2024高考数学考前信息必刷卷4（新高考新题型专用）

绝密★启用前

2024年高考考前信息必刷卷04

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

全国陆续有多个省份官宣布在2024年的高考数学中将采用新题型模式。

新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为8（单+3（多选题）+3（填空题）+5（解答题），

其中单选题的题量不变，多选题、填空题、解答题各减少1题，多选题由原来的0分、2分、5分三种得分

变为“部分选对得部分分，满分为6分”，填空题每题仍为5分，总分15分，解答题变为5题，分值依次为

13分、15分、15分、17分、17分。函数和导数不再是压轴类型，甚至有可能是第一道大题，增加的新定

义的压轴题，以新旧知识材料为主来考察考生的数学思维能力，难度较大。

从2024届九省联考新模式出题方向可以看出，除了8+3+3+5的模式外，核心的变化在于改变以往的死

记硬背的备考策略，改变了以前套公式的学习套路，现在主要是考查学生的数学思维的灵活，对三角函数

喝数列的考察更加注重技巧的应用，统计概率结合生活情景来考查考生数学在生活中的实际应用，特别是

最后一道大题，题目给出定义，让考生推导性质，考查考生的数学学习能力和数学探索能力，这就要求考

生在平时的学习中要注重定理、公式的推导证明，才能培养数学解决这类问题的思维素养。

-：选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.现有随机选出的20个数据，统计如下，则（）

7243954616673828282

879195898102102108114120

A.该组数据的众数为102B.该组数据的极差为112

C.该组数据的中位数为87D.该组数据的80%分位数为102

【答案】D

【解析】将数据按从小到大的顺序排列：

7,8,24,39,54,61,66,73,82,82,

82,87,91,95,98,102,102,108,114,120,

对于A,出现次数最多的是82,所以众数是82,故A错误；

对于B,极差为120-7=113,故B错误；

对于C,20*50%=10,.,.第10个数和第11个数的平均数为中位数,

即一—82,故C错误；

对于D,20x80%=16,•,.第16个数和第17个数的平均数为80%分位数,

即102r2=]02,故D正确.

故选：D.

2.tan80°g的值为（）

sin80°

A.V3B.在

C.2D.4

2

【答案】D

x

tan80°-y/3_sin80°-gcos80°2(sin80°~~cos80°x

【解析】

sin80°sin80°cos80°

—x2sin80°cos80°

2

加tan80。一G4sin(80°-60°)4sin20°4sin20°

则----------=-------------=-------------=-------

sin80°sin160°sin(180o-20°)sin20°

故选：D.

TT31

3.已知。=sin—,Z?=ln-,c=-,则()

522

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

【答案】D

【解析】a=sin^>sin^=^-=c,

562

设尤)=lnx+l-尤,x>l,贝！]/'(龙)=^--<0,

故/(x)在(1,+0上为减函数，故〃x)<〃l)=0即lnx<x-l(x>l),

33

所以人=1115<5-1=0,i^a>c>b,

故选：D.

22

4.已知双曲线C：「-*=l（“>0/>0）的左，右焦点分别为小制，点M为耳关于渐近线的对称点.若

ab

S=2,且△叫工的面积为8,则C的方程为（）

\MF2\

Y2V2

A.x2--=1B.——y2=lC.--^=1DyL

4428416

【答案】C

【解析】记月加与渐近线区+世=0相交于点M

由题可知，ON为的中位线，且ON_Lf；M,

所以乙

因为焦点耳(-c,0)到渐近线6x+ay=0的距离比M=tj,

7ylb2+a2

22

所以闺M=2b,\F2M\=2\ON\=2yjFp-FxN=2a,

则S.=。|町||反段=2"=8,

又皿=2

又加‘即Z?=2。，

2"=8’.

联立I)解得储=2,〃=8,

[b=2a

22

所以c的方程为土-匕=1.

28

故选：C

5.已知(znr+y)(x+y)5的展开式中各项系数之和为-32,则该展开式中含无V的项的系数为()

A.-30B.-20C.-15D.-10

【答案】D

【解析】令x=y=l得，(m+l)-25=-32,解得机=一2,所以(一2》+,)(彳+»的展开式中含的项的系

数为-2C；+C；=-10.

故选：D.

6.已知正四棱锥P-ABCD各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4,体积为64g,则该球表面积

为()

4兀

A.9兀B.3671C.4冗D.—

3

【答案】B

p

【解析】

c

如图，设尸在底面ABCD的射影为H,则正以，平面ABC。,

且H为AC,8。的交点.

因为正四棱锥底面边长为4,故底面正方形的面积可为16,且A"=gx40=2夜,

2

164

i^-xPHxl6=—,故尸”=4.

由正四棱锥的对称性可知0在直线PH上,设外接球的半径为R,

则。”=|4一用，故六=8+(4-A)?,故尺=3,

故正四棱锥尸-ABCD的外接球的表面积为4x7rx9=367i,

故选：B.

rxf〃“+2,〃=2左-1，、

7.已知数列｛%｝满足4=%=1,%+2=(左eN*),若S,为数列｛%｝的前〃项和，则$5。=()

I—,n—

A.624B.625C.626D.650

【答案】C

r、[。“+2,〃=2左一1如

【解析】数列｛%｝中，%=%=1，«„+2=_9,CeN*),

一cit.,n—，/c

当”=2左-1,左eN*时，an+2-an=l,即数列｛%｝的奇数项构成等差数列，其首项为1,公差为2,

25x24一

lj+tz=

贝q+a3+a5+4925X1Hx2=625,

当〃=2忆上eN*时，—=-l,即数列｛%｝的偶数项构成等比数列，其首项为1,公比为-1,

an

elx[l-(-l)25]।

a

贝I]出+&+。6++50=\=1'

1一(一1)

以S50—(%+Q3+%++〃49)+(“2+“4+“6++%0)=626.

故选：C

8.在三棱锥尸一ABC中，AB=2C，PC=1,PA+PB^4,C4-CB=2,且尸CLAB,则二面角尸-AB-C

的余弦值的最小值为()

A.正B.-C.1D.叵

3425

【答案】A

22

【解析】因为如+尸3=4=2°,所以。=2,点尸的轨迹方程为土+匕=1（椭球），

42

又因为C4-CB=2,所以点A的轨迹方程为1-产=1,（双曲线的一支）

过点尸作WAB,ABLPC,而尸〃cPC=P，尸£PCu面PHC,

所以人面P〃C,

设。为A3中点，则二面角。AB-C为NPHC,

所以不妨设OH=2cos6>,6»e^0,1,PH=应sin9,CH=V4cos261-1,

2222

.._TT_2sin^+4cos0-1-12cos^61-sin3

所以cos/PHC=--------1=—F----/=------/

2V2sin^A/4COS20-12v2sinOyJ4cos20-12sin^v3-4sin20

1(1—sin26^

所以cos2/P"C=--------匚-----v，令1—sin2e=1,0</<l,

2sin20(3-4sin20)

2

2/p*」(「sin词='产>[/=2

所以cos--sin243_4sin2e)-5(l-?)(4r-l)-2『7+41：-5，

等号成立当且仅当f=：=l-sin?。，

所以当且仅当sin6=姮,cos6=®时，(cos/PHC),=也.

55V/n3

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（力=4011（〃次+。）（。＞0,。＜0＜兀）的部分图象如图所示，贝！J（）

A兀

A.。•夕A=一

6

B.的图象过点［手,手

C.函数y=7（刈的图象关于直线X=g对称

D.若函数y=|〃x）|+2〃x）在区间，彳,"上不单调，则实数2的取值范围是

【答案】BCD

TTTT5兀

【解析】A：设该函数的最小正周期为T,则有T=—=/=><27=1,

co6

即〃x)=Atan(x+0),由函数的图象可知：^+(p=^-^>(p=^~,即〃x)=Atan

623

由图象可知：/(O)=Atang=2gnA=2,

27r

所以。=因此本选项不正确;

1171117171,1371c7i_62^3

B：f=2tan——+—=2tan-----=2tan—=2x-^—=------

636633

所以本选项正确;

5兀[57171

C：因为了——x=2tan------xH—=|2tanx|,

(33

信+x5兀71

=2tan-----Fxd--=|2tan%|,

33

5兀

所以/——x

所以函数y=|/(无)|的图象关于直线x=£对称，因此本选项正确;

D：^=|/(x)|+2/(%)=2tan[x+1]+22tan^^+

71兀兀71兀71

当XW时，y=|/(x)|+2/(x)=2tan|x+—|+2Atan|x+—|=2tan|x+—|+22tan|x+—

3763333

71

=(2+22)tanXd---

3

当,T[5一71不一71

二(-2+22)tan尤后,

57171

当函数y=|f(x)|+4/(x)在区间

~6,~6上不单调时,

贝1|有(2+2彳)(一2+2九)<0=-1<4<1,

故选：BCD

10.如图，在正方体ABC。-A耳中，点尸是A?的中点，点。是直线C"上的动点，则下列说法正确

的是()

A.△尸BD是直角三角形

B.异面直线尸。与C2所成的角为T

C.当A3的长度为定值时，三棱锥的体积为定值

D.平面尸fiD_L平面ACR

【答案】ABC

【解析】对于A,设正方体的棱长为2,点尸是的中点，故POJLA，；

AB1平面ADD^,ADtu平面ADD^,故AB_LAQ，

贝|J8O=2忘，尸。==®PB=百+诋2=底,

贝U配＞2=尸。2+PB?，即PD_LBB,即△尸3D是直角三角形，A正确；

对于B,在正方体4BCD-ABG。中，点尸是的中点，

则直线DP即为直线AD,异面直线PD与C0所成的角即异面直线4。与C2所成的角,

由于AB"/AB〃C。，AiB=AB=CD,故四边形4耳。。为平行四边形，

所以%D//B\C,则NB皿即为异面直线A,D与CR所成的角或其补角，

连接BQ,则BiR=BC=CR=2^,即

故异面直线与C2所成的角为:，B正确；

对于C,设A2,a＞交于点0,则。为AC的中点，连接尸。，

则尸。为△ACDJ的中位线，故尸。//C，，POu平面PSD,CRN平面PSD,

故CD//平面pg。，

当AB的长度为定值时，CQ到平面PB£)的距离为定值，则。到平面P6D的距离为定值,

而△尸3£)的面积为定值，故为”皿为定值，

又三棱锥。-依。的体积/故三棱锥的体积为定值，C正确；

对于D,以。为坐标原点，以DADCDA所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0),B(2,2,0),P(l,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),D,(0,0,2),

则DP=(1,0,1),£)8=(2,2,0),AC=(-2,2,0),ADt=(-2,0,2),

m•DP=x+z=0

设平面P3D的法向量为m=(%,y,z)，则

m-DB=2x+2y=0

令x=1,贝!J机=(1,—1,一1)；

n•AC=-2a+2Z?=0

设平面的法向量为〃=(。也。)，贝人

n•ADl=-2a+2c=0

令a=l,贝lj〃=；

则机・〃=1—1-1=-IwO,即九〃不垂直,

故平面PBD和平面AC。1不垂直，D错误,

故选：ABC.

11.已知函数〃耳=0出+1)11112£|-e*+l恰有三个零点，设其由小到大分别为和%，%，则()

A.实数0的取值范围是

B.再+工2+%3=°

C.函数g(x)=/(x)+^(f)可能有四个零点

D小)餐

广㈤

【答案】BCD

【解析】对于B,"x)=0oaln(Ff)+*=0,

设“x)=aln[t£]+f1,则它的定义域为(-1,1),它关于原点对称，

=+=_+=,所以妆x)是奇函数，

由题意〃(x)=0有三个根士，工2，尤3，则%+/+%=。，故B正确;

对于C,

LL」.(1+Al-ex

所以〃In1-―-I+=0,

ex(l+ex)

1+Xl-exk।l-ex

所以41nH------=—aInH-----------

1-xex+lexex+l

1+xl-ex1-：）=0已经有3个实根网,々/3,

即a\nH-----------

1-xex+l

海>°时’令1-品则只需保证1位国,“可使得方程有4个实根，故C正确;

由B可知，%=一无3，而C=e*。­（w）=e*尸（-无3）,

号一.巧0=如公+代+1）金一1,

又尸(x)=adIn+a(+1

1-x

所以尸(尤3)=ae*lnpm+«+—

1—X,

e-+1)In卜一e-+1=e%-J),故D正确;

=e

l-x3

l-QX1+X

对于A,“In设。(x)=aln

1-x皿加3,

贝…卜吕，加(%)=-----5,所以p'⑼=2a,加（0）=；,

e'+l

从而0<2。<不0<〃<:，故A错误.

24

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.已知正数x,y满足x+y=6,若不等式。—恒成立，则实数a的取值范围是

x+1y+2

【答案】（-8,4]

【解析】因为x+y=6,

22

所以公工+工(x+l)-2(.x+l)+l+(y+2)-4(y+2)+4

x+1y+2x+1y+2

4,c14

=x+l+—--2+y+2+----4=3-1------1----

x+1y+2x+1y+2

14

所以"3+-1+再3+、+i+y+2」+」

9x+1y+2

=382+昌y+2+4段(x+l)=3+22为2=4,等号成立当且仅当y=4,x=2,

所以［?）+号］=4,实数。的取值范围是（-8,4］.

V/^min

13.已知正三棱柱ABC-A与G的底面边长为2,以A为球心、百为半径的球面与底面ABC的交线长为叵,

则三棱柱ABC-的表面在球内部分的总面积为

13兀36

【答案】----1----

84

【解析】记以4为球心，石为半径的球面与底面ABC的交线半径为小正三棱柱的高为人，

则3x2〃=退，且d+后=3,解得厂=1,h",

6622

可知：底面MC在球4内部分是以半径为了，圆心角为:的扇形，面积为3耕@2三,

底面ABC在球A内部是以半径为立，圆心角为£的扇形，面积为=J,

2323（2）8

侧面AA4B在球4内部分如图（阴影部分）所示，

因为A4,=T，AM=¥，AM=AN=6，可知N44M=；,

所以面积为2x（扃旦工+”，

23\,22228

同理侧面A41cle在球4内部分面积为a+主叵，

28

显然侧面BB&C与球A不相交，

所以三棱柱ABC-的表面在球内部分的总面积为2xg++g=+

oJo2o4

故答案为：—.

84

14.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是2°，接下来的两项是2°,21,

再接下来的三项是2。,2；22,依此类推，若该数列的前〃项和为%若log2（S“）wZ,〃eN*,则称（"，。式邑））

为“好数对”，如1唱（鸟）=1暇2°=0,1幅（邑）=1嗨21=1,则（1,0）,（2,1）都是“好数对”，当心66时，第

一次出现的“好数对”是.

【答案】（95,14）

【解析】若log2（S“）eZ/eN*,则S“为2的整数塞，将数列排成如下形式：

第％行为2°,,21,第无行的和为二（I一叫=2J1，

1-2

该数列前1+2+3++左=%（%+1）项的和为$碎+i）=（2­）+（22-1）++（27）=2小-"2,

22

令如士D266,则女211,此时-左-2可用以2为底的整数幕表示，

2

当1+2-左-2=0时，有A=1,此时共有1'（"1+2=3项,不满足总项数“266；

2

当1+2+4—左一2=0时，有左=5,止匕时共有5.（1+5）+3=18项,不满足总项数“266；

2

当1+2+4+8—上一2=0时，有左=13,此时共有13x0+1*+4=95项,满足总项数”266；

2

所以"的最小值为0+；）X13+4=95,此时S95=2'log2（S95）=14,

所以当66时，第一次出现的“好数对”是（95,14）,

故答案为：（95,14）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）设〃eN*,有三个条件：①凡是2与S”的等差中项；②％=2,S向=q（S“+1）；③S“=2角-2.在

这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答.（如果选择多个条件分别作答，那么按第一

个解答计分）

若数列｛风｝的前n项和为S,,且_____.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若｛风力“｝是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列也“｝的前〃项和，.

【解析】（1）选条件①时，由于。“是2与S”的等差中项；

所以2a,=2+S,,①

当”=1时，解得q=2；

当”..2时，2a,T=2+S,T②，

①一②得：2ali-2%=%,，

整理得4=247，

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数歹U；

所以a“=2x2"T=2"（首项符合通项），

所以。"=2”；

选条件②时，由于4=2,Sn+i=%（S“+1）；

所以：Sn+i=2Sn+2,①，

当*2时,S,=2SR+2,②,

①一②得：4+1=2。“，

所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数歹U；

故%=2x2i=2"（首项符合通项），

所以2=2"；

选条件③时，因为S“=2向-2,

所以当”=1时，«1=S]=22-2=2

当〃22时，an=Sn-Sn_}=-2-(2"-2)=2"

因为〃=1时也满足。,=2"，

所以a.=2"

（2）若仅也」是以2为首项，4为公差的等差数列,

所以为2=2+(〃-1)义4=4〃-2,

4»-2

所以勿

2"

26104〃-2

故八万+三+井…+丁①,

126104〃—2

2"~2r+2^+2i+'"+2"+1②,

1x(1-

与=1+：+-.+工安4M-2

①一②得:=1+

2'222"2"+,2"+1

2

整理得（=6-安・

16.（15分）在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送0和1中的某个数

字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号。时，接收为。和1的概率分

别为a(O<a<l),1-a；发送信号1时，接收为1和。的概率分别为尸(0〈尸.假设每次信号的

传输相互独立.

(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为了(。)，求了(。)的最小

值；

(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为4％，无3,无4,记其中连续出现相同

2

数字的次数的最大值为随机变量X(冷马，%3,无4中任意相邻的数字均不相同时，令X=1),若£=§，求X

的分布列和数学期望.

【解析】(1)由题可知/'((z)=a3+(i一£)3=3々2一3夕+1=3]&一；)+；,

因为0<&<1,所以当a=g时，/(e)的最小值为;.

(2)由题设知，X的可能取值为1,2,3,4.

①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010.

m,,”八212112128

因止匕，P(X_1)__X—X_X----1----X_x_x__—,

v,3333333381

②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010,或0100,或1101,或1011,或1001,或0110,

或1100,或0011.

2|221

212^(114

因此，P(X=2)=x—x—x2+—x—x—x2+

3333I339

③当x=3时，相应四次接收到的信号数字依次为ino,或oni,或oooi,或IOOO.

因此，p(x=3)=f-1x-x2+-xf->|x2=—

\3)33\3J81

④当X=4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000,或1111.

因此，P(X=4)

所以X的分布列为

X1234

842017

P

8198181

Qqon17OHO

因此，X的数学期望E（X）=1X9+2XJ+3X?+4X9=$.

oloololol

17.（15分）已知点尸、A、B是抛物线C:/=4y上的点，且A4_LP3.

（1）若点尸的坐标为（2,1）,则动直线A3是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由.

⑵若|酬=|冏，求.RW面积的最小值.

【解析】（1）解:设直线ABIx轴，则直线A3与抛物线C有且只有一个交点，不合乎题意.

设直线A2的方程为＞=云+"设点A（X[,%）、3（%,%）,则占片2且无2*2,

y=kx+b

联立可得尤2—4kx—4b=0，A=16严+16。＞0，

无2=4y

由韦达定理可得占+无2=4左，XjX2=-4b,

AP=（占一2,%-1）=[司一2,^^],同理=

=（x「2f「2）.[i6+a+2）（x2+2）]=0,

所以，占X?+2（占+/）+20=—46+8%+20=0,可得b=2左+5,

故直线AB的方程为丫=履+2左+5=左（了+2）+5,

因此，直线A3过定点（-2,5）.

（2）解：由（1）可知，直线的斜率存在，且直线的方程为丫=狂+以记线段A3的中点为点

①当上=0时，则A、5关于y轴对称，此时线段AB的垂线为y轴，

因为|上4|=|尸到，则点P为坐标原点，又因为心，尸3,贝LE4B为等腰直角三角形，

[y=xfx=Ofx=4

则钻的两腰所在直线的方程为y=土光，联立I,,解得八或一

[x=4y[y=0[y=4

i2

此时，|=J=AM。+4。=46.,S^PAB==16；

②当上HO时，2k,汽匹=h与三+6=2公+6,即点M（2左,242+6）,

因为=|尸固，贝

X%1X

设点9（飞，儿），其中X。/再且X。/马，AP={x0-xv04j,BP=[xQ-x2,°j,

由已知可得AP.BP=(x0-x^x0

=伉一?『。72)[d+xJ(x0+%)+16]=0,

所以，无;+/)+引9+16=%+4&-48+16=0,贝!|b=%+Axo+4,

2K+6-%。可得6=%-232+字,

直线加的斜率为原"=

2k—X。

所以,2左(左~+3)+(左~—l)x0=0,当A=±1时，等式2人(42+3)+(左-—I)%=0不成立,

5%',

所以,

42俨+3丫2公俨+3)

所以,/?=今+5+4,贝U%2+匕=a2++4

k2-1

F(F-I)。+/俨+3)2-2P(k2+3)(F-l)+4(fc2-l)24伊+炉

伍2一1丫(犷-1)-

16(3+1)3

故襄.=；同卜。|明=4①+1)俨+4=,,/,2左4+2左一+1.

=16fc-+l----------->16.

()k4-2k2+l

综上所述，S△叩N16.

因此，B4B面积的最小值为16.

18.(17分)已知函数/(x)=a(x—l)e*+i—2xlnx-尤2(°cR).

(1)当a=0时，求函数在区间［r,1］上的最小值;

(2)讨论函数/(尤)的极值点个数；

(3)当函数〃x)无极值点时，求证：asin—>^.

2a7i

【解析】(1)当〃=0时，/(x)=-2xlnx-x2,

则f(x)--2^1-lnx+x--^-2%=-2(lnx+x+l),

令g(x)=/(x),贝!Jg，(尤)=-21：+l),

因为xe［e-2,l］,所以g，(x)<0.则g(x)在［e』l］上单调递减，

又因为:(b2)=2(1-片2)>0"")=-4<0,

所以现«厂,1)使得广优)=0,/(可在『,不)上单调递增，在5,1)上单调递减.

因此，〃尤)在［r,1］上的最小值是八晓)与/⑴两者中的最小者.

因为f(e2)=4e-2_€-=片2(4一片2)>0,/(1)=_1,

所以函数〃尤)在［小,1］上的最小值为t.

(2)尸(x)=a［Le*M+(x-l)ex+1^-2^1-lnx+%--J-2x=oxex+1-2(lrLr+x+l),

由r(x)=。，解得1=2(1-；：+1)=2(1晨:：+l),

易知函数，=Inx+X+1在(0,+8)上单调递增，且值域为R,

力

令lnx+x+l=/,由/'(%)=0,解得〃=

设为⑺=［,则/⑺

因为当.<1时，当，>1时，所以函数可/)在(-8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.

22

根据/z(l)=—,f—>一。时，/z(x)—>-oo,limh(t)=lim—=0,

得〃«)的大致图像如图所示.

因此有：

(i)当时，方程力(。=。无解，即尸(力无零点，“X)没有极值点；

(ii)当“=