江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷

江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y=2xA．(0,1) B．(0,12．已知集合A={x| 2kπ+π6<x<2kπ+2π3A．(2kπ+π4,2kπ+π3)C．(2kπ+π6,2kπ+π3)3．已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，且a1A．212 B．168 C．121 D．1634．复数Z在复平面内对应的点为Z(32,12)，O为坐标原点，将向量OZ绕点O逆时针旋转90°后得到向量OZA．−12+32i B．−1+i5．函数f(x)A．2 B．1 C．3 D．θ6．已知正四棱锥P−ABCD，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（）A．240 B．420 C．336 D．1207．已知α，β∈(0,π2)，A．−3 B．−33 C．38．我国著名科幻作家刘慈欣的小说（三体II·黑暗森林）中的“水滴”是三体文明使用新型材料—强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为θ1，θA．θ1<θC．θ1>θ2 D．二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题会出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．9．已知随机变量X、Y，且Y=3X+1,X12345Pm11n3若E(A．m=310 B．n=15 C．10．已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)A．f(xB．函数f(x)C．函数f(xD．函数f(x11．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1G1D1中，点E，F分别为棱DD1，C1A．AB．若点Q为平面α内任意一点，则QC+QB的最小值为2C．底面半径为12且高为3的圆柱可以在该正方体ABCD−D．直线A1G与平面BD三、填空题：本题共3小题，每小题6分共16分．把答案填在答题卡中的横线上．12．(x2−2x13．在三角形ABC中、BC=4，角A刚平分能AD交BC于点D，若BDDC=13，则三角形14．已知函数f(x)=|2x+122+2−x四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，15．数列{an}满足a1=π6（1）证明：数列{tan2（2）求正整数m，使得sina16．三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，侧面A1（1）求侧棱AA（2）侧棱CC1上是否存在点E，使得直线AE与平面A1BC所成角的正弦值为17．在平面直角坐标系中，F(1,0)，直线l1:x=−1，动点M在直线l1（1）求点P的轨迹C1（2）经过曲线C1上一点P作一条倾斜角为45°的直线l2，与曲线C2:(x−4)218．一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得0分，且下一次中奖得1分．已知某同学连续摸奖n次，总得分为X，每次中奖的概率为13（1）当n=5时，求X=3的概率；（2）当n=3时，求X的概率分布列和数学期望；（3）当n=30时，判断X的数学期望与10的大小，并说明理由．19．已知函数f(x)（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f(x)=1（3）数列{an}满足：an+1=an

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】A3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A,C10．【答案】B,C,D11．【答案】A,C,D12．【答案】−11513．【答案】314．【答案】915．【答案】（1）证明：由已知条件可知，由于cosa故an+1∈(0,故数列{tan即tana（2）解：sin==由13m+1=116．【答案】（1）解：过A在平面ABB1A1内作因为侧面A1ACC1为矩形，所以所以CA⊥平面ABB1A1，CA⊂平面ABC，所以平面AD⊂平面ABB1A1，所以因为三棱锥C1−ABC的体积为23所以13×1因为∠A1AB=2π3（2）解：存在E满足题意，C1理由如下：以AB,AC,则A1(−1,0,3设C1E=λC1所以AE→=(λ−1,设平面A1BC的一个法向量为则m⋅A1令z=3，则x=y=1，所以平面A1BC设直线AE与平面A1BC所成角为则sinθ=解得λ=1，所以存在E满足题意，所以C117．【答案】（1）解：由题意作出图形，如图所示：

由图可得|PM|=|PF|，则点P的轨迹C是以F(1（2）解：设P(t2,2t)，则直线l2的方程为y=x+2t−化简可得：2x2由于l2与C2交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式Δ=−(因此有t∈(−2设Q，R的模坐标分别为x1，x由①知，x1+x因此，结合l2的倾斜角为45°|=t4由②可知，t2−2∈(从而由③得：|PQ18．【答案】（1）解：摸奖5次得分为3分，有如下两种情形：情形一，恰好两次中奖，且两次相邻；情形二，恰好三次中奖，且任意两次都不相邻．情形一发生的概率为C4情形二发生概率为C3所以P(（2）解：X的可能取值为0，1，2，3，7，P(X=0)P(X=2)P所以X的概率分布列为X01237P812241所以E(（3）解：E(记该同学摸奖30次中奖次数为ξ，则ξ~若每次中奖都得1分，则得分的期望为E(由题中比赛规则可知连续中奖时，得分翻倍，故实际总得分的期望E(所以E(19．【答案】（1）解：函数f(x)=ln(因为f(x)≤0恒成立，且f(0)经检验，当a=1时，f'当−1<x<0时，f'(x)>0，函数f(x)在当x>0时，f'(x)<0，函数f(x)在所以x=0为函数f(x)的极大值点，f(0)也为函数f(x)的最大值，满足条件，故a=1.（2）解：由（1）知f(x)令g(x)等价于直线y=m与曲线g(x)因为g'(x)=4x+1−1=当x∈