（）A．0.6 B．0.7 C．0.75 D．0.8【答案】B【分析】由已知列举出代表今后三天都不下雨的随机数，以及今后三天都不下雨的随机数个数，利用古典概型和对立事件的概率求解即可．【详解】代表今后三天都不下雨的随机数有977，864，458，569，556，488，共6组，记“今后三天中至少有一天下雨”为事件，“今后三天都不下雨”为事件，则与为对立事件.所以，12．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率是______【答案】【详解】小蚂蚁在地板砖的任何一个地方都是等可能的，所以可以看成几何概型，共有9块，黑色的有4块，所以它最后停留在黑色地板砖上的概率.故答案为：B组能力提升13．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）A．取出的最大号码X服从超几何分布B．取出的黑球个数Y服从超几何分布C．取出2个白球的概率为D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为【答案】BD【分析】超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，取出的黑球个数服从超几何分布；取出2个白球的概率为；对于，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为．【详解】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；对于，取出2个白球的概率为，故错误；对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．14．从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，那么下列事件中关系正确的是（）A．“至少有一个红球”与“都是白球”是对立事件B．“至少有一个白球”与“至少有一个红球”是互斥事件C．“恰好有一个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件D．“都是红球”与“都不是红球”是对立事件.【答案】AC【分析】根据对立事件、互斥事件的概念，即可判断各项的正误.【详解】由题意，任取两个球的所有基本事件：{两个白球，一红一白，两个红球}，“至少有一个红球”的事件：{一红一白，两个红球}，“都不是红球”、“都是白球”、“恰好有2个白球”的事件：{两个白球}，“至少有一个白球”的事件：{两个白球，一红一白}，“都是红球”的事件：{两个红球}，“恰好有一个白球”的事件：{一红一白}，∴由上知：A、C正确，B、D错误.故选：AC15．掷两枚硬币，若记出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”的概率分别为，则下列判断中，正确的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】掷两枚硬币，先把求出再判断选项即可.【详解】掷两枚硬币，出现“两个正面”的概率为；出现“两个反面”的概率为；出现“一正一反”的概率为；故A错，BCD正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查了古典概型，着重考查了运算与求解能力.属于容易题.16．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”【答案】AB【分析】根据互斥事件的定义逐一对四个选项进行分析即可.【详解】“至少有一个黑球”中包含“都是黑球，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.故选：AB.【点睛】本题考查互斥事件，解题关键是要理解互斥事件的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.17．厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌