湖南省衡阳市城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

湖南省衡阳市城区2023-2024学年九年级上学期期末数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.要使二次根式与有意义，则实数X的取值范围是（）

A.尤>3B.x>3C.x<3D.x<3

2.已知实数。在数轴上的对应点位置如图所示，则化简历下的结果是（）

a

—।--------u-----»—►

012

A.3—2〃B.—1C.1D.2a—3

3.关于尤的一元二次方程（m-3卜2+/彳=9%+5化为一般形式后不含一次项，则〃2的

值为（）

A.0B.±3C.3D.-3

4.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点都在格点上，如果将，ABC沿丁轴翻折,

得到AB'C,那么点8的对应点8'的坐标为（）

C.(3,1)D.(-3,2)

5.已知尤1,x2是方程x2-3尤-2=0的两根，则xl2+x22的值为（）

A.5B.10C.11D.13

6.如图，若4〃4〃4,则下列各式错误的是（）

ABDEAB_DEBCEF

ADBEAC~DFBC~EFAC~DF

7.如图，湖边有三条公路，其中公路AC,8C互相垂直，公路的中点M与点C被

湖隔开.测得的长为L2km,则C两点间的距离为（）

A.0.5kmB.0.6kmC.0.8kmD.1.2km

8.小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%,他明天将

参加一场比赛，下面几种说法正确的是（）

A.小亮明天的进球率为10%

B.小亮明天每射球10次必进球1次

C.小亮明天有可能进球

D.小亮明天肯定进球

9.如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同

时测得黑匣子C的俯角为30。，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得

黑匣子C的俯角为60。，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（）

A.(480』+300)米B.(96。百+3。0)米C.780米

D.1260米

10.如图，能使△ABCsaAEO成立的条件是（）

试卷第2页，共8页

E

B

A.NA=NAB.ZADE=ZAED

「ACAB-BCAD

C-----------D.=

.ADAEEDAC

11.如图，四边形48C£）和A8C。是以点。为位似中心的位似图形，若0A：04=3：

5,四边形的面积为9cm2,则四边形ABC。的面积为（）

C.18cm2D.27cm2

12.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它重要应用.

例：已知无可取任何实数，试求二次三项式21-12x+14的值的范围.

解：2尤2—12尤+14=2（f—6x）+14=2（f—6X+3?-32）+14

=2［（x-37-9114=2（X-3『-18+14=2（X-3）2-4.

:无论尤取何实数，总有（无一3）&0,A2（X-3）2-4>-4.

即无论x取何实数，2/一I2x+14的值总是不小于T的实数.

问题：已知x可取任何实数，则二次三项式-3/+12x-ll的最值情况是（）

A.有最大值-1B.有最小值-1C.有最大值1D.有最小值1

二、填空题

13.若最简二次根式2反二T和3A6工5是同类二次根式，则x的值为.

14.一元二次方程3（x-2）2=x（x-2）的解为.

15.已知关于x的方程依2+2》一3=0有两个不相等的实数根，则。的取值范围是

16.如图，在四边形ABCD中，AB〃CD,E,F分别是AC,BD的中点，已知AB=

12,CD=6,贝ijEF=.

17.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点尸处放一水平的

平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知

CD±BD,测得A8=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度是米.

18.“健康荆州，你我同行”，市民小张积极响应“全民健身动起来”号召，坚持在某环形

步道上跑步，已知此步道外形近似于如图所示的HAABC,其中NC=90°,AB与BC

间另有步道DE相连，D地在AB的正中位置，E地与C地相距1km,若

tanZABC=-,ZDEB=45°,小张某天沿AfCfE—8303A路线跑一圈，则他

三、解答题

19.计算：

(1)3^/12—2^/48+A/8

（2）（《+折x石

试卷第4页，共8页

20.解方程:X2-6X-18=0.

21.如图，在AABC中，。为AC边上一点，ZDBC=ZA.

(1)求证：4BDCs^ABC；

(2)若BC=4,AC=8,求CD的长.

22.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、。四个

等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图.请你根据统计图解答下列

问题.

(1)成绩为“8等级”的学生人数有一名；

(2)在扇形统计图中，表示“。等级”的扇形的圆心角度数为一，图中式的值为」

(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛.已

知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率.

23.某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为60元，每星期可卖出300个，为了促销，

该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30个.已知该款台

灯每个成本为40元，

(1)若每个台灯降了元(x>0),则每星期能卖出一个台灯，每个台灯的利润是一元.

(2)在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定

为多少元？

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24.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan15。时，可构

造如图所示的图形.在RtAACB中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=x(x>0),延长CB

至点D,使得BD=AB,连接AD,易知ND=15。，CD=BD+BC=AB+BC=2x+gx,

所以tanl50=tanD.......

(1)请根据上面的步骤，完成tan15。的计算.

(2)类比这种方法，画出图形，并计算tan22.5。的值.

25.问题背景：如图(1),已知AABCSAAOE,求证：AABD-AACE；

尝试应用：如图(2),在AABC和AADE中，ABAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30°,

AC与DE相交于点F.点。在BC边上，黄=百，求”的值.

26.如图，在矩形ABCD中,A8=4,AD=5,P是射线BC上的一个动点，过点P作尸ELAP,

交射线。C于点E,射线AE交射线BC于点E设3尸=以

（1）当点尸在线段8c上时（点尸与点B,C都不重合），试用含。的代数式表示CE；

（2）当。=3时，连接DP,试判断四边形APFZ）的形状，并说明理由；

（3）当tan/RLE=；时，求。的值.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.B

【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.

【详解】解：：二次根式疡石有意义

3x-9>0,解得：x>3

故选：B

【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.

2.D

【分析】根据数轴上a点的位置，判断出(a-1)和(a-2)的符号，再根据非负数的性质进

行化简.

【详解】解：由图知：l<a<2,

・'a—1>0,a—2V0,

原式=a-l-|a-2|=a-l+(a-2)=2a-3.

故选D.

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a-l>0,a-2<0是解题关键.

3.D

【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可.

【详解】解：V(m-3)x2+m2x=9x+5,

(〃2-3)彳2+(疗一9卜-5=0,

由题意得：机一3邦且加―9=0,

解得：加=—3,

故选：D.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式,是解题的关键.

4.C

【分析】本题考查了关于y轴对称的点坐标的特征.熟练掌握关于y轴对称的点坐标的横坐

标互为相反数，纵坐标相同是解题等关键.

由题意知，点B与点g关于y轴对称，然后求解作答即可.

【详解】解：由题意知，B(-3,I),

答案第1页，共13页

点3关于y轴对称的点B'的坐标为(3,1),

故选：C.

5.D

【分析】利用根与系数的关系得到％+々=3,尤科2=-2,再利用完全平方公式得到

尤:+%=(々+莅)2-2%超，然后利用整体代入的方法计算.

【详解】解：根据题意得％+々=3,尤科2=-2,

以X；+x；=(X]+%2)~—2X]X。=3~—2x(—2)=13.

故选：D.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握以

上知识是解题的关键.

6.A

【分析】本题考查了平行线分线段成比例.熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键.

根据平行线分线段成比例判断作答即可.

ABDEABDEBCEFABBC

【详解】解：由平行线分线段成比例可得，___—w

AC-DF'BC~EF'AC~DF'ADBE'

B、C、D正确，故不符合要求；A错误，故符合要求；

故选：A.

7.B

【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质即可求解.

【详解】解：由题意可知，ABC中，/ACB=90。，M是48的中点，

MC=-AB=-x1.2km=0.6km,

22

故选：B.

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半是解题的关键.

8.C

【分析】直接利用概率的意义分析得出答案.

【详解】解：根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%,

他明天将参加一场比赛小亮明天有可能进球.

故选C.

答案第2页，共13页

【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键.

9.A

【分析】本题考查了三角形外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用等知识.熟练掌

握三角形外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用是解题的关键.

由题意知，AB=960,AT>=300,则/。=30。=/54。，即3c=AB=960,如图，作CE人AB

于E,则CE=3Csin60。，根据黑匣子所在的C处距离海面的深度是CE+AZ),计算求解

即可.

【详解】解:由题意知，AB=960米，AD=300米，

ZC=60°-ABAC=30°=ABAC,

3C=AB=960米，

如图，作CE1AB于E,

D海西-----

亭^r询i

、、、.、\I

\\1!

、、\I

7c

/.CE=BC-sin60°=48073,

/.黑匣子所在的C处距离海面的深度是(4806+300)米，

故选：A.

10.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定.熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.

根据相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可.

【详解】解：由题意知，ZDAE=ZCAB,

当NA=NA时，无法判定△ABCSAAED,故A不符合要求；

当/4DE=NA£E>时，无法判定△ABCs^AED,故B不符合要求；

ATAR

当——=——，NA=Z4时，可以判定故C符合要求；

ADAE

当鬟=倏时，无法判定△ABCSA9,故D不符合要求；

HDAC

故选：C.

11.B

【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方即可求出边形A8CD的面积.

答案第3页，共13页

【详解】解：：四边形A8CQ和4夕C77是以点。为位似中心的位似图形，04：。4=3：5,

:，S四边彩A'BC'D'：S四边彩ABCD=9：25,

,/四边形的面积为9cm2,

：.四边形ABCD的面积=25a"2,

故选：B.

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶

点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，位似比等于相

似比，位似图形的面积比等于位似比的平方.

12.C

【分析】把一3元2+12X-H化为一3（%-2）2+1,再利用非负数的性质可得答案.

【详解】解：-3x2+12x-ll=-3（x2-4x）-11

=-3（尤2-4X+22—22）—11

=-3[（X-2）2-4]-11

=-3（X-2）2+12-11

=-3（尤-2）?+1；

（尤-2）220,

A-3（X-2）2+1<1,即代数式有最大值为1.

故选C

【点睛】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，熟记配方法的步骤是解本题的关键.

13.2

【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程.熟练掌握同类二次根式的定义是解题

的关键.

由题意知，3x-l=x+3,计算求解即可.

【详解】解：由题意知，3x—l=x+3,

解得，x=2,

故答案为：2.

14.%=2,*2=3

答案第4页，共13页

【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程.熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解

题的关键.

利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：3(x-2)2=x(x-2),

(x—2)[3(%—2)—=0,

x—2=0或3(%—2)—x=0,

解得，玉=2,x2=3,

x

故答案为：\—2,x2=3,

15.且。

3

【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程以2+2x—3=o(a^O)的根的

判别式是b1-4ac>0即可进行解答

【详解】由关于元的方程⑪?+21—3=0有两个不相等的实数根

得八=廿一4ac=4+4x3a>0,

解得

则a>-;且aw0

故答案为且。中0

【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程依2+2*-3=0(d0)

中，(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当△=()时，方程有两个相等的实数

根；(3)当△<()时，方程没有实数根.

16.3

【分析】连接CF并延长交AB于G,证明△FDC^AFBG,根据全等三角形的性质得到BG

=DC=6,CF=FG,求出AG,根据三角形中位线定理计算，得到答案.

【详解】解：连接CF并延长交AB于G,

VAB/7CD,

.\ZFDC=ZFBG,

在小FBG中，

答案第5页，共13页

ZFDC=ZFBG

FD=FB

ZDFC=ZBFG

・•・△FDC之△FBG(ASA)

・・・BG=DC=6,CF=FG,

.•.AG=AB-BG=12-6=6,

VCE=EA,CF=FG,

•,.EF=yAG=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线

平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键.

17.8

【详解】解：'：AB±BD,CDLBD,

：.ZABP=NCDP,

由反射知/4PF=NCPD,

AABP^ACDP,

CDPDCD

由相似三角形对应边的比相等可得w=w，即彳=129，

ABPB23

解得CC=8m,

故答案为：8.

18.24

4

【分析】过。点作上_LBC,设EF=xkm,则=BF=^xkm,在RtABFD中，根据

勾股定理得到8。，进一步求得AB,再根据三角函数可求x,可得8c=8初1,AC=6hn,

AB=lOhn,从而求解.

【详解】解：过。点作。尸1BC,

答案第6页，共13页

设EF=xkm,

3

tanZABC=ZDEB=45°,

4

、4

DF=xkm,BF=—xkm,

3

在RtABFD中，BD=VBF2+DF2=gxkm,

BFBC4

cosABC===一,

BDAB5

。地在A5正中位置，

/.AB=2BD=—xkm,

3

又BC=BF+FE+EC=++1）碗,

41

x+—x+1/

•3J

一io一7

—x

3

BC=8km,AB=10km

3

AC=AB.tanZABC=8kmx—=6km,

4

小张某天沿AfCfEfOfA路线跑一圈，他跑了8+10+6=24（加）.

故答案为:24.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内

容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问

题.

19.（1）-273+272;（2）10

【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则进行计算；

（2）根据二次根式的乘法运算法则进行计算.

【详解】解：（1）原式=66—86+20=—2月+2旨；

答案第7页，共13页

(2)原式=J；x3+j27x3=1+9=10.

【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则.

20.玉=3+3-\/3,Xj=3—3上

【分析】利用配方法变形为(x-3>=27,再直接开平方即可求.

【详解】解：1一6》一18=0

x~—6x+9=27,

(尤-3)2=27,

x-3=±3\/3，

所以玉=3+3-\/3,Xj=3—3g.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种方法是解题

的关键.

21.(1)证明见解析；(2)CD=2.

【分析】(1)根据相似三角形的判定得出即可；

(2)根据相似得出比例式，代入求出即可.

【详解】解：(1)：NDBC=/A,NBCD=/ACB,

.,.△BDC^AABC；

(2)VABDC^AABC,

.BCDC

••一，

ACBC

VBC=4,AC=8,

；.CD=2.

【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角

形的判定与性质.

2

22.(1)5(2)72°；40(3)-

【分析】(1)先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩

为“8等级，，的学生人数；

(2)根据“。等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；

(3)根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解.

答案第8页，共13页

【详解】(1)学生总人数为3m5%=20(人)

成绩为“8等级”的学生人数有20-3-8-4=5(人)

故答案为：5；

4

(2)等级”的扇形的圆心角度数为二、360。=72。

20

Q

m=——xlOO=40,

20

故答案为：72。；40；

(3)根据题意画树状图如下：

男1男2女

AAA

男2女男1女男1男2

/.P(女生被选中)=74=42.

63

【点睛】此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是根据题意求出学生总人数及概率的求

解方法.

23.(1)(300+30x),(20-x)；(2)定价为52元.

【分析】(1)根据“每降价1元，每星期可多卖30个”求出降x元多卖出台灯的个数，然后

再加上300即可得出每星期卖出台灯的总数；用降价前的利润减去降价数即可得到每个台灯

的利润；

(2)设每个台灯降无元，根据题意列出方程，求解后结合“顾客得实惠的前提”取舍即可.

【详解】(1).••每降价1元，每星期可多卖30个.

.•.每个台灯降元元(x>0),则可多卖出30x个，

每星期能卖出(300+30x)个台灯，

降价前每个台灯的利润为：60-40=20元，

由于每个台灯降价x元，所以降价后每个台灯的利润为：(20-x)元；

(2)设每个台灯降尤元，根据题意得，

(20-x)(300+30x)=6480,

解得x=8,x=2(舍去)

，定价为52元

答：在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得6480元的利润，应将每件的售价定为52

答案第9页，共13页

元

【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件,

找出合适的等量关系，列出方程，再求解.

24.(1)2-也；(2)见解析，72-1

【分析】（1）根据tanl5o=tan/D=奇Ar，再代入数值计算即可;

(2)在RtAACB中，ZC=90°,ZABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得/D=22.5°,

AC

设AC=BC=1,贝！JAB二BD二血,根据tan22.5Q=^^■计算即可.

ACXx1

【详解】解：⑴tanl5°=tanZD=—=万国2-A/3.

⑵在RtAACB中，ZC=90°,NABC=45°,延长CB使BD=AB,连接AD,得ND=22.5°,

设AC=BC=1,贝l」AB=BD=忘,

AC1r-

.,.tan22.5°=—=——尸=12—1,

CD1+V2

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把

问题转化为特殊角.

25.问题背景：见解析；尝试应用：3

An

【分析】⑴问题背景：由题意得出而=瓦‘%AC="则"D=NCAE'可证

得结论;

（2）尝试应用：连接EC,证明AABC由（1）知AABD-AACE,由相似三角形

4/7AD/—

的性质得出演=而=追'ZACE=ZABD=ZADE,可证明△ADPsaECF,得出

APAF）

而二五=3,则可求出答案.

【详解】问题背景

证明：AABC^AADE,

ABAC

—=—,ZBAC;NDAE,

ADAE

/»八/〜厂ABAD

/BAD-^,CAE，—=-■-,

ACAE

答案第10页，共13页

:.AABD^AACE；

尝试应用

解：如图1,连接EC,

ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=ZADE=30°,

:.AABC^AADEf

由（1）知AABDsAACE,

AEAD仄

——=——=，3,ZACE=ZABD=ZADE,

CEBD

在RtAADE中，NAD石=30。，

ZADF=ZECF,ZAFD=ZEFC9

.