《6.4.1平面向量在几何和物理中的运用》考点讲解复习与同步训练

《6.4.1平面向量在几何和物理中的运用》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一平面向量在几何中的运用【例1-1】中，，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【例1-2】已知平面向量，的夹角为，且，．在中，，，为的中点，则的长等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【例1-3】中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（）A．-2 B．2 C．-1 D．1【一隅三反】1．如图，半径为1的扇形AOB中，，P是弧AB上的一点，且满足，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为（）A． B． C．1 D．2．已知是非零向量，且满足，则的形状为（）A．等腰（非等边）三角形 B．直角（非等腰）三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．已知平面四边形满足，，，则的长为（）A．2 B． C． D．考法二平面向量在物理中的运用【例2-1】已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A．100 B． C．50 D．【例2-2】．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（）A． B．10 C．20 D．【例2-3】．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为（）A． B． C． D．【一隅三反】1．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（）A． B． C． D．2．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（）A．6 B．2 C．8 D．3．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东则船实际航行的速度为（）A． B． C． D．4．一辆小车在拉力的作用下沿水平方向前进了米(m)，拉力的大小为牛(N)，方向与小车前进的方向所成角为，如图所示，则所做的功_______．5．如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？5．设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．（1）求的大小；（2）求与的夹角．《6.4.1平面向量在几何和物理中的运用》考点讲解答案解析考法一平面向量在几何中的运用【例1-1】中，，则一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】C【解析】因为中，，则，即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形故选【例1-2】已知平面向量，的夹角为，且，．在中，，，为的中点，则的长等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】因为，所以，则，所以．故选：A．【例1-3】中，，是中点，是线段上任意一点，且，则的最小值为（）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】C【解析】在直角三角形中，，则，因为M为BC的中点，所以.设，所以当，即时，原式取得最小值为.故选：C.【一隅三反】1．如图，半径为1的扇形AOB中，，P是弧AB上的一点，且满足，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由题意可知，以O为原点，OP所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系则，设所以则所以当m=n=0时所以选C2．已知是非零向量，且满足，则的形状为（）A．等腰（非等边）三角形 B．直角（非等腰）三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】∵，∴，即.∵，∴，即，∴，即.∵，∴，∴为等边三角形.答案选C3．已知平面四边形满足，，，则的长为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则,设，由，则，所以，又，所以，，即，故选：B.考法二平面向量在物理中的运用【例2-1】已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）A．100 B． C．50 D．【答案】D【解析】如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，根据向量的平行四边形法则，故选：D【例2-2】．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为20N，合力与的夹角为，那么的大小为（）A． B．10 C．20 D．【答案】A【解析】设，的对应向量分别为、，以、为邻边作平行四边形如图，则，对应力，的合力，的夹角为，四边形是矩形，在中，，，.故选：A．【例2-3】．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40m/s，则鹰的飞行速度为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，，且，则.故选:C【一隅三反】1．长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，设和所成角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知有即所以，故选：B．2．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（）A．6 B．2 C．8 D．【答案】D【解析】根据题意，得，的大小为.故选：D.3．长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸点出发，以的速度沿方向行驶，到达对岸点，且与江岸垂直，同时江水的速度为向东则船实际航行的速度为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意画出矢量图如下：为船速及航行方向，，为水速及方向，为实际航行速度及方向，由此.故选：C.4．一辆小车在拉力的作用下沿水平方向前进了米(m)，拉力的大小为牛(N)，方向与小车前进的方向所成角为，如图所示，则所做的功_______．【答案】【解析】拉力可以分解为与平行水平方向的分力和与垂直竖直方向的分力之和，即，其中，∴力对物体所做的功．故答案为：．5．如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？【答案】与铅垂线成角的绳子的拉力是，与铅垂线成角的绳子的拉力是.【解析】如图，作，使，则，.设向量分别表示两根绳子的拉力，则表示物体所受的重力，且N.所以(N)，(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是.5．设作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，若，，且与的夹角为，如图所示．（1）求的大小；（2）求与的夹角．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，，且与的夹角为，（2），，，，，．《6.4.1平面向量在几何和物理中的运用（精练）》同步练习【题组一平面向量在几何中的运用】1．若,且,则四边形是()A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形2．已知正方形ABCD的边长为1，则等于A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（）A．－B．0C．4D．－14．已知正方形的边长为3，其所在平面内一点，满足，则的最大值是__________．5．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.6．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____．7．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.8．如图，在矩形中，，，圆M为的内切圆，点P为圆上任意一点，且，则的最大值为________.9．如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____10．如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.11．如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：（1）BE⊥CF;（2）AP=AB.12．在四边形中，已知，，，.（1）判断四边形的形状；（2）若，求向量与夹角的余弦值.13．已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.14．在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB．【题组二平面向量在物理中的运用】1．如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则G的大小为________，的大小为________．2．如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2），绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为______，______.3．如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.4．设作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与的夹角为，如图所示.（1）求的大小；（2）求的大小.5．如图所示，把一个物体放在倾角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力.已知，求的大小.6．如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．7．一个人在静水中游泳时，速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时，（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进（角度精确到1°）？实际前进速度的大小为多少？8．已知两恒力，作用于同一质点，使之由点移动到点.（1）求力、分别对质点所做的功；（2）求力、的合力对质点所做的功.《6.4.1平面向量在几何和物理中的运用（精练）》同步练习答案解析【题组一平面向量在几何中的运用】1．若,且,则四边形是()A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形【答案】C【解析】∵，∴，，∵，∴四边形是等腰梯形，选：C．2．已知正方形ABCD的边长为1，则等于A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，因为正方形的边长为，则，因为，所以，故选C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为（）A．－ B．0C．4 D．－1【答案】A【解析】依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选：A.4．已知正方形的边长为3，其所在平面内一点，满足，则的最大值是__________．【答案】6【解析】如图，以A为坐标原点建立直角坐标系，则，设，，，整理可得，则，，则当时，取得最大值为6.故答案为：6.5．已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.【答案】5【解析】由题：以为轴的正方向建立直角坐标系，如图所示：设，则，当取得最小值.故答案为：56．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则的最大值是_____．【答案】7【解析】由余弦定理得，，所以以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，，当时，的最大值，最大值是7.故答案为：7.7．如图，边长为2的菱形的对角线相交于点，点在线段上运动，若，则的最小值为_______.【答案】【解析】以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，设，则①，由得②，由①②解得，故.设，则，当时取得最小值为.故填：.8．如图，在矩形中，，，圆M为的内切圆，点P为圆上任意一点，且，则的最大值为________.【答案】【解析】以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系如下图所示，因为在矩形中，，，所以圆M的半径为，所以，，，，，圆M的方程为，设，又，所以，解得，又点P是圆M上的点，所以（为参数），所以，其中，所以，当时，取得最大值，故答案为：.9．如图，已知等腰梯形中，是的中点，是线段上的动点，则的最小值是_____【答案】【解析】以中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如下图所示：由题可知，，设，，故可得，则，故可得，因的对称轴，故可得的最小值为.故答案为：.10．如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：.【答案】证明见解析【解析】【解析】因为是的中点，所以.又因为，所以，所以，即.11．如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：（1）BE⊥CF;（2）AP=AB.【答案】（1）见试题解析；（2）见试题解析【解析】如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴,即BE⊥CF.(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=,∴y=,即P.∴=4=,∴||=||,即AP=AB.12．在四边形中，已知，，，.（1）判断四边形的形状；（2）若，求向量与夹角的余弦值.【答案】（1）四边形是等腰梯形.（2）【解析】（1）由题,因为,,所以,又因为,,所以四边形是等腰梯形（2）设,所以,,因为,所以,解得,所以,,设向量与夹角为,则,故向量与夹角的余弦值为13．已知是等腰直角三角形，，是边的中点，，垂足为，延长交于点，连接，求证：.【答案】证明见解析【解析】如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系.设，则，.设，则.又因为，，所以，所以，解得，所以.所以.又因为，所以，.又因为，所以.14．在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,用向量法证明CD=AB．【答案】见解析【解析】如图所示，设=，=，则与的夹角为90°，故=0.∵=-，(+)，∴||=|+|==，||=|-|==.∴=，即CD=AB.【题组二平面向量在物理中的运用】1．如图所示，把一个物体放在倾斜角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的弹力．已知，则G的大小为________，的大小为________．【答案】【解析】如图，由向量分解的平行四边形法则，计算可得：故答案为：2．如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2），绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为______，______.【答案】5N【解析】设绳子AC和BC的拉力分别为，，物体的重力用表示，则，.如图，以C为起点，分别作，，，则，，∴，，∴绳子AC的拉力大小为，绳子BC的拉力大小为5N.故答案为：，5N3．如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有和的重物，现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为的物体，恰好使得系统处于平衡状态，求正数的取值范围.【答案】【解析】如图建立坐标系，记OB、OA与轴的正半轴的夹角分别为，则由三角函数定义得，，由于系统处于平衡状态，∴∴，【方法一】移项，（1）、（2）平方相加得：，即，而存在正数使得系统平衡，∴△＝，∴.（因滑轮大小忽略，写成亦可，不扣分．这时均为0）由（*）解得，由（2）式知∴，这是关于的增函数，∴正数的取值范围为.【方法二】（1）、（2）平方相加得：，由（1）知，，而∴随单调递增，∴（这里的锐角满足，此时）且（写成不扣分，这时均为0）∴从而，∴，即，∴,∴正数的取值范围为.4．设作用于同一点的三个力处于平衡状态，若，且与