重庆康德卷2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第二次联合诊断考试数学试题（含答案）

2024年普通高等学校招生全国统一考试

高三第二次联合诊断检测数学

数学测试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条

形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在

答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若复数z=（2—a）+（2a—l）i（aeR）为纯虚数，则复数2+a在复平面上的对应点的位置在（）

A.第一象限内B.第二象限内

C.第三象限内D.第四象限内

2.已知a,。是空间中的两条直线，则acb=0是。〃6的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知集合人={1,3},5=卜|(%-4)[%-("2)],,0,4611},若AuB=B，则()

A.a=1B.a=3

C.l<a<3D.啜/3

4.若函数/（£）=5皿2%-0）（0,,0＜兀）在［0,3上单调递增，则。的最小值为（）

71717171

A.—B.一C.—D.一

12643

5.已知等比数列｛4｝满足：=可j，且-劣是％与生的等差中项，则%=（）

A.32B.2C.lD.-1

6.有男、女教师各1人，男、女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少

有1名教师，则不同的选派方案有（）

A.10种B.12种C.15种D.20种

Q

7.已知圆O:x2+y2=3,p是圆。外一点，过点P作圆。的两条切线，切点分别为若尸=—,

-2

则（）

1

A.aB.3C.2A/3D.V15

8.设函数/(x)=ln(x—2),点尤2，/(%2))，其中且'+℃,则直线

X]元2乙

斜率的取值范围是()

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得。分.

9.已知函数〃耳=优+\](a>0,且owl),则()

A"(x)是奇函数B./(2X)=[/(X)]2-2

C./(x)的值域是[2,+8)D.“X)在(—8,0)上单调递减

10.英国经济学家凯恩斯(1883-1946)研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济

的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派•机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入y,

国民消费。和国民投资/,假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：•其中常数4表示

C=aQ+aY

房租、水电等固定消费，。(④1)为国民"边际消费倾向”.则()

A.若固定/且/..0,则国民收入越高，"边际消费倾向“越大

B.若固定y且匕.0,贝V边际消费倾向"越大，国民投资越高

4

C.若。=1,则收入增长量是投资增长量的5倍

41

D.若。=-1，则收入增长量是投资增长量的《

22

n.已知双曲线c：工—斗=1(。〉o力〉0)的左、右焦点分别为月(―c,0),£(c,0),直线/：bx+ay-bc=0

ab’

与C相交于点〃，与C的一条渐近线相交于点N.记。的离心率为e,那么()

A.若NFJNF。,则e=2

B.若MF】±MF2，则e=272

C.阖鹤|=2|M闾，贝罹=友

D.若阿娟..5]上啊，则巴.痣

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.某体育器材店在两个购物平台上均开设了网店，平台一有1万人给出评分，综合好评率为96%,平台二有

2万人给出评分，综合好评率为93%,则这家体育器材店的总体综合好评率为.

13.将一个半径为3？cm的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的底面边长为1cm和

2

2cm,则它的高为cm.

14.记正项数列｛an｝的前n项和为Sn,若S”=〃eN*,则+等的最小值为.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

如图，直棱柱A3CD—A4Gq中，底面A3CD为梯形，AB//DC,且AB=2£>C,E,歹分别是棱AB,

的中点.

（1）证明：平面〃平面C3D；

（2）已知A&=AD=DC=l,/D43=60,求直线与平面4后歹所成角的正弦值.

16.（15分）

在，ABC中，内角C的对边分别为a,b,c,已知/+c?=4+2bccosA，且sinA=2sinBsinC.

（1）若AEL3c于点E，求AE的长；

（2）若。为边3C的中点，ZBAD=-,求8.

4

17.（15分）

某商场推出“云闪付"购物活动，由于推广期内优惠力度较大，吸引了越来越多的顾客使用这种支付方式.现统

计了活动刚推出一周内每天使用"云闪付”支付的人数，用8表示活动推出的天数，y表示每天使用该支付方式

的人数，统计数据如下表所示：

1234567

y613254073110201

根据散点图判断，在推广期内，支付的人数y关于天数X的回归方程适合用y=c•优表示.

（1）求该回归方程，并预测活动推出第8天使用"云闪付"的人数；（Igglgd的结果精确到0.01）

3

（2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表:

支付方式云闪付会员卡其它支付方式

比例30%30%40%

商场规定：使用会员卡支付的顾客享8折，"云闪付"的顾客随机优熟，其它支付方式的顾客无优恐，根据统计

结果得知，使用"云闪付”的顾客，享7折的概率为工，享8折的概率为,，享9折的概率为设顾客购买标

362

价为。元的商品支付的费用为X，根据所给数据用事件发生的频率估计相应事件发生的概率，写出X的分布

列，并求E（X）.

177

参考数据：设匕=炒为"=—2>产159，»>,“产51.30,10°63。4.27,10192。83.18.

7,-=1（-=1

参考公式：对于一组数据（％,匕）,（4，%），.（4#"），其回归直线£=2•"+今的斜率和截距的最小二乘估计

n

公式分别为：8=口-----------2--------------------,d=v-^u.

-nu2

Z=1

18.（17分）

22

己知椭圆C:=+2r=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为E,玛，点AB是其左、右顶点，点、p为C上异于A,B

ab

3

的点，满足直线K4与PB的斜率之积为-耳鸟的周长为6.

（1）求椭圆。的方程；

（2）直线/过点歹2,与椭圆C交于。,后两点，当4DE片外接圆面积最小时，求直线/的方程.

19.（17分）

已知函数/⑴=—»

（1）求“X）的单调区间；

（2）当o<x<i时，y（x）>」一+。，求实数。的取值范围；

（3）已知数列｛4｝满足：且证明：<后鼓也

33-2〃+2

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4

高三第二次联合诊断检测数学参考答案

一、单选题

1-8ABBBDCCA

7.题提示：设==则sina=3,cose==忸卜=心一台,

XX1111

6

cos/APB=cos2df=1-2sin2a=1——-,

x

99

则有PA-PB=|PA|2cos/APB

22

=^2X4-27X2+36=0-解得（2尤2—3）（尤2—12）=0二/=12,即％=26.

ln（x-2）-ln（x-2）（.、ln^-ln^,Ill

8.题提示：=---9----------------,令=改-2。=1,2）,贝|」左7钻二［;一，由—+—=彳则有

“X12Tl玉％22

1叫一1时

=4,则

t2Tl

二,多选题

9.BCD10.AC11.AC

hnh

11.题提示：由条件知=/N4O,tan/NOK=—,cos/NgO=—,sin/,

acc

bx+ay-bc=0

cbe

联立《b可得N，耳(-c,0)6(c,0)

y=­x5'五

、a

5

贝U有—二一+上t=012=3/,所以e=2,A正确.

44a2

B选项：由孙，叫，则有|次|=IccosNNF2。=2a阿|=2csin/N居O=2b,又\MF^\-\MF^=2a,

所以26-2a=2a,b=2a,c?=5/,所以6=右，B错误.

C选项：由版|=2阳阊，则〃但，H，因为〃在C上，所以有工—々^=1,。2=2/,

1111144al16/16/〃

所以e=6\C正确.

1

D选项：由眼耳|—|同局=2a,cosNNB(9=4c团，解得|“用=£2-a

2a

Q2,2O2,22_2

a+c

\MF\=^,由阳耳1251M/可，即"+。解得2/*2,所以i<e<&,D错误.

2a2a2a

三、填空题

12.94%13.^^14.51-(或空)

1433

14题提示：易求得a“上D令/(x)=x2+*^,x>0,则/，(x)=2x旦2(^64)当

2XV7r2r2

尤《0,4)时，/,(x)<0,当尤e(4,+a)时,r(x)>0,所以了(%)在(0,4)上单调递减，在(4,+巧上单

[28c128155「2128”64172。，1282155

调递增.s；+——9+——=——S3+=36+—=——,所以S“+7”的最小值为517(即一[).

33333333

四、解答题

15.(13分)

解：(1)在..ASD中，瓦厂分别为AB,A£>的中点，所以EF〃BD，

因为EF<2平面C.BD,BDu平面C】BD,所以EF〃平面QBD.

因为OC//AB,DC=-AB=EB,

2

由题意QG//DC,DG=DC,

所以E3〃DC且E3=24,四边形BCRE为平行四边形，

故*〃CXB,

因为〃E(Z平面C[3D,C]3u平面GB。，所以QE〃平面G3D.

6

因为EF,D.E为平面REF中两相交直线，所以平面D.EF//平面CXBD.

（2）在ABD中，AD=1,A5=2DC=2,ZDAB=60,

所以3。=百,AD，3。，则AD,DB,DD,两两垂直，

以OA方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系。一孙z，如图.

，A（i,o,i）,G-

BE=[o*o],%=

pO,ll,DC-

I271=

FE,〃二0y=0/、

设平面4屈F的法向量为〃=(%,%2),贝卜即《x+2-O'取"=（一2,°」）,则

FA^.〃=0

COS/DC.,G=,所以直线DC】与平面\EF所成角的正弦值为典.

'/V2.V555

16.（15分）

解：（1）由/+/=4+2Z?ccosA及余弦定理，有〃=2,

由sinA=2sinBsinC及正弦定理，有〃=2Z?sinC,

所以.ABC的面积S=—absinC--a~a--a1=1,

2224

从而—a-AE=1,AE=1.

2

AD_BD

（2）在ABD中，由正弦定理，有sinfi一.兀，所以AD=0sinfi.

sin—

4

因为的面积S谢=gAZZBDsin兀一+=g,

所以后sinBsin[：+5]=1.

7

sin2B+sinBcosB=1,sinBcosB=cos2B,

解得cosB=0或sinB=cosB,

所以8=乌或B=

24

17.（15分）

解：（1）由丁=。/“，得Igy=lgc+lgd,x,设v=lgy,贝i]u=lgc+lgd,x.

7

x=4,v«1.59,^x,2=140,

i=l

7

31马,匕一7•""5i,3-7x4xl.59

lgd=上1.....................=-----------------------x0.24.

a2r—2140-7x16

—7x

i=l

把样本中心点（4,1.59）代入方程得lgc=v-lgJ-%=1.59-0.24x4^0.63,

所以f=0.24x+0.63,即Igy=0.24%+0.63,其回归方程为y=10°-24x+0-63=IO063.IO024",

当x=8时，y=：IO063-10°24x8«4.27x83.18«355..

（2）X的可能取值为：0.7a,0.8a,0.9a,a.

3i33]

P（X=0.7a）=—x—=0.1,P（X=0.8a）=—+—x—=0.35

'7103'710106

3i4

P（X=0.9a）=—x-=0.15,P（X=a）=—=0.4,

分布列如下:

XQJa0.8a0.9aa

p0.10.350.150.4

所以，购物的平均费用为：E（X）=0.7ax0.1+0.8ax0.35+0.9ax0.15+ax0.4=0.885a.

18.（17分）

222『

解：（1）A（—a,0）,8（。,0）,设尸（x。,%）,有—^~+彗~=1=y0_

222

abx0-aa

3Z?233999

又人x」—=—,—a=b—a

x^-a/+a4a244

由题意，|尸司+|P阊+|片阊=6,「.2a+2c=6,即a+c=3,解得"2万=3.

8

22

所以椭圆。的方程为二+乙=1.

43

工匕=1

(2)设直线/:x=Zy+l,联立＜43，得(3厂+4)/+6卬—9=0,

x=ty+l

设。(周，必)，石(々,％)，则闺。|="西+丁+寸=2+gx]=|+；〃,

-2

归目=1+：%，卜—力|•点及到直线I的距离为d=了二.

22\1+Z

DEdxFDFE

DER面积SDEF、=^\\-=^\i\-\i\-sin/Z^E.

设，DE耳外接圆半径为R,

|°目.山必.忻目—J1+/区必.怩同

由正弦定理，有2R=

sin/DF*\DE\-d-2

3

人/---------7EI…9m+16m

令=Ni，则4R=—----

mm3m2+1

42

人9x3+16x,27X-21X+16

令丁=——5----，-则，=一(c2,2

3X2+1(3x~+1

因为2F—4X16X27<0,

,27X4-21X2+16八9X3+16X

所以,=―(3/+.—>°。=3X2+1在[L+")上单调递增，

从而当根=1,即f=0时，R取最小值，即.DE片外接圆面积最小,

此时直线/的方程为：x=l.

19.(17分)

In(2-x)+x

解:(1)于(%)的定义域为(f1)D(1,2),广⑺=2—九

[ln(2-x)]2

12-x+xx

令0(x)=ln(2—x)+—,贝i]0'(x)=一-----1-------T=------T.

2-x2-x(2-x)2(2—4