2023年四川省达州市中考5月份数学模拟预测题（含答案解析）

2023年四川省达州市渠县中学中考5月份数学模拟预测题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.2023的倒数是（）

【答案】C

【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1,则这两个数互为倒数,

即可一一判定.

【详解】解：2023的倒数为与.

2023

故选C.

【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键.

2.下列二次根式与百是同类二次根式的是（）

A.76B.邪C.V12D.724

【答案】C

【分析】本题主要考查了二次根式的有关概念，解题关键是了解同类二次根式的定义,

把二次根式化成最简二次根式.把各个选项中的二次根式化简为最简二次根式，然后观

察被开方数是否相同，进行判断即可.

【详解】解：A、后与6的根指数相同，被开方数不同，，它们不是同类二次根式，

故此选项不符合题意；

B、百=3,•..它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意;

C、巫=2君，，匠与g的根指数相同，被开方数相同，，它们是同类二次根式，

故此选项符合题意；

D、后=26，，后与百的根指数相同，被开方数不相同，，它们不是同类二次

根式，故此选项不符合题意；

故选：C.

3.一块三角形板ABC,5C=12cm,AC=10cm,测得BC边的中心投影8G长为24cm,

则AC边的中心投影4c的长为（）

B

A.24cmB.20cmC.15cmD.5cm

【答案】B

【分析】由投影得由相似性质得AG：AC=3|£:BC=2:1,求得

AG=20cm.

【详解】解：・・・ABCS.A4G，3c=12cm,瓦G=24cm,

AG:AC=B[C]:BC=2:1,

AC=10cm,

AG=20cm,

故选：B.

【点睛】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系

是解题的关键.

4.“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现.某校随机抽查了50名八年级

学生的视力情况，得到的数据如表则本次调查中视力的众数和中位数分别是（）

视力4.7以下4.74.84.94.9以上

人数8791412

A.4.8和4.8B.4.8和4.9C.4.9和4.8D.4.9和4.9

【答案】D

【分析】本题考查中位数、众数的求法：①给定〃个数据，按从小到大排序，如果〃为

奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果“为偶数，位于中间两个数的平均数就是中

位数.任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数.②给

定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数.如果一组数据存在众数，

则众数一定是数据集里的数.由此求解即可.

【详解】解：在这50个数据中，4.9出现了14次，出现的次数最多，即这组数据的众

试卷第2页，共30页

数是4.9；

将这50个数据按从小到大的顺序排列，其中第25、26个数均为4.9,即这组数据的中

49+49

位数是；=4.9.

故选D.

5.为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车.已知张叔叔家距

上班地点18km,他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程

少10km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的;，求张

叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米？设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶

xkm,则下面所列方程中正确的是（）

18184r18184—1818418184

2A_________—.........x___|-<------—_________x___।'------—---------------I__D.---------1—

x+10x3xx+103xx+103x+10x3

【答案】B

【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系列

出方程是解题的关键.

【详解】解：设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm,则自驾车平均每小时行驶

x+10千米，

故选：B.

6.下列命题是真命题的是（）

A.所有的等腰三角形都相似

B.两边分别相等的两个直角三角形全等

C.有一个锐角相等的两个直角三角形相似

D.两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等

【答案】C

【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不

大.利用全等三角形的判定方法、相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：A、所有的等腰三角形都相似，未必满足有两个角对应相等，故原命题错

误，是假命题，不符合题意；

B、两边分别相等的两个直角三角形全等，缺夹角相等，故原命题错误，不符合题意；

C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，正确，是真命题，符合题意；

D、两边分别相等且其中一组等边所对的角相等的两个三角形全等，没有角边边这个判

定定理，故原命题错误，是假命题，不符合题意.

故选：c

7.如图，正比例函数％=%x的图象与反比例函数%=2的图象相交于两点，其中

X

点A的横坐标为2,当％＜当时，X的取值范围是（）

A.xv-2或x>2B.一2<%<0或入〉2

C.一2<%<0或0<x<2D.xv—2或0<%<2

【答案】D

【分析】根据题意可得5的横坐标为2,再由图象可得当与＜”时，］的取值范围.

【详解】解：：正比例函数yi=kix的图象与反比例函数%=§的图象相交于A、8两点,

AA,B两点坐标关于原点对称，

:点A的横坐标为2,

•••2点的横坐标为-2,

""yi＜y2

在第一和第三象限，正比例函数y尸%/x的图象在反比例函数%=§的图象的下方，

或0＜尤＜2,

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比

例函数图象交点关于原点对称.

8.如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=9,顺次连结各边中点得到菱形A与GR,

再顺次连接菱形4月GA各边中点，得到矩形482Go一再顺次连接矩形A/2G2各

边中点，得到菱形A383c3。3,…，如此下去，四边形4。22%）226侬。2。22的面积等于（）

试卷第4页，共30页

C

Dc

A

A

Z1D27

A---------27C且

02022B.------J，,2020D.------

20212019

【答案】c

【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定和性质，中点四边形等知识，解题的关键是

学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边

形面积的一半.根据中点四边形的面积等于原四边形面积的一半即可解决问题.

【详解】解：根据中点四边形的性质可知，4片G2、3c3D3L是菱形，A/2c2。2、

484c4AL是矩形，

四边形AXBXCXDX的面积=；S矩切BCD，

四边形422c2乃的面积=|x四边形的面积=-s^ABCD,

四边形A员C3D3的面积

一12J・O矩形.8

=12义9.出，

四边形AM,GQ的面积

、(1)202297

2

•・四边形022Go22。2022的面积为：=12x9»l—I=27X2X=^2020•

故选：C.

9.二次函数y=ax1+法+c的图象如图所示,其对称轴为直线尤=,且经过点(-2,0),

下列结论：

①abc<0；

@a-b=0；

③点(不，％)和。2，%)在抛物线上，当％•时，%>%；

3

④不等式依2+C之o的解集是xV—2或X25；

⑤一元二次方程cd+foc+onO的两根分别为%=-g,%=1.

其中错误的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握

二次函数与方程及不等式的关系.由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线

与x轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与y轴交点位置可判

断③，由抛物线经过(2,0)及抛物线的对称性可判断④，由抛物线开口方向及对称轴可判

断⑤.

【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，

h

抛物线对称轴为直线尤=-==-;1,

2a2

.'.a=b>0,

：.a-b=O,故②正确；

抛物线和y轴交点在负半轴，

c<0,

abc<0,

・•.①正确；

当网时，两点都在抛物线的对称轴右侧.y随x增大而增大，

・•.③正确；

不等式ajc2+bx+c>0,抛物线在x轴上方时，x取值范围，而抛物线和x轴交点为(-2,0)

和(1,。)，

解集是x4-2或x21；

二④错误.

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ox?+6x+c=0的两个根%=1,x1=-2,

+b[J+c=0的两个根％=1,x2=——,

二.cv2+/w+a=0的两个木艮X]=1,尤2=—不，

.,•⑤正确.

故选：A

10.如图，在正方形A8CO中，点尸是AB上一动点（不与A、3重合），对角线AC、BD

相交于点。，过点P分别作AC、3D的垂线，分别交AC、BD于点E、F,交短>、3c于

点、M、N.下列结论：@VAPE^AME；②PM+PN=AC；③PE?+PF』PO?；④

△POFsABNF；⑤郎的最小值=OC.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤

【答案】B

【分析】依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断和△8PN以

及，APE、/都是等腰直角三角形，四边形PEO/是矩形，从而作出判断.

【详解】解：：四边形ABC。是正方形

：.ZBAC=ZDAC=45°.

,/在△APM和△AME中，

ZPAE=ZMAE

<AE=AE,

ZAEP=ZAEH

：..APE^AAME（ASA）,故①正确；

PE=EM=-PM,

2

同理，FP=FN=-NP.

2

正方形ABCD中AC工BD,

XVPELAC,PF1BD,

：.ZPEO=ZEOF=ZPFO=90°,且VAPE中AE=PE

四边形PEO尸是矩形.

PF=OE,

：.PE+PF=OA,

又；PE=EM=LpM,FP^FN^-NP,OA=-AC,

222

/.PM+PN=AC,故②正确；

•••四边形PEO9是矩形，

:.PE=OF,

在直角△OPP中，。尸+「尸二尸02,

PE-+PF2=PO--故③正确.

3NF是等腰直角三角形，而尸。尸不一定是等腰直角三角形，故④错误;

连接OM,ON,

垂直平分线段PM.OB垂直平分线段PN,

OM=OP,ON=OP,

：.OM=OP=ON,

点。是，PMN的外接圆的圆心，

/.OP=-MN,

2

MN最小时为垂直AO时，

：.OP=-DC,故⑤正确.

2

故选：B.

【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定、勾股定理等知识，掌握相关性质、定理

是关键.

二、填空题

11.一元一次方程2(x+3)=4的解是.

【答案】x=-l/-l

【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤:

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去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.去括号、移项、合并同类项、系数

化为1,据此求出方程的解即可.

【详解】解：去括号，可得：2x+6=4,

移项，可得：2.r=4-6,

合并同类项，可得：2x=-2,

系数化为1,可得：x=-l.

故答案为：x=-l.

12.如图，正六边形内接于。。，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概

【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆

面积的：，可得结论.

0

【详解】如图所示：连接。4,

△OBC都是等边三角形,

ZAOB=ZOBC=60°f

：.OC//AB,

••SAABC-SAOBCJ

・・S丽S扇形OBC，

则飞镖落在阴影部分的概率是J;

6

故答案为二.

6

【点睛】此题主要考查了正多边形和圆、几何概率以及扇形面积求法，得出阴影部分面

积=5扇形OBC是解题关键.

13.如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A,B,其中A的位置可以表

示成（60。,6）,则A与8的距离为

90°

270°

【答案】2旧

【分析】本题主要考查了勾股定理，用有序数对表示位置，先根据题意得到点8的位置

可以表示成（150°,4）,进而得到和中心点的夹角为90度,再利用勾股定理求出即可.

【详解】解：由题意得，点8的位置可以表示成（150。,4）,

43和中心点的夹角为90度，

,•AB=，不+6。=2-\^3,

故答案为：2岳.

14.观察下列一组数：黑，…，它们是按一定规律排列的，那

392781243

么这一组数的第n个数是—.

【答案】（-1）"，勺』

【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变

化特点，从而可以写出第〃个数，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点,

写出相应的数字.

26122030

【详解】：一组数:

3，-9,27，-81，243

1x22x33x44x55x6

・•・这组数为:

•1•这一组数的第w个数是（-1）"+1-粤3

故答案为：（-1）田.以中.

15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC。的顶点A,B在无轴的正半轴上，反比例

试卷第10页，共30页

k

函数y=-(々>0,x>0)的图象经过顶点。，分别与对角线AC,边BC交于点E,F,连接

x

EF,AF.若点E为AC的中点，//£尸的面积为1,则上的值为.

【分析】设A(a,0),表示出O(a,~),再根据。、E、尸都在函数图像上，以此表

a

示出坐标，再由AAEF的面积为1,可知SACF=2,列出等式即可求出结果.

【详解】解：设A(a,0),

:四边形ABC。是矩形，

D(a,—),

a

:矩形ABC。中，E为AC的中点，

则E也为8。的中点，

:点8在x轴上，

E的纵坐标为二，

2a

k

••E(2a,—)

2af

・・・E为AC的中点，

；.点C(3a,

a

k

•二点F(3〃，—),

3a

「ZXAEF的面积为1,AE=EC,

.・uACF-乙，

解得：k=3

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义，根据中点坐标公式表示出各点坐标是

解题的关键.

16.如图，正方形ABCD的边长为4,P是边CD上的一动点，EFLBP交BP于G,

且所平分正方形ABC。的面积，则线段GC的最小值是.

【答案】W_0/_0+W

【分析】如图，连接助交EF于0,由EF平分正方形ABCD的面积，以及正方形的性

质可得AE=CF,DE=BF,证明DOE^BOF(AAS),则O£)=O3,即。为8。的中

点，根据直径所对的圆周角为直角，过。B,G三点作M,圆心为M,如图，过M

作MNLBC千N,连接MC,则G的运动轨迹为M,GC最小值为MC-MG,利用

正弦求BO,MN,BN的值，进而可得CN的值，然后在Rt^MNC中，用勾股定理求MC

的值，代入MC-MG中，计算求解即可.

【详解】解：如图，连接80交E产于。，

V所平分正方形A5CD的面积,

AE+BF=DE+CF,

•/AE+DE^BF+CF,

：.AE=CF,DE=BF,

在，DOE和反加中，

ZDOE=NBOF

•；\NODE=NOBF,,

DE=BF

:.DOE金BOF(AAS),

：.OD=OB,即。为80的中点,

试卷第12页，共30页

ZOGB=90°,

...过O,B,G三点作M,圆心为M,如图，过AZ作MN」3c于N,连接MC,

•1•G的运动轨迹为：M上的一部分，

/.GC最小值为MC-MG,

VZBDC=45°,BC=CD=4,

ABD=BC=4A/2,OM=-OB=-BD=yJl,

sin45024

：.MN=BN=BMsin45°=l,CN=BC-BN=3,

在Rt/XMNC中，由勾股定理得MC=JMNZ+CM=而,

GC最小值为灰。-血，

故答案为：A/IO-A/2.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等的判定与性质，正弦，直径所对的圆周角为直

角，勾股定理等知识.解题的关键在于确定G的运动轨迹.

三、解答题

17.(1)计算：|1一班|+(-g)0-2sin60°+我；

(2)先化简，再求值：fl1―-"I+4,其中。=0+2.

I6Z+1)a+1

【答案】(1)2；(2)叵

a-22

【分析】本题考查的是分式的化简求值、实数的运算，掌握分式的混合运算法则、实数

的运算法则是解题的关键.

(1)根据零指数塞、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、立方根计算；

(2)根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把。=血+2代入计算即可.

【详解】解：(1)原式=石一1+1-2、3+2

2

=6-1+1-百+2

=2；

,、、,a+13、a+1

⑵原式

Cl—2Q+1

a+1(〃-2/

]

Q—2

当〃=a+2时,原式二号7T日

18.如图，某校教学楼上悬挂一块长为2m的标语牌，即CD=2m.某班学生开展综合

实践活动，测量标语牌的底部点。距地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.2m,

在测点A处安置测倾器，测得标语牌底部点。的仰角为31。，在与点A相距4m的测点8

处安置测倾器,测得标语牌顶部点C的仰角为45。,求标语牌底部点。距地面的高度DH

的长（图中点A,B,C,D,E,F,H在同一平面内）.（参考数据：tan3r=0.60,

【答案】点。到地面的距离。”的长约为10.2m.

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记

锐角三角函数的定义是解题的关键.延长麻交S于N,根据等腰直角三角形的性质

得到OV=NF,根据正切的定义求出ON,结合图形计算即可.

【详解】解：能，理由如下：

延长EF交CH于N,如图所示：

贝I]ZCNF=90°,

NCFN=45°,

:.CN=NF,

设DN=xm,贝！]初="=0+2)111,

二.EV=4+(x+2)=(x+6)(m),

在RtDEN中,tanNDEN=吧,

EN

:.DN=ENWZDEN,

/.x®(x+6)x0.6,

解得：x®9,

:.DH=DN+NHx9+L2=10.2(m),

试卷第14页，共30页

答：点。到地面的距禺DH的长约为10.2m.

19.为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个

月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，

并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

A

(1)此次调查的总人数为;

(2)扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是°；

(3)请将条形统计图补充完整；

⑷为了共同进步，何老师准备从被调查的A类和。类学生中各随机抽取一位同学进行

“一帮一”互助学习.请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概

率.

【答案】(1)20人

⑵36

(3)见解析

(4)1

【分析】(1)由条形统计图中B类学生数及扇形统计图中2类学生的百分比即可求得参

与调查的总人数；

(2)由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与360。的积即为所求的结果；

(3)现两种统计图及(1)中所求得的总人数，可分别求得C类、。类学生的人数，从

而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图；

(4)记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记。类学生的

一男一女分别为“男”、“女”，列表即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是相

同性别的结果数，从而可求得概率.

【详解】(1)由条形统计图知，B类学生共有6+4=10(人)，由扇形统计图知，2类学

生所占的百分比为50%,则参与调查的总人数为：1。-50%=20(人)

故答案为：20人

(2)由扇形统计图知，。类学生所占的百分比为：1-15%-50%-25%=10%,则扇形

统计图中“不达标，，对应的圆心角度数是：360°X10%=36°

故答案为：36

（3）C类学生总人数为：20x25%=5（人），则C类学生中女生人数为：5-2=3（人）

。类学生总人数为：20xl0%=2（人），则C类学生中男生人数为：2-1=1（人）

补充完整的条形统计图如下：

（4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记。类学生的

一男一女分别为“男”、“女”，列表如下：

男1女1女2

男男1男女1男女2

女男1女女1女女2

则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3

-31

种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：7=7

【点睛】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关

键是读懂两个统计图并能从图中获取信息.

20.如图，四边形ABC。为平行四边形，连接AC,且AC=2AS.请用尺规完成基本

作图：作出的角平分线与8C交于点E.连接8。交AE于点F，交AC于点。,

猜想线段2尸和线段。尸的数量关系，并证明你的猜想.（尺规作图保留作图痕迹，不写

【答案】作图见解析，猜想：DF=3BF,证明见解析.

【分析】根据角平分线的作法作出的角平分线即可；由平行四边形的性质可得

试卷第16页，共30页

出AO=CO.30=。。，由AC=2AB得出AO=AB,由等腰三角形的性质得出

BF=OF=；BO,从而可得出结论.

【详解】解：如图，AE即为-54C的角平分线,

猜想：DF=3BF

证明：；四边形48cD是平行四边形

：.AO=CO,BO=DO

：.AC=2AO

"：AC=2AB

：.AO=AB

是/B4c的角平分线

BF=OF=-BO

2

BF=OF=-DO

2

:.DF=BO+OF=2BF+BF=3BF.

【点睛】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌

握相关性质是解答此题的关键.

21.如图，已知48是:。的直径，点C在＜一。上，过点。作CCAB交AC于点E,交

BC的延长线于点。，点尸是OE的中点，连接CR.

⑴判断CP与。的位置关系，并说明理由；

(2)若。尸=2,CF=y/2,求劣弧BC和弦8c所围成的阴影面积.

【答案】(l)CF与。相切，理由见解析

⑵工_包

42

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，扇形面积的计算，等腰直角三

角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

(1)根据圆周角定理得到NACB=NACr>=90。，根据直角三角形的性质得到

CF=EF=DF,求得根据等腰三角形的性质得至(J

ZOCA=ZOAC,于是得到结论；

⑵根据切线的性质得到NOCF=90。，根据勾股定理得到OC=&,求得NCOF=45°,

过点C作于H,得到C"=零OC=1,根据扇形和三角形的面积公式即可得到

结论.

【详解】(1)CF与。相切，

理由：是(O的直径，

ZACB=ZACD=90°,

点厂是的中点，

：.CF=EF=DF,

ZAEO=ZFEC=ZFCE,

OA=OC9

:.ZOCA=ZOAC,

ODVAB,

:.ZOAC^ZAEO=90°,

/.ZOC4+ZFCE=90°,

即OC1FC,

O。是。的半径，

；.CF与O相切；

(2).CF与O相切，

.\ZOCF=90°f

OF=2,CF=C，

：.OC=YIOF2-CF2=72,

;.OC=CF,

.•./COb=45。，

试卷第18页，共30页

ODLAB,

NDOB=90°,

.-.ZBOC=45°,

过点C作CHJ.AB于H,

:.CH=—OC=l,

2

，劣弧BC和弦BC所围成的阴影面积=扇形BOC的面积-三角形COB的面积

后子寺

Y1f

22.如图，在直角坐标平面内，正比例函数＞=◎的图象与反比例函数y=38的图象

X

在第一象限内相交于点人（〃43）,过点A作轴，垂足为点8.

（1）求NAQ5的度数;

⑵在直线A3上是否存在点C,使点C到直线0A的距离等于它到点B的距离？若存在,

求点C的坐标；若不存在，请说明理由;

（3）已知点尸在y轴上，如果.AOP是等腰三角形，请直接写出点尸的坐标.

【答案】（1）/403=60。

⑵或（后-3）

⑶尸（6,0）或（273,0）或卜26,0）或（2,0）

【分析】（1）先求出点A的坐标为（君,3）,再根据三角函数的定义即可得出答案;

（2）根据点A的坐标，可知/。3=30。，过点C作CGJ.Q4于G,由题意得C8=CG,

分点C在上或A8的延长线上，分别根据含30。角的直角三角形的性质可得答案；

（3）由。4=6，分AO=AP,OA=OP,PA=P。三种情形，分别得出答案.

【详解】（1）解：：反比例函数＞=记的图象经过点人（办3）,

X

._373_/-

..in------—73,

3

.•.A（V3,3）,

:.AB=3,B0=6，

tan^.AOB=----=—尸=sf3

BO6

ZAOB=60°；

（2）M_Lx轴于点B,点C在直线AB上,

；•设点C的坐标为（若,y）,

过点C作CG_LQ4于G,

由题意得CB—CG,

当点C在上时，

则OC平分/A03,

由（1）知NAO3=60。,

:.ZBOC=30°,

tan30°=—=A/3

OB

BC=—xOB=l,

3

当点C在AB延长线上时,

同理可得C'（g,-3卜

试卷第20页，共30页

综上所述：c（后1）或（后-3）；

（3）在RtA4BO中，OB=^3,AB=3,由勾股定理得：QA=13?+（厨=,

当AO=AP=2』时，则P（6,0）,

当。4=0尸时,则尸（2后0）或卜26,0）,

当24=尸。时，则P在。4的垂直平分线上，过点尸作尸”，。4于X,如图，贝U

OH=AH=y/3,

/尸05=90。-60。=30。，

CH

在Rt△ABO中，cos30°=,

OP

:.OP=^=2

2

.■.P（2,0）,

综上所述:尸（6,0）或（2百,0）或12百,0）或（2,0）.

【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，含30。角的

直角三角形的性质，角平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论

思想是解题的关键.

23.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具.已

知一件甲种农机具价格是一件乙种农机具价格的3倍，且用6万元相同金额购进甲种农

机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件.

（1）求一件甲种农机具和一件乙种农机具的价格各是多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.5万元又

不超过13万元，设购进甲种农机具机件，则有几种购买方案？并写出需要的资金最少

的购买方案.

(3)在(2)中需要资金最少的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农

机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金

全部用于再次购买甲、乙两种农机具(可以只购买一种)，请直接写出再次购买农机具

的方案有哪几种？

【答案】(1)一件甲种农机具的价格是L5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元

(2)有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少

(3)节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种：①购买甲种农机具。件，乙种农

机具15件；②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件

【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解

题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一

元一次不等式；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程.

(1)设一件乙种农机具的价格是x万元，则一件甲种农机具的价格是3x万元，根据用

6万元相同金额购进甲种农机具的数量比购进乙种农机具的数量少8件.列出分式方程,

解方程即可；

(2)设购进甲种农机具机件，购进乙种农机具件，根据投入资金不少于9.5万

元又不超过13万元，列出一元一次不等式组，解得4.5W〃?W8,有4种方案，再设需

要的总资金为w万元，然后由一次函数的性质即可解决问题；

(3)设节省的资金用于再次购买甲种农机具。件，乙种农机具〃件，根据该粮食生产

基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具(可以只购买一种)，列出

二元一次方程，求出非负整数解即可.

【详解】(1)设一件乙种农机具的价格是尤万元，则一件甲种农机具的价格是3x万元,

由题意得：=8,

x3x

解得：x=0.5,

经检验，x=0.5是原方程的解，且符合题意，

3x=3x0.5=1.5,

答：一件甲种农机具的价格是1.5万元，一件乙种农机具的价格是0.5万元；

(2)设购进甲种农机具加件，购进乙种农机具件，

fl.5m+0.5(10—zn)>9.5

由题意得：।，

.5m+0.5(10—m)<13

解得：4.5<m<8,

根为整数.

试卷第22页，共30页

可取5,6,7,8.

,有4种方案，

设需要的总资金为w万元，

贝!]vv=1.5"？+0.5(10—nz)=m+5.

1>0,

；.w随着小的增大而增大，

当=5时，叫小=1x5+5=10,

此时，10-772=5,

答：有4种购买方案，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少；

(3)设节省的资金用于再次购买甲种农机具。件，乙种农机具6件，

由题意得：(1.5-0.7)a+(0.5-0.2边=0.7x5+0.2x5,

整理得：6=15-1°,

。、b均为非负整数，

一%=15或%=7,

节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有2种：

①购买甲种农机具0件，乙种农机具15件.

②购买甲种农机具3件，乙种农机具7件.

24.已知在ASC中，。为8c边的中点，连接AO,将,AOC绕点。顺时针方向旋转

(旋转角为钝角)，得到-EOF,连接AE,CF.

图1图2图3

(1)如图1,当/54C=90。且AB=AC时，则AE与CT满足的数量关系是二

(2)如图2,当N54C=90。且ABHAC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写

出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)如图3,延长AO到点使O£)=Q4,连接DE,当AO=CF=6,BC=8时，求OE

的长.

【答案】(1)结论：AE=CF,详见解析

(2)结论成立，详见解析

(3)377

【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似

三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角

形解决问题，属于中考压轴题.

(1)结论AE=CF.证明AOE^,COF(SAS),可得结论.

(2)结论成立.证明方法类似(1).

(3)首先证明NAED=90。，再利用相似三角形的性质求出AE,利用勾股定理求出DE

即可.

【详解】(1)结论：AE=CF.

理由：如图1中，

图1

AB=AC,ABAC=90°,OC=OB,

：.OA=OC=OB,AO1BC,

ZAOC=ZEOF=90°,

:.ZAOE=ZCOF,

OA=OC,OE=OF,

AAOE^/\COF(SAS),

■.AE=CF.

故答案为：AE=CF；

(2)结论成立.理由:

如图2中，

图2

ZBAC=90°,OC=OB,

试卷第24页，共30页

OA=OC=OB,

ZAOC=/EOF,

：.ZAOE=ZCOFf

OA=OC,OE=OF,

AAOE^ACOF(SAS),

.,.AE=CF.

(3)如图3中，

图3

由旋转的性质可知=Q4,

OA=OD,

,\OE=OA=OD=6,

:.ZAED=90°,

OA=OE,OC=OF,ZAOE=NCOF,

.OA_OE

,•~OC~~OF"

...AOEs.COF,

.AEOA

''CF~~OC，

CF=OA=6,OB=OC=—BC=4,

2

64

.\AE=9f

AD=2OA=n,

:.DE=ylAD1-AE2=V122-92=377•

25.如图，抛物线y=(X+D(x-〃)(其中。＞1)与％轴交于A,5两点，交y轴于点C.

(1)直接写出线段A3的长(用。表示)；

(2)若。为ASC的外接圆，且与△ACO的面积之比为5:8,求此抛物线的解

析式，并求出点。的坐标；

⑶在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-a)上是否存在一点P,使得

NCAP=NDBA?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)A3=a+l

(3)抛物线y=(x+l)(x—a)上存在一点尸，使得NC4P=/D54，点尸的坐标(1,-2)或

【分析】(1)利用抛物线的解析式求得点A,B的坐标，依据坐标求得0B,即可

求解；

(2)利用等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理得到△BCD与△4CO为等腰直角

三角形，利用己知条件及勾股定理解答即可求得。值，则抛物线的解析式可求；过点。

作DELQ4于点E,利用点的坐标和勾股定理求得线段OE,DE,即可求解；

(3)利用分类讨论的方法分两种情形解答：①当点尸在AC的下方时，过点P作

尸/于点尸，利用相似三角形的判定与性质求得线段AF,PF的关系，设AF=相，

m>0,则尸尸=2〃z,OF=OA-AF=2-m,则P(2-m,-2〃?)，利用待定系数法解答即

可得出结论；②当点P在AC的上方时，利用①的结论和对称性找出点P的位置，再利

用待定系数法求得直线AG的解析式，最后与抛物线的解析式联立即可求得结论.

【详解】(1)解：令，=。，则(x+