2024年中考数学复习讲义-等腰三角形

等腰三角形

第1题

如图5-1所示，在正方形ABCD中，点P是线段CB的延长线上的一个动点.连接PA,PD,点M、点N分别为BC,AP的中点，连

接MN交PD于点Q.判断△QPM的形状并加以证明.

解题策略根据图形，不难判断△QPM的形状是等腰三角形.而欲证此结论，则考虑证乙QMP=4QPM,可以构造全等三角形

或利用三角函数来证明这一结论，而构造图形的过程应充分考虑“点M、点N分别为BC,AP的中点”这一条件.

解法一AQPM是等腰三角形.

证明:如图5-2所示，延长BC至点E,使CE二BP,连接AE.

VPB=CE,

.♦.PB+BC=CE+BC,即CP=BE.

：四边形ABCD是正方形，

・・・AB=DC,NABC=NDCB=90。.

在4DCP和4ABE中，

(DC=AB,

\^DCP=乙ABE,

(CP=BE,

AADCP^AABE.

AZ1=ZE.

・；M为BC的中点，

，MB=MC.

・・・MB+BP=MC+CE,即MP二ME.

・・・M为PE的中点.

•・・N为AP的中点，

ANM//AE.

AZ2=ZE.

AZ1=Z2.

・・・QP=QM.

AAQPM是等腰三角形.

解法二4QPM是等腰三角形.

证明:如图5-3所示，延长MN交DA的延长线于点E.过点M作MF1AD于点F,贝!].^AFM=90°.

・・♦四边形ABCD是正方形，

•••乙ABC=乙BCD=ACDA=ADAB=90°,

・•・四边形ABMF,四边形FMCD均是矩形.

:.AB=FM=DC,AF=BM,FD=MC.

•・・点M、点N分别为BC,AP的中点，

AMB=MC,AN=PN.

AAF=MC.

.・•四边形ABCD是正方形，

・・・AD〃BC.

:点N为AP中点，

/.AN=PN.

:.乙E=乙NMP,乙EAN=乙MPN.

.♦.△AEN❷△PMN.

/.AE=PM.

・1AE+AF=PM+MC,即EF=PC.

•••tanz.E=—,tanz.DPC=—.

EFPC

•••乙E=乙DPC=乙NMP.

・・・QP=QM.

•••△QPM是等腰三角形.

解法三4aPM是等腰三角形.

证明:如图5-4所示，过点N作NH1PM于点H,则.乙NHM=90°.

•・•点M、点N分别为BC,AP的中点，

:.MB=^BC,PN=^PA.

•・♦四边形ABCD是正方形，

•••乙ABC=乙BCD=90。,43=CD.

•••乙NHM=/.ABC=90°,

ANH//AB.

NH_PN_PH_1

AB-PA~PB~2

■■-NH=^AB=ICD,BH=^B.

Ill

：,HM=BH+MB=-PB+-BC=-PC.

222

在RtANHM中,tan“MP=器=砥

在RtAPCD中,tanzQPM=*

:.ZQMP=ZQPM.

・・・QP=QM.

・•・△QPM是等腰三角形.

解法四△QPM是等腰三角形.

证明:如图5-5所示，取AD的中点E,连接NE,NB,则AE=|/D.

.・•四边形ABCD是正方形，

•••乙ABC=/-BAD=^°,AD^BC,AD=BC.

：.ZABP=90°,ZADP=ZDPC.

•・•点M为BC中点，

i

：,BM=-BC.

2

VAD=BC,

・・・AE=BM.

♦点N,点E分别为AP,AD中点，

・・・NE〃PD.

•.,在R3ABP中，点N为AP的中点，

i

NB=-2AP=NP=NA.

.\ZNAB=ZNBA.

/.ZNAE=ZNBM.

SANAE和ANBM中,

(NA=NB,

\ANAE=乙NBM,

(AE=BM,

：.ANAE^ANBM.

/.ZAEN=ZBMN.

XVNE//PD.

ZAEN=ZADP=ZDPC.

，ZBMN=ZDPC.

.\QP=QM.

.-.△QPM是等腰三角形.

解后反思我们经常根据“等角对等边”来证明三角形是等腰三角形，进而证明两角相等，可以通过这两角所在的两个三角形全

等来证明；或者计算这两角的同名三角函数值，根据“在锐角范围内，两个角同名三角函数值相等，则这两角相等”这一结论来证明.

当然，还可以依据其他结论为两角相等的几何定理来证明.

举一反三

1.我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系.比如，由等腰三角形的性质“等边对等角”容易得到它的判定“等角对等边”.小明在

学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后，得到如下三个猜想：

(1)若一个三角形一边的中线和这边上的高相互重合，则这个三角形是等腰三角形；

⑵若一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；

⑶若一个三角形一边的中线和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形.

我们运用线段垂直平分线的性质,容易证明猜想⑴的正确性.现请你帮助小明判断他的猜想⑵、(3)是否成立？若成立，请结合图形，

写出已知、求证和证明过程；若不成立，请举反例说明.

2.我们都知道，在等腰三角形中有等边对等角(或等角对等边)，那么在不等腰三角形中边与角的大小关系又是怎样的呢？让我们来探究一

下.

如图5-6所示，在AABC中,已知.AB>4。猜想乙B与/C的大小关系，并证明你的结论.

证明：猜想/C>NB,对于这个猜想我们可以这样来证明：

在AB上截取AD=AC,连接CD.J

AB>AC,.,.点D必在NBCA的内部，/

.SCA>"D

AD=AC,ZACD=ZADC.

又T/ADC是ABCD的一个夕卜角,.：图5-6

ZBCA>ZACD>ZB.gpZC>ZB.

上面的探究过程是研究图形中不等量关系证明的一种方法，将不等的线段转化为相等的线段，由此解决问题，体现了数学的转化思想.

请你仿照类比上述方法，解决下面问题：

⑴如图5-7所示，在AABC中，已知AOBC,猜想NB与NA的大小关系，并证明你的结论；

(2)如图5-8所示，在AABC中，已知NC>NB,猜想AB与AC的大小关系，并证明你的结论；

(3)根据前面得到的结果，请你总结出三角形中边、角不等关系的一般性结论.

3.在AABC中,AB=BC,BD_LAC于点D.

⑴如图5-9所示，当NABC=90。时,若CE平分NACB,交AB于点E,交BD于点F.

①求证:ABEF是等腰三角形；

②求证:BD=|(BC+BF).

⑵点E在AB边上，连接CE若BD4(BC+BE),在图5-10中补全图形，判断NACE与NABC之间的数量关系，写出你的结论，并

写出求解NACE与NABC关系的思路.

解题策略问题⑴①比较简单，将ABEF的各角度数求出即可；②要证明BD=/BC+BF),可先转化为2BD=BC+BF,只需找到一点

M.使BM=BC,则EM=EB+BC,利用中位线2BD=CM,再证CM=EM,NBMC=45唧得证问题⑵可仿照对问题⑴的求解思路进行.

解如图5-9所示，在AABC中,AB=BC,BD_LAC于点D.

，ZABD=ZCBD,AD=CD.

(1)证明:①；ZABC=90°,AB=BC,

ZACB=ZCAB=45°.

：CE平分NACB,

•••Z.ECB=AACE=-AACB=22.5

2

NBEF=/CFD=NBFE=67.5。.

・・・BE=BF.

•••△BEF是等腰三角形.

②证法一如图5-11所示延长AB至点M,使得BM=BA,连接CM.

VBM=BA,AD=CD,

M

：•BDCM.BD=-CM.

2

AZBCM=ZCBD.

由①，知NABC=90。.

:.NABD=NCBD=45。.

•・・BD〃CM,

・・・NABD=NM=45。.

:.ZBCM=ZCBD=ZABD=ZM=45°.

ABC=BM.

VBD/7CM,

/.MC_LAC,ZMCA=90°.

由①知NACE=22.5。，

・•・ZMCE=90°-22.5°=67.5°.

ZBEF=ZMCE.

・・・ME=MC.

ii

­,•BD=-CM=-ME

22

=|(BM+BE),

BD=|(BC+BF).

证法二如图5-11所示.过点C作CM〃BD.交AB的延长线于点M.

.,.MCIAC,?.ZACM=90°.

由①，得乙4cB=45°,

ZM=45°,.\ZACB=ZM.

.\AC=MC.

...△ACM是等腰直角三角形.

VD是AC中点且BD〃MC,

ABD是AACM的中位线.

BD=-2CM.

以下同证法一.

证法三如图5-12所示过点F作FH_LBC,交BC于点H.

:EC平分NACB,:.FD=FH.

设FD=FH=x.

VFH±BC,

ZFHB=90°.

由①狷NCBD=45。，

:.ZHBF=ZHFB=45°,HB=HF.

••・△HBF是等腰直角三角形.

BF=BE=V2x,CD=BD=BF+FD=y/2x+x.

在4FDC和AHFC中,

(乙DCF=乙BCF,

\^FDC=乙FHC,

(FC=FC,

•••△FDC且△HFC.

.\DC=HC=V2x+x,BF+BC=BF+BH+HC=2(&x+x)=2BD.

:.BD=|(BC+5F).

证法四如图5-13所示过点E作EM_LAC,交AC于点M,即NEMA=NEMO90。.

•・・ZA=45°,ZAEM=45°.AZA=ZAEM.

JAM=ME.

・.・CE是NACB的平分线

:.NBCE=NACE,EM=BE=AM.

在RtAEMC和RtAEBC中，

|EM=EB,

ARtAEMC^RtAEBC.

:.MC=BC,AOAM+MC=BE+BOBF+BC.

•••BD=^AC,

ABD=^BC+BF).

证法五如图5-14所示，延长BD至点M,使DM=BD,连接CM.

由题易得4ABC是等腰直角三角形,BD_LAC,

易得4MCB是等腰直角三角形,BC=MC,AB〃MC.

又「ZBEF=ZBFE=ZMFC=67.5°,

ZMCF=ZFCD+ZMCD=22.5°+45°=67.5°,

:.ZMFC=ZMCF.

・・・MF=MC.

图5-14

・♦・△MFC是等腰三角形.

:.BM=2BD=BF+MF=BF+BC.

即BD+

(2)〃CE=沁3。.

如图5-15，与问题⑴②的证法一同理可证BDPC,BD=\PC,BP=BC.

由BO=[(3C+可知APECffiABEF分另!J是等月要三角形.

ZBEF+ZBFE+ZEBF=180°,ZFCD+ZDFC=90°,

XVZBFE=ZDFC,

•••乙EBF=2乙FCD=2Z,ACE=-/-ABC.

2

•••/-ACE=-/-ABC.图5-15

4

解后反思在问题⑴②中，证法一和证法二都是利用中点构造中位线，它们的不同点在于证法一倍长AB,证法二则是构造平

行线；证法三引入参数，这也是解决图形数量关系的常用方法；证法四利用角平分线的性质，体现轴对称思路；证法五倍长中线，体

现旋转思路.

举一反三

1.已知AACB和ADCE均为等腰三角形点A,D,E在同一条直线上,连接BE.

⑴如图5-16所示，若/.CAB=2LCBA=乙CDE=乙CED=50。,则

①求证:AD=BE;

②求"E8的度数

（2）如图5-17所示，若乙4cB=乙DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为AABE中AE边上的高，试证明:AE=2V3CM+

争N.

2.在△ABC中,CA=CB,CD为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P作PE交CD于点E,使乙CPE=|4。4昆过点

C作（CG1PE交PE的延长线于点F,交AB于点G.

⑴若N4CB=90。,则

①如图5-18所示，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；

②如图5-19所示，当点P不与点A重合时，求黑的值；

⑵如果NCAB=a，如图5-20所示.请直接写出啜的值.（用含a的式子表示）

第3题

在AABC中,NABC=45o,AB^BC,BE_LAC于点E,AD±BC于点D.

⑴如图5-21所示，作NADB的平分线DF,交BE于点F,连接AF.求证:NFAB=NFBA;

⑵如图5-22所示，连接DE,点G与点D关于直线AC对称，连接DG,EG.

①依据题意补全图形；

②用等式表示线段AE,BE,DG之间的数量关系，并加以证明.

解题策略⑴由分析可得AADB为等腰三角形，且DF为NADB的角平分线，因此可证AADF和ABDF对称全等，从而得出

角度相等；

⑵通过简单测量，可以发现：BE=AE+DG.利用“截长补短法”解题.

考虑“截长”，可以直接“截长”，在BE上截取BH=AE,连接DH,证明.DG=EH（如证法一）;或在BE上截取EH=AE,连接AH,通过

△AED与AAHB的旋转相似关系证明（如证法二）也可以间接“截长”，过点D作DH±DE交BE于点H,证明.AE=BH,EH=DG（如证法

三）.还可以考虑“补短”（如证法四）.

解⑴证明:如图5-23所示,TAD_LBC,NABC=45。，

，ZBAD=45°.

ZABC=ZBAD.

/.AD=BD.

：DF平分NADB,

.•.Z1=Z2.

在AADF和ABDF中，

(AD=BD,

■.jzl=z2,

[DF=DF,

/.△ADF^ABDE

.,.AF=BF.

.,.ZFAB=ZFBA.

⑵①补全图形，如图5-24所示；

②数量关系是GD+AE=BE.

证法如图5-25所示，在BE上截取BH=4E,连接DH.

VBE1AC于点E,AD1BC于点D,

•••Z.EAD+ZC=90°,AHBD+NC=90°.

.,.ZEAD=ZHBD.

•••乙ABC=45°,

/,DAB=/.ABC=45°.

・・・AD=BD.

在△区40和△HBD中,

(AE=BH,

\^EAD=乙HBD,

(AD=BD,

:•△EAD且△HBD.

，ED二HD.

・•・ZDEB=ZEHD.

点G与点D关于直线AC对称，

:.DG_LAC,NGEC=NDEC,EG二ED.

.♦.GD〃BE.

VBE±AC于点E,AD±BC于点D,

/.ZAEB=ZADB=90°.

•♦.A,E,D,B四点共圆.

.,.ZDEB=ZDAB=45°,

，ZGEC=ZDEC=45°,ZDEB=ZEHD=45°.

NGED=NEDH=90。.

・・・GE〃DH.

.♦・四边形GEHD是平行四边形.

ADG=EH.

:.BE=EH+BH=DG+AE.

证法二如图5-26所示，在EB上截取EH二AE,连接AH.

易知NEAH=NDAB=45。，

・・.NEAD=NHAB.

EA_AD_1

'AH~AB-y/2"

AAAED^AAHB.

:.AAED=乙AHB,BH=mED.

根据“等角的补角相等”可得MED=4AHE=45°.

点G与点D关于直线AC对称，

•••Z-DEG=90°,GE=DE.

•••△GED为等腰直角三角形.

DG=V2ED=BH.

:.BE=BH+HE=DG+AE.

证法三如图5-27所示过点D作.DH1DE交BE于点H.

A

•••/.ADE+Z-ADH=90°.

VAD±BC,

•••乙BDH+乙ADH=90°.

AZADE=ZBDH.

vAD1BC,BE1AC,Z-AKE=乙BKD,图5-27

：.ZDAE=ZDBH.

SAADE和ABDH中，

Z-DAE=乙DBH,

AD=BD,

AADE=乙BDH,

.,.△ADE^ABDH.

・・・DE=DH,AE=BH.

VDH±DE,

:.ZDEH=ZDHE=45°.

VBE±AC,

:.NDEO45。.

点G与点D关于直线AC对称,

・・・AC垂直平分GD.

/.GD//BE,ZGEC=ZDEC=45°.

・•・ZGED=ZEDH=90°.

・・・GE〃DH.

・・・四边形GEHD是平行四边形.

•'GD=EH.

:.BE=EH+HB=DG+AE.

证法四如图5-28所示过点D作DH_LDE,交AC的延长线于点H,连接GH.

类比证法三，可证义

^ADHZ\BDE,DH=DE,AH=BE.H图5-28

点G与点D关于直线AC对称,

AAC垂直平分DG,

/.EG=ED.

又〈DE=DH,

・・・GH=HD=DE=EG.

•/ZEDH=90°,

・•・四边形EGHD是正方形,DG=EH.

BE二AH=AE+EH=AE+DG.

解后反思在几何综合题的分析上，要注意模式识别，通过已经解过的与之相似的题目，获取有效的解题经验.如本题中在证

明三条线段数量关系时，“截长补短”是常见的解题思路.而“截长补短”的处理方法不同，解题难度也会相差比较大，因此在思路受阻时

要尝试使用新的处理问题的方法.

举一反三

1.在2kABC中,AB=AC,乙4=60。,点D是BC边的中点,作射线DE与边AB交于点E,射线DE绕点D按顺时针方向旋转120。,与直线AC

交于点F.

⑴依题意将图5-29补全；

⑵小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF.请帮助小华证明DE=DF;

⑶在点E运动的过程中，直接写出BE,CF,AB之间的数量关系.

2.在等边三角形ABC外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为D.连接BD,CD,其中CD交直线AP于点E.

(1)依题意补全图5-29;

(2)若APAB=30。,求〃CE的度数；

⑶如图5-30所示，若(60。<^PAB<120°,,判断由线段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明.

图5-31

第4题

如图5-32所示，"BD=^ACD=60°,Z.ADB=90°-|/BDC,求证：△ABC是等腰三角形.

解题策略本题证法较多,关键在于利用已知条件乙4DB=90。-亚3。。,为此，既可用构造全等三角形，又可以用构造正三

角形，同时还可以用相似形和圆的有关性质来证明.

证法一如图5-33所示，以AC为边在△48c外作正三角形ACE,则点D在CE上，且.AC=AE.^E=60°.

・"DB=90

•••^ADE=180°-乙ADB-乙BDC

=180。-90•+亚BDC-BDC

图5-32

1

=90°--^2BDC

=ZADB.

在AADB和AADE中,

(Z.ABD=ZE=60°,

AADB=/.ADE,

(AD=AD,

.'.△ADB^AADE.

・・・AB=AE.

・♦.AB=AC,即4ABC是等月要三角形.

证法二如图5-34所示，以点A为圆心，AD长为半径作弧交BD于点E,则AE=AD,NAED=NADB.

1

•••乙ADB=900-*DC,

•••2匕ADB=180°-乙BDC,

即NADB+NADB+NBDO180。.

/.ZADB+ZADC=180°.

VZAED+ZAEB=180°,

ZADC=ZAEB.

图5-34

在4AEB和AADC中，

ZABE=Z-ACD=60°,

Z.AEB=Z.ADC,

AE=AD,

：.AAEB^AADC.

・♦.AB=AC,KPAABC是等月要三角形.

证法三如图5-35所示，设AC,BD相交于点E.

•/ZABD=ZACD=60°,ZAEB=ZCED,

AAAEB^ADEC.

ex--AEDE

Z.BAC=Z.BDC,—=—.

BECE

又「ZAED=ZBEC,

.,.△AED^ABEC.

AZADB=ZACB.

1

•••Z.ADB=90°--Z.BDC,

•••2/.ADB=180°-Z-BDC,

即2乙ACB=180°-乙BDC.

又:AABC+/-ACB=180°-/-BAC=180°-乙BDC,

ZABC=ZACB,SPAABC是等腰三角形.

证法四如图5-36所示,•・•NABD=NACD,

・・・A,B,C,D四点共圆.

:.ZADB=ZACB,ZBDC=ZBAC.

图5-36

1

•••^ADB=90°2ABDC,

•••/.ACB=90°--A2BAC.

.,.2ZACB+ZBAC=180°.

XVZABC+ZACB+ZBAC=180°,

.•.ZABC=ZACB.

.\AB=AC.

AABC是等腰三角形.

解后反思本题中几种证法的关键都是利用已知条件N4DB=90°-证法一构造了一个正三角形，证法四是利用圆

的性质，它们都是化为平角.证法二构造了全等三角形，化为三角形内角和问题，证法三是利用相似三角形直接计算.从证法二、三、

四还可以看出，将题中条件“NABD=NACD=60。”改为24BD=乙ACD"，,命题结论依然成立.

举一反三

1.如图5-37所示,在AABC中,.乙BAC=90°,AB=AC,N4BC的平分线BD交AC于点D,过点C作CE±BD交BD的延长线于点E,求证:

CE=\BD.

图5-37

2.在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为E.连接BE.DE,其中DE交直线AP于点F.

(1)依题意补全图5-38;

(2)若NP4B=20。,求乙4DF的度数；

(3)如图5-39所示，若45°<4PAB<90°,,用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系，并证明.

图5-38图5-39

第5题

在等腰三角形ABC中，

（1）如图5-40所示，若△4BC为等边三角形，D为线段BC的中点，线段AD关于直线AB的对称线段为线段AE，连接DE,则.

NBDE的度数为一；

（2）若△4BC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与点B、点C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转（60。得

到线段DE,连接BE.

①根据题意在图5-41中补全图形；

②在点D运动的过程中，求证：（CD=BE-

⑶如图5-42所示，若4B=AC=kBC.AD=kDE,且AADE=此时BE,BD,AC三者之间满足一定的数量关系，这个数量关系

是.（直接给出结论,无需证明）

解题策略要证明CD=BE,只需要连接AE,并证明A4DC三AAEB;;或过点D作DF〃AB,交AC于点F,证明AADF三段

DEB;或延长CB至点G，使彳导.BG=CD,证明AADC注Z\DEG.

解⑴30。.

⑵①补全图形，如图5-43所示.

②证法一如图5-44,连接AE.

,.•AD=DE,ZADE=60°,

AADE为等边三角形.

VAABC为等边三角形，

，ZEAB=ZDAC,AB=AC,AE=AD.

AEAB^ADAC.

.,.CD=BE.

证法二如图5-45所示过点D作DF〃AB,交AC于点F.

•••△ABC为等边三角形，

.•.AC=BC,ZBAC=60°.

又•.•DF〃AB,

，ZDFC=60°.

.,.△CDF为等边三角形.

.,.AF=BD.

•・•ZADE=ZACB=ZABC=60°,

又因为NDAF+NC+NADC=NEDB+NADE+NADO180。.

:.ZDAF=ZEDB.

又・・，AD=DE,

AAADF^ADEB.

ADF=BE=CD.

证法三如图5-46所示，延长CB至点G,使BG=CD.

•••△ABC为等边三角形，

・・・AC=BC,NBAC=60。.

VCD=BG,

・・・DG=AC.

NADE=NACB=NABC=60。,又：ZDAC+ZC+ZADC=ZEDG+ZADE+ZADC=180°.

:.ZDAC=ZEDG.

又・・，AD=DE,

AAADC^ADEG.

:.CD=EG=BG,ZC=ZG=60°.

**•ABGE为等边三角形.

ABE=BG=CD.

(3)k(BE+BD)=AC.

解后反思等边三角形的三条边相等，三个内角相等，所以我们说等边三角形是最完美的三角形.等边三角形的这一性质使得

通过构造等边三角形更利于在已知和未知之间架起一座桥梁，使分散的未知和已知条件更好地融合起来，再利用等边三角形的性质和

判定定理能有效地解决有关边和角的数量关系问题.

举一反三

1.如图5-47SITU\,D是aABC夕卜一点,AB=AC=BD+CD,NABD=60。.求NACD的度数.

图5-47

2.如图5-48所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE，恰好有4。=BC=CE=。瓦求证：.

ABAC=100°.

E

A

图5-48

第6题

如图5-49所示，在4ABC中,AB=AC,P是底边上任意一点，过点P作.PD1AB于点D,PE±AC于点E,过点B作BF±AC于点F.

求证:PD+PE=BF.

解题策略因为PD1_AB,PE_LAC,BF_LAC,垂足D,E,F都在△ABC的腰上，要证PD+PE=BF,只要能找出这三条线段分别属于

哪个三角形即可；或者连接AP，把AABC分成两个三角形：4ABP和4ACP,并通过这两个三角形的面积和与原来的等腰三角形的面

积相等来证明.止矽卜，根据要证明的等式，可以考虑“截长补短”法证明.彳

证法一如图5-50所示过点P作PH1BF于点H,易证四边形PEFH是矩形./\

・・・PE=HF,HP〃AC,

/.ZC=ZHPB.

VAB=AC,

/.ZABC=ZC,

AZABC=ZHPB.

VPD±AB于点D,

NBDP二NPHB=90。.

SABDP^DAPHB中，

ZBDP=乙PHB,

乙DBP=Z-HPB,

BP=PB,

.'.△BDP^APHB.

APD=BH.

•••PD+PE=BH+HF=BF.

证法二如图5-51所示，连接AP.

VPD1AB于点D,PE，AC于点E,BF±AC于点F,

•••SABP=-PD,SACP=|i4C-PE,SABC=\AC-BF.

■:SAABC=SAABP+SAACP,

111

-2AC-BF=2-AB•PD2+-AC-PE.

又TAB=AC,

.\PD+PE=BE

解后反思等面积法就是利用面积关系确定面积关系式.如要证一个关于线段或角度相等的关系式，可以根据图形，先建立一

个面积关系式，再由面积关系式中找出线段或角度的关系式，进而解决问题.

举一反三

1.