2023届山东省日照市高三年级上册校际期中联考数学试题(解析版)

2023届山东省日照市高三上学期校际期中联考

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.若复数z=—则复数Z在复平面内对应点的坐标为（）

1-i

A.（1,-1）B.（-1,1）C.（1,1）D.（-1,-1）

2.已知集合4=32，＜4｝,B=｛x|（x-4）（x-l）＜0｝,贝（）

A.{x|l<尤<2}B.1x|2<x<4}C.^x|2<x<41D.{%上<2或％24}

y4-1

3.不等式2的解集为（）

x-5

A.3%>11或％<5}B.1x|5<x<111C.1x|-l<x<51D.或%>5}

4.函数y=（l—泊71cos+j的图象可能为（）

5.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之

际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的窗花（如图1）.已知正方形ABCD

的边长为2,中心为。，四个半圆的圆心均在正方形ABC。各边的中点（如图2）,若点P在四个半圆的圆

弧上运动，则ABOP的取值范围是（）

图1

A.[-2,2]C.[-3后,3回D.[—4,4]

6.“数列｛4｝为等比数列”是“数列｛1g何小为等差数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.正项数列｛。“｝中，4+1=总“（k为常数），若。2021+々2022+“2023=3，则^（）21+成）22+W）23的取值范

围是（）

A.[3,9)B.[3,9]C.[3,15)D.[3,15]

8.已知平面向量入b,c满足a_Lb,且同=忖=4,卜+/?-4=2,则|a-c|+21-c|的最小值为

()

A.475B.2A/17C.275D.717

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.已知等差数列｛。“｝的前。项和为S“，若。2=3,S2=7,贝U()

A.an=5-n

B.若Clm+Cln=+〃10，则1-的最小值为

mn12

C.取最大值时，c=4或"=5

D.若S〃>0,〃的最大值为8

10.函数/(x)=3sin(〃沈+O)(G>O,O<0<»)的部分图象如图所示，则()

51

A./(%)=3sin2x+

~8

B.〃尤)图象的一条对称轴方程是X=-2

8

C.图象的对称中心是族—，左GZ

D.函数y=+是偶函数

11.若4=6°」，b=ln—,c=—,贝U(

1011

A.a>bB.a<cC.b<cD.a>c

12.已知定义在R上的函数〃尤)满足〃x)=/(8—x)+/(4),又+句的图象关于点(—71,0)

对称，且/（I）=2022,则（）

A.函数〃龙）的一个周期为16B./（2023）=-2022

C.“X）的图象关于直线x=12对称D.〃2x—1）+»的图象关于点',万]对称

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若0＜。＜—,sin6=—,则sin20+cos26»=

25

14.设a,b为两不相等的实数，若二次函数/"户三+⑪+人满足〃a）=/0）,则"2）的值为.

15.已知函数〃x）=｛64V），其中mN—1.若存在实数b,使得关于x的方程

[2*-3,%＞相

有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是.

16.对任意闭区间/,用表示函数丁=以%》在/上的最小值.若正数C满足Mpa]=M[a,2a]，则正数

a的取值范围为.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）

在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,点。满足3BD=BC,且A£＞-AC=0.

（1）若b=c,求A的值；

（2）求B的最大值.

18.（12分）.

已知等差数列｛4｝,分别从下表第一、二、三行中各取一一个数，依次作为。1，。2,。4,且为，。2,。4中

任何两个数都不在同一列.公比大于1的等比数列｛2｝的前三项恰为数列｛4｝前5项中的三个项.

第一列第二列第三列

第一行802

第二行743

第三行9124

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式;

（2）设g=他,求数列｛g｝的前n项和

4+4+2

19.（12分）

设函数〃%）=[依2-（3a+2）x+3a+4]e".

（1）若曲线y=/（x）在点（2,/（2））处的切线斜率为0,求实数a的值;

（2）若y=/（x）在x=l处取得极小值，求实数a的取值范围.

20.(12分)

已知数歹1J｛%„｝是各项均为正数的等比数列，且%+%=3,%3-x2=2.

(1)求数列｛%｝的通项公式;.

⑵如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接片(七,1),£(*2,2)，……，月%+i，〃+l),得到折

线《鸟，……Pn+l,求由该折线与直线y=0,X=X1,x=x“+i所围成的区域的面积看.

如图，某公园拟划出一块平行四边形区域ABC。进行改造，在此区域中，将NOCB和NDAB为圆心角的两

个扇形区域改造为活动区域，其他区域进行绿化，且这两个扇形的圆弧均与B。相切.

(1)若4D=40,AB=30,BD=14屈(长度单位：米)，求活动区域的面积;

3

(2)若扇形的半径为10米，圆心角为一"，则NBDA多大时，平行四边形区域ABC。面积最小?

4

22.(12分)

已知函数/(x)=；/+(a+l)x+alnx,

6ZGR.

(1)求函数“X)的单调区间;

(2)已知关于X的方程/(x)-：——以=0有两个解石,42(不<9)，

(I)求实数a的取值范围；

(II)若;I为正实数，当s=2(石+/)时，都有/'(s)>0,求％的取值范围.

2022年高三校际联合考试

数学试题答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1-4BCAC5-8DAAB

1.【答案】B,解析：Z=—=i(l)_li,

1-i(l-i)(l+i)=I+i'=+

因此，复数z在复平面内对应点的坐标为(一1,1).故选B.

2.【答案】C,解析：

因为A=<4}={小<2},B=|x|(x-4)(x-l)<o|={%]<%<4卜

所以隔24)<^3={%,22}7%,<1<4}={%|24尤<4}.故选C.

3.【答案】A,解析：因为土n<2,3—2<0,土里>0,所以不等式山<2的解集为

x—5x—5x—5x—5

|x|x>n或％<5}・故选A.

4.【答案】C,解析：记〃x)="一971cos+“=sinx)=1^-sinx,

l-2-x2X-11—2*.

则〃-x)=•sin(-x)•sinx=--------smx

2-x+l2X+12X+1

因此函数y=（l一]2m・cos15+x）是偶函数，故排除AB；

1-2*1-2X

当0<x<%时，-----<0,sinx>0,因此〃x）=----------sinx<0,排除D；故选C.

2X+1V'2A+1

5.【答案】D,解析：ABOP=||0P|cosAB,0P）,即,目与OP在向量A3方向上的投影的积.由

图2知，。点在直线AB上的射影是4B中点，由于AB=2,圆弧直径是2,半径为1,所以0P向量A3方

向上的投影的最大值是2,最小值是一2,因此AB-OP的最大值是2X2=4,最小值是2X（―2）=~4,

因此其取值范围为[—4,4],故选D.

6.【答案】A.解析：

解析：数列｛g｝为等比数列，设其公比为q,则｛,/｝也为等比数列，且|为|>0，

所以坨况/—啕。」=坨牛¥=回寸，所以，｛1g®|｝为等差数列，

\an\

反之，若数列｛1g同｝为等差数列，例如则同=1,1g⑷=0,

满足数列｛坨|4|｝为等差数列，但推不出“数列｛/｝为等比数列”（a“正负随取构不成等比数列）.所以,

“数列｛4｝为等比数列”是“数列｛1g|4|｝为等差数列”的充分不必要条件.故选A.

7.【答案】A解析：因为。20，1+“2022+。2023=3，所以e2221+g02。+如，02,=3，

k

、3

以。2022=-i

L+l+k

k

令"：+人峰2），化简可得/+域。22+嘘3=9（产—1）.,

(?>2),所以/(1)e[3,9).故选A.

8.【答案】B,解析：设OA=a=（4,0）,。8=〃=（0,4）,则a+Z>=（4,4）,卜+人―c|=2,

即C在以。（4,4）为圆心，2为半径的圆上，如图，取E（4,3）,贝I]CD=2OE=2,AD=2CD=4,所以

有ADAC〜ADCE,所以AC=2CE,又因为欠—小T台。，|a—C|=|AC],

所以|a—c|+21—c卜|AC|+2|BC|=2同+2因>2BE=2折.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9.ACD10.BD11.AD12.ACD

CL—4,

9.【答案】ACD【解答】由题意得01=4,02=3,可得,

d——\

则等差数列｛%｝的通项公式为4=5-〃,则选项A判断正确；

若=。2+〃io，则m+n=2+10=12

1〃16m4。7+8）*

——17+—+——

121mn

（当且仅当m=一，n=一时等号成立）

55

又m,neZ,则工+3的最小值不是空.则选项B判断错误；

mn12

等差数列｛%｝中，。］=4>。2=3>。3=2>〃4=1>〃5=°>。6=—1>…

则等差数列｛4｝的前"项和S”取到最大值时，n=4或n=5.则选项C正确;

“（4+5-"）n（9-n）

Sn=-^-------——^>0,得0<〃<9则选项D判断正确故选：ACD

22

【解答】解：由函数〃x）=3sin3x+0）的图象知，gT=

10.【答案】BD。，所以

2

7171

T=i；即』="，解得0=2,所以〃x）=3sin（2x+0）,由五点对应法，得2x

3+9=5

解得夕=今，所以/（x）=3sin12x+3»

，选项A错误.

当、=一臣时’2"+今=所以/（X）的一条对称轴方程是X=-基,选项B正确.

人-37r,,e,n1,37r

々2%H...-kji，k£Z,触得x——kji----，k£Z,

428

所以/（X）的对称中心是点京—子,0

kez,选项C错误.

y=/fx+—=3sinf2x+—+—=3sinf2%+—^=3cos2x,

I8JI44JI2)

是定义域R上的偶函数，所以选项D正确.

11

1L【答案】AD【解答】。二网=/，令/

Z?=l+ln(l+4)，令g(x)=l+ln[l+J,c=l+]I]。,令h(x)=1+】1

当x>。时，cx〉—F1>InT1H-]+1>1------F1=-----\-1.所以取x=10,a>b>c.

X\X)]+,x+1

X

12.【答案】ACD【详解】由〃X)=/(8—力+〃4),令x=4,得

/(4)=/(8-4)+/(4),44)=0,

所以/(力=〃8—尤)，〃力关于直线X=4对称.由于的图象关于点(F,0)对称，

所以〃龙)的图象关于(0,0)对称，所以“X)是奇函数.

所以/(%+16)=/(8-(-8-x))=/(-8-x)=-/(x+8)=-f(8-(-%))=-f(-%)=f(%),

所以的周期为16,A选项正确.

f(2023)=/(126xl6+7)=/(7)=/(l)=2022,B选项不正确.

结合上述分析可知，/(力的图象关于直线x=4+8k(kez)对称，故C选项正确；

/(%)关于点(8k,0)(kGZ)对称，

所以〃2x—1)关于点(kez)对称，

所以/(2x—1)+乃关于点[今已,万](kez)对称，

令k=0,得/(2%-1)+77■关于点乃]对称，D选项正确.故选：ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.114.415.[-1,2)16.<aa=兀或>.

13.【答案】-【详解】因为0<。〈工，sin，=3,

525

4

由sin2e+cos?8=1,得cos8=一,

5

QQ

sin26^+cos20=2sin<9cos+cos20故答案为：一.

55

14.【答案】4【详解】由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得巴心=一处,即2。+匕=0,所

22

以〃2)=4+2a+Z?=4.

15.【答案】［—1,2)解析:当一2<xWm时,/(x)=log4(%+2)是增函数；

当x〉加时，f(x)=2*—3也是增函数，所以当点(;n,log4(加+2))在点(肛2"'-3)上方时，存在实数b,

使直线y=b与曲线y=/(x)有两个交点，即存在实数b,使得关于x的方程/(x)=b有两个不同的实数

根，所以1084(加+2)>2"'—3即1084(加+2)>—2"'+3>0,令g(x)=log4(x+2)—2*+3,^>-1,

所以""启-2一2'

因为当1,函数y=7~~b=单调递减，函数y=2%单调递增,

(x+2)ln4

所以当行一1时'/(、)=号启一21n2单调递减,

，/、1In2l-(ln2)-，/、1

又=-----------=―__^->0,g'(2)=------41n2<0,

''21n222In2、78In2

所以存在不«—1,2),使得g'(xo)=。，

所以当，gr(x)>0,g(x)单调递增：当XG(Xo，T8),g'(x)<0,g(x)单调递减,

因为g(—l)=logj—；+3>0,g(2)=log44-4+3=0,所以当尤e［—1,2)时，g(尤)>0,

故m的取值范围是［—1,2),故答案为：［—1,2)

、37r

16.【答案】\aa-7i^a>——>

2

【解析】①当0<。时，0v2aV»,y=cosx为在［0,2。］上为减函数，所以妁。司=cos。，

”[a,2a]=cos2a,得cosa=1或cosa=——不合题意;

JT

当一<。《万时，有乃<2。<2万，叫0阂=cos。，M=-1，得a==；

2[a2a]

当》<a-时，有2»v2a<3»，=-1,M^a2a^>-1,不合题意；

37r

当——0a<2〃时，有3乃<2。<4乃，Mr9n=-L适合题意；

当a»2乃时，［a,2a］的区间长度不小于2»,故/.㈤=—1,M［a2a］=-1,适合题意.综上正数a的

取值范围为《aa=7i^a>—>

2

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解：（1）因为AD-AC=0,所以［A5+：3C；AC=0,

即(2AB+，AC].AC=O,

133J

所以(243+工4。1-4。=243.4。+,4。.4。=260(：054+,62=0,

U3；3333

因为b=c,所以cosA=-工，

2

27r

因为0<A<»,所以A=」.

3

(2)因为A£>-AC=(2AB+LAc]-AC=2AB.AC+，AC-Ae=26ccosA+!62=。

U3J3333

—bccosA+—b2=—bc^+<~———+—b2=0

由余弦定理得,

3332bc3

即2"+。2一〃=o,

222

a3c2

2a2+ac---c----

2万+三;6

2ac2ac2ac2

2Q2

当且仅当幺二匕时，即〃=百。时，取等号.

22

7T

因为0<5<»，所以B的最大值为一.

6

18.解：（1）由题意可知，｛4｝满足q=0,g=3,%=9,

则公差d=g—囚=3,所以数列｛4｝的通项公式为%=3（〃—1）=3”—3；

｛%｝的前5项为0,3,6,9,12,所以数列出｝的前三项为3,6,12,

n

所以公比q=%=2,bn=3-2-'.

4

地(3-3)x32-2"2"i

⑵Cn=

an+ian+23〃(3〃+3)n+1n

123

(22八r22n<222、(2"2'T'二一1,

+-+■+--+

(217V327V43Jj+1n)n+1

所以数列｛5｝的前n项和4

19.解：(1)

因为/(%)=［依2-(3〃+2)x+3a+4］e",所以/r(x)=|^ax2-(a+2)x+2］e"

因为曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为0,所以/'(2)=(4a—2a—4+2y=0,

解得0=1;

(2)广(%)=［<xv2-(a+2)x+2］e*=(x-l)(ot-2)e”,

①若a=0,则x<l时，f(x)>0,单调递增；x>l时，/(%)<0,/(%)单调递减，故在x=1处

/(%)取得极大值，不符合题意；

②若a=2,则/'(耳=2(%—1)2/20,/(%)单调递增，无极值，不符合题意；

2

③若0>2,则一<1,

a

22

当％<—或x>i时，当一<%<i时，yf(x)<o,

故/(%)在［亍,1］单调递减；在(1,内)，1―应:］单调递增，

可得〃尤)在x=l处取得极小值，符合题意；

2

④若0<a<2,则一>1,

a

22

当x<l或x>—时，/r(x)>0；当1<%<—时，/r(x)<0,

故在单调递减；在t，+s］，(—8,1)单调递增，

可得/(尤)在X=1处取得极大值，不符合题意；

2

⑤若o<0,则一<1,

a

22

当x<—或x>l时，/'（x）vO；当一<x<l时，

故在偿,11单调递增；在（L+8），单调递减，

可得/（X）在X=1处取得极大值，不符合题意；

综上可得，a的范围是（2,+8）

20.解：⑴设数列｛七｝的公比为q,由己知q>0.

\+x,q=?>,

由题意得2，所以3乡2-5q—2=0,

x｛q~-xxq=2

因为q>0,所以q=2,Xi=l,

因此数列｛七｝的通项公式为%„=2"T.

（2）过生，P2,……，Pn+l分别向x轴作垂线，垂足分别为Qi，d2,……，Qn+1,

由（I）得X用_X“=2"T

记梯形匕巴MQMQ”的面积为此

由题意么=（〃+；+l）><2"T=（2"+1）X2"-2,

所以7；=61+62+63++优

=3x2-1+5x20+7x21++（2n-l）x2n-3+（2n-l）x2n-2©

又27；=3x2°+5x2x+7x22++（2n-l）x2n-2+（2〃-1）义21②

①一②得—7；=3X2-1+（21+22++2,,-1）-（2n+l）x2"-1

（2〃—l）x2"+l

所以——g——

AZ^+A^—»402+302-100x371

21.解：（1）在△ABD中，由余弦定理，cosA=

2ADAB2x40x302

2

故A二一»,

3

AD,故sinNA8£>=42sin2%=隹，所以扇形的半径

又由正弦定理有—

sin120°sinZABDBD3国

r=ABsinZABD=3Q-=^^-,故活动区域的面积

V37V37

7200»

5=2x-x—x

12337

31

(2)设/5八4=6,则NAB£>=乃一一n-6=-n-e.

44

10

故AD=1°,AB=

sin。

sin

故平行四边形ABCD面积

10.37r100100

。c110=2-----------•-s-in——=.邑

2sin。.42sin6(-cossin2*6

sinsin0-(cos0-sin

200_200

sin2^+cos2^-1仄."八.

，2sm20+--1

I4j

因为二］,当sin(2，+工］=1,即2夕+工=工，8=工时，即N&M=工时，平行四边形区域

I4jI4j4288

ABCD面积最小.

22.解：(1)因为/(同=；*2+(a+l)x+alnx(x>0),所以

x2+(〃+l)x+〃(x+tz)(x+l)

f,(x)-x+(a+l)+—=

XX

，/、(x+\\(x+a\/、/、

当“2。时，/(力=*1——~——Z>0,故/(力在(0,"o)上单调递增；

当a<0时，令/'(X)<0得0<x<—a；令/'(%)>0得x〉-a；

所以/(%)在(0,-a)上单调递减，在(—a,+00)上单调递增，

综上：当a»0时，/(尤)的单调递增区间(0,+8)；

当a<0时，/(%)的单调递减区间为(0,—a),单调递增区间为(—a,内).

1V"

(I)法一：由——X2-ax=0,得x+alnx=0,即o=------,

v72Inx

此时方程/(x)--以=0的根的个数

Y

等价于直线y=a与函数y二--图像交点个数，

Inx

令g(%)=土，x=l是函数g(x)渐近线，gr(x)=--见

In%(in%)

当0vx<l时，g'(x)>。，g(x)单调递增，且g(x)>0,

当%>1时，g(x)<0,

l<x<e时，g'(x)>0,g(x)单调递增，时,g'(x)v0,g(x)单调递减,

故x=e时，g(x)取得极大值，且g(e)=-e,%—+1,g(x)f—o,%—转，g(x)f-8,

故当〃<一6时，直线y=a与函数y=g(%)图像有两个交点,

此时方程/(X)-；/-以=0有两个解,

综上，实数。的取值范围为(-8,-6).

法二:即x+〃lnx=O有两个解石,工2(不<X2)，