2024届内蒙古赤峰市八年级数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届内蒙古赤峰市八年级数学第二学期期末学业水平测试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题(每题4分，共48分)

1.如图，这组数据的组数与组距分别为()

A.5,9B.6,9

C.5,10D.6,10

2.若点尸(m,2)与点。(3,〃)关于原点对称，则机，”的值分别为()

A.-3,2B.3,-2C.—3,-2D.3,2

3.若分式必有意义，则x应满足的条件是()

x^2

A./0B.x=2C.x>2D.x^2

4.如图，设甲图中阴影部分的面积为Si,乙图中阴影部分的面积为S2,k=-L(a>b>0),则有()

甲

11

A.k>2B.l<k<2C.-<k<lD.0<k<-

22

5.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，且AE=^AB,将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在

AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q,对于下列结论：①EF=2BE；(2)PF=2PE；③FQ=3EQ；④4PBF是等边三

角形，其中正确的是()

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

6.下列命题正确的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.一组邻边相等的矩形是正方形

7.将一个n边形变成（n+1）边形，内角和将（）

A.减少180°B.增加90°

C.增加180°D.增加360°

“2+1

8.已知反比例函数的图上象有三个点（2,yi）,（3,y2）,（-1,y3）,则yi,y2,y3的大小关系是（）

x

A.yi>y2>ysB.y2>yi>ysC.ys>yi>y2D.ys>y2>yi

9.若一次函数丁二奴+人的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是（）

b

A.a+b<0B.a-b>0C.ab>0D.—<0

a

10.下列二次根式，是最简二次根式的是（）

A.71B.7?C.小D.6

11.如图，数轴上点46表示的数分别是1,2,过点6作收，/6,以点6为圆心，Z8长为半径画弧，交用于点C,

以原点。为圆心，冗长为半径画弧，交数轴于点瓶则点〃表示的数是（）

A.73B.V?

C.V6D.不

12.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A,B重合），对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作

AC,BD的垂线，分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论：①^APE丝AAME；②PM+PN

=BD；③PE2+PF2=PO2.其中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题（每题4分，共24分）

13.把一元二次方程2必-*-1=0用配方法配成a（x-/z）2+化=0的形式（a,h,"均为常数），则无和左的值分别为

14.已知二次函数y=-x~-2x+3的图象上有两点A（-7,y/）,B（—8,yz）,则y/▲72.（用＞、＜、=填空）.

15.计算代存一网的结果是.

16.在口48。中，ZA+ZC=80°,则N3的度数等于.

17.用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60。”，第一步应假设.

18.若加是方程2/一3x-1=0的一个根，贝!14m2_6加+2019的值为.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=12cm.动点。、E均从顶点A同时出发，点。在

边上运动，点E在边AC上运动.已知点。的运动速度是2cm/s.当运动2s停止时，由A,D,E构成的三角

形恰好与A6C相似.

（1）试求点E的运动速度;

（2）求出此时。、E两点间的距离.

20.（8分）观察下列各式:

'i+31+L

I2221x2

1

2x3

L1111

1H——H—7=1H-------

32423x4

请利用你所发现的规律，

⑴计算ji+m+ji+!+$+ji+m+ji+*+j；

(2)根据规律，请写出第"个等式(〃21,且〃为正整数).

21.(8分)如图，在矩形ABCD,AD=AE,DFLAE于点F.求证：AB=DF.

22.(10分)我市某中学对学校倡导的“压岁钱捐款活动”进行抽样调查，得到一组学生捐款的数据,

下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右长方形的高度之比为2:4:5:8:6.又知此次调查中捐款20元和25元

的学生一共28人.

(1)他们一共调查了多少学生？

(2)写出这组数据的中位数、众数;

(3)若该校共有2000名学生，估计全校学生大约捐款多少元?

23.(10分)先化简，再求值：4(厂7)+(x-2)2-6-、上,其中，x=V5+l.

x-1V9

24.(10分)如图，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,AD是NBAC的平分线，DE_LAB于E,

(1)若CD=lcm,求AC的长；

(2)求证：AB=AC+CD.

25.(12分)如图，已知点A(6,0),B(8,5),将线段OA平移至CB,点D(x,0)在x轴正半轴上(不与点A

重合)，连接OC,AB,CD,BD.

(1)求对角线AC的长；

(2)AODC与AABD的面积分别记为Si,S2,设S=Si-S2,求S关于x的函数解析式，并探究是否存在点D使S与

△DBC的面积相等，如果存在，请求出x的值(或取值范围)；如果不存在，请说明理由.

26.如图，在AABC中，AB=AC,AD是6C上的中线，A5的垂直平分线交AD于点。，连接80并延长

交AC于点E,AH±BE,垂足为H.

(1)求证：AABD=ABAHi

(2)若NA4c=30°,AE=2,求的长；

(3)如图，在AABC中，AB=AC,24=40。，。是AC上的一点，且NABD=20。，若BC=6,请你直接写

出AD的长.

B

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、D

【解题分析】

通过观察频率分布直方图，发现一共分为6组，每一组的最大值和最小值的差都是10,做出判断.

【题目详解】

解：频率分布直方图中共有6个直条，故组数是6,每组的最大值和最小值的差都是10,因此组距是10,

故选：D.

【题目点拨】

考查频率分布直方图的制作方法，明确组距、组数的意义是绘制频率分布直方图的两个基本的步骤.

2、C

【解题分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.

【题目详解】

点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称，得

m=-3,n=-2,

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.

3、D

【解题分析】

本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为1.

【题目详解】

解：由代数式有意义可知：x-2丹，

:.9,

故选：D.

【题目点拨】

本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为1时，分式有意义.

4、B

【解题分析】

根据正方形和矩形的面积公式分别表示出两个阴影部分面积，即可求出所求.

【题目详解】

由题意得：甲图中阴影部分的面积为5]=/—〃，乙图中阴影部分的面积为邑=1一外

,SIa--b~(a+b)(a-b)b.,n.

,\k=-=----=-——产一一=l+—(a>b>0)

S2a-abaya-b)a

0<-<l

a

:A<k<2

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5、D

【解题分析】

求出5E=24E,根据翻折的性质可得PE=BE,由此得出NAPE=30。，然后求出NAEP=60。，再根据翻折的性质求出

ZBEF=60°,根据直角三角形两锐角互余求出NEr5=30。，然后根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半可

#EF=2BE,判断出①正确；利用30。角的正切值求出判断出②错误；求出8E=2EQ,EF=2BE,然后求

出尸0=3E0,判断出③正确；求出NP5F=NPF3=60。，然后得到歹是等边三角形，故④正确.

【题目详解】

1

'：AE=-AB,：.BE=2AE,

3

由翻折的性质得：PE=BE,：.ZAPE=30°,：.ZAEP=90°-30°=60°,：.ZBEF=-(1800-ZAEP)=-(180°-60°)

22

=60。，NE尸5=90°-60°=30°,：.EF=2BE,故①正确；

'：BE=PE,：.EF=2PE,

'：EF>PF,：.PF<2PE,故②错误；

由翻折可知EF_LPB,AZEBQ=ZEFB=3>Q°,：.BE=2EQ,EF=2BE,：.FQ=3EQ,故③正确；

由翻折的性质，NEFB=NEFP=3Q。,

贝!|N8尸尸=30。+30。=60。，

VZPBF=90°-ZEBQ^90°-30°=60°,二NP5F=NP尸3=60。，...△P3尸是等边三角形，故④正确.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，

等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键.

6、D

【解题分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.

【题目详解】

A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，故A选项错误；

B、对角线互相垂直的四边形也可能是一般四边形，故B选项错误；

C、对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故C选项错误.

D、一组邻边相等的矩形是正方形，故D选项正确.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的特点.

7、C

【解题分析】

利用多边形的内角和公式即可求出答案.

【题目详解】

解：n边形的内角和是(n-2)・180。，

n+1边形的内角和是(n-1)*180°,

因而(n+1)边形的内角和比n边形的内角和大(n-1)*180°-(n-2)*180=180°.

故选C.

8、A

【解题分析】

先判断出〃+1是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数4>0时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限

内y随x的增大而减小判断出以、山、山的大小关系，然后即可选取答案.

【题目详解】

解：；隹0,

：.k2+l>l,是正数，

・・・反比例函数)=巴士的图象位于第一三象限，且在每一个象限内丁随X的增大而减小，

X

・・・(2,J1),(3,J2),(-1,J3)都在反比例函数图象上，

/.O<J2<J1,J3<O,

故选：A.

【题目点拨】

k

本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数y=—(际0),(1)«>0,反比例函数图象在一、三象限；(2)k

x

<0,反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数〃+1是正数是解题的关键.

9,D

【解题分析】

•.•一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，

a<0,b>0,

a+b不一定大于0,故A错误，

a-b<0,故B错误，

ab<0,故C错误，

b

—<0,故D正确.

a

故选D.

10、D

【解题分析】

根据最简二次根式具备的条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一进行判断即可得

出答案.

【题目详解】

A,a=1,不是最简二次根式，故错误；

B,74=2.不是最简二次根式，故错误；

C,加=2后，不是最简二次根式，故错误；

D,也是最简二次根式，故正确；

故选:D.

【题目点拨】

本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式具备的条件是解题的关键.

11、B

【解题分析】

先依据勾股定理可求得OC的长，从而得到OM的长，于是可得到点M对应的数.

【题目详解】

解：由题意得可知：OB=2,BC=1,依据勾股定理可知：OC=(OB2+BC。=亚.

/.OM=V5.

故选:B.

【题目点拨】

本题考查勾股定理、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键.

12、D

【解题分析】

依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断^APM和AliPN以及AAPE、△BPF都是等腰直角三角

形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断.

【题目详解】

解：•••四边形ABCD是正方形，

，NBAC=NDAC=45。.

在4APE和aAME中，

NBAC=NDAC

AE=AE

NAEP=NAEM,

/.△APE^AAME(ASA),

故①正确；

/.PE=EM=—PM,

2

同理，FP=FN=—NP.

2

•.•正方形ABCD中，AC1BD,

XVPE1AC,PF±BD,

:.ZPEO=ZEOF=ZPFO=90°,且AAPE中AE=PE

.••四边形PEOF是矩形.

APF=OE,

.•.PE+PF=OA,

pl11

又—PM,FP=FN=—NP,OA=—AC,

222

/.PM+PN=AC,/.PM+PN=BD；

故②正确；

•.•四边形ABCD是矩形,

/.AC1BD,

.,.ZAOB=90°,

VPE1AC,PF1BD,

/.ZOEP=ZEOF=ZOFP=90°,

二四边形PEOF是矩形，

/.OE=PF,OF=PE,

在直角aOPF中，OE2+PE2=PO2,

APE2+PF2=PO2,

故③正确；

.•.正确的有3个，

故选：D

【题目点拨】

本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理的综合应用，认识△APM和△BPN以及AAPE、△BPF都是等腰直角

三角形，四边形PEOF是矩形是关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

19

13、——

416

【解题分析】

先将方程变形，利用完全平方公式进行配方.

【题目详解】

解：2x2-x-1=1,

11

一x--

22

1111

--XH---------―1

216216

9

(x--)2_—=1.

416

19

\h=-,

4-16,

故答案是：!9

，―•

16

【题目点拨】

考查了配方法的一般步骤:

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

14、>o

【解题分析】

根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出yi与yz的大小关系:

:二次函数y=-x2-2x+3的对称轴是x=-1,开口向下，

...在对称轴的左侧y随x的增大而增大。

2

•点A(-7,yi),B(-8,y2)是二次函数y=-x-2x+3的图象上的两点，且-7>-8,

•'•yi>y2o

15、2

【解题分析】

先利用算术平方根和立方根进行化简，然后合并即可.

【题目详解】

解源式=4-2=2

故答案为：2

【题目点拨】

本题考查了算术平方根和立方根的运算，掌握算术平方根和立方根是解题的关键.

16、140°

【解题分析】

根据平行四边形的性质可得NA的度数，再利用平行线的性质解答即可.

【题目详解】

解：如图，•.•四边形是平行四边形，.•.NA=NC,AD//BC,

；NA+NC=80。，AZA=40°,

'：AD//BC,：.ZA+ZB=180°,.*.ZB=140o.

故答案为：140。.

【题目点拨】

本题主要考查了平行四边形的性质和平行线的性质，属于应知应会题型，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.

17、三角形的三个内角都小于60°

【解题分析】

熟记反证法的步骤，直接填空即可.

【题目详解】

第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°.

故答案为三角形的三个内角都小于60°.

【题目点拨】

反证法的步骤是：

(1)假设结论不成立；

(2)从假设出发推出矛盾；

(3)假设不成立，则结论成立.

在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种

情况，则必须一一否定.

18、1

【解题分析】

把》=机代入方程，求出2m2-3机=1,再变形后代入，即可求出答案.

【题目详解】

：机是方程2X2-3x-1=0的一个根，

二代入得：2机2-3m-1=0,

2m2-3m—1,

：.4m2-6/n+2019=2(2m2-3/n)+2019=2x1+2019=1,

故答案为：L

【题目点拨】

本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出2苏-3机=1是解此题的关键.

三、解答题(共78分)

524

19、(1)-；(2)E两点间的距离为m或1.

【解题分析】

(1)如图，设等E的运动速度为xcm/s.由题意AO=4c机，AE=2x.分两种情形分别构建方程即可解决问题.

(2)分两种情形利用相似三角形的性质解决问题即可.

【题目详解】

解：（1）如图，设等E的运动速度为xc,〃/s.由题意AO=4c/n,AE=2x.

AV)AT7

①当——二——时，AADE^AABC,

ABAC

••=，

108

Q

解得”=1，

Q

，点E的运动速度为jcm/s.

„,ADAE“

②当——=—,AAADE^^ACB,

ACAB

.4_2x

••一=9

810

5

.\x=—，

2

点E的是的为一cm/s.

2

DEAD

(2)当△AD£s/\A5C时，——二——,

BCAB

.DE4

••=9

1210

当△AOEsaACB时，——=——，

BCAC

•。后_4

••=一,

128

；.DE=1,

24

综上所述，。、E两点间的距离为《或1.

【题目点拨】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

91

20、(1)9—；(2)1+

10w(n+l)

【解题分析】

(1)根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案;

(2)根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案.

【题目详解】

+1+

解：(1)原式=1H----H1H------1-1H-----Hdw

1x22x33x4

=9+。—」1

I22334910

温

L11,11,1

.'个等式是『A际=1+丁-1=1+而可.

【题目点拨】

本题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键.

21、见解析

【解题分析】

分析：利用矩形和直角三角形的性质得到ZAFD=ZB,从而证得两个三角形全等，可得结论.

详解：I•四边形是矩形，J.AD//BC,N3=90。，AZAEB^ZDAE.

'：DFYAE,在AABE和△OE4中,

ZAEB=ZDAE

ZAFD=ZB

AD=AE

：.AABE^/\DFA,：.AB^DF.

点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质的知识，属于基础题，难度不是很大，熟练掌握全等

三角形的判定与性质是关键.

22、(1)50人(2)20,20(3)34800

【解题分析】

【分析】⑴根据捐款20元和25与的学生一共是28人及这两组所占的总人数比例可求出总人数;

（2）众数即人数最多的捐款数，中位数要找到从小到大排列位于中间的数据;

（3）首先计算平均捐款数，再进一步估计总体平均捐款数，从而计算全校捐款数.

8+6

【题目详解】（1）(1)28+=50（名），

2+4+5+8+6

所以一共调查了50名学生;

（2）设捐款20元和25元的学生分别有8x人和6x人.

则有：8x+6x=28,

:.x=2

5个组的人数分别为4,8,10,16,12,

二这组数据的中位数是20元，众数是20元；

（3）平均每个学生捐款的数量是：

—（5x4+10x8+15x10+20x16+25x12）=17.4（元），

50

17.4x2000=34800（元），

所以全校学生大约捐款34800元.

【题目点拨】本题考查了统计图、用样本估计总体、中位数、众数等，考查了利用频数分布直方图以及利用

频数分布直方图获取信息的能力，解答本题的关键是理解众数、中位数的概念，能够根据部分所占的百分比

计算总体，能够用样本平均数估计总体平均数.

23、（x-1）2+3；8.

【解题分析】

原式第一项约分，第二项利用完全平方公式化简，第三项利用二次根式性质计算得到最简结果，把x的值代入计算即

可求出值.

【题目详解】

解：如=有+1>0,

hj4x(x-l).

工原式二—-----+x2-4x+4-2x

x-1

=4x+x2-4x+4-2x

=x2-2x+4

=(x-l)2+3

=5+3

=8.

故答案为(x-1)2+3；8.

【题目点拨】

本题考查了二次根式的化简求值.

24、(1)1+72；(2)证明见解析.

【解题分析】

(1)根据角平分线上的点到两边的距离相等可得DE=CD=lcm,再判断出ABDE为等腰直角三角形，然后求出BD,

再根据AC=BC=CD+BD求解即可；

(2)利用“HL”证明AACD与AAED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE,再根据AB=AE+BE整理即可得

证.

【题目详解】

(1)解：；AD是AABC的角平分线，NC=90。，DE±AB,

.*.DE=CD=lcm,

又,.•AC=BC,NC=90°,

/.ZB=ZBAC=45°,

ABDE为等腰直角三角形.

•*.BD=y/2DE=y/2cm,

AAC=BC=CD+BD=(1+0)cm.

(2)证明：在RtZiACD和Rt/IXAED中，

AD=AD

DE=CD'

ARtAACD^RtAAED(HL),

AAC=AE,

•••△BDE为等腰直角三角形,

/.BE=DE=CD,

VAB=AE+BE,

/.AB=AC+CD.

【题目点拨】

本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质.熟记各性质是解题的关键.

25、(1)同；(2)D(x,0)(x>6)

【解题分析】

(1)根据平移的性质可以求得点C的坐标，然后根据两点间的距离公式即