2024年中考数学几何模型复习-共顶点模型

共顶点模型

破解策略

L等边三角形共顶点

已知等边AABC与等边ADCE,B,C,E三点共线.

如图，连接BD,AE,交于点F,BD与AC交于点G,AE与DC交于点H,连接CF,GH,则:

(l)ABCD^AACE;

(2)AE=BD;

⑶NAFB=NDFE=60°;

(4)FC平分NBFE;

(5)BF=AF+FC,EF=DF+FC;

(6)ACGH为等边三角形.

(CA=CB,

证明(1)由已知条件可得)N4CE=NBCD,

(EC=DC,

贝!]AACE名Z\BCD.

⑵由⑴可得AE=BD.

(3)由(1)可得/GAF=NGBC,而ZAGF=NBGC,所以NDFE=NAFB=NACB=60。.

(4)方法一:如图，过点C分别作BD,AE的垂线，垂足为M,N.

由(1)知SACE=S/WD即加-CM=-CN,所以CM=CN,故FC平分/BFE.

方法二:由NCAF=NCBF可得A.B,C,F四点共圆,所以NBFC=NBAC=60。.

同理可得NCFE=NCDE=60。.

所以FC平分/BFE.

(5)如图，在BD上取点I,使得NFCI=60。则ACFI为等边三角形.

易证ABCI之ZXACF,所以BI=AF,IF=CI=CF.

从而BF=BI+IF=AF+CF.

同理可得EF=DF+CF.

(6)易证AACH名△BCG(ASA),所以CG=CH.

而NGCH=60。,所以ACGH为等边三角形.

2.等腰直角三角形共顶点

已知在等腰RtAACB与等腰RtADCE中,NACB=/DCE=90。.

A

DD

图】

如图1,连接BD,AE,交于点F.连接FC.AD,BE,则:

(l)ABCD^AACE;

(2)AE=BD;

(3)AE±BD;

(4)FC平分NBFE;

(5)4炉+DE2=AD2+BE2-,

(6)BF=4F+V2FC,EF=DF+V2FC;

(7)如图2,GJ分别是BE,AD上的点，①若G是BE的中点，则(GC1AD(反之亦然);②若IC_LBE.则I是AD的中点(反之

亦然)；

(8)SACD=SB.E,

证明(1)(2)⑶(4)的证明可参阅本节“1.等边三角形共顶点”；

(5)由(3)和勾股定理可得A.B2+DE2=(AF2+BF2}+(DF2+EF2)=(4产+DF2}+(BF2+EF2)=AD2+BE2.

(6)如图，过点C作CKUC与BD交于点K,则ACFK为等腰直角三角形.

易证ABCK冬Z\ACF,所以BK=AF.

从而BF=BK+KF=AF+y[2FC.

同理可得EF=DF+V2FC.

⑺①如图，延长AD,GC,交于点H,延长CG至点K,使得(GK=GC,,连接BK.

易证NKBG=NCEG,BK=EC=CD.

由题意可得ZACD+NBCE=NCBE+/CEB+/BCE=180。，

所以NACD=ZCBE+ZCEB=ZCBG+ZGBK=ZCBK.

Ak[fOAACD^ACBK(SAS),fiFfUZZCAD=ZBCK.

所以NACH+NCAH=NACH+NBCK=90。,故GC±AD.

②如图,延长IC交BE于点J,分别过点A,D作直线CI的垂线，垂足为M,N.

由弦图模型可得AAMC/aCJBADNC当

所以AM=CJ=DN.S^WAAMIADNI,

所以AI=DI,即得证.

(8)在⑺的证明过程中可得到SAACD=SABE;t也可以用下面的方法来证明.

如图，过点D作DP±AC于点P,过点E作EQ_LBC,与BC的延长线交于点Q.

易证ADPCdEQC(AAS),所以DP=EQ.

所以触P-AC=^EQ-BC,即SAACD=SABCE.

3.等腰三角形共顶点

已知在等腰AACB与等腰ADCE中,CA=CB.CD=CE,且NACB=NDCE.

如图.连接BD,AE,交于点F,则：

(l)ABCD^AACE;

(2)AE=BD;

(3)ZAFB=ZACB;

(4)FC平分NBFE.

4相似三角形共顶点

已知在AACB和AECD中，”=—,Z.ACB=乙ECD.

如图，连接BD,AE,交于点F,则:

(l)ABCD^AACE;

(2)ZAFB=ZACB.

(BC_AC

证明(1)由已知条件可得法=Q

JBCD=/.ACE.

所以AACEs/iBCD.

(2)令AC与BD交于点G,则ZAGF=ZBGC.

由(1)可彳导NCAF=NCBF,所以NAFB=NACB.

例题讲解

例1如图.AABC和ACDE都是等边三角形,且点A,C,E在同一直线上,AD与BE,BC分别交于点F,M,BE与CD交

于点N,连接MN.下列结论中正确的是一(写出所有正确结论的序号).

①AM=BN;

②4ABF当/WNF;

③NFMC+NFNC=180°;

JMNACCE

分析本题为两个等边三角形共顶点，利用模型的结论即可解决问题.

解答

例2⑴【问题】如图1,在RtAABC中,AB=AC,D是BC边上一点(不与点B,C重合)，将线段AD绕点A按逆时针方向旋

转90。得到AE,连接EC，则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为____；

(2)【探索】如图2,在RtAABC与RtAADE中,.AB=AC,AD=4E,,将AADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探

索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(3)【应用】如图3,在四边形ABCD中,NABC=NACB=NADC=45。.若8。=9,。。=3,,求人口的长.

图1图2图3

分析⑴显然AABD竺4ACE；⑵图2为等腰直角三角形共顶点模型，从而得三角形全等；⑶构造等腰直角三角形共

顶点模型，从而解决问题.

解答

例3如图1,点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE_LBC于点E,GF_LCD于点F.

⑴【推断】意的值为；

(2)【探究与证明】如图2,将正方形CEGF绕点C顺时针旋转(a(0°<a<45。),,试探究线段AG与BE之间的数量关

系，并说明理由；

⑶【拓展与运用】如图3,正方形CEGF在旋转的过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，延长CG,与AD交于

点H.若AG=6,GH=2则BC=.

图1图2图3

分析⑴平移BE与AG可构成等腰直角三角形；⑵连接CG,图中有相似三角形共顶点，进而得线段间的关系；(3)

正方形共顶点的图形中既有等腰直角三角形共顶角顶点，又有等腰直角三角形共底角顶点，充分利用所得的结论即可.

解答

例4在AABC中,CA=CB,NACB=a.P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得

到线段DP,连接AD.BD.CP.

(D【观察猜想】如图1,当a=60。时噌的值是_____直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是—.

(2)【类比探究】如图2,当a=90。时,请写出詈的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说

明理由.

(3)【解决问题】当a=90。时，若E,F分别是CA,CB的中点，点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时党的

备用图

分析图1为两个等边三角形共顶点，图2为两个等腰直角三角形共锐角顶点，即相似三角形共顶点，(1)(2)问均可直接利

用模型的结论得解；⑶问中需要注意的是别漏解，先画出满足要求的图形，再利用模型的结论解决问题.

解答

例5(1)【问题提出】如图1.在AABC中,AB=AC,点D在AB上.过点D作DE〃:BC与AC交于点E.连接CD.F,G,H分

别是线段CD,DE,BC的中点，则线段FG与FH的数量关系是;

(2)【类比探究】将图1中的AADE绕点A旋转到图2中所示的位置，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不

成立，请说明理由；

(3)【拓展延伸】如图3,在RtAABC中,NC=90o,AC=5,BC=12,点E在BC上,BE=闹,，过点E作ED_LAB于点D将

△BDE绕点B按顺时针方向旋转，连接AE,取AE的中点F,连接DF.当AE±AC时，线段DF的长度为.

分析⑴利用等腰三角形的性质和中位线的性质即可；⑵图2为等腰三角形共顶点，得三角形全等，再根据中位线的

性质来证明；(3)构造等腰三角形共顶点模型,即可解决问题.

解答

进阶训练

1.在菱形ABCD中,NABC=6(T,P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随点P的位置变化而

变化.

⑴如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,贝!]BP与CE的数量关系是_____,CE与AD的位置关系是

(2)如图2,当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立?若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

⑶如图3,当点P在线段BD的延长线上时，连接BE若AB=2低BE=2内,求四边形ADPE的面积.

⑴请直接写出HD:GC:EB的结果;

(