押湖南省卷 9题、15题、18题、24题（相交线与平行线、三角形、四边形、圆）（解析版）

押湖南省通用卷9题、15题、18题、24题（相交线与平行线、三角形、四边形、圆）押题方向一：相交线与平行线1．（2023•岳阳中考）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF＝40°，则∠EGF的度数是（）A．40° B．45° C．50° D．60°解：∵EG⊥EF，∴∠FEG＝90°，∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，∠AEF＝40°，∴∠BEG＝180°﹣∠AEF﹣∠FEG＝50°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠BEG＝50°．答案：C．2．（2023•永州中考）如图，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，则∠D＝100度．解：∵AB∥CD，∠B＝80，∴∠BCD＝∠B＝80°，∵BC∥ED，∴∠D+∠BCD＝180°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣80°＝100°．答案：100．3．如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．70°解：如图所示，∵直线a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．答案：B．4．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的度数为30°．解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，答案：30°．押题方向二：三角形5．（2023•衡阳中考）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm解：A、∵1+2＝3，∴长度为1cm，2cm，3cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵3+5＝8，∴长度为3cm，8cm，5cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；C、∵4+5＜10，∴长度为4cm，5cm，10cm的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；D、∵4+5＞6，∴长度为4cm，5cm，6cm的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；答案：D．6．（2023•株洲中考）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD=12AB＝3答案：B．7．（2023•常德中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．（1）求证：△BAE≌△CAE；（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．求证：①AF•MH＝AM•AE；②GF＝GD．证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，又∵E在AD上，∴EB＝EC，在△BAE和△CAE中，AB=ACEB=EC∴△BAE≌△CAE（SSS）；（2）①连接AH，∵A，H分别是ED和EC的中点，∴AH为△EDC的中位线，∴AH∥DC，∴∠EAH＝∠EDC＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°，又∵HG∥AB，∴∠FAD＝∠AMH，∴△AFD∽△MAH，∴AFAM∴AF⋅MH＝AM⋅AD，∵AE＝AD，∴AF⋅MH＝AM⋅AE；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，∴∠AHM＝∠ACB，∴△AMH∽△DAC，∵A、H分别为ED和EC中点，∴AH为△EDC的中位线，∴AMAD∴AM=12AD，即M为∵AF∥GH，∴G为FD中点，∴GF＝GD．8．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．3，4，7 B．6，7，12 C．6，7，14 D．3，4，8解：A、∵3+4＝7，∴不能组成三角形，本选项不符合题意；B、∵6+7＞12，∴能组成三角形，本选项符合题意；C、∵6+7＜14，∴不能组成三角形，本选项不符合题意；D、∵3+4＜8，∴不能组成三角形，本选项不符合题意；答案：B．9．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，连接MC，MD，CD，若CD＝6，则△MCD的面积12．解：过M作ME⊥CD于E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中点，∴CM=12AB＝5，MD=∴CM＝DM，∵ME⊥CD，CD＝6，∴CE＝DE＝3，由勾股定理得：EM=C∴△MCD的面积为：12答案：12．10．（1）问题发现：如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连接CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D点在边BC的延长线上，连接CE．请判断：①∠ACE的度数为45°．②线段BC，CD，CE之间的数量关系是BC+CD＝CE．（3）问题解决：在（2）中，如果AB＝AC=2，CD＝1，求线段DE（1）问题发现：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）类比探究：①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，在△ACE与△ABD中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，答案：45°；②∵△ACE≌△ABD，∴BD＝CE，∴BC+CD＝CE，答案：BC+CD＝CE；（3）问题解决：解：在（2）中，同（1）的方法可证：△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，在Rt△BAC中，AB=AC=2∴BC=A又∵CD＝1，由（2）得CE＝BC+CD＝3，在Rt△BAC中，DE=C则线段DE的长是10．押题方向三：四边形11．（2023•永州中考）下列多边形中，内角和等于360°的是（）A．B．C．D．解：A．三角形的内角和为180°，则A不符合题意；B．四边形的内角和为360°，则B符合题意；C．五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，则C不符合题意；D．六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，则D不符合题意；答案：B．12．（2023•株洲中考）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分线AE交线段CD于点E，则EC＝2．解：∵四边形ABCD是平行四边形；∴AD∥BC，DC＝AB．∴∠DEA＝∠EAB，∵∠DAB的平分线AE交DC于点E，∴∠EAB＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE，∵AD＝3，AB＝5，∴EC＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，答案：2．13．（2023•株洲中考）如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F分别为BH、CH的中点．（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．（1）证明：∵点D、E分别为AB、AC的中点，点G、F分别为BH、CH的中点，∴DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线，∴DE∥BC，DE=12BC，GF∥BC，GF=∴DE∥GF，DE＝GF，∴四边形DEFG为平行四边形；（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG＝EF＝2，∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°，∴BG=B即线段BG的长度为5．14．（2023•湘潭中考）如图，菱形ABCD中，连接AC，BD，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．20° B．60° C．70° D．80°解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，答案：C．15．（2023•张家界中考）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求证：AE∥BF；（2）若DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形．证明：（1）∵AD＝BC，∴AD+CD＝BC+CD，∴AC＝BD，∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD（SSS），∴∠A＝∠B，∴AE∥BF；（2）∵△AEC≌△BFD（SSS），∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF，∵EC＝DF，∴四边形DECF是平行四边形，∵DF＝FC，∴四边形DECF是菱形．16．（2023•湘西州中考）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为25．解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝DE＝10，∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，∴CE=D∴BE＝BC﹣CE＝10﹣6＝4，∴AE=AB2∵点F是AE的中点，∴BF=12AE=12×答案：25．17．（2023•常德中考）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC＝15°，则∠AED的度数为（）A．80° B．90° C．105° D．115°解：∵四边形ABCD为正方形，∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，∵OA＝OD，∴AE＝DF，在△AEF和△DFE中，AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，∴△AEF≌△DFE（SAS），∴∠CAF＝∠FDE＝15°，∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．答案：C．18．（2023•郴州中考）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．解：（1）CF=1如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝GF=12CG=（2）①成立，理由如下：如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝FG=12CG=②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），∴CF=FG=1∵△ABC为等边三角形，AB=AC=BC=4，BH=CH=12BC=2∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MHE＝90°，∴△AEH≌△MEH（ASA），∴MH=AH=23，AM=2AH=4∵△DGF≌△ECF，∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，∴∠AEH＝∠MDN，∴tan∠AEH＝tan∠MDN，∴AHEH设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，DN=1∴23x+2∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴BCDG即：4x联立①②可得：x=42经检验x=42∴DG=CE=42+4，DN=22∴AN=26∴S△ACE=12CE•AH=12×（42+4）×2∴S△ACE∴S△CEF=22（46+43）＝4∴四边形BDFC的面积＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF=119．（2023•衡阳中考）

[问题探究]（1）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．①求证：PD＝PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．[迁移探究]（2）如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°．∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB；②解：∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ＝90°；理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，∴四边形AMPN是矩形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°．.∵PD＝PQ，PM＝PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），∴∠DPN＝∠QPM，∴∠QPN+∠QPM＝90°．∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；③解：AQ=2OP理由：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠AEP＝45°，四边形OPEF是矩形，∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，∴PA＝PE，∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PM⊥AE于点M，则QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE，∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，∴BE=EFsin45°∴AQ=2OP（2）解：AQ＝CP；理由：四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∴△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC＝60°，PD＝PB，∵PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PE∥BC交AB于点E，EG∥AC交BC于点G，如图，则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等边三角形，∴BE＝EG＝PC，作PM⊥AB于点M，则QM＝MB，AM＝EM，∴QA＝BE，∴AQ＝CP．20．若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．6解：∵多边形外角和＝360°，∴这个正多边形的边数是360°÷45°＝8．答案：C．21．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠BAD＝130°，则∠EAF＝50°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝130°，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°；答案：50°．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一点，CD＝BC，过点D作DF⊥AC于点F，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E．（1）求证：四边形DBCE是平行四边形．（2）若BD＝6，sinA=13，求（1）证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠C＝90o，∴∠DFA＝∠C，∴BC∥DF，∵CE∥AB，∴四边形BDCE是平行四边形；（2）解：∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE，∵四边形BDCE是平行四边形，∴CE＝BD＝6，∵sinA=1∴sin∠ACE=EF∴EF＝2，设CD＝DE＝BC＝x，则DF＝x﹣2，∵CD2﹣DF2＝CE2﹣EF2，∴x2﹣（x﹣2）2＝32，解得x＝9，∴DE＝9．23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°，∵DH⊥AB，BO＝DO，∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO=12BD＝∴∠DHO＝∠BDH＝25°，答案：A．24．如图，已知△ABC，D是AC的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，过点C作CF∥BA交ED的延长线于点F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AE＝4，BE＝6，∠BAC＝30°，求△ABC的面积．（1）证明：∵D是AC的中点，DE⊥AC，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∠EAC=∠FCA∠CFD=∠AED∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AB于H，∵四边形AECF为菱形，∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，∴CH=32CE＝2∴△ABC的面积=125．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为25解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A，在△ABE和△FCB中，∠A=∠CFB∠AEB=∠FBC∴△ABE≌△FCB（AAS），∴FC＝AB＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，在Rt△FCB中，由勾股定理得BF=B答案：2526．如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形ABCD内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的大小是（）A．160° B．155° C．150° D．145°解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°．∵△ABE为正三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°．同理可得∠ECD＝15°．∴∠CED＝180°﹣2×15°＝150°．答案：C．27．有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接DE，BF，点M是BF的中点，连接AM交ED于点N．【观察猜想】（1）线段DE与AM之间的数量关系是DE＝2AM，位置关系是DE⊥AM；【探究证明】（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45o，线段DE与AM之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由．（3）若正方形ABCD的边长为m，将其沿EF翻折，点D的对应点G恰好落在BC边上，DG+DH有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由．解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AE＝AF，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵M是BF的中点，∴AM=12∴BF＝2AM，∴DE＝2AM；∵BM=12∴AM＝BM，∴∠MAB＝∠ABF，∴∠MAB＝∠ADE，∴∠MAB+∠AEN＝∠ADE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝90°，∴DE⊥AM，答案：DE＝2AM，DE⊥AM；（2）成立，理由如下：如图2，延长AM到点H，使HM＝AM，连接BH，则AH＝2AM，∵∠BMH＝∠FMA，BM＝FM，∴△HMB≌△AMF（SAS），∴∠MBH＝∠MFA，BH＝AF＝AE，∴BH∥AF，∵AF＝GF，∠AFG＝90°，∴∠FAG＝∠FGA＝45°，∴∠ABH＝180°﹣∠FAG＝135°，同理∠EAG＝∠EGA＝45°，∴∠DAE＝45°+90°＝135°，∴∠ABH＝∠DAE，∵AB＝AD，∴△ABH≌△DAE（SAS），∴DE＝AH＝2AM，∠BAH＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAN＝∠BAH+∠DAN＝∠BAD＝90°，∴∠AND＝90°，∴DE⊥AM；（3）如图3，延长DC到点K，使CK＝CD，连接AK交BC于点L，连接KG、GA，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥DK，∵BC垂直平分DK，∴KG＝DG，由翻折得AD＝HG，∠ADG＝∠HGD，∵DG＝GD，∴△ADG≌△HGD（SAS），∴GA＝DH，∴DG+DH＝KG+GA，∵KG+GA≥AK，∴DG+DH≥AK，∴当点G与点L重合时，KG+GA＝AK，此时KG+GA的值最小，∴DG+DH＝AK的值也最小，∵∠ADK＝90°，AD＝m，DK＝2CD＝2m，∴AK=AD∴DG+DH的最小值为5m．28．综合与实践问题情境：在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，连接AE，F是AE的中点．探究发现：（1）如图1，直接写出∠OBF和∠ACB的数量关系：∠OBF＝∠ACB；探究拓展：（2）勤奋小组的同学们在射线FB上任取一点P，将射线OP绕点O逆时针旋转得射线OQ，使∠POQ＝∠AEC，与射线BC交于点Q．在如图2中，猜想并证明线段OP与线段OQ之间的数量关系．探究拓广：（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝30°，AB=3，当∠COQ＝15°时，直接写出FP解：（1）∠OBF＝∠ACB，证明：如图1中，连接OF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OC，∵OE⊥AC，∴EA＝EC，∵OB＝OC，∴∠ACB＝∠OBC，∵∠ABC＝90°，F是AE的中点，∴BF=12EA=∵OA＝OC，F是AE的中点，∴OF∥BC，OF=12∴OF＝BF，∠BOF＝∠OBC，∴∠OBF＝∠BOF，∴∠OBF＝∠OBC＝∠ACB，答案：∠OBF＝∠ACB；（2）OP＝OQ，证明：如图2中，∵OC＝OB，EA＝EC，∴∠ACB＝∠OBC＝∠CAE，∴∠COB＝∠AEC，∵∠POQ＝∠AEC，∴∠COB＝∠POQ，∴∠BOP＝∠COQ，∵∠OBF＝∠ACB，∴∠PBO＝∠QCO，∵OB＝OC，∴△BOP≌△COQ（ASA），∴OP＝OQ．（3）如图2中，当点Q在BC的延长线上时，∵∠ACB＝30°＝∠COQ+∠Q，∠COQ＝15°，∴∠COQ＝∠Q＝15°，∴OC＝CQ=12AC＝AB∵△BOP≌△COQ，∴BP＝CQ=3在Rt△ABE中，AB=3，∠AEB＝2∠ACB∴AE＝2，∵F是AE的中点，∴BF=12∴FP＝BF+BP＝1+3如图3中，当点Q在线段BC上时，作OH⊥BC于H．∵∠COQ＝15°，∠ACB＝30°，∴∠OQH＝15°+30°＝45°，∴OH＝HQ=12AB∴CH=3∴BP＝CQ=3−∵BF＝1，∴FP＝BF﹣BP＝1−3−综上所述，FP的长度为1+3或3押题方向四：圆29．（2023•常德中考）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出AB长l的近似值s计算公式：s=AB+CD2OA，当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l﹣解：如图，连接OC，∵AO＝2，∠AOB＝90°，∴OB＝2，AB＝22，∵C是弦AB的中点，D在AB上，CD⊥AB，∴CO⊥AB，即D、C、O共线，∴CO=2，CD＝2−∵s=AB+C∴s＝22+∵l＝2π×2×90∴|l﹣s|≈0.1答案：0.1．30．（2023•株洲中考）如图所示，点A、B、C是O上不同的三点，点O在△ABC的内部，连接BO、CO，并延长线段BO交线段AC于点D．若∠A＝60°，∠OCD＝40°，则∠ODC＝80度．解：在⊙O中，∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°，∴∠ODC＝∠BOC﹣∠OCD＝120°﹣40°＝80°．答案：80．31．（2023•张家界中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AD＝10，cosB=35，求（1）证明：连接OC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB=3∴cos∠ADC=3在Rt△ACD中，∵cos∠ADC=35=∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×3∴AC=A∴CDAC∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，又∵FC2＝FD•FA，即（4x）2＝3x（3x+10），解得x=30∴FD＝3x=9032．（2023•湘潭中考）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′的长为（）A．4π B．6π C．8π D．16π解：这个圆锥的侧面展开图中AA′的长为2π×4＝8π．答案：C．33．（2023•永州中考）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AC=6，BD＝5，AC＞CD，求BC（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴∠BDA+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴ED是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，∴△ACB∽△DCA，∴BCAC∴BC6解得BC＝2或BC＝3，当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3，当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2，∵AC＞CD，即6＞CD∴BC＝3；（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠DCA＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴△ABC∽△DAC，∴ACDC∴AC•AD＝CD•AB，∵DE•AM＝AC•AD，∴DE．AM＝CD•AB，∴AMDC∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°，∴∠BAM＝∠CDE，∴△AMB∽△DCE，∴∠E＝∠ABM，∵∠EGA＝∠BGN，∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，∴∠BNG＝90°，∴BM⊥CE．34．把半径为5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8cm，则EF的长为（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm解：如图，设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，由题意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，∵CD＝8cm，∴MN＝8cm，∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），∵MN⊥AD，∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，∴MF=O∴EF＝2FM＝8cm，答案：A．35．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AC，BD，过点C作CF⊥BD于点F，交AB于点G，若CD＝8，OG＝1，则⊙O的半径为（A．4 B．133 C．265解：如图，连接CO，∵AB⊥CD，∴∠BED＝90°，∴∠B+∠D＝90°，∵CF⊥BD，∴∠BFG＝90°，∴∠B+∠BGF＝90°，∴∠BGF＝∠D，∵∠BGF＝∠AGC，∴∠AGC＝∠D，∵BC=∴∠A＝∠D，∴∠A＝∠AGC，∴AC＝GC，又∵AB⊥CD，∴AE＝GE，∵CD⊥AB，CD＝8，∴CE=1设OE的长为x，则AE＝GE＝x+1，∴AO＝AE+OE＝2x+1，∴CO＝AO＝2x+1，在Rt△OCE中，OE2+CE2＝CO2，42+x2＝（2x+1）2，16+x2＝4x2+4x+1，3x2+4x﹣15＝0，（3x﹣5）（x+3）＝0，3x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x1∴CO=2x+1=13∴⊙O的半径为133答案：B．36．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若AC＝92，BC＝32，求CD的长．（1）证明：连接OD，如图，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∵AB为⊙O的直径