2024年中考数学总复习真题分类汇编：圆的基本概念与性质2

6.1圆的基本概念与性质

一.选择题

1.（2023•吉林）如图，AB,AC是的弦，OB,0c是的半径，点尸为02上任意一点（点P不与

点2重合），连接CP.若/BAC=70°,则NBPC的度数可能是（）

2.（2023•内蒙古赤峰）如图，圆内接四边形43a）中，ZBCD=105°,连接OC,OD,BD,ZBOC

=2/COD则的度数是（）

3.（2023•河南）如图，点A,B,C在。。上，若NC=55°,则/A03的度数为（）

4.（2023•广东）如图，A8是。。的直径，ZBAC=50°,则/。=（）

A.20°B.40°C.50°D.80°

5.（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈

圆弧形，跨度约为37加，拱高约为7优，则赵州桥主桥拱半径R约为（）

37m

A.20mB.28wC.35mD.40m

6.（2023•四川广元）如图，AB是。O的直径，点C,。在。。上，连接CO,OD,AC,若/80。=124°,

则NACD的度数是（）

A.56°B.33°C.28°D.23°

7.（2023•浙江温州）如图，四边形ABC。内接于O。，BC//AD,AC±BD.若/AO£>=120°,AD=V3,

则NC4。的度数与的长分别为（）

A

BK/\\

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1I）.15°,V2

8.（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于O。，AC,3。为对角线,BD经过圆心0.若/BAC=40°,

则NOBC的度数为（）

AD

A.40°B.50°C.60°D.70°

9.（2023•湖北宜昌）如图，。4,OB,0c都是的半径，AC,交于点。.若AZ）=CZ）=8,00=6,

A.5B.4C.3D.2

10.（2023•山东枣庄）如图，在中，弦AB,CD相交于点P.若/A=48°,ZAPZ）=80°,则的

度数为（）

11.（2023•浙江杭州）如图，在OO中，半径。4,08互相垂直，点C在劣弧AB上.若/A8C=19°,则

NBAC=（）

A.23°B.24°C.25°D.26°

12.（2023•湖北黄冈）如图，在（DO中，直径AB与弦CD相交于点P,连接AC,AD,BD,若/C=20°,

ZBPC=70°,则/ADC=（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

13.（2022•山东泰安）如图，AB是。。的直径，ZACD^ZCAB,AD=2,AC=4,则。。的半径为（）

14.（2022•浙江温州）如图，AB,AC是O。的两条弦，于点£）,OELAC于点E,连结08,OC.若

ZDO£=130°,则/80C的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

15.（2022•广西贵港）如图，O。是△A8C的外接圆，AC是O。的直径，点尸在O。上，若NAC8=40°,

则N8PC的度数是（）

16.（2022•湖南株洲I）如图所示，等边△ABC的顶点A在。。上，边A8、AC与。。分别交于点。、E,点、

尸是劣弧场上一点，且与。、E不重合，连接。尸、EF,则/。FE的度数为（）

E

A.115°B.118°C.120°D.125°

17.（2022•湖北荆门）如图，CQ是圆。的弦，直径A8_LCQ,垂足为E,若A8=12,BE=3,则四边形

AC8D的面积为（）

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

二.填空题

18.（2023•湖南长沙）如图，点A,B,C在半径为2的O。上，ZACB=60°,OD±AB,垂足为£,交O。

于点D,连接OA,则OE的长度为

19.（2023•广东深圳）如图，在。。中，为直径，C为圆上一点，/BAC的角平分线与交于点

若NAOC=20。，则

20.（2023•山东东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁

中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如

图，CO为的直径，弦AB_LC。，垂足为E,CE=1寸，A8=10寸，则直径CD的长度为寸.

21.（2023•浙江绍兴）如图，四边形ABC。内接于圆。若/。=100°,则的度数是

22.（2023•四川南充）如图，是的直径，点。，M分别是弦AC,弧AC的中点，AC=12,BC=5,

则MD的长是.

23.（2022•辽宁锦州）如图，四边形ABC。内接于O。，为。。的直径，NAZ）C=130°,连接AC,则

ZBAC的度数为

24.（2022•四川阿坝州）如图，点A,B,C在。。上，若NACB=30°,则/AQB的大小为

25.（2022•浙江湖州）如图，已知A2是。。的弦，120°,OCLAB,垂足为C,OC的延长线交

。。于点Q.若/APO是疝所对的圆周角，则的度数是.

26.（2022•四川自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦A8长20厘米，弓形高

CD为2厘米，则镜面半径为厘米.

27.（2022•江苏苏州）如图，是。。的直径，弦C£）交48于点E,连接AC,AD.若/8AC=28°,则

ZD=

c

28.(2022•黑龙江牡丹江)。。的直径CZ)=10,4B是。。的弦，ABLCD,垂足为M,OM-.0c=3：5,

则AC的长为

三.解答题

29.(2023•北京)如图，圆内接四边形A8CD的对角线AC,2。交于点E,8。平分/ABC,NBAC=NADB.

(1)求证平分NAOC,并求NR4D的大小；

(2)过点C作C尸〃交AB的延长线于点凡若AC=A。，BF=2,求此圆半径的长.

30.(2023•湖北武汉)如图，OA,OB,0c都是。。的半径，ZACB^2ZBAC.

(1)求证：/AOB=2/BOC；

(2)若AB=4,BC=V5,求。。的半径.

31.（2022•湖北宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的赵州桥距今约有1400

年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧

形，表示为通.桥的跨度（弧所对的弦长）AB=26,〃，设苑所在圆的圆心为O,半径OCLAB,垂足为D拱

高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接。8.

（1）直接判断与8。的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）.

32.（2022•广东）如图，四边形A8CD内接于AC为。。的直径，ZADB=ZCDB.

（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；

（2）AB=V2,4。=1,求CD的长度.

B

33.（2022•江苏南通）如图，四边形ABCZ）内接于OO,8。为。。的直径，AC平分CD=242,

点E在的延长线上，连接。E.

（1）求直径的长；

（2）若BE=5近,计算图中阴影部分的面积.

34.（2022•湖北武汉）如图，以AB为直径的。。经过△ABC的顶点C,AE,8E分别平分N8AC和NABC,

AE的延长线交00于点Q,连接8D

（1）判断△BOE的形状，并证明你的结论;

(2)若48=10,BE=2所,求2C的长.

B'C

D

参考答案与解析

一.选择题

1.（2023•吉林）如图，AB,AC是。。的弦，OB,0c是。。的半径，点P为02上任意一点（点P不与

点8重合），连接CP若/BAC=70°,则/BPC的度数可能是（）

【答案】D

【分析】利用圆周角定理求得/BOC的度数，然后利用三角形外角性质及等边对等角求得/8PC的范围,

继而得出答案.

【详解】解：如图，连接BC,

故选：D.

【点睛】本题考查圆与三角形外角性质的综合应用，结合已知条件求得/BPC的范围是解题的关键.

2.（2023•内蒙古赤峰）如图，圆内接四边形ABCD中，ZBCD=105°,连接02,OC,OD,BD,ZBOC

=2/COD.则NC2。的度数是（）

A

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】A

【分析】利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求得N30D的度数，再结合已知条件求得NCOO的度

数，然后利用圆周角定理求得NCBD的度数.

【详解】解：•・,四边形A3CO是。。的内接四边形，

AZA+ZBCD=180°,

VZBCD=105°,

AZA=75°,

・・・N3OD=2NA=150°,

■:/BOC=2/COD,

・・・N3OO=3NCOD=150°,

：.ZCOD=50°,

1

AZCBD=^ZCOD=25°,

故选：A.

【点睛】本题考查圆内接四边形性质及圆周角定理，结合已知条件求得的度数是解题的关键.

3.（2023•河南）如图，点A,B,C在。O上，若NC=55°,则NA08的度数为（）

【答案】D

【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案.

【详解】解：VZAOB=2ZC,ZC=55°,

ZAOB=HO0,

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半.

4.（2023•广东）如图，AB是OO的直径，ZBAC=50°,则ND=（）

【答案】B

【分析】由是。。的直径，得/ACB=90°,而NBAC=50°,即得/A8C=40°,故/£>=/ABC

=40。,

【详解】解：•.NB是OO的直径，

AZACB=90°,

：.ZBAC+ZABC^90°,

VZBAC=50°,

：.ZABC=40°,

"：AC=AC,

：.ZD=ZABC=40°,

故选：B.

【点睛】本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角

相等.

5.（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈

圆弧形，跨度约为37d拱高约为7加，则赵州桥主桥拱半径尺约为（）

37m

O

A.20mB.28mC.35mD.40m

【答案】B

【分析】设主桥拱半径R,根据垂径定理得到孝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案.

【详解】解：由题意可知，AB=31m,CD=7m,

设主桥拱半径为Rm,

：.OD=OC-CD=(R-7)m,

：OC是半径，OC±AB,

：.AD^BD=%B=~-m,

在RtADO中，AC^+OD1=OA2,

370200

(—)+(R-7)2=R2,

2

解得夫=粤228.

故选：B.

【点睛】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于R的方程解

决问题.

6.（2023•四川广元）如图，A8是O。的直径，点C,。在O。上，连接CD,OD,AC,若/8OZ>=124°,

C.28°D.23°

【答案】C

【分析】先由平角定义求得/AOD=56°,再利用圆周角定理可求/ACD

【详解】解：YNBOZ）=124°,

AZAOD=180°-124°=56°,

1

AZACD=^ZAOD=2S°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查的是圆周角定理的应用，利用平角定义求得NAOD=56°是解决本题的关键.

7.（2023•浙江温州）如图，四边形ABC。内接于OO,BC//AD,AC.LBD.若NAOD=120°,AD=«,

则NCAO的度数与BC的长分别为（）

A

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1D.15°,V2

【答案】

【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出NAO3=NCOO=90°,ZCAD=ZBDA=

45°,求出N8OC=60°,得到△BOC是等边三角形，得至1]5。=。3,由等腰三角形的性质求出圆的半

径长，求出NO4O的度数，即可得到5c的长，NCAO的度数.

【详解】解：・・・BC〃AD,

：.ZDBC=ZADB,

：.AB=CD,

:・/AOB=/COD,NCAD=NBDA,

VZ)B±AC,

AZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45°,

AZAOB=2ZADB=90°,ZCOD=2ZCAD=90°,

VZAOD=120°,

：.ZBOC=360°-90°-90°-120°=60°,

•：OB=OC,

•••△03C是等边三角形，

:・BC=OB,

9：OA=OD,ZAOD=120°,

：.ZOAD=ZODA=30°,

：.AD=V3OA=V3,

・・・OA=1,

：.BC=\,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAZ)=45°-30°=15°.

故选：C.

【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是

由圆周角定理推出NAO8=NCOD=90°,ZCAD=ZBDA=45°,证明△05。是等边三角形.

8.（2023•山西）如图，四边形ABC。内接于AC,80为对角线，5。经过圆心O.若NB4C=40°,

则ND5C的度数为（）

AD

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】由圆周角定理可得NBCD=90°,ZBDC=ZBAC=40°,再利用直角三角形的性质可求解.

【详解】解：经过圆心。，

：.ZBCD=90°,

VZBDC=ZBAC=40°,

：.ZDBC=90°-ZBDC=50°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键.

9.（2023•湖北宜昌）如图，。4,OB,0c都是的半径，AC,OB交于点。.若A£>=C£）=8,OD=6,

则BD的长为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根据垂径定理得08,AC,在根据勾股定理得OA=7AD2+0D2=+6?=10,即可求出答

案.

【详解】解：

OBLAC,

在RtAAOD中，OA=VXD2+OD2=V82+62=10,

：.OB=10,

：.BD^10-6=4.

故选：B.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得OBLAC是解题的关键.

10.（2023•山东枣庄）如图，在。0中，弦AB,C3相交于点P.若NA=48°,ZAPZ）=80°,则N8的

度数为（）

【答案】A

【分析】根据外角/APQ,求出/C,由同弧所对圆周角相等即可求出NB.

【详解】解：VZA=48°,ZAPD=SQ°,

AZC=80°-48°=32°,

"：AD=AD,

：.ZB=ZC=32°.

故选：A.

【点睛】本题考查了圆周角的性质的应用，三角形外角的性质应用是解题关键.

11.（2023•浙江杭州）如图，在OO中，半径。4,08互相垂直，点C在劣弧AB上.若/A8C=19°,则

ZBAC=（）

A.23°B.24°C.25°D.26°

【答案】D

【分析】连接OC,根据圆周角定理可求解NAOC的度数，结合垂直的定义可求解NBOC的度数，再利

用圆周角定理可求解.

【详解】解：连接OC,

VZABC=19°，

：.ZAOC=2ZABC=3S°,

•.,半径OA,OB互相垂直，

；.NAOB=90°,

AZBOC=90°-38°=52°,

1

ZBAC=^ZBOC=26°,

故选：D.

【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

12.（2023•湖北黄冈）如图，在中，直径A8与弦C。相交于点P,连接AC,AD,BD,若NC=20°,

ZBPC=70°，贝!J/AOC=()

A.70°B.60°C.50°D.40°

【答案】D

【分析】先根据外角性质得NA4c=NBPC-NC=50°=ZBDC,,再由AB是OO的直径得NAr>2=90°

即可求得NAOC.

【详解】解：•••/C=20°,ZBPC=70°,

：.ZBAC=ZBPC-ZC=50°=ZBDC,

••,AB是。。的直径，

AZADB^90°,

ZADC=ZADB-ZBDC=4Q°,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质以及直径所对的圆周角是直角，熟练掌握各知识点是解决本

题的关键.

13.（2022•山东泰安）如图，48是。。的直径，ZACD^ZCAB,AO=2,AC=4,则。。的半径为（）

【答案】D

【分析】根据圆周角定理及推论解答即可.

【详解】解：方法一：

连接C。并延长C。交O。于点E，连接4E,

'：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

ZACD=ZCAB,

：.ZACD=ZACO,

：.AE=AD=2,

是直径，

：.ZEAC^90°,

在Rt/XEAC中，AE=2,AC=4,

：.EC=V22+42=2V5,

的半径为有.

方法二：连接2C,

「AB是直径，

ZACB=90°,

ZACD^ZCAB,

：.AD=BC,

：.AD=BC=2,

在RtZ\ABC中，AB=yjAC2+BC2=2A/5,

...圆o的半径为VI

故选：D.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键.

14.（2022•浙江温州）如图，AB,AC是。。的两条弦，OO_LAB于点。，OE_LAC于点E,连结08,OC.若

ZDO£=130°,则/80C的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

【答案】B

【分析】根据四边形的内角和等于360。计算可得NB4C=50°,再根据圆周角定理得到/BOC=2/BAC,

进而可以得到答案.

【详解】解：'：OD±AB,OELAC,

：.ZADO=9Q°,ZA£O=90°,

：/。。£=130°,

：.ZBAC=360°-90°-90°-130°=50°,

AZBOC=2ZBAC=100°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

15.（2022•广西贵港）如图，。。是△A8C的外接圆，AC是的直径，点尸在上，若NACB=40°,

则N8PC的度数是（）

【答案】C

【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到NABC=90°,进而求出/CAB,根据圆周角定理解答即可.

【详解】解：是OO的直径，

A90",

ZACB+ZCAB=90°,

VZACB=40°,

：.ZCAB=90°-40°=50°,

由圆周角定理得：ZBPC=ZCAB=50°,

故选：C.

【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

16.（2022•湖南株洲I）如图所示，等边△ABC的顶点A在。。上，边A8、AC与。0分别交于点。、E,点

尸是劣弧屏上一点，且与。、E不重合，连接。尸、EF,则的度数为（）

A.115°B.118°C.120°D.125°

【答案】C

【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°,求出NE"）=120。.

【详解】解：四边形EFD4是。。内接四边形，

AZ£FD+ZA=180°,

•..等边AABC的顶点A在。。上，

/.ZA=60°,

：.ZEFD^120°,

故选：C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键.

17.（2022•湖北荆门）如图，CD是圆。的弦，直径A8J_C。，垂足为E,若A8=12,BE=3,则四边形

ACBD的面积为（)

0E

A.36V3B.24V3C.18V3D.72V3

【答案】A

【分析】根据AB=12,BE=3,求出。£=3,0C=6,并利用勾股定理求出EC,根据垂径定理求出CD,

即可求出四边形的面积.

【详解】解：如图，连接0C,

VAB=12,BE=3,

/.OB=OC=6,0E=3,

VAB±C£>,

在RtACOE中,EC=-JOC2-OE2=736—9=3日，

：.CD=2CE=6y/3,

11

四边形ACBD的面积=专AB•CD=/12x=36^3.

故选：A.

【点睛】本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,

并且平分弦所对的两条弧.

18.（2023•湖南长沙）如图，点A,B,C在半径为2的。。上，NACB=60°,OD±AB,垂足为E,交。。

于点D,连接OA,则OE的长度为

c

」）

【答案】1

【分析】连接08,利用圆周角定理及垂径定理易得乙4。。=60°,则/OAE=30°,结合已知条件，利

用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案.

【详解】解：如图，连接02,

VZACB=60°,

AZAOB=2ZACB=120°，

'：0DLAB,

：.AD=BD,ZOEA=90°,

1

・•・ZAOD=ZBOD=RAOB=60°,

：.ZOAE=90°-60°=30°,

11

JOE=^OA=^x2=l,

故答案为：1.

【点睛】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得NAOD=60°是解题的关键.

19.（2023•广东深圳）如图，在。。中，A3为直径，C为圆上一点，NA4C的角平分线与。0交于点

若NA0C=2O°,则N3A0=°.

B

C

A

【答案】35

【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得/ACB=90°,再利用圆周角定理可得NAOC=NABC=

20°,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得NBAC=70。，从而利用角平分线的定义进行计算，即

可解答.

【详解】解：•:AB为O。的直径，

A90°,

VZADC=20°,

：.ZADC=ZABC=20°,

：.ZBAC=90°-ZABC=70°,

平分/BAC,

1

：.ZBAD=^ZBAC=35°,

故答案为：35.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

20.(2023•山东东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁

中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如

图，CD为。。的直径，弦垂足为E,CE=1寸，48=10寸，则直径CD的长度为寸.

【答案】26

【分析】连接04设。。的半径是厂寸，由垂径定理得到4E=%8=5寸，由勾股定理得到/=(r-1)

2+52,求出厂，即可得到圆的直径长.

【详解】解：连接。4

设。。的半径是r寸，

;直径C£)_LAB,

.*.AE=1AB=1X10=5\h，

；CE=1寸，

0E=(r-1)寸，

,.,(?A2=OE2+AE2,

J=(r-1)2+52,

r=13,

直径CD的长度为2r=26寸.

故答案为：26.

【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接0A构造直角三角形，应用垂径定理,

勾股定理列出关于圆半径的方程.

21.（2023•浙江绍兴）如图，四边形A8CD内接于圆。，若/。=100°,则的度数是.

【答案】80°

【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案.

【详解】解：：四边形A8C。内接于圆。，

.".ZB+ZD=180°,

VZD=100°,

•,.ZB=80°.

故答案为：80°.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质.

22.（2023•四川南充）如图，A8是OO的直径，点。，M分别是弦AC,弧AC的中点，AC=12,BC=5,

【分析】根据垂径定理得OMLAC,根据圆周角定理得/C=90。，根据勾股定理得AB=V122+52=13,

1

根据三角形中位线定理得。。=扣C=2.5,OD//BC,所以。O_LAC,MD=OM-OD=6.5-2.5=4.

【详解】解：：点M是弧AC的中点，

OMLAC,

是。。的直径，

；.NC=90°,

\'AC=12,BC=5,

：.AB=V122+52=13,

.,.OM=6.5,

:点。是弦AC的中点，

1

：.OD=^BC=2.5fOD//BC,

：.ODLAC,

：・0、D、M三点共线，

：.MD=OM-OD=6.5-2.5=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理

是解题的关键.

23.（2022•辽宁锦州）如图，四边形A5CZ）内接于。0,为。。的直径，ZADC=130°,连接AC,则

ZBAC的度数为.

D

【答案】40°

【分析】利用圆内接四边形的性质和/AOC的度数求得NB的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到

NACB=90°,然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可.

【详解】解：：四边形4BCD内接于OO,ZA£）C=130°,

.*.ZB=180°-/AOC=180°-130°=50°,

为O。的直径，

AZACB=90°,

：.ZCAB=900-ZB=90°-50°=40°,

故答案为：40°.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角

互补.

24.（2022•四川阿坝州）如图，点A,B,C在。。上，若NACB=30°,则NAOB的大小为.

B

【答案】60°

【分析】根据圆周角定理即可得出答案.

1

【详解】解：•/ZACB=^ZAOB,30°,

AZAOB=2ZACB=2X30°=60°.

故答案为：60°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

25.（2022•浙江湖州）如图，已知AB是。。的弦，乙408=120°,OCLAB,垂足为C,OC的延长线交

。。于点Q.若NAPO是丽所对的圆周角，则的度数是

p

D

【答案】30°

【分析】由垂径定理得出通=玩）,由圆心角、弧、弦的关系定理得出进而得出/A。。

=60°,由圆周角定理得出NAPD=*NAO£>=30°,得出答案.

【详解】解：

:.AD=BD,

：.ZAOD=ZBOD,

VZAOB=120°,

NAO£）=ZBOD=RAOB=60°,

1I

AZAPD=^ZAOD=x60°=30°,

故答案为：30°.

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，

圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键.

26.（2022•四川自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高

C。为2厘米，则镜面半径为一厘米.

D

【答案】26

【分析】根据题意，弦43长20厘米，弓形高C。为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半

径.

【详解】解：如图，点。是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC,则点C,点。，点。三点共线,

D

由题意可得：OCLLAB,AC=^AB=10（厘米），

设镜面半径为无厘米，

由题意可得：x2=102+（尤-2）2,

.".尤=26,

•••镜面半径为26厘米，

故答案为：26.

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距

和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解.

27.（2022•江苏苏州）如图，A2是O。的直径，弦交A3于点E,连接AC,AD.若NBAC=28°,则

ZD=°.

【答案】62

【分析】如图，连接BC,证明/ACB=90°,求出NABC,可得结论.

【详解】解：如图，连接8C.

TAB是直径，

ZACB=90°,

：.ZABC^90°-/CAB=62°,

：.ZD=ZABC=62°,

故答案为：62.

【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型.

28.（2022•黑龙江牡丹江）的直径CD=10,AB是O。的弦，ABLCD,垂足为M,OM：OC=3：5,

则AC的长为—.

【答案】4有或2通

【分析】连接。4,由AB_LC。，设。C=5x,OM=3x,根据C0=10可得0c=5,。知=3,根据垂径定

理得到AM=4,然后分类讨论：当如图1时，CM=8；当如图2时，CM=2,再利用勾股定理分别计算

即可.

【详解】解：连接。4,

OM：0c=3：5,

设OC=5尤，OM=3x,

则OD=OC=5x,

"：CD=10,

：.OM=3,OA=OC=5,

"：AB±CD,

：.AM=BM=

在RtZkOAM中，OA=5,

AM=y/OA2—OM2=V52-32=4,

当如图1时，CM=OC+OM=5+3=8,

在RtAACM中,AC=y/AM2+CM2=V42+82=4>/5；

当如图2时，CM=OC-OM=5-3=2,

在RtAACM中,AC=VXM2+MC2=V42+22=2A/5.

综上所述，AC的长为44或2时.

故答案为：4岔或2遍.

【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

三.解答题

29.(2023•北京)如图，圆内接四边形4BCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分NABC,NBAC=NADB.

(1)求证。8平分NAOC,并求/8AQ的大小；

(2)过点C作C尸〃交AB的延长线于点尸，若AC=A。，BF=2,求此圆半径的长.

【答案】(1)90°(2)圆的半径长是4

【分析】(1)由圆周角定理得到NBAC=/COB,1^ZBAC=ZADB,因此NCD8,得到平

分NADC,由圆内接四边形的性质得到NABO+NAO3=90°,即可求出/54。=90°；

(2)由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到NAOC=60°由BO_LAC,得到*NAQC=30°,

由平行线的性质求出NF=90°,由圆内接四边形的性质求出NFBC=N4)C=60°,得到8c=28尸=4,

由直角三角形的性质得到2C=夕»,因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4.

9

【详解】(1)证明：：ZBAC=ZADBfNBAC=/CDB,

：./ADB=/CDB,

・・・3。平分NA。。，

平分NA8C,

・•・/ABD=NCBD,

•・,四边形ABCD是圆内接四边形，

AZABC+ZADC=180°,

・•・ZABD+ZCBD+NAQB+ZCDB=180°,

：.2(/ABD+NADB)=180°,

AZABD+ZADB=90°,

：.ZBAD=180°-90°=90°；

(2)解：VZBAE+ZZ)AE=90°,ZBAE=ZADE,

：.ZADE+ZDAE=90°,

AZAED=90°,

VZBAZ)=90°,

・・・5。是圆的直径，

・・・3。垂直平分AC,

：.AD=CD,

*：AC=ADf

**.AACZ)是等边三角形，

・•・ZAZ)C=60°

9：BDLAC,

1

：.ZBDC=^ZADC=30°,

*：CF//AD,

：.ZF+ZBAD=90°,

：.ZF=90°,

四边形ABCD是圆内接四边形，

AZAZ)C+ZABC=180°,

VZFBC+ZABC=180°,

：.ZFBC=ZADC=6Q°,

：.BC=2BF=4,

VZBCD=90°,NBDC=30°,

1

：.BC=^BD,

；8。是圆的直径，

•••圆的半径长是4.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键

是由圆内接四边形的性质得到,由垂径定理推出△AC。是等边三角形.

30.（2023•湖北武汉）如图，OA,OB,OC都是的半径，ZACB=2ZBAC.

（1）求证：/AOB=2NBOC；

（2）若A8=4,BC=V5,求。。的半径.

【答案】（1）证明见详解（2）1

11

【分析】（1）利用圆周角定理可得41cB=2乙4。8,4BAC=E（BOC,结合乙4。2=2/24。可证明结

论；

（2）过点O作半径OCAB于点E,可得AE=BE,根据圆周角、弦、弧的关系可证得BO=BC,结可

求得BE=2,DB=V5,利用勾股定理可求解DE=1,再利用勾股定理可求解圆的半径.

11

【详解】（1）证明：'：/-ACB=^/.AOB,乙BAC二2乙BOC,ZACB=2ZBACf

：.ZAOB=2ZBOC；

（2）解：过点O作半径OOLAB于点E,

:.AE=BE,

1

•・,ZAOB=2ZBOC,ZDOB=^ZAOB,

：.ZDOB=ZBOC.

:・BD=BC.

VAB=4,BC=V5,

：.BE=2,DB=V5,

在RtABD£中，/DEB=90°,

：.DE=7BD2-BE?=1,

在RtZkBOE中，ZOEB=90°,

O$=COB-1)2+22,

解得。B=I，

即。。的半径是j.

D

【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，圆心角、弦、弧的关系，掌握圆周角定理是

解题的关键.

31.（2022•湖北宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1）,隋代建造的赵州桥距今约有1400

年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆

弧形，表示为防.桥的跨度（弧所对的弦长）42=26杨，设苑所在圆的圆心为O,半径OCLAB,垂足

为。.拱高（弧的中点到弦的距离）CD=5m.连接。艮

（1）直接判断AD与BD的数量关系；

（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）.

【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论;

（2）设主桥拱半径为凡在Rt^OBO中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果.

【详解】解：（1）'JOCLAB,

：.AD=BD；

（2）设主桥拱半径为凡由题意可知AB=26,CD=5,

工BD=1AB=13,

OD=OC-CD=R-5,

'：ZODB=90°,

：.OD1+BD2=OB2,

：.（R-5）2+132=7?2,

解得R=19.4-19,

答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.

【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理.此题难度不大，解题的关键是方程思想的应用.

32.（2022•广东）如图，四边形ABC。内接于O。，AC为的直径，NADB=NCDB.

（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；