湖南省湘潭市2024届高三年级下册3月质量检测数学试题含答案

-LF刖湖南省湘潭市2024届高三下学期3月质量检测数学试题

2024届高三3月质量检测试题

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号徐黑，如有改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.设集合A=｛充122k4I+3<0),B=｛Z\lg(x-'1X0｝,IjjlJAA.8—

A.{211〈］42}B.{川2V-V3}

C.{a?|D.{xl0<x<2)

2.已知随机变量X服从.N(O.5./),若P(X4Q3)=0.3,则P(0.3&X00.7)=

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

3.已知之为复数，若zi+i为棋数，则复数z在复平面内对应的点的轨迹方程为

A.笈一、=0B.(J；-I)2+j/2=1

C.j/+l=0D.z+l=0

4.设'等差数列｛斯｝的前几项和为S，若七三853=18,则Ss=

A.34B、35C.36D.38

匚(sin50°+sin70°/小盾4

5-1+cos200-的值丸

A.1B.-yC.jD.2

LJ

6.实验课上“卜明将一个小球放置在圆柱形烧杯口处固定(烧杯口支撑着小球)，观察到小球恰好接

触到烧杯底部.已知烧杯的底面半径为2,小球的表面积为25兀,若烧杯的厚度忽略不计，则烧杯的

侧面积为

A.7rB.2兀C.37tD.47r

7.已知/(工)是定义域为R的偶函数，当工>0时,f(x)=(z+a)卜一5)2，若f(无)有且仅有3个零

点，则关于①的不等式『⑴》子信)的解集为

A.(-OO,-2)IJ(2,+^)

c.(―8,—3)U(3,+OO)D.(―8,—4)U(4,+8)

8.已知W|（）的半&为l./i.B.C为上三点.满足IA由=&.则戈・<AC48d的取值他圉为

A-L1.2]R[1.3]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过

长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为y=AcosKz+g）+6（其中4>0,。>0）,其中y（单位:

m）为港口水深,了（单位：h）为时间（0<1<24）,该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔

最少为6h、且中午12点的水深为8m,为保证安全，当水深超过8m的，应限制船只出入，则下列

说法正确的是

B.最高水位为「12m

C.该港口从上午8点开始首次限制船只出入

D.一天内限制船只出人的时长为4h

10.已知圆锥SO的侧面展开图为一个半圆，AC为底面圆O耨5条直径,AC=2,B为圆。上的一个

动点（不与A,C重合），记二面角S-AB-0为a,S-火。-。为E，则

A.圆锥30的体积为当丁

0

B.三棱锥S-ABC的外接球的半径为母

乙

C.若0=8,则BOJ_平面SAC

D.若tana=2tan则tana=vT5

已知F,,F2分别为双曲线C：z2—/=an>0）的左、右焦点，点乂（1,西）满足端­AM=0,

N为双曲线C的右支上的一个动点，0为坐标原点，则

A.双曲线C的焦距为4

B,直线MF2与双曲线C的左、右两支各有一个交点

C.AN0M的面积的最小值为1

3.ZONM<J

U

【高三数学试题第2页（共5页）】

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在(2+丁)3(1—n)的展开式中。的一次项的系数为(用数字作答).

13.已知F为抛物线C：丁=2/c(力>0)的焦点，0为坐标原点，过F且斜率为1的直线交抛物线C

于两点，直线AO,BO分别交抛物线C的准线于P,Q两点，若双5=4赤，前=幺质，则

/+〃=.

14.已知函数，殳)=工一小!x(a>0),记函数，，=/(工)，y=f(f(z))的值域分别为M,N,若N呈M,

则a的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.(本小题满分13分)

2023年8月8日是我国第15个“全民健身日”，设立全民健身日(FitnessDay)是适应人民群众体

育的需求，促进全民健身运动开展的需要.某学校为了提高学生的身体素质，举行了跑步竞赛活

动，活动分为长跑、短跑两类项目，且该班级所有同学均参加活动，每位同学选择一项活动参加.

统计数据如下表：

长跑短跑

男同学3010

女同学a10

若采用分层抽样按性别从该班级中抽取6名同学，其中有男同学4名，女同学2名.

(1)求。的值以及该班同学选择长跑的概率；

(2)依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否推断选择跑步项目的类别与学生性别有关?

n(ad-be)2

附：/其中n=a~\~b-\~c-\-d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.050.010.001

3.8416.63510.828

16,（本小题满分15分）

设各项都不为。的数列皿J的前”项积为T,,二=2号"•a,，m=2.

（D求数列的通项公式；

（2）保持数列中的各项顺序不变，在每两项g与。*+1之间插入一项2（帆+1—■&&）（其中k—\,

2、3、…）.组成新的数列也），记数列也］的前上项和为S“，若S〃>2023,求n的最小值.

17.（本小题满分15分）

如图，在三棱台ABC-ABC中，△ABC为等边三角形,AB=2AiBi=2,AAJ_平面ABC,M,

N分别为AB,AC的中点.

（1）证明：平面BCCBi〃平面AIMN；

（2）若小瓦LAG，设。为线段BC上的动点，求AD与平面BCGBi所成的角的正弦值的最

大值.

B

18.(本小题满分17分)

已知椭圆常+方=">6>0)的离心率为?,°为坐标原点㈤㈤分别为椭圆。的左、右焦

点，点P在椭圆C上(不包括端点)，当PFZJ_BF2B^,APF,F2的面积为争.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设点A(O,1),B(O,—1),直线PA,PB分别与椭圆C交于异于点P的M,N两点，记直线

PO,MN的斜率分别为M,k2，求的值.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)=zlnx—^-x2—1,aGR.

(1)当a=l时，求/(z)的单调区间；

(2)当aVO时，记户z)的极小值点为々，证明：f(x)存在唯一零点久1,且q〉4x0.

(参考数据：e3六20.85)

【高三数学试题第5页(共5页)】

2024届高三3月质量检测-数学

参考答案、提示及评分细则

题号12345678

答案AcDBcDAB

题号91011

答案ACACDACD

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】A

【解析】由/一4才+3<0,解得1VJTV3,所以A=(H|1VHV3).因为0V才一1V1,所以B={z|1VhV2).故

AClB={*lVx<2).故选A.

2.【答案】C

【解析】由题意.P(0.3&X&0.5)=0.5-0.3=0.2.所以P(0.3&X40.7)=2P(0.3&X40.5)=0.4.故选C.

3.【答案】D

【解析】设N=工+yiQ.ySR).则？i+i=(“+»i)i+i=(H+l)i—».因为？i+i为实数,所以工+1=0.故选D.

4.【答案】B

【解析】53=。|+3+。3=3%=18.解得。2=6.设{。11}的公差为4.0,一八=24=2.解得d=1,所以牝=9.S$=

S3+a«+as=18+8+9=35,故选B.

5.【答案】C

r做好I(sin50°十sin70°尸_[sin(600-10°)+sin(600+100)了_3cos。10°_3_炖*,

【解所】-1+cos20°1+2cos2100-]2cos210°-7，K3S

6.【答案】D

【解析】设小球的底面半径为八则S=4k-=25k,解得r=1•，设圆柱的席为人.由勾股定理可得产=2'+

(/•一人/.解得人=1或人=4(舍去).所以烧杯的侧面积为2Kx2X1=4K.故选D.

7.【答案】A

【解析】因为/⑺为偶函数.有且仅有3个零点,所以/(0)=0.解得a=0.此时当60时,八工)=工卜一打.

/(1r)的零点为一■当工》0时,/\外>/(十).即Xs—3。+-1-x—1-=(彳一十)(工一2)>0.解得工>2,

所以八口〉/(右)的解集为(一8,一2)11(2.+8).故选A.

8.【答案】B

【解析】取AB的中点为D,则|而=十.6"(AC+BC)=2OC-DC=2OC•(OC-OD)=2OC2-2OC-OD

=2—205.历,因为比.方右[一十,].所以2—2比•故选B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6

分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.【答案】AC(全部选对得6分.选对1个得3分，有选错的得0分)

【解析】依题意看=三=6,所以s=会.A选项正确；

4(1)0

当工=12时，kAcos传X12+给+6=8,解得A=4,所以最高水位为10m.B选项错误；

由上可知y=4cos(去r+^)+6.令y>8.解得8-412或20/424,所以从上午8点开始首次限制船只出

人.一天内限制船只出入时长为8h.C选项正确.D选项错误.故选AC.

10.【答案】ACD(全部选对得6分.选对1个得2分.选对2个得4分,有选错的得0分)

【解析】设圆锥母线长为/，已知圆锥底面圆半径r=l，则K/=2“T•.解得/=2,所以圆锥的高h=;席、

网锥体积为:芯，/A选项正确;

设三棱锥S-ABC的外接球半径为R，则（7T—R）2+12=R\解得R=^.B选项错误；

分别作OD.OE垂直BA,BC于D,E.则NSDO=a.NSEO=j9.若a=f,则OD=OE,此时

OBJ_AC,又OBJ_SO.所以BOJ_平面SAC,C选项正确；

若tana=2tan£.则2OD=OE,即2BC=BA,又BC2+BA?=4.解得BC=%.OD=年

方所以tan。=5=K，D选项正确，故选ACD.

11.【答案】ACD（全部选对得6分.选对1个得2分，选对2个得4分,有选错的得0分）

【解析】设O为坐标原点，依题意|乂0|=|061=|0尸21=2,所以‘=2.双曲线。每一*=1的焦距2c=4.A

选项正确；

由A知#2（2.0）,双曲线渐近线方程为y=±工,则直线MF2的斜率为空抖=一有〈一1.所以直线MF2与

X乙

双曲线的右支有两个交点，B选项错误；

设直线l：y=^x+m与双曲线右支相切,联立可得2三+2"〃吹+2+川=（），△=（2万切）2—8（2+。）=0,解得

m=-2或者m=2（舍）.直线OM与/之间的距离为d='=Z£l=1,所以△NOM的面积最小值为J|OM|d=

A/3+T2

1.C选项正确；

由C可知，直线lc=底工一?与双曲线右支的切点为（疯.1）.直线OM与/两平行线之间的距离为1,且|OM|

=2.N到OM中点的距离大于1.所以NONMV手,D选项正确,故选ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】4

【解析】Q2?十（-1）023=12—8=4.

13.【答案】6

【解析】设4（4，“），3（三.”），则尸9=孕.同理//=华.设直线AB：H=、+等.

2PpL

2

将直线AB与抛物线方程联立可得于一2力、一/=0,则V+”=26V“=—",

2（垣十里）.,,

2

Cem_2（xj_\2p2pI_y]+_（y!+j2）—21ylyc

14.【答案】（0.D

【解析】，（­=1-3=二?2,当HS（O.a）时.，（Z）V0，/（H）单调递减，当HS（a,+8）时，，（工）>0,/（工）单

调递增，当x—a时,/（1）取得极小值/（a）=。-alna♦所以M={y\y^a-a\na},当a-alna<0时，M=N,

不符合题意•当a-aIna》0.即OVaVe时♦设=—alna,若N&M.则a—aIna>a,解得OVaVl.

所以a的取值范围是3,1）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.【答案】（Ha410.该班同学选择长跑的概率为（2）选择跑步项目的类别与学生性别无关

【解析】（1）依题意男女同学的比例为2：1.

所以=...................................................................................3分

a十10

故a=10,...................................................................................................................................................................4分

该班同学选择长跑的概率为亦骷%而了枭...................................................6分

JUT1UI1U:八J

（2）零假设H。：选择跑步项目的类别与学生性别无关，

（30+10+10+10）X（30X^0-10X10）2_15_.

Z-（3O+lO）X（lO+lO）X（；?On-J0->X（lO+lO）-_4"川’...........................................11

根据小概率值a=〃01的独立性检验.没有充分证据推断出H,Q成立,因此可以认为Ho成立,即认为选择跑

步项目的类别与学生性别无关....................................................................13分

16.【答案】（l）a.=2"（2）17

【解析】（1）当时.。T=2T~^•a.T.因为兀"2一•«..................................3分

两式相除可得小=空泛...........................................................................5分

a・一】

因为%W0,所以。。-1=2・7•又讯=2•所以a.=21.................................................................................7分

（2）依题意，

S?,=m+2（4一。1）十。.十2（如-a2）+-+aM+2（a.4,I-as）

=a[+牝+…十。。十2沁…+%一田+田一）

=。1+。2+•••十。◎+2（。0十】一a】）=。】+a2+•••+«»+a«+2—02

="--H2“+'-4=3•2"|-6・.......................................................................................................11分

1—2

(S3递增•当n=8时.$6=153(X2023.

当”=9时.Si8=3O66>2O23.

S17=SI6=Sg+a>=153O+512=2O42>2O23.，

综上.”的最小值为17..............................................................................................................................15分

17.【答案】（1）略（2）穹

14

【解析】（1）证明：因为AiG=CN.且AG〃CN.所以四边形4GCN为平行四边形..................2分

因为CG〃AiN.ANU平面ANM.CGQ：平面A,NM.

所以GC〃平面AiNM.又BC〃MN.MNU平面AiNM.BCO平面AiNM.所以BC〃平面AiNM.

因为BCU平面BCGB-CCU平面BCGB-CBnCG=C.所以平面BCGBi〃平面AiMN；..............5分

（2）连接BN,因为AA】_L平面ABC.且AA】U平面AACC.所以平面ABCJ_平面AA,C,C.

又平面ABCn平面AAiaC=AC.BNJ_AC.BNU平面ABC.

所以BNJ_平面AAGC,所以BNJ_AG.................................................................................................7分

又AiBj_AG.BAiDBN=B.BAi.BNU平面BNAi所以AG_L平面BNAi.AGJ_A】N.

故四边形AiANG为正方形.AAi=l........................................................................................................8分

建立如图所示空间直角坐标系.

则A1(O.O.1).C1(1.O.1).C(2.O.O).B(1.V3.O).

不妨设比=2就ae[0.门).

D(2-A,</3A,0),ATD=(2-A.V3A.-1)............................................10分

设平面BCGBi的一个法向fit为"=(z.y.z).

由我?=(-1.0.1).荏=(一1.四.0).

in•CCi=0.(—x+z=0.「「

令《一得V令y=l.可得再).........12分

1n•CB=O.x+v3j=0<

则Icos<n.A?D>|=J>(2T)+屈一'I=_疯g穹(当且仅当；I=J时取"=”)•

s/7Xy(2-A);+3A-+l#X，⑵一D；+414'2'

所以AD与平面BCGB所成角的正弦值的最大值为穹.........................................15分

14

18.【答案】⑴毛+乎=1⑵一十

【解析】（1）当PBLBF?时.将H=C代入椭网方程可得J+g=l.解得|y|=£.................................2分

aoa

由题IT意・得一解得a=2四.6=点.

192「心蜉.

所以C的方程为得+4=1;......................................................................................................................5分

JLJ

（2）设M（工i3N（q・y；）・P（工。,“）•由于P在椭圆C上.所以京+4工=12・....................................6分

直线PA：y=&二L+1,与桶网C的方程联立.消去》整理可得(2—％++才。(y。一1)才一焉=0.

Xo

/。

由韦达定理可得•故xi9分

2一%jo—2*Ji

直线PB：y=泡土L—1.与椭网C的方程联立,消去y整理可得(仙+2)三一才。(仙+1)才一焉=o.

To

右,▼一一元右■-一才。—>。+1XZ才。1一2》。+3z/1。2%+3\

有不花一RTT有八一K5一%X斤较1-戈铉,N(左加量力.......13分

2y£>-3T2%+3

故4=21^=SFL一/.................................................16分

X1-x2Xo.JoZyoJToZyu

Jo-2jo+2

又及=弛•所以及灯=--1-・..........................................................................................................17分

JToJT0\乙》0'乙

19•【答案】(1)详解见解析(2)略

【解析】(1)当a=l时■/(工)=jrln1一号一1.f(o-)=In1一1+1.

设g(«r)=lnx-«r+l,则1(幻=+一］=1才..................................................................................................2分

当工£(0・1)时•/(I)>()・g(i)单调递增;

当/£(1,+8)时./(/〈0喑(/单调递减.

当x=l时.g(i)取得极大值g(1)=0.所以g(i)&0,即，(工)40,

所以/(―在(0・+8)上单调递减,无单调递增区间；...............................