2024年2月“鸽子杯”数学试题

2024年2月“鸽子杯”线上测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题

卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.幕函数y=的图像经过(；,；)，则&=

A.--B.-C.-2D.2

22

2.若由最小二乘法得到的回归直线y=x+l,则其均值点可能是

A.(0,1)B.(1,0)C.(2,4)D.(3,7)

3.已知集合/={1,2,切},B={3,m2},若NClBw。，则满足条件的根有

A.3个B.4个C.5个D.6个

4.已知函数/(x)=2sin(函是奇函数，则/⑺=

A.0B.1C.2D.-2

5.设4,B,。是三个事件，则对事件“4,5不同时发生且5,。有且只有一个发

生”的表示中，正确的是

A.~ABCB.ABC+ABC

C.ABC+ABC+ABCD.ABC+ABC+ABC+ABC

6.设无穷整数数列他}的前〃项和为且有S；=2-%,则〃2024=

A.-2B.-1C.1D.2

7.函数/(x)=色竺的两个极值点对应的函数点均在直线/上，则/的方程为

x-2

A.y=xB.y=-xC.y=—xD.y=--x

数学试题第1页(共4页)

8.已知动点尸在圆/+j?=i上，定点。的坐标为。,1）,动点T满足0T=XOP+nOQ,

其中2,jLi＞0,不+2〃2=4,则|0刀的最大值为

A.2-V2B.V2C.2D.2+72

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.设复数Z1=3+4i与4=-4+3i在复平面对应的点分别为尸，Q,平面坐标原点为O,

则

____]_

2

A.B+ZzkpqB.归12|=囤c.|Z]-z2|=|（9e|D.=|og|

10.已知椭圆C「双曲线。2有相同的焦点4，F-焦距为2,且G，C?离心率互为倒

数记4,4分别为C],的两个顶点,G，C2有公共点尸,且有闿＞|48|，

|4：＞|4工|，陷|＞陷|，则

A./4|=|尸6|B.|4阕=|尸居|C.F[PA.F2PD.FXF21F2P

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在平面直角坐标系中，角a的顶点为。，始边与x轴正半轴重合，终边过点（2,-方），

贝！Jsin（a+.

13.已知正项数列｛%｝满足：当〃为奇数和偶数时，a„,all+l,%+2分别成等比数列和

等差数列.设%=1,%=15,则｛%｝的通项公式为;设数列｛a.｝的前

〃项和为Sn,贝ljSl0=.

14.已知等腰三角形的腰为1,则该等腰三角形内切圆面积的最大值为.

数学试题第2页（共4页）

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

某老师在课堂测验上设置了一种新的大题题型，这种大题题型由一个题干和五个与

题干有关的判断题组成，得分规则是：五道题中，全部正确判断则该大题得5分，有一

道错误判断则该大题得3分，有两道错误判断则该大题得1分，有三道及以上错误判断

则该大题不得分.假定随机判断时，每道题正确判断和错误判断的概率相等.

（1）若考生所有题目都随机判断，求此时得分的分布列和数学期望；

（2）若考生能够正确判断其中两道题目，其余题目随机判断，求此时得分的数学

期望.

16.（15分）

请从以下三个条件中选择一个条件加入题干并完成求解，不同条件对应的本题满分

不同，若选择多个条件进行求解，将以分值较大的解答作为评分依据：

甲（满分10分）：^BAC=60°,PB上PC；

乙（满分12分）：PA=2PB,△NBC的面积为10方；

丙（满分15分）：点尸到平面4BC的距离为叵，PA=275.

3

如图，在三棱锥P-N3c中，PALPB,PA1.PC,AB=5,AC=S.

（1）求三棱锥P-43C的表面积与体积;

（2）求二面角/-3C-尸的余弦值.

17.(15分)

已知函数/(x)=-bsinx),a>0,b>0.

（1）若b=l,讨论/（x）在（0,2万）的单调性;

（2）设t="6>0,t为定值，若/（x）在R上单调,求？的取值范围.

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18.(17分)

循环排列(也称圆排列)是指从〃个不同元素中取出m个不同的元素排成一个环形,

既无头也无尾.循环排列视所有循环的情形为同一种排列，例如123、231、312在循环

排列中便视为一种排列；同时将顺时针和逆时针视为两种循环排列，例如123和132便

是两种不同的循环排列.(本题中，m,〃均为正整数，且加(〃)

(1)若从〃个人中选择〃，个人围坐成一个圆桌，直接写出这样的排列个数；

(2)定义：将〃个不同元素划分成加个非空循环排列(即每个排列中都有至少一

个元素)，所有这样的排列的个数用符号s(〃，M表示.并规定s(O,O)=l,s(%0)=0.

①求s(4,2)；

②证明：s(ji,m)+n-s(ji,m+1)=5(M+1,zn+1),其中

(3)已知某饭店有〃张圆桌，每张圆桌最多可以容纳”个人，最少可以不坐人.现

在有〃个人来到饭店就餐，若将每张桌上围坐多人时不同的循环排列视为不同方案，将

相同循环排列坐在不同桌视为同种方案，求总的方案数.

19.(17分)

在平面直角坐标系中有定点4(-&,0),F2(V2,0),动点尸满足：点尸到y轴

的距离与点尸到片，尸2距离之和的比值为?.

(1)求点尸轨迹厂的方程；

(2)设点0为「上一点，忸。=4,求△P。片面积的最大值.

数学试题第4页(共4页)

18.(17分)

在平面直角坐标系xqy中有定点片(-行,0),与(后,0),动点尸满足：点尸到了轴

的距离与点尸到4，F2距离之和的比值为?.

(1)求点尸轨迹厂的方程；

(2)设点0为厂上一点，\PQ\=4,求△P。耳面积的最大值.

19.(17分)

循环排列(也称圆排列)是指从〃个不同元素中取出m个不同的元素排成一个环形,

既无头也无尾.循环排列视所有循环的情形为同一种排列，例如123、231、312在循环

排列中便视为一种排列；同时将顺时针和逆时针视为两种循环排列，例如123和132便

是两种不同的循环排列.(本题中，m,〃均为正整数，且加W”)

(1)若从〃个人中选择用个人围坐成一个圆桌，直接写出这样的排列个数；

(2)定义：将"个不同元素划分成机个非空循环排列(即每个排列中都有至少一

个元素)，所有这样的排列的个数用符号S(〃M)表示.并规定s(0,0)=l,s(〃,0)=0.

①求s(4,2)；

②证明：(〃+1)S(〃,山)+S(