《6.3.2 平面向量数量积的坐标表示》考点讲解复习与同步训练

《6.3.2平面向量数量积的坐标表示》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一数量积的坐标运算【例1】（1）向量，，则（）A．1 B． C．7 D．0（2）已知向量，，则与的夹角是（）A． B． C． D．（3）已知，，则在上的投影的数量为（）A． B． C． D．（4）已知向量，，若，则等于（）A． B． C． D．（5）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围______.【一隅三反】1．向量，则（）A．1 B． C． D．62．向量，，则（）A． B．C．与的夹角为60° D．与的夹角为3．已知向量，则向量在上的投影为（）A．3 B． C． D．4．已知向量，，若，那么m的值为（）A． B． C．2 D．5．已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．6．若向量，，则向量与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．7．平面向量，，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（）A． B． C．1 D．28．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______；考法二巧建坐标解数量积【例2】如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]【一隅三反】1．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，则·=_____.2．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A．1 B． C．－1 D．-23．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若，，则的最小值是（）A．1 B． C． D．考法三数量积与三角函数综合运用【例3】已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.【一隅三反】1.向量，且，则的值为（）A．1 B．2 C． D．32．已知是锐角，，，且，则为（）A．30° B．45° C．60° D．30°或60°3．已知向量,,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角.4．已知向量(1)若，求证：;(2)若向量共线，求.考法四数量积与几何的综合运用【例4】已知向量，，.（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.【一隅三反】1．已知，，，则的形状是（）．A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形2．已知、、且（1）证明：是等腰直角三角形（2）求．3．平面直角坐标系中，已知向量，且．（1）求与之间的关系式；（2）若，求四边形的面积．《6.3.2平面向量数量积的坐标表示》考点讲解答案解析考法一数量积的坐标运算【例1】（1）向量，，则（）A．1 B． C．7 D．0（2）已知向量，，则与的夹角是（）A． B． C． D．（3）已知，，则在上的投影的数量为（）A． B． C． D．（4）已知向量，，若，则等于（）A． B． C． D．（5）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围______.【答案】（1）B（2）C（3）B（4）D（5）【解析】（1）因为，，所以，故选：B.（2）设与的夹角为，则，又，，即与的夹角是.故选：C（3）由题意知，，在上的投影的数量为，故选：B.（4）因为，所以，解得：，故选：D（5）因为与的夹角为钝角，且不反向，，即解得当两向量反向时，存在使即，解得所以的取值范围.故答案为：.【一隅三反】1．向量，则（）A．1 B． C． D．6【答案】D【解析】因为所以故选：D2．向量，，则（）A． B．C．与的夹角为60° D．与的夹角为【答案】B【解析】∵向量，，∴，∴.故选：B.3．已知向量，则向量在上的投影为（）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】因为向量，所以向量在上的投影为故选：A4．已知向量，，若，那么m的值为（）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】向量，，若，则，即，解得.故选：C.5．已知，与的夹角为，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，与的夹角为，，，在方向上的投影为．故选：．6．若向量，，则向量与的夹角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，则，,，.故选：A.7．平面向量，，（），且与的夹角与与的夹角互补，则（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】由已知，，，∵与的夹角与与的夹角互补，∴，解得．故选：A．8．已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______；【答案】【解析】由题意，即，，∴，若，则，解得，综上的范围是．故答案为：．考法二巧建坐标解数量积【例2】如图，边长为1的等边△ABC中，AD为边BC上的高，P为线段AD上的动点，则的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[0，] C．[﹣，+∞） D．[﹣，0]【答案】A【解析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下所示：故可得，设点，因为点在线段上，故可得.故，故当时，取得最小值，当或时，取得最大值.故.故选：A.【一隅三反】1．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，，则·=_____.【答案】【解析】以为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=4，CD=8，若，所以，，，，所以，，则．故答案为：2在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A．1 B． C．－1 D．-2【答案】C【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值．故选：C．3．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为CD，BC上的点，若，，则的最小值是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，以为轴，为轴建立直角坐标系，设，，.故，故，故或.，故，故或.，当时，有最小值为.故选：.考法三数量积与三角函数综合运用【例3】已知向量，，.（1）若，求的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）；（2）时，取到最大值2，时，取到最小值.【解析】（1）因为，所以，于是，又，所以；（2）.因为，所以，从而于是，当，即时，取到最大值2；当，即时，取到最小值.【一隅三反】1.向量，且，则的值为（）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【解析】由题意可得，即．∴，故选A．2．已知是锐角，，，且，则为（）A．30° B．45° C．60° D．30°或60°【答案】B【解析】∵，，且，∴，求得，，由是锐角，所以.故选：B.3．已知向量,,其中,且.(1)求和的值;(2)若,且,求角.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)∵,∴,即.代入,得,又,则,.则..(2)∵,,∴.又,∴.∴==.由,得.4．已知向量(1)若，求证：;(2)若向量共线，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）当时，又（2）因为向量共线，即当，则与矛盾，故舍去；当时，由得：又另解：由得所以考法四数量积与几何的综合运用【例4】已知向量，，.（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）已知向量，，，若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.，，故知，∴实数时，满足条件.（2）若为直角三角形，且为直角，则，∴，解得.【一隅三反】1．已知，，，则的形状是（）．A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形【答案】A【解析】根据已知，有，，，因为，所以，即．故为直角三角形故选：A2．已知、、且（1）证明：是等腰直角三角形（2）求．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：由题意得，因为，所以所以是直角三角形又，，，是等腰直角三角形（2）解：设点，则，，且，解得，，，，，，，．3．平面直角坐标系中，已知向量，且．（1）求与之间的关系式；（2）若，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）16.【解析】（1）由题意得，因为，，所以，即，所以与之间的关系式为：①（2）由题意得，，因为，所以，即，②由①②得或当时，，，则当时，，，则所以，四边形的面积为16.《6.3.2平面向量数量积的坐标表示（精练）》同步练习【题组一数量积的坐标运算】1．已知向量，，则（）A．15 B．16 C．17 D．182．若则（）A．-5 B．5 C．-6 D．63．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B． C． D．-14．已知，，，则（）A． B． C． D．5．已知点，，，，则向量在方向上的投影是（）A． B． C． D．6．已知向量，，，若，，则（）A．14 B．-14 C．10 D．67．向量，，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．8．已知向量，，若，则（）A． B． C．2 D．39．设，且在轴上的投影为2，则（）A． B． C． D．10．已知平面向量，，若，则实数（）A． B． C． D．11．已知向量，若为钝角，则的范围是（）A． B． C． D．12．（多选）已知向量，，若，则（）A．或 B．或C．或 D．或13．（多选）设向量，，则（）A． B．C． D．与的夹角为14．已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.15．已知向量，与向量（1）当为何值时，；（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．【题组二巧建坐标解数量积】1．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.2．如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.（1）求的值；（2）求，夹角的余弦值.3．如图，扇形OAB的圆心角为，，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点.（1）若，试用向量，表示向量；（2）求的取值范围.【题组三数量积与三角函数综合运用】1．已知向量,若,则()A．1 B． C． D．2．已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（）A． B． C． D．3．已知是锐角，，，且，则为（）A．15° B．45° C．75° D．15°或75°4．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．5．已知向量，，则的值为（）A．1 B． C．2 D．46．已知，，其中.（1）求向量与所成的夹角；（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）.7．已知向量，.（1）若角的终边过点，求的值；（2），且角为锐角，求角的大小；8．在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．9．已知向量，向量，函数.（1）求的最小正周期及其图象的对称轴的方程；（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.10．设向量．（1）当时，求的值：（2）若，且，求的值．11．已知向量，，.（1）若，，求实数的值；（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.12．已知，，，若其图像关于点对称（1）求的解析式；（2）求在上的单调区间；（3）当时，求的值.13．已知向量.（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）＝•，则函数f（x）的值域．14．已知向量，，且（1）求及的值；（2）若的最小值是，求实数的值．【题组四数量积与几何综合运用】1．一个平行四边形的三个顶点坐标分别是、、，则第四个顶点的坐标不可能是（）A． B． C． D．2．已知向量．（1）若ΔABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ（2）若点A、B、3．已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．4．已知平面上三点，，.（1）若，求实数的值.（2）若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.5．已知向量=,=,=,为坐标原点.（1）若△为直角三角形，且∠为直角，求实数的值；（2）若点、、能构成三角形，求实数应满足的条件.6．（1）已知向量，满足，，且，求的坐标．（2）已知、、，判断并证明以，，为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．7．已知向量，，，．（Ⅰ）若四边形是平行四边形，求，的值；（Ⅱ）若为等腰直角三角形，且为直角，求，的值．《6.3.2平面向量数量积的坐标表示（精练）》同步练习答案解析【题组一数量积的坐标运算】1．已知向量，，则（）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解析】因为向量，，所以，故选：C2．若则（）A．-5 B．5 C．-6 D．6【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B． C． D．-1【答案】B【解析】由题意，，，可得，则，所以，，所以向量在向量方向上的投影为.故选：B.4．已知，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，，∴.故选：D.5．已知点，，，，则向量在方向上的投影是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，，，，，所以，，则向量在方向上的投影是.故选：A.6．已知向量，，，若，，则（）A．14 B．-14 C．10 D．6【答案】C【解析】向量，，，，可得，解得，，，可得，解得，，则．故选：．7．向量，，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设为与的夹角，，，则，，又，.故选：.8．已知向量，，若，则（）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】，因为，所以，解得：，故选：A9．设，且在轴上的投影为2，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，向量在轴上的投影为2，可设，因为，可得，解得，所以.故选：B.10．已知平面向量，，若，则实数（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，又，，故，解得.故选：B.11．已知向量，若为钝角，则的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】为钝角，且不共线，，解得且，的范围是，，.故选：D.12．（多选）已知向量，，若，则（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】AC【解析】因为向量，，所以，若，则，即，解得或，故A正确，B错；当时，；当时，；故C正确，D错.故选：AC.13．（多选）设向量，，则（）A． B．C． D．与的夹角为【答案】CD【解析】因为，，所以，所以，故A错误；因为，，所以，又，则，所以与不平行，故B错误；又，故C正确；又，又与的夹角范围是，所以与的夹角为，故D正确.故选：CD.14．已知向量，，.若与垂直，则向量与的夹角的余弦值是______.【答案】【解析】由已知，，∵与垂直，∴，∴，∴以．故答案为：．15．已知向量，与向量（1）当为何值时，；（2）当为何值时，求向量与向量的夹角；（3）求的最小值以及取得最小值时向量的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．【解析】（1），，所以时，；（2）由题意，，所以；（3）由已知，所以，所以时，取得最小值3，此时．【题组二巧建坐标解数量积】1．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．（1）求；（2）若（，），求的值.【答案】（1）14；（2）.【解析】如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，，.（1）∵，，∴.（2）∵，，，由，得，∴解得∴.2．如图，在中，已知，，，D为线段BC中点，E为线段AD中点.（1）求的值；（2）求，夹角的余弦值.【答案】（1）6；（2）.【解析】（1）依题意可知为直角三角形，，如图建立坐标系：则，，，因为D为BC的中点，故，∴，，∴.（2）由E为线段AD中点可知，∴，，∴.3．如图，扇形OAB的圆心角为，，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点.（1）若，试用向量，表示向量；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，则，，，，所以，，.设，则，解得，所以.（2）设，则，，则，，所以，其中，（为锐角）.因为，所以，则，，所以的取值范围为.【题组三数量积与三角函数综合运用】1．已知向量,若,则()A．1 B． C． D．【答案】A【解析】由，得，整理得，所以，故选：A.2．已知向量，，将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，将函数的图象向左平移个单位，得到，该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，，，，，又，.故选：D.3．已知是锐角，，，且，则为（）A．15° B．45° C．75° D．15°或75°【答案】D【解析】，，，，又，则，或，解得15°或75°.故选：D4．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，则，即，所以.故选：A5．已知向量，，则的值为（）A．1 B． C．2 D．4【答案】B【解析】，，，，.故选：B.6．已知，，其中.（1）求向量与所成的夹角；（2）若与的模相等，求的值（为非零的常数）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知得：，则：，因此：，因此，向量与所成的夹角为；（2）由，，可得，，，，，整理可得：，即：，，，即，，因此：，即：.7．已知向量，.（1）若角的终边过点，求的值；（2），且角为锐角，求角的大小；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）角的终边过点，点到原点距离为，∴，，∴；（2）∵，∴，，又为锐角，∴，∴．8．在平面直角坐标系中，已知向量，，．（1）若，求的值；（2）若与的夹角为，求的值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）∵，∴，故，∴．（2）∵与的夹角为，∴，故，又，∴，，即．故的值为．9．已知向量，向量，函数.（1）求的最小正周期及其图象的对称轴的方程；（2）若方程在上有解，求实数的取值范围.【答案】（1），，；（2）.【解析】（1）∵，，∴，可得∵，∴因此，的最小正周期.∵，，∴对称轴方程为，.（2）∵，可得，∴，得的值域为.∵方程在上有解，∴在上有解，即得实数的取值范围为.10．设向量．（1）当时，求的值：（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），所以，所以；（2），则，所以，故．11．已知向量，，.（1）若，，求实数的值；（2）记，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴，整理得：∵，，解得：（2）∵，，，∴∵，∴，∴，∴，若恒成立，则恒成立，又∵，∴，故实数的取值范围为.12．已知，，，若其图像关于点对称（1）求的解析式；（2）求在上的单调区间；（3）当时，求的值.【答案】（1）；（2）在上的增区间是，减区间是；（3），.【解析】（1），∴∵的图象关于点对称∴，即，∵∴∴.（2）的单调递增区间为：；单调递减区间为：；所以在上的增区间是，减区间是；（3）∵∴即，解得，13．已知向量.（1）若，求tan2x的值；（2）若f（x）＝•，则函数f（x）的值域．【答案】（1）,（2）【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.（2），因为，所以，所以，所以.14．已知向量，，且（1）求及的值；（2）若的最小值是，求实数的值．【答案】（1），，（2）【解析】（1）因为向量，，所以，，所以因为，所以，所以，（2）由（1）可得，令，则，令，其图像的对称轴为直线，则问题转化为当为何值时，函数在上有最小值，①当时，则函数在上递增，最小值为，不合题意，舍去，②时，则函数在上递减，在上递增，则最小值为，解得或（舍去），③当时，则函数在上递减，最小值为，解得，不合题意，舍去，综上，【题组四数量积与几何综合运用】1．一个平行四边形的三个顶点坐标分别