2024届高考数学专项分布列概率的三大最值问题含答案

2024届高考数学专项分布列概率

的三大最值问题含答案

分布列概率的三大最值问题

题型解密

题型一:二项分布的转化为数列问题求最值

①当p给定时，可得到函数/(R)=。也/;(1—2)"-/:水=0,1,2,・“门,这个是数列的最值问题.

nk

pk_C^pk(l—p)~_(n—fc+l)p_fc(l—p)+(n+l)p—k_]+(九+1)P—k

Pk-iCk*i(l—p)i+ik(l—p)k(l-p)k(l-p).

分析:当kV(?2+l)p时，pk>Pi,pk随"值的增加而增加;当k>(?2+l)p时,

PkVPkT，Pk随k值的增加而减少.如果(n+l)p为正整数，当k=(n+l)p时，1，此时这两项

概率均为最大值.如果(n+l)p为非整数，而k取(h+l)p的整数部分，则以是唯一的最大值.

注:在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.

【精选例题】

曲1某人在11次射击中击中目标的次数为X,若X~B(n,0.8),若P(X=k)最大，则卜=()

A.7B.8C.9D.10

112(多选题)下列选项中正确的是()

A.已知随机变量X服从二项分布B(10,y)，则D(2X)=5

B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机

变量X,则X的数学期望E(X)=[

C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次,所得的样本空间为。={1,2,345,6},令事件A={2,3,4},事件

8={1,2},则事件人与事件口相互独立

D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8,则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

(13高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关.为了解高中生的数学阅

读现状,调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷,在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计

如下：

时间Q小时/周)00V/W0.50.5V/W1x>1

人数20403010

⑴为了解学生数学阅读时间偏少的原因,采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随

机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅

读时间大于0.5小时的概率；

(2)用频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P(X=k)表示这10名学生中恰有

k(kCN,o<k<10)名学生数学阅读时间在(0,0.5］小时的概率，求P(X=fc)取最大值时对应的k

的值.

【题型专练】

;题目区(多选题)某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8,假设每次投篮相互独立,记他投篮命

中的次数为随机变量X,下列选项中正确的是()

A.X~_B(12,0.8)B.E(X)=9.6

C.D(2X)=3.84D.该同学投篮最有可能命中9次

题目叵若随机变量X服从二项分布则使P(X=R)取得最大值时，k=

题目|T!已知随机变量X〜6(6,0.8),若/3(%=k)最大，则。(kX+1)=

蜃目区一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的

八个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为且每粒种子是否发芽相互独立.对

每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种，否则要补播种.则当"=时,

有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为

目区小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采

取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类

生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.

(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在[3,6](单

位：kg)的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6](单位：kg)的户

数为£,求£的分布列和期望；

(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时,则该居

民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大,试求k

的值.

题型二:二项分布的转化为导致问题求最值

当k给定时，可得到函数/(p)=C渺Q_pTtpE(0,1),这个是函数的最值问题，

这可以用导数求函数最值与最值点.

kk

分析:f'(p)=C^[kp-\1-Py--p\nP尸T]

kk

=c^p-\l-p)iT[k(l_p)_(九_k)p]=。2(1-Py--\k-np).

当k=1,2,…,n-1时，由于当旦时，T(p)>0,/(p)单调递增，当p>“时，f'(p)<0,f(p)单调

nn

递减，故当p=K时，/(p)取得最大值,/(p)max=/(K).又当P-0,/(p)f1,当P―0时，/(p)f0,从

nvn7

而/(p)无最小值.

【精选例题】

四a(2018年全国1卷).某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产

品作检验,如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验,再根据

检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(O<p<1),且各

件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为了(",求/(p)的最大值点为；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的加作为p的值.已知每件产

品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

⑴若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX-,

(u)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

蒯］2设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为尸(X=aQ=软，P(Y=aJ=

rin

然,xk>o,纵>0,“=1,2,…,?1,夕g=夕块=2指标。(x||y)可用来刻画x和y的相似程度，其

k=lk=l

定义为D(X\\Y)=设X~B(n,p),0<p<l.

念yk

⑴若Y~B(n,q),0cqe1,求L)(X||Y);

⑵若九=2,P(y=A;—1)=1,A;=1,2,3,求D(X\\Y)的最小值；

o

(3)对任意与x有相同可能取值的随机变量y,证明：o(x||y)>o,并指出取等号的充要条件

【跟踪训练】

■目叵某超市推出了一项优惠活动，规则如下：

规则一:顾客在本店消费满100元,返还给顾客10元消费券；

规则二:顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品.顾客每次

抽奖是否中奖相互独立.

(1)某顾客在该超市消费了300元,进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为然记中奖2次的概率为

/(p),求/(p)取得最大值时，P的值00.

(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为汽，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由.

某单位为了激发党员学习党史的积极性,现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动

进行比赛,活动规则如下:一天内参与“四人赛”活动,仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，

第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局

和第二局比赛获胜的概率分别为p(O<p<l),且各局比赛互不影响.

⑴若p=1■，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为/(p),试问当p为何值

时，/(P)取得最大值.

题型三:超几何分布的概率最值

将从(a+b)件产品中取出n件产品的可能组合全体作为样本点,总数为a+＞其中，次品出现％次的

可能为C^-k.令N=a+b,则所求概率为3(N)=。呼/

2

N—aN—nN+an令_乎N)=尢则当的＞kN时"＞1；当cmV

即看3N2-aN-nN+kN期(N—1)

=N-

kN时，4＜1,即当N＜等时，既(N)是关于N的增函数；当N＞等时，h《N)是关于N的减函数.

kk

所以当N=［詈］时，'(N)达到最大值.

【精选例题】

题1设随机变量X〜8(10,川,1000)(2W7WW992且及GN*),H(2;10,M,1000)最大时，E(X)=

A.1.98B.1.99C.2.00D.2.01

血12(2023届四省联考)一个池塘里的鱼的数目记为N,从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后

把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼

的数目.

(1)若N=5000,求X的数学期望；

(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识,试给出N的估计值(以使得P(X=15)最大的N的值作为N

的估计值).

【跟踪训练】

题目12023年中央一号文件指出，艮旋要夏兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台准备为某地

的农副特色产品开设直播带货专部直播前，此平台用不同的单价试销，并在

购买的顾客中进行体验调本向卷.已知有N(N>30)名热心参与问卷的顾客，此平台决定在直播中专

门为他们设置两次抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这N名顾客中抽取20名顾客，抽中顾

客会有礼品赠送,若直拱时这N名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X(不重复计数).

(1)若甲是这N名顾客中的一人，且甲被抽中的概率为白，求N;

(2)求使P(X=30)取得最大值时的整数N.

Q（考点过关练）o

月J3随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理,助力推广校园文明餐

桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某

中学食堂每天都会提供4B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种）,经过统计分析发现：

学生第一天选择A套餐的概率为4,选择B套餐的概率为而前一天选择了A套餐的学生第二天

选择A套餐的概率为［，选择8套餐的概率为年;前一天选择B套餐的学生第二天选择人套餐的概

率为白，选择口套餐的概率也是看,如此往复.记同学甲第4天选择8套餐的概率为2.

⑴求同学甲第二天选择口套餐的概率；

⑵证明：数列｛2―告｝为等比数列；

（3）从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去4餐厅就餐的人数X,用P（X=k）表

示这100名学生中恰有k名学生选择去A餐厅就餐的概率，求P（X=fc）取最大值时对应的k的值.

目2某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分

成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量不(i=1,2,…,5)表示第i组被感染的白

鼠数,并将随机变量X的观测值为(i=1,2,…,5)绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每

只白鼠被感染的概率为p(pG(0,1)),假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记4为事件“X尸xt

(i=l,2,…,5)”.

⑴写出P(A)(用p表示,组合数不必计算)；

2

(2)研究团队发现概率P与参数/o<6<1)之间的关系为p=~o--e+器.在统计学中,若参数

2645

。=为时的P值使得概率P(Ap42A3/4/5)最大，称为是。的最大似然估计,求00.

目0JN95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径＞0.3z/m的颗粒的过滤效

率达到95%以上.某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径＞0.3〃成的颗粒的过滤

效率服从正态分布N(0.97,9.025x10-5).

(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径＞0.3/im的颗粒的过滤效率为

93.6%时,他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况.请你根据所学知识，判断该质检员的要

求是否有道理，并说明判断的依据.

(2)该厂将对空气动力学直径＞0.3/zm的颗粒的过滤效率达到95.1%以上的N95型口罩定义为“优

质品

(i)求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；

(ii)该企业生产了1000只这种N95型口罩，且每只口罩互相独立，记X为这1000只口罩中“优质品”

的件数，当X为多少时可能性最大(即概率最大)？

建目区汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重强调可持续发展，加

大在新能源项目的支持力度,积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的

销售情况进行调查，得到下面的统计表：

年份力20172018201920202021

年份代码力(2—1—2016)12345

销量g/万辆1012172026

(1)统计表明销量y与年份代码力有较强的线性相关关系，求沙关于2的线性回归方程，并预测该地区

新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；

⑵为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业心随机调查

了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有功名，购置新

能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车.

①若w=95,将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用⑴中的线性回归

方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车,结果精

确到千人)；

②设男性车主中购置新能源汽车的概率为P，将样本中的频率视为概率,从被调查的所有男性车主中

随机抽取5人,记恰有3人购置新能源汽车的概率为了(⑼，求当w为何值时，/(p)最大.

n

£x初一嗝

附：g=+a为回归方程，6=丹---------,a=y—bx.

之冠-nx

i=l

包旦学习强国中有两项竞赛答题活动,一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”.活动规则如下:一

天内参与“双人对战”活动,仅首局比赛可获得积分,获胜得2分，失败得1分;一天内参与“四人赛”活

动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人

对战”活动时，每局比赛获胜的概率为y;参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获

胜的概率分别为p,李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），

各局比赛互不影响.

（1）求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；

（2）设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为了（力.求

p为何值时，/（。）取得最大值.

1题耳回某市居民用天然气实行阶梯价格制度,具体见下表:

阶梯年用气量（立方米）价格（元/立方米）

第一阶梯不超过228的部分3.25

第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83

第三阶梯超过348的部分4.70

从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下:

居民用气编号12345678910

年用气量（立方米）95106112161210227256313325457

（I）求一户居民年用气费沙（元）关于年用气量M立方米）的函数关系式；

（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用

户数的分布列与数学期望；

（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市中依次抽取10户，其中恰有

%户年用气量不超过228立方米的概率为P（k）,求P（R）取最大值时的值.

目力某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市

采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应,超市对社区居民户每天对甲

类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.

（1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.

①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在［3,4）（单位：kg）的概率是多少？

②若抽取的5户中购买量在［3,6］（单位：kg）的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记

3户中需求量在［3,6］（单位：kg）的户数为£,求占的分布列和期望；

（2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时，则称该

居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到R户为“迫切需求户”的可能性最大,试求

k的值.

目§J某家畜研究机构发现每头成年牛感染打型疾病的概率是p(O<p<l),且每头成年牛是否感染

H型疾病相互独立.

(1)记10头成年牛中恰有3头感染H型疾病的概率是/(p)，求当概率p取何值时，/(p)有最大值？

(2)若以⑴中确定的p值作为感染H型疾病的概率，设10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率

是g(k)，求当R为何值时，依)有最大值？

分布列概率的三大最值问题

(题型解密]

题型一:二项分布的转化为数列问题求最值

①当P给定时，可得到函数/(R)=。。4^—^”.，^^。/^，…出这个是数列的最值问题.

nkn

pk_C^pk(l—p)~_(n—fc+l)p_fc(l—p)+(n+l)p—k_]+(+1)P—k

Pk-i。丁”"-1(1—p)i+ik(l—p)k(l-p)k(l-p).

分析:当kV(?2+l)p时，pk>Pi，pk随力值的增加而增加；当V>(九+1)。时，

PkVPkT，以随k值的增加而减少.如果(n+l)p为正整数，当k=(n+l)p时，取=取-1，此时这两项

概率均为最大值.如果(n+l)p为非整数，而k取(h+l)p的整数部分，则以是唯一的最大值.

注:在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k等于期望时，概率最大.

【精选例题】

吼上某人在11次射击中击中目标的次数为X,若X~8(11,O.8),若P(X=k)最大，则R=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】。【详解】因为^^=k)=。S?(1—,若P(X=k)最大，则

fP(X=k)>P(X=fc+1),…

<，化同得：np+0一+.代入已知数值得：8.6

\P(X=1卜)>P(Xk—1)

<9.6，所以k=9时P(X=k)最大.故选：。.

四2(多选题)下列选项中正确的是()

A.已知随机变量X服从二项分布B(10,y),则D(2X)=5

B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机

变量X,则X的数学期望E(X)=[

C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为Q={1,2,345,6},令事件A={2,3,4},事件

8={1,2},则事件人与事件口相互独立

D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8,则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

【答案】【详解】A选项，X~B(10,y),D(X)=10x^-x(l-^-)=-|-,D(2X)=4D(X)=10,

A错误；B选项,X服从超几何分布,N=10,M=7,n=2,E(X)=np=n-=2xC

选项，P(A)=-J-,P(B)=《，AB={2},P(AB)=^=F(A)F(B),4B相互独立；。选项，设9

236

次射击击中k次概率P(X=劝=毋0.8fc-0”最大，则仅黑:H就%：]；：；,解得

7<kW8,P（X=7）=P（X=8）同时最大，故k=7或8,0错误.故选：BC.

而13高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关.为了解高中生的数学阅

读现状,调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷,在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计

如下：

时间（/小时/周）00<x<0.50.5<x^lX>1

人数20403010

⑴为了解学生数学阅读时间偏少的原因,采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随

机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅

读时间大于0.5小时的概率；

（2）用频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P（X=幻表示这10名学生中恰有

k（kEN,04%410）名学生数学阅读时间在（0,0.5］小时的概率，求P（X=k）取最大值时对应的k

的值.

【答案】⑴亮；⑵4

15

【分析】（1）抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人，故恰有

一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为汽^=2

15

⑵周阅读时间在（0,0.5］小时的频率为告，故概率为卷，则后~风10卷），所以「0）=咪（可（弓）

H由产㈤>小+1）产户与谭r〜璘《广退广化筒产户信）“转停解

，田s㈤仔:上与谭严仔尸信厂让（着）“记⑶

得¥&&《孕，又卜©2,故卜=4,

55

【题型专练】

题目U〕（多选题）某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8,假设每次投篮相互独立，记他投篮命

中的次数为随机变量X,下列选项中正确的是（）

A.X〜8(12,0.8)B.E（X）=9.6

C.D(2X)=3.84D.该同学投篮最有可能命中9次

【答案】【详解】由二项分布的定义可知，X〜8(12,0.8),E(X)=12XO.8=9.6,D(2X)=22D(X)

=4x12x0.8(1-0.8)=7.68,故AB正确，。错误;设该同学投篮最有可能命中nz次，则

\P(X=m)>P(X=m+1)f*0.8mo.2125>6^+"8"+10.211f加47--52小队队…〃

\P{X=m)>P(X=m-1)lGJ0.8m0.212-">C^-10.8m-10,213-m(「工、小、万，因为小为正

数，所以Tn=10,故。错误；故选：AB

题目叵若随机变量X服从二项分布则使P(X=R)取得最大值时，R=.

【答案】3或4【详解】依题意0WkW15,kEN,依题意尸(X=fc)=扇(:4(1-:广=小十•

7(315-\F(X=0)=+•0315=(打，尸(X=1)=卡・笈314=5X(1)15,

P(X=15)=(j)15,F(X=15)<F(X=0)<P(X=1),所以P(X=0)、P(X=15)不是P(X=k)

1ckql5—k、］1Q16—FC,,.

不•015・3注币•015

{-Cfs-315-fc>-C^1-314-fc13a5>C铲

f-15!___>3*______15!_____fX>3,

川义05一：)！依T)；f6i)!,整理得卜;16-左，，:蓝：：?O3WRW4,所以当k

3x.......------>---------...............——>―i—［3A;+315—fc

『fc!x(15-fc)l(fc+l)!x(14-fc)!115-fcfc+1

为3或4时，P(X=k)取得最大值.故答案为：3或4

、题目叵已知随机变量X〜口(6,0.8)，若P(X=k)最大，则D(kX+1)=.

【答案】24【详解】由题意知:P(X=k)=或・(0.2严(0.8)、要使P(X=k)最大，有

(0.2)6F(0.2)7一储(0.8)i(0.8x^>0,2

，解得孕WkW孕，故

6fcfc+15fcfc+1>，ak=5,

(0.2)--(0.8)^C^-(0.2)--(0.8)于［o.2,O.8x|^|55

、K十JL

又。(X)=6x0.8x0.2=0.96,故。(%X+1)=_D(5X+1)=52_D(X)=24.故答案为：24.

朝[二一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的

几个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为〃，且每粒种子是否发芽相互独立.对

每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.则当"=时,

有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为.

【答案】5或6工

16

【详解】对一个坑而言，要补播种的概率P=C聘丫+c舄)3=],所以补播种坑的数量服从

B(九,1),则3个玩要补播种的概率为窗(十)•(]).要使最大，只需

二C；：：掰得5W-W7，当"5或”=3吗丫=。*丫=磊＞^(1)=春・所

以，当n=5或71=6时有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为之.故答案为：5或6,2.

1616

题目叵小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采

取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类

生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.

(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在［3,6］(单

位：kg)的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在［3,6］(单位：kg)的户

数为£,求£的分布列和期望；

(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg时,则该居

民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k户为“迫切需求户”的可能性最大,试求k

的值.

【答案】⑴答案见解析；⑵k=3.【详解】⑴随机变量占所有可能的取值为0,1,2.则

P(£=°)=3=木，w)=簧=1■，旌=2)=受=得

g012

133

p后IoTIo

所以E(F)=lx*+2x条=[

OJ.UO

(2)根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为

1.5x0.10+2.5x0.30+3.5*0.25+4.5*0.20+5.5x0.15=3.5(kg),则购买甲类生活物资为“迫切

需求户”的购买量为［4,6］,从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p=0.20+0.15

=0.35.若从小区随机抽取10户，且抽到X户为“迫切需求户”,则X~B(10,0.35)，若k户的可能性最

大，则P(x=k)Yp…*(i-山…,……io,("P((Xx==kk))>>PP((xX…=k-11))，得

(g(0.35)气0.65)1°一*>。落i(0.35)i(0.65)uf

i/(0.35y(0.65)i°f>C^1(0.35)fc+1(0.65)9-fc'

即[丁;一，解得2.854上43.85,由于％CN*,故k=3.

[13(fc+1)>7(10—fc)

题型二:二项分布的转化为导数问题求最值

nk

当R给定时，可得到函数/(p)=cy(l-P)-,Pe(0,1),这个是函数的最值问题,

这可以用导数求函数最值与最值点.

k

分析:f(P)=分［犷T(1-Py--p\n—R)(1—p尸T

k

=—P)—(九一R)p]=。储T(1-PT--\k-np).

当k=1,2,…,71-1时，由于当p(反时，/z(p)>0,/(p)单调递增，当p>上■时，/(p)<0,f(p)单调

nn

递减，故当p=K时，/(p)取得最大值，/(p)max=/(*■).又当p—o,/(p)f1,当pf0时，/(p)-0,从

nvn7

而/(p)无最小值.

【精选例题】

阿工(2018年全国1卷).某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产

品作检验,如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验,再根据

检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(O<p<l),且各

件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),求/(p)的最大值点p。；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的g作为p的值.已知每件产

品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

⑴若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX-,

出)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

解析：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p)=。加>2(1—力吗因此/(⑼=©)

[2p(l-p)18-18p2(l-p)17]=2。蓊(1—p)"(l—10p).令〃⑼=0,得p=0.1.当pe(0,0.1)时"

(p)>0;当pG(0.1,1)时，/'(P)<0.所以/(p)的最大值点为p0=0.1;

(2)由⑴知，p=0.1.⑴令y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知y〜8(180,0.1),

X=20X2+25Y,即X=40+25V.所以EX=E(40+25V)=40+25EY=490.

(w)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对余

下的产品作检验.

血]2设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值,它们的分布列分别为P(X=&)=软，P(Y=aJ=

rin

Vk，xk>o,练>0,卜=L2,…,n，Z跳=2林=1.指标。(x||v)可用来刻画x和y的相似程度，其

k=lk=l

定义为D(X\\Y)=yxjn—.设X~B(n,p),0<p<l.

QtVk

⑴若Y-B(n,q),0VqV1,求D(X||Y)；

⑵若n=2,2(^=k—1)=/木=1,2,3,求。区，)的最小值；

o

(3)对任意与x有相同可能取值的随机变量y,证明：o(x|，)>0,并指出取等号的充要条件

【答案】(l)gln纵二9+(2)ln3—《ln2;(3)证明见解析

q(l-p)1-Q2

kk

【详解】⑴不妨设&=上则xk=&讨(1一力『练=c^q(i-qy-.所以。(X|[Y)=

Z&犬(1-p)"力nf屹酎(1—p)n-k+nln^--丈C酎(1—「尸=

RkWnk=

i=lq(l-q)qQ-p)k=01-qk=0

◎In4M■+加n1—P

Q(l-P)1I-Q'

⑵当n=2时，P(X=2)=p2,P(X=1)=2p(l-p),F(X=0)=(1-p)2,记f(p)=D(X||Y)=p

ln3p2+2p(l—p)ln6p(l—p)+(1—p)2ln3(l—p)2=p2lnp2+2p(l—p)ln2p(l—p)+(1—p)2ln(l—p)2

+ln3,则f(p)=4Plnp+2p+(2—4p)[ln2p(l—p)+1]—4(1—p)ln(l—p)—2(1—p)=2[lnp—

ln(l—p)+(1—2p)ln2]，令g(p)=Inp—ln(l—p)+(1—2p)ln2,则g'(p)=—+—----21n2>0,

p1—p

令9(P)=工+彳」----21n2,则(p'(p)一二，当。Vp■时，(p[p)<0,p(p)单调递减；当

P1-Pp(1-p)2

4VpV1时，d(。)>。，9(。)单调递增；所以(p(p)>=4—21n2>0,则g{p}单调递增，而

g(《)=0,所以f(p)在(0,q)为负数，在小,1)为正数，则/(p)在(0,5)单调递减，在(J」)单调

递增,所以O(X||V)的最小值为ln3--1ln2.

⑶令h(x)=Inc—力+1,则h!(x)=——1=-——,当0VcV1时，h\x)>0,h[x)单调递增；当x

>1时，//(力)<0,h(x)单调递减；所以九(力)4以1)=0,即Ina:—2+140,当且仅当c=1时，等号

成立，则当力>0时，In力W/—1,所以In—C——1,即ln/>1—故D(X\\Y)=52^111—)

xxx会练

2秋(1—=汇(以一练)=汇耿一汇练=。，当且仅当对所有的看,以=练时等号成立・

k=l'Xk7k=lk=lk=l

【跟踪训练】

题目回某超市推出了一项优惠活动，规则如下：

规则一:顾客在本店消费满100元,返还给顾客10元消费券；

规则二:顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品.顾客每次

抽奖是否中奖相互独立.

(1)某顾客在该超市消费了300元,进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p.记中奖2次的概率为

/(0)，求/(。)取得最大值时，p的值00.

(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为“，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由.

【答案】⑴“=得；(2)选择规则二更有利，理由见解析

【详解】⑴由题意知,3次抽奖有2次中奖的概率/(p)=。鬲2(1—p)=-3p3+3p2(O<p<l),则f(p)

=-9p2+6p=-9p(p-y).当pC(0,1)时,f(p)>0,则/(p)单调递增，当pe信,1)时,f'(p)<

0,则f(p)单调递减.所以当p=~|~时，/(p)取得最大值，则p0=

oo

(2)①该顾客选择规则一，其获利为30元;②该顾客选择规则二，由第一问知比=弓，则其中奖次数X

O

服从二项分布口(3,1~)，所以E(X)=3X-|=2,所以该顾客获得奖品金额的期望值为2x20=40

(元).因为40>30,所以该顾客选择规则二更有利.

题目2某单位为了激发党员学习党史的积极性,现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动

进行比赛,活动规则如下:一天内参与“四人赛”活动,仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，

第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局

和第二局比赛获胜的概率分别为p(0且各局比赛互不影响.

(1)若记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X,求X的分布列和数学期望；

(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为/(力，试问当p为何值

时，/(P)取得最大值.

【答案】⑴分布列见解析，E(X)=学；(2)p=4

65

【详解】⑴由题可知，X的可能取值为2,3,4,5.因为p=3■，所以P(X=2)=《X4=5，P(X=

3)=^><春=2，。(*=4)=曰><!=/?(*=5)=曰><)=。故*的分布列为

32b323323

X2345

1111

p

6633

E(X)=2X4+3X!+4X[+5X4=。

6o33o

22

(2)设一天得分不低于4分为事件人,则P⑷=弓+曰=p，则/(p)=Clp\l-p)=IO/。_p),o<

Pvl,

则/(P)—30P2(1—p)2—20p3(l—p)=10p2(l—p)(3—5p).当0<p<-f-时"(p)>0;当-1-<p<1

55

时，f(0)VO

所以/(p)在(0,3)上单调递增，在停,1)上单调递减，故当p=V时，加)取得最大值.

题型三:超几何分布的概率最值

将从(a+6)件产品中取出九件产品的可能组合全体作为样本点，总数为C：+b.其中，次品出现k次的

可能为acr，令N=a+b,则所求概率为既(N)=说乎

2

d(N)=&"=N-aN-nN+an令_沙.)—尢则当a">kN时">1；当cmV

出(N—1)一—N2-aN-nN+kNM(N—1)

^N-l

kN时，久<1,即当N〈等时，伉(N)是关于N的增函数；当N>誓时，色(N)是关于N的减函数.

所以当N=［贽］时，出(N)达到最大值.

【精选例题】

题］1设随机变量X〜刀(10,川,1000)(24河4992