江苏省2023届高三年级下册3月学情测试数学试卷(含答案)

江苏省仪征中学2023届高三下学期3月学情测试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合人={%|%=2左+1,左eZ},B={x\-3<x<4},则集合A8中元素的个数

为（）

A.lB.2C.3D.4

2.在复平面内，复数z「Z2对应的点分别是（2,-1）,（1,-3）,则上的虚部是（）

句

A.iB.-iC.lD.-l

3.设aeR,则“a=3”是“直线依+2y+3a=0和直线3x+（a—l）y=a—7平行”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步

不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其

意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前

一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）

A.192里B.96里C.48MD.24M

5.已知（x+2）2〃+i的展开式中第二项与第三项的系数之比为1：8,则（X-』）”的展开式

X

中常数项为（）

A.-24B.24C.-48D.48

6.设X~N（4,b；）,y~N（〃2，b；），这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中

A.P(.Y>JU2)>P(Y>juJB.P(X<cr2)<P(X<bJ

C.对任意正数3P(X<t)>P(Y<t)D.对任意正数3P(X>t)>P(Y>t)

7.已知函数/（%）=回11训+|cos训（0>0）在区间（（,兀）上单调递增，则0的取值范

围是（）

CH_D,，l]

8.已知a=5,Z?=15（ln4-ln3）,c=16（ln5-ln4）,则（）

A.a<c<bB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

二、多项选择题

9.小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得

的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81,84,84,87,x,»

93,96,96,99,已知总体的中位数为90,则（）

A.x+y=180

B.该组数据的均值一定为90

C.该组数据的众数一定为84和96

D.若要使该总体的标准差最小，则x=y=90

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知24,底面ABC。，底面ABCD为等腰梯形，

AD//BC,AB=AD^CD=1,BC=PA=2,记四棱锥P—ABCD的外接球为球。，平

面与平面的交线为/,的中点为E,则（）

C.平面PDE，平面PADD./被球。截得的弦长为1

11.将函数g（x）=।Asina）x（4>0,。>0,0<0<兀）的图象向左平移的个单位后得

到函数y=/（%）的图象，若对X/xeR,/(l-x)=/(x-l),且〃T)=〃3)=0,则

。的可能取值为（）

TT3兀

A.-B.兀C.—D.2兀

22

12.在数列｛%｝中，出+%+4=285,啊,=（〃一I）%+101（〃eN*）,则以下结论正

确的为（）

A.数列｛叫为等差数列

B.q=99

C.当S“取最大值时，咒的值为51

D.当数列｛44+避“+2乂”6%）的前〃项和取得最大值时，n的值为49或51

三、填空题

13.若一2<a-b<4,则2a+3b的取值范围为.

14.已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共

有25种可能，在这25种可能中，电路从尸到Q接通的情况有种.

15.若存在实数t,对任意的xe（0,s],不等式（Inx—x+2—f）（l—f—x）W0成立，则整

数s的最大值为.（In3«1.099,ln4®1.386）

四、双空题

16.已知空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹角均为60。.点G

为△ABC的重心，若PG=xPA+yPB+zPC,x,y,zeR,则

x+y+z=；|PG|=.

五、解答题

17.记S",为数列｛4｝的前〃项和，已知S“=今+»+1,〃eN*.

（1）求4+4，并证明｛%+%+J是等差数列;

（2）求

18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=-,AB边上的高为g.

3

（1）若百，求△ABC的周长;

（2）求47+L1的最大值.

ab

19.如图，在四面体A5CD中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ZBDC9片为AC的

中占

।八、、•

A

（1）证明：平面5石。，平面ACD；

（2）设AB=BD=2,NACfi=60。，点尸在3。上，当的面积最小时，求CT

与平面ABD所成的角的正弦值.

20.某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯.在玩具启动

前，用户可对巧（0＜乩＜1）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为百，亮起

绿灯的概率为l—p「随后若第〃（/eN*）次亮起的是红灯，则第〃+1次亮起红灯的概

率为,，亮起绿灯的概率为白；若第〃次亮起的是绿灯，则第〃+1次亮起红灯的概率

33

为47,亮起绿灯的概率为1

33

（1）若输入月=；，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X,求X的分布

列和数学期望；

（2）在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（侬，-）内，

20212

则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌.现输入乩=；,则在前20次亮灯中，该玩具最

多唱几次歌？

22

21.已知椭圆C:j+当=1（。〉6〉0）的上顶点为M、右顶点为N.AOMN（点0为坐标

ab

原点）的面积为1,直线y=x被椭圆C所截得的线段长度为增.

（1）椭圆C的标准方程；

（2）试判断椭圆C内是否存在圆0:炉+丁2=/&〉0）,使得圆。的任意一条切线与

椭圆C交于A,3两点时，满足0408为定值？若存在，求出圆。的方程；若不存

在，请说明理由.

22.已知函数/（耳=@*,g（x）=2ei+l,其中人为实数.

⑴求/（X）的极值；

（2）若*x）=g（x）-有4个零点,求）的取值范围.

参考答案

1.答案：C

解析：因为结合4={》|%=2左+1/eZ},5={x[—3<x<4},

根据集合交集的运算，可得AB={-1,1,3}，

所以集合A8中元素的个数为3个.

故选：C.

2.答案：D

解析：复数z「Z2对应的点分别是(2,-1),(1,-3),则z=2-i,Z2=l-3i,

z2_^l-3i_（l-3i）（2+i）_5-5i_1.

（2-i）（2+i）-51其虚部为-1.

故选：D.

3.答案：C

解析：当a=3时，两条直线的方程分另U是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0,止匕时两条直

线平行成立，

反之‘当两条直线平行时，有-/占但即。=3或—2,

Q=—2时，两条直线者R为x—y+3=0,重合，舍去,

..a=3,

所以“a=3”是“直线改+2y+2a=0和直线3x+(a—l)y—a+7=0平行”的充要条件.

故选：C.

4.答案：B

解析：由题意可知此人每天走的步数构成;为公比的等比数列{%},

小一⑸

由题意和等比数列的求和公式可得L」=378,解得q=192,

1--

2

二第此人第二天走192义工=96里.

2

故选：B.

5.答案：B

解析：(x+2严i展开式第厂+1项&1=(2屋］/+1-2,系数C；〃+2,

.C，2=1

解得n=4.

"CL>228

［x-j］展开式第m项加1=(2：钎［-£|=C：(-2尸”2”，

令4—2m=0即机=2,故常数项为C；(-2产=24.

故选：B.

6.答案：C

解析：A选项：X~N(A，CF；)、y~N(〃2，b；)的密度曲线分别关于X=〃I、x=〃2对

称，

因此结合所给图像可得从<〃2，所以p(y2〃2)<p(y2〃i)，故A错误；

B选项：又XN(M，b；)的密度曲线较yN(〃2，8)的密度曲线“瘦高”，

所以0<巧<3，所以尸(X<%)〉P(X<b］),故B错误；

CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：

对任意正数/,P(X<t)>P(Y<t),P(X>t)<P(Y>t),故C正确，D错误.

故选：C.

7.答案：A

解析：由函数

/(%)=|sin(y%|+|cos&>x|=^(|sin&>x|+|coscoxl)2=71+2lsindlcos

=^1+21sincoxcoswx|=51+忖1120乂=J1+J。：,

令2EW4oxW2E+7i,keZ,解得包VxV(2：+〉兀，keZ,且。>0,

2a)4。

即函数的单调递增区间为［向keZ,且口〉0,

要使得/(x)在区间(：兀)上单调递增，

kit7i

——<—

则满足上04,keZ,解得2左V。〈生口，keZ,其中切>0,

(2k+l)n4

------->71

4①

2k+l

2k<

4

又由,^--<k<-,因为左eZ,所以左=0,

2k+l26

>0

4

所以0＜。＜工，即实数。的取值范围为（0」

4I4.

故选：A.

8.答案：B

解析：先比较。与6大小，先比较1与31n34大小，比较!1与In43大小，比较0-3与34大

3333

小，比较e与0）大小,

:.a>b,

比较人与c大小，先比较In与大小,

253125,

---------<1,

262144

161n—<151n—,即c<b,:.c<b<a,

43

故选：B.

9.答案：ABD

解析：因为总体的中位数为90,所以x+y=180,所以该组数据的均值为

^(81+84+84+87+x+y+93+96+96+99)=90,故A正确，B正确，当x=y=90

时，众数为84,90,96,当x=87,y=93时，众数为84,87,93,96,故C错误;

要使该总体的标准差最小，即方差最小，即（％-90）2+（y-90）2最小，又

(x-90)2+(y-90)2>^+J~180^=0>当且仅当x—90=y—90时，即x=y=90时等

号成立，故D正确.

故选：ABD.

10.答案：ABD

解析：对于A,因为AD//BC,ADu平面MD,BCa平面丛D,

所以〃平面PA。，

又因平面PA。与平面PBC的交线为I,

所以〃/BC,故A正确；

对于B,连接AE,AC,

在等腰梯形ABC。中，因为AB=A£>=CD=1,BC=2,的中点为E,所以四边形

ABED,AECD都是菱形，

所以ACLOE,AB//DE,所以ABLAC,

因为PA_L底面ABCD,ABu面ABCD,

所以PALAB,

又PAAC=A,所以AB,平面PAC,

又因PCu平面K4C,所以ABLPC,故B正确；

对于C,如图以A为原点建立空间直角坐标系，

则P（0,0,2）,D--,y-,0,E

则AP=(O,O,2),AD=--,,o],=[9——■,—2]，£>£=(1,0,0),

(22J(22,

设平面PDE的法向量加=a，X，zJ,平面PAD的法向量”=(尤2，%*2),

1G

则仁如一/+7「210,可取一(0,4,6),

m-DE=Xj=0

同理可取1=(代,1,0),

因为加•〃=4w0,所以也与“不垂直，

所以平面PDE与平面上4。不垂直，故C错误；

对于D,由B选项可知，EA=EB=EC=ED,则点E即为四边形ABCD外接圆的圆

心，

故四棱锥P-ABCD的外接球的球心。在过点E且垂直于面ABCD的直线上，

设外接球的半径为凡则Q4=0P=H,则。4=Vi节=0,

所以R=收，

设0P与/所成的角为。，点。到直线/的距离为d,

B(1,0,0),C(0,V3,0),O3，与1,

因为〃/BC,直线/的方向向量可取BC=卜1,百,0),OP=_g—$1

贝iJcos(BCOPru-池,所以sin6=^^,

所以d=QHsine=合，

所以/被球。截得的弦长为2月［=1,故D正确.

故选：ABD.

11.答案：AC

解析：将函数g(x)=Asina)x(4>0,。>0,0<0<兀)的图象向左平移"个单位后

2'叼co

得到函数丁=/(尤)的图象，故函数〃x)=J^Asin(ox+e),

对VxeR,/(l-%)=/(x-l),即VfeR,/(r)=/(-/),

故”同为偶函数，所以e=E+],k。,

TT

又。<0<兀，所以0=5,

故/(%)=-^Acostox

/(-1)二ACOS口=0,

]所以G=左兀+乌,keZ,

2

1jr

/(3)=—Acos3<^=0,所以3@=Z兀+—，keZ,

8/2

可得3和3口均为N的奇数倍，故。的可能取值为四，—.

222

故选：AC.

12.答案：ACD

解析：对于A,由.=(〃一1)4+1+101,得(w+l)a“+i=叫-2+101,

两式作差得5+1)%-%=%2-("-1)%，即2%=4+4+2，所以数列｛%｝为等

差数列，故A正确；

对于B,令〃=1,知％=101,故B错误；

对于C,由等差数歹U的性质知生+/+4=3%=285,即％=95,又。]=101,

可得公差4=咋幺=-2,所以a〃=103-2〃，知数列｛4｝的前51项为正，从第52项

开始为负，当S“取最大值时，〃的值为51,故C正确；

对于D,由数列｛4｝的前51项为正，从第52项开始为负，又d=44+4+2，

知,9=50a51〉0，%=%0%%2=一3<0,%=51a52%3=3>0,所以数歹£%｝前

49项和最大，

又%)+%=。，所以数列出｝前51项和最大，当〃》52时，b„<Q,

所以当〃=49或51时，｛a"H2｝("wN*)的前〃项和取得最大值，D正确.

故选：ACD.

13.答案：［-|

解析：由题意，^2a+3b=x(a+Z?)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,

则［"+'=2,解得x=Jy=J,

x-y=322

因—1<a+Z?v3,2<Q—Z?v4,

可得—+-2<-|(«-Z?)<-1,

所以-|<g(a+b)-g(a-3<9，即2a+38的取值范围是1Kl

故答案为：■野

14.答案:16

解析：若电路从尸到Q接通，共有三种情况：

(1)若1闭合，而4不闭合时，可得分为：

①若1、2闭合，而4不闭合，则3、5可以闭合也可以不闭合，共有2x2=4种情况；

②若1、3、5闭合，而4不闭合，则2可以闭合也可以不闭合，有2种情况，

但①与②中都包含1、2、3、5都闭合，而4不闭合的情况，所以共有4+2-1=5种情

况；

(2)若4闭合，而1不闭合时，可分为：

③若4、5闭合，而1不闭合，贝1］2、3可以闭合也可以不闭合，有2x2=4种情况；

④若4、3、2闭合，而1不闭合，则5可以闭合也可以不闭合，有2种情况，

但③与④中，都包含4、2、3、5都闭合，而1不闭合的情况，所以共有4+2-1=5种

情况；

(3)若1、4都闭合，共有2x2x2=8种情况，而其中电路不通有2、3、5都不闭合

与2、5都不闭合2种情况，则此时电路接通的情况有8-2=6种情况；

所以电路接通的情况有5+5+6=16种情况.

故答案为：16.

15.答案：2

解析：令/(x)=lnx-x+2,g{x}-l-x,

・•."(x)T][g(X)T]<0，

令((x)=On尤=1,

.♦.当0<x<l时，f'(x)>0,/(x)单调递增；

当x>l时，f'(x)<0,/(x)单调递减，

/Wmax=/(1)=1-分别作出了CO，g(X)大致图象如下:

y=\nx-x+21“

联立=>x=-，H即nA

y=l-xe

设6(%0，%)，0<5<x0,令In九一九+2=1——，即lnx-x+l+—=O,

令丸(x)=lnx—x+1+:，知/z(x)在(L+oo)上单调递减,

/z(2)=ln2-2+l+-=-0.307+->0,

/z(3)=ln3-2+-=1.099-2+-=-0.901+-<0,

eee

X。e(2,3)，二整数s的最大值为2.

故答案为：2.

16.答案：1；-

3

解析：取AC的中点。，

-22/、

PG=PB+BG=PB+-BD=PB+-x(PD-PB

331，

=PB+-x-(PA+PC]-PB

3m>

i一i—i——

=-PA+-PB+-PC,

333

又PG=xPA+yPB+zPC,空间向量PA,PB,PC的模长分别为1,2,3,且两两夹

角均为60。，x=—,y=—,z=—,x+y+z=l,

3-33

PG|=-PA+-PB+-PC

I333

=：«PA+PB+PC）2

1/——2~~^2~

=—7PA+PB+PC+2PAPB+2PCPB+2PAPC

3

in1~iir

=-Jl2+22+32+2xlx2x-+2x3x2x-+2xlx3x-

3V222

_5

-3-

17.答案：（1）%+4=6,证明见解析

0、„卜，+小当”为偶数时

"[川+〃+2,当〃为奇数时

解析：⑴已知S〃U+"+l,"eN*,

当〃=1时，ax=-^+2,q=4；当〃=2时，/+〃2=券+5,a2=2,所以4+%=6.

因为邑=今+/+1①，所以3.=等+（〃+1）2+1（1）.

②-①得，%=券吟+（，+小心整理得名+—+2,心*,

所以（。〃+1+%+2）—+。八+1）=[4（〃+1）+2]—（4〃+2）=4（常数），〃wN,

所以依+4+i｝是首项为6,公差为4的等差数列.

(2)由(1)知，an_x+an=4(n—l)+2=4n—2,zzGN\n>2.

—(6+4n—2)

当〃为偶数时，S〃=(a1+%)+(〃3+%)++(〃〃一1+4)=2----------------=n2+n；

当〃为奇数时,

—(10+4/1-2)

2

Sn=q+(g+%)+(%+%)++(a»-i+%,)=4H——-----------------=zi+n+2.

综上所述，)--〈

"—1/+〃+2,当〃为奇数时

18.答案:(1)2M+4

⑵叵

3

解析：(1)依题意=工absinC='(?•可得C=4,

因为C=巴，所以"=8.由余弦定理得4+尸—必=02,

3

因止匕3+6)2=02+3。6=40,即4+6=2加.

故△ABC的周长为2J而+4.

(2)由(1)及正弦定理可得，

2sin|--A|+sinA「

21_2/?+_2Z?+6/_2sinB+sinA_(3)_V7sin(A+^)

（其中

abab2c73省6

e为锐角，且tan6=@),

2

由题意可知0<A(生，因此，当A+e=工时，2+工取得最大值变.

32ab3

19.答案：(1)证明见解析

⑵迪

7

解析：（1）证明：在Rt^ADC中，AD=CD,E为AC的中点,

:.DELAC.

在△ABD与△CBD中,

AD=CD,ZADB=ZBDC,BD=BD,

：.Z\ABD^Z\CBD,:.AB=CB,

又E为AC的中点，：.BE±AC,

又ACLDE,BEDE=E,BE,DEu平面BED,平面BED,

又ACu平面AC。，

平面BED，平面ACD.

(2)由(1)知△ABC是等腰三角形，又NACB=60。，

.•.△ABC为等边三角形，AB=2,:.BE=6,

在等腰中，DE=1,又BD=2,:.DELBE,

以E为原点，EA,EB,ED所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系，连接EE

则41,0,0)，3(0,后0),C(-l,0,0),£>(0,0,1),

.-.AB=(-1,73,0),AD=(-1,0,1),

设平面ABD的法向量为〃=(x,y,z),

则卜四=0:卜=3，令I，得――

u-AD=0x=z,

易知△AFC的面积最小时，EF±BD,

11DF.RFG

在ADEB中，由一BEDE=—BDEF知EF=----------=—

22BD2

I~~311

DF=J1——=-,DF=-DB,

V424

£)3=(0,6-1),.-.DF=-DB=-(O,A-l)=fo,—

4414,

易得CR=，,4,］，

I44JI44J

设CR与平面A3。所成的角为e,

则sin0=|cos(w,CF)|二

.。与平面的所成的角的正弦值为半

3

20.答案：（1）分布列见解析，E（X）=|

（2）7次

解析：（1）据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3.

当X=0时，前3次亮灯的颜色为“绿绿绿”，则P（X=0）=Lx!><!=L,

23318

当X=1时，前3次亮灯的颜色为“红绿绿”，或“绿红绿”，或“绿绿红”，则

P(x=i)=-2-2,

',2332332339

当X=2时，前3次亮灯的颜色为“红红绿”或“红绿红”或“绿红红”,

1121221214

则P(X=2)——x-x—I—x_x—I—x_x_=一

,/2332332339

当X=3时，前3次亮灯的颜色为“红红红"，贝i）P（X=3）=LkLJ_,

23318

所以X的分布列为:

X0123

1441

P

189918

」

E（X）=0-x±+3x

1899182

（2）记第〃次亮灯时，亮起红灯的概率为幺，由题设,

12

Pn+l=P„W+(j)xg=-----VH----,

3"3

则因为B=;，

则Pi—，=—L，所以是首项为一,，公比为一1的等比数歹(J.

26[2J63

11

所以p〃=—+—

22

由0,,=工+工义[—![<工，得』x[—![<0,所以〃为奇数.

22\3)22(3)

,11f1Ylow1Y1

〃22I3)20213J2021

因为〃为奇数，则‘<」-,即3">2021,则〃27.

3"2021

当“W20时，〃=7,9,11,13,15,17,19.因为玩具在这7次亮灯中亮红灯是随机

事件，所以在前20次亮灯中，该玩具最多唱7次歌.

无2

21.答案：(1)—+/=1

4

(2)存在，方程为公+丁2=1

解析：(1)由题意知M(0,b),N(a,0),由工仍=1,得ab=2①.

2

设直线y=x与椭圆C交于点,g(-x0,-x0),则|PQ『=8x：.

把PG。,/)代入椭圆方程，得

/

,即卓1=；②.

故

6Z+/?5

a2=4p“2=1f

由①②，解得.或《,一(舍去)，所以椭圆C的标准方程%+'』.

b2=l

(2)假设存在这样的圆O,设。4。5=九

当直线A3的斜率存在时，设直线A3的方程为丁=履+加.

y—kx-\-m

由＜%22，得(1+4左2)龙2+8^^+4相2—4=0.

7y=1

设4（%，%），3（%,%），则可+々=一帝记，=］+4庐，

故

25苏_442

OAOB=X]/+%%=(1+左+^m(x1+x2)+m=+——^+km\——8k"[]+/

1+4左I1+4k)l+4p

由得