2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.2用空间向量研究距离夹角问题第1课时距离问题课件新人教A版选择性必修第一册

第一章学习单元4

1.4.2第1课时距离问题学习目标能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面的距离问题.(直观想象、逻辑推理、数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点1

点到直线的距离、两条平行直线之间的距离1.点到直线的距离.已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.2.两条平行直线之间的距离.求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.

切记μ是单位方向向量

微思考1.点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度.由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.如此,点到直线的距离可以转化为平面几何的什么问题?

2.由于平行线上任一点到另一直线的距离都相等,所以平行线的距离可转化为什么问题?提示

可转化为平面几何利用三角形等面积法解决点到直线的距离.提示

求两平行线的距离,可以在其中一平行线上取点,点到另一平行线的距离即为两平行线的距离,因此,可以转化为点到线的距离.知识点2

点到平面的距离、两个平行平面之间的距离点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为

微思考当线面平行时,线上任一点到平面的距离都相等;当面面平行时,平面上任一点到另一平面的距离也都相等.如此,线面距离与面面距离可转化为什么问题?提示

线面距离、面面距离都需要根据其定义,通过一定的方法转化为点到平面的距离求解.重难探究·能力素养速提升问题1已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.利用这些条件,结合投影向量的定义及勾股定理,可否设计求点P到直线l的距离的基本思路?问题2向量的坐标运算,凸显空间几何元素的数量特征.类比向量法求点到直线的距离,根据投影向量的定义、向量的坐标运算、勾股定理等,结合几何直观想象,如何求点到平面的距离?探究点一利用空间向量求点线距问题3根据投影向量的定义及勾股定理,结合几何直观想象,如何用向量法求点到直线的距离?【例1】

已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距离.解

以B为坐标原点,BA,BC,BB1分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1(0,3,1),B(0,0,0),规律方法

用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.探究点二利用空间向量求点面距问题4利用平面法向量及投影向量的定义,结合几何直观想象,如何用向量法求点到平面的距离?【例2】

在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为棱AB,SB的中点,如图所示.求点B到平面CMN的距离.解

取线段AC的中点O,连接OS,OB.∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SO,AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴SO⊥平面ABC.又BO⊂平面ABC,∴SO⊥BO.规律方法

求点到平面的距离的三种主要方法

方法一作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离方法二在三棱锥中用等体积法求解方法三向量法:(n为平面的法向量,A为平面上一点,MA为过点A的斜线段)探究点三转化与化归思想在求空间距离中的应用问题5如何用向量法求两平行平面的距离?体现了怎样的思想?【例3】

如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点坐标为A(1,0,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离.x=1,y=1,则n=(1,1,-1)是平面A1C1D的一个法向量.因为A1C1∥AC,A1C1⊂平面A1C1D,AC⊄平面A1C1D,所以AC∥平面A1C1D.因为C1D∥AB1,C1D⊂平面A1C1D,AB1⊄平面A1C1D,所以AB1∥平面A1C1D.又AC∩AB1=A,AC,AB1⊂平面AB1C,故平面AB1C∥平面A1C1D.所以点A到平面A1C1D的距离即为平面AB1C与平面A1C1D之间的距离,规律方法

求两个平行平面的距离,先在其中一个平面上找到一点,然后转化为该点到另一个平面的距离求解.注意:这个点要选取适当,以方便求解为主.本节要点归纳1.知识清单:(1)点到直线的距离;(2)点到平面的距离;(3)直线到平面的距离;(4)两平行平面间的距离.2.方法归纳:数形结合法、转化法.3.常见误区:(1)容易对距离公式理解不到位,在使用时不注意条件的限制;(2)容易对公式推导过程的理解不清晰.学以致用·随堂检测促达标1231.(例1对点题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为2,求点B到直线A1C1的距离.解

以B为坐标原点,分别以BA,过点B垂直于BA的直线,BB1为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),A1(2,0,2),C1(1,,2),所以直1232.(例2对点题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C∥平面A1BD;(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.123(2)解

因为B1C∥平面A1BD,所以直线B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.如图,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B1(0,2,3),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),1233.(例3对点题)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN到平面EFBD的距离为

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123解析

以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4